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1、轴向拉压轴向拉压扭扭 转转内力分量内力分量轴力轴力F FN N扭矩扭矩T T对称弯曲对称弯曲内力分量弯矩弯矩M,M,剪力剪力F FS S应力分布规律应力分布规律正应力均匀分布正应力均匀分布切应力与距圆心切应力与距圆心距离成正比分布距离成正比分布应力分布规律正应力与中性轴距离成正比正应力与中性轴距离成正比切应力沿截面高度呈抛物线切应力沿截面高度呈抛物线AFN PIT ZIMybISFZZS*应力状态应力状态应力状态单轴应力状态单轴应力状态纯剪切应力状态纯剪切应力状态maxmaxZWM单轴应力状态单轴应力状态max*maxbISFZZS纯剪切应力状态纯剪切应力状态强度条件 max强度条件 max轴
2、向拉压轴向拉压扭扭 转转对称弯曲对称弯曲强度条件 max max变形公式变形公式变形公式EAFN PGIT 轴向线应变轴向线应变单位长度扭转角单位长度扭转角ZEIM1挠曲线曲率挠曲线曲率截面位移截面位移截面位移轴向线位移轴向线位移扭转角扭转角挠度与转角挠度与转角刚度条件刚度条件轴向拉压轴向拉压扭扭 转转对称弯曲对称弯曲刚度条件 max maxLLmax max变形刚度条件变形刚度条件变形刚度条件变形刚度条件位移刚度条件位移刚度条件应变能应变能应变能EALFVN22 PGILTV22 LZEIdxxMV2)(2主讲教师主讲教师 ：鞠彦忠：鞠彦忠2022年年8月月8日日应应 力力 状状 态态（St
3、ate of StressesState of Stresses）1. 1. 直杆受轴向拉（压）时直杆受轴向拉（压）时: :FFAN2.2.圆轴扭转时圆轴扭转时: :pITT3.3.剪切弯曲的梁剪切弯曲的梁: :zIyxM)(bISQzz应力应力: :不同横截面应力不同不同横截面应力不同; ;同一横截面上同一横截面上 不同点处应力不同。不同点处应力不同。同一点不同截面方位同一点不同截面方位, ,应力是不是变化应力是不是变化? ? 如果变化如果变化, ,又以怎样的规律变化又以怎样的规律变化? ?得出：得出：低碳钢低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁铸铁铸铁铸铁低碳钢低碳钢为什么脆性材料扭
4、转时沿45螺旋面断开？ 单元体的特点单元体的特点受力构件内任意点各截面方位上的应力受力构件内任意点各截面方位上的应力情况的集合。情况的集合。研究方法：研究方法：2 2、单元体：、单元体：2.2.两个相互平行侧面上的应力情况是相同的。两个相互平行侧面上的应力情况是相同的。3.3.代表该点三个相互垂直方向上的应力情况。代表该点三个相互垂直方向上的应力情况。第一节第一节 应力状态概述应力状态概述1.1.单元体各侧面上的应力分布是均匀的。单元体各侧面上的应力分布是均匀的。FF1 1、应力状态：、应力状态：取单元体的方法。取单元体的方法。围绕受力构件内任意点切取的微元体。围绕受力构件内任意点切取的微元体
5、。l/2l/2S平面平面FP543213 3、原始单元体：、原始单元体： 各侧面上的应力情况为已知的单元体。各侧面上的应力情况为已知的单元体。bIQSZmax354321S平面平面4PlFMz 2PFFPl/2l/2S平面平面54321 ZWM11 ZIMy223bIQSZZ2FlaSxzy4321S平面平面yxzMzFMx43211pxWM 1 zzxWM 1 43pxWM 3 pxWM 4 zzxWM 4 F4 4、主单元体、主单元体: :5 5、主平面、主平面: :6 6、主应力、主应力: :321主应力按代数值大小排列主应力按代数值大小排列: :各侧面上只有正应力作用各侧面上只有正应力
6、作用, ,而无而无剪应力作用的单元体。剪应力作用的单元体。单元体上剪应力为零的面。单元体上剪应力为零的面。主平面上作用的正应力。主平面上作用的正应力。单向应力状态：单向应力状态： 只有一个主应力不等于零。只有一个主应力不等于零。二向应力状态：二向应力状态： 只有一个主应力等于零，其它两个只有一个主应力等于零，其它两个 主应力不等于零。主应力不等于零。三向应力状态：三向应力状态： 三个主应力都不等于零。三个主应力都不等于零。yx（平面应力状态）x应力状态分类：应力状态分类：yxz x y z xy yx yz zy zx xzxyx yyxyy 根据单元体的局部平衡：根据单元体的局部平衡：nyn
7、yx yx结结 论论 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。要研究斜截面上的应力。应力的三个重要概念应力的三个重要概念m 应力的点的概念应力的点的概念; ;m 应力的面的概念应力的面的概念; ;m 应力状态的概念应力状态的概念. . 横截面上正应力分析和切应力分析横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各的结果表明：同一面上不同点的应力各不 相 同 ， 此 即不 相 同 ， 此 即应力的点的概念应力的点的概念。QFMzNF 单元体平衡分析结果
8、表明：即使单元体平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力同一点不同方向面上的应力也也是各不是各不相同的，此即相同的，此即应力的面的概念应力的面的概念。yxy 哪一个面上哪一个面上哪一点哪一点？ 哪一点哪一点哪个方向面？哪个方向面？应力状态的研究方法应力状态的研究方法dzdydx0dzdydx应力状态的分类应力状态的分类轴向拉伸轴向拉伸AFN扭扭 转转pIT弯曲变形弯曲变形xxyyyxzZIyMbISFZzs*xxyyxyz三向应力状态三向应力状态平面应力状态平面应力状态单向应力状态单向应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态特例特例2 2 平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析 主应力主应
9、力一、公式推导：ax y cx b ay c n x yyx 0 F 0 nFdAcoscosdAxsincosdAxcossindAysinsindAy0dAsincosdAxcoscosdAxsinsindAycossindAy022cos1cos222cos1sin2yx xy 22cos2yx2sinx 2sin2yx2cosx二、符号规定： 由由x x正向逆时针转到正向逆时针转到n n正正向者为正；反之为负。向者为正；反之为负。nx正正 应应 力力yx拉应力为正拉应力为正x压应力为负压应力为负切切 应应 力力 yx 使单元体或其局部顺使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之时针方向转
10、动为正；反之为负。为负。 某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x轴成300和600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。MPa20MPa103MPa30abc1n xy 22cos2yx2sinx23010030060cos23010060sin20MPa32. 2 2sin2yx2cosx03060sin230100060cos20MPa33. 12n230100600120cos230100120sin20MPa32.42060120sin2301000120cos20MPa33. 1006030yxMPa40在二向应力状态下
11、，任意两个垂直面上，其的和为一常数。 分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。x xy 22cos2yx2sinx2cos22yx 2sin2yx2cosx2sin2x0452045x2045xmax低碳钢试样拉伸至屈服时低碳钢试样拉伸至屈服时45o 表面沿表面沿出现滑移线，是由最大切应力引起的。出现滑移线，是由最大切应力引起的。 分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。 xy 22cos2yx2sinx2sin 2sin2yx2cosx2cos045max450max4500045min
12、max 铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即45o螺旋面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。应应 力力 圆圆一、应力圆的方程式一、应力圆的方程式222)(Ryax xy 22cos2yx2sinx 2sin2yx2cosx222222xyxyx二二.应力圆的画法应力圆的画法 在坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上 应力对应的点a和d 连ad交 轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。a( x , x)d( y , y)c xy 2 yyxADx o、几种对应关系 点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力； 转向对应半径旋转方向与
13、斜截面法线旋转方向一致；二倍角对应半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍。 yyxADxa( x , x)d( y , y)c o yyxx caA c2 2anb 试用应力圆法计算图示单元体试用应力圆法计算图示单元体e-fe-f截面上的应力。截面上的应力。图中应力的单位为图中应力的单位为MPaMPa。4 . 42 . 2n030ef oadcMPa2 . 5030MPa8 . 0030060 对于图中所示之平面应力状态，若要求面内最大切应力对于图中所示之平面应力状态，若要求面内最大切应力maxmax85MPa85MPa，试求，试求x x的取值范围。图中应力的单位为的取值范围。图中应力的单位为M
14、PaMPa。50100 x ox,100y,50adcx2yx222222xyxyx2max222xyxx22285250100100 xMPax40 主应力和主平面切应力等于零的截面为主平面主平面上的正应力称为主应力a( x , x)d( y , y)c xy 2 o222222xyxyx22122xyxyx1202yxxtg2200002)90(2tgtg22222xyxyx 已知矩形截面梁已知矩形截面梁, ,某截面上的剪力某截面上的剪力F Fs s=120kN=120kN及弯矩及弯矩M=10kNm.M=10kNm.绘出表示绘出表示1 1、2 2、3 3、4 4点应力状态的单元体，并点应力
15、状态的单元体，并求出各点的主应力。求出各点的主应力。b=60mm,h=100mm.b=60mm,h=100mm.bhzsFM123mm2541、画各点应力状态图、画各点应力状态图1323412、计算各点主应力、计算各点主应力123bhIz4500cm zIMy14310500501010MPa1001点021MPa10032点(处于纯剪状态处于纯剪状态)AFs23max1006021012033MPa3022134212xyxyxMPa30102MPa3033点(一般平面状态一般平面状态) zIMy34310500251010MPa50bISFzzs*60105005 .37256010120
16、43MPa5 .22MPa6 .58102MPa6 . 834点MPa10010203 自受力构件内取一单元体自受力构件内取一单元体, ,其上承受应力如图其上承受应力如图示示, ., .试求此点的主应力及主平面试求此点的主应力及主平面. .3abd060060abcxad面面,db面是该点的主平面面是该点的主平面.xy0 xF030cos30sin00abxabAA3x3102333 构件中某点为平面应力状态，两斜截面上的应构件中某点为平面应力状态，两斜截面上的应力如图所示。试用应力圆求主应力和最大切应力力如图所示。试用应力圆求主应力和最大切应力A50100100200 o100,20050,
17、100c在应力圆上量取MPa235102MPa1103MPa5 .172max平面应力状态的几种特殊情况轴向拉伸压缩轴向拉伸压缩2sin2 x)2cos1 (2 xx 10 322minmaxx xy 22cos2yx2sinx 2sin2yx2cosx平面应力状态的几种特殊情况扭扭 转转2cos x 2sin xx 1x3- xminmax xy 22cos2yx2sinx 2sin2yx2cosx0 2 弯 曲平面应力状态的几种特殊情况22minmax)2(xx 2sin2yx2cosx xy 22cos2yx2sinx221322xxx2sin2cos22xxx2cos2sin2xx22
18、 1322xyxyx 4 4 三向应力状态三向应力状态 1 2 3 z x y x y y x y x z IIIIII 3 2 1I平行于1的方向面其上之应力与1无关，于是由2 、 3可作出应力圆 I平行于2的方向面其上之应力与2无关，于是由1 、 3可作出应力圆 II平行于3的方向面其上之应力与3无关，于是由1 、 2可作出应力圆 IIIII 2 1 3 3III 2 1221 232231 一点处应力状态中的最大切应力只一点处应力状态中的最大切应力只是是 、 、 中最大者。中最大者。 231max 单元体如图示，求三个主应力和最大切应力。MPa80MPa50分析：0 x0yMPaz80M
19、Pax50MPa801xy平面上为纯剪切状态MPa502 231maxMPa65MPa503 xE-泊松比泊松比5 广义胡克定律E213=111+1 22+331 E11E21 E31 1+ 32111 E231 32111 E 13221 E 21331 Ey x xzyxxE1xzyyE1yxzzE1 yxxE 1 xyyE 1 yxzE 12EG 边长为20mm的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力F=14kN作用。已知，=0.3，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦可以忽略不计。试求立方体各个面上的正应力。kNF14xyz0 x0zAFy202010143MPa35zyxxE10035
20、3 . 0zxyxzzE100353 . 0 xzMPazx15 某点的应力状态如图所示,当x,y,z不变,x增大时,关于x值的说法正确的是_.A. 不变不变B. 增大增大C. 减小减小D. 无法判定无法判定y x z x仅与正应力有关，而与切应仅与正应力有关，而与切应力无关。所以当切应力增大时，力无关。所以当切应力增大时，线应变不变。线应变不变。AzyxxE1 图示为某点的应力状态，其最大切应力max=_MPa.MPa40MPa20MPa20MPa20maxMPa20minMPa401MPa202MPa203231max22040MPa30302001年长安大学 一受扭圆轴,直径d=20mm
21、,圆轴的材料为 钢,E=200GPa,=0.3.现测得圆轴表面上与轴线成450方向的应变为=5.210-4,试求圆轴所承受的扭矩.T045pWT13102332111EE11E11163dET3 . 0116210200102 . 5334Nm7 .125 1 2 31a2a3a111aa 222aa 333aa 332211111aaaVVVV 321321332211111aaaaaaaaa3213213213211aaaaaaaaa32132121E31020 x y zzyxE21l1lFllFFOlLFLFWN2121NFV21 EALFNLLEALFN22应变能密度应变能密度: :
22、 单位体积内的 应变能.VVv ALLF21216 复杂应力状态下的应变能与畸变能密度Ev2212112122E11EW2211WVWVVvEW2222E22E2112333E333EW2233E31E32W321WWWE221E222E21E223E31E32133221232221221E21331322321121E1E2E3E33221121v 1 2 3 222222221Evv33212321621Evvdvvvvvdvvv 21232322222161Evd133221232221221E7-10 7-10 强度理论及其应用强度理论及其应用 AFN PWT zZWM bISFZZ
23、s*第一强度理论（最大拉应力理论）第一强度理论（最大拉应力理论） 使材料发生断裂破坏的主要因素是最大主拉应力使材料发生断裂破坏的主要因素是最大主拉应力1 1，只要只要1 1达到单向拉伸时材料的强度极限达到单向拉伸时材料的强度极限b b材料将要断材料将要断裂破坏。裂破坏。破坏条件破坏条件强度条件强度条件b1 1第二强度理论（最大伸长线应变理论）第二强度理论（最大伸长线应变理论） 当材料的最大伸长线应变当材料的最大伸长线应变1 1达到材料单向受拉破坏达到材料单向受拉破坏时的线应变时的线应变b b=b b/E/E时，材料将要发生断裂破坏。时，材料将要发生断裂破坏。破坏条件破坏条件强度条件强度条件b1
24、 )(32132111EEbb第三强度理论（最大切应力理论）第三强度理论（最大切应力理论） 最大切应力是使材料发生屈服破坏的根本原因。只最大切应力是使材料发生屈服破坏的根本原因。只要最大切应力要最大切应力maxmax达到材料单向受力时的屈服极限达到材料单向受力时的屈服极限s s所对应的极限切应力所对应的极限切应力s s=s s/2/2，材料将发生屈服（剪，材料将发生屈服（剪断）破坏断）破坏. .破坏条件强度条件2maxss 31231max第四强度理论（能量理论）第四强度理论（能量理论） 形状改变比能是引起材料屈服破坏的基本原因。形状改变比能是引起材料屈服破坏的基本原因。只要复杂应力状态下材料
25、形状改变比能达到单向受只要复杂应力状态下材料形状改变比能达到单向受力情况屈服破坏时相应的极限形状改变比能，材料力情况屈服破坏时相应的极限形状改变比能，材料就会发生屈服破坏。就会发生屈服破坏。破坏条件破坏条件强度条件强度条件sd)2(61)()()(612213232221sEE 213232221)()()(21 r2132322214)()()(21r11r)(3212 r313r 已知铸铁构件上危险点处的应力状态，如图所示。若铸已知铸铁构件上危险点处的应力状态，如图所示。若铸铁拉伸许用应力为铁拉伸许用应力为30MPa30MPa，试校核该点处的强度，试校核该点处的强度是否安全。是否安全。23
26、1110(单位 MPa) 122222xyxyx072. 328.29321，MPaMPa MPaMPa3028.291MPaMPa72.38.29 某结构上危险点处的应力状态如图所示，其中某结构上危险点处的应力状态如图所示，其中116.7MPa116.7MPa，46.3MPa46.3MPa。材料为钢，许用应力。材料为钢，许用应力160MPa160MPa。试校核此结构是否安全。试校核此结构是否安全。221222222xyxyx22322 31 224 21323222121 223MPa0 .149MPa6 .141 图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向
27、力作用。（1 1）从梁表面的）从梁表面的A A、B B、C C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。（2 2）定性地绘出）定性地绘出A A、B B、C C三点的应力圆。三点的应力圆。（3 3）在各点的单元体上，大致地画出主平面的位置和主应力的方向。）在各点的单元体上，大致地画出主平面的位置和主应力的方向。（4 4）试根据第一强度理论，说明（画图表示）梁破坏时裂缝在）试根据第一强度理论，说明（画图表示）梁破坏时裂缝在B B、C C两点处的走向。两点处的走向。BACB1BCACBFFaaABC 对图示的纯剪切应力状态，试按强度理论建立纯
28、剪切状对图示的纯剪切应力状态，试按强度理论建立纯剪切状态下的强度条件，并导出剪切许用应力态下的强度条件，并导出剪切许用应力与拉伸许用与拉伸许用应力应力之间的关系。之间的关系。KK13，3210 1 ）（321 ）（ 1 125. 0 8 . 0 31 2 2 5 . 0 21323222121 3 6 . 0 0 . 18 . 0 6 . 05 . 0 r11r)(3212 r2132322214)()()(21r313rB.B.（1 1）不正确、（）不正确、（2 2）正确；）正确；C.C.（1 1）、（）、（2 2）都正确；）都正确；D.D.（1 1）、（）、（2 2）都不正确。）都不正确。A.A.冰的强度较铸铁高；冰的强度较铸铁高；B.B.冰处于三向受压应力状态；冰处于三向受压应力状态；C.C.冰的温度较铸铁高；冰的温度较铸铁高；D.D.冰的应力等于零。冰的应力等于零。313r0A.第一；B.第二；C.第三；D.第四；1r2r313r213232221421r1203本章作业67，69，610，612，617，619，