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1、第七章 应力状态和强度理论 习题解习题7-1 试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并说明单元体各面上的应力。习题7-1a解：A点处于单向压应力状态。习题7-1b解：A点处于纯剪切应力状态。习题7-1b解：A点处于纯剪切应力状态。B点处于平面应力状态习题7-1d解：A点处于平面应力状态习题7-2 有一拉伸试样，横截面为的矩形。在与轴线成角的面上切应力时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F。解：；出现滑移线，即进入屈服阶段，此时，习题7-3 一拉杆由两段沿面胶合而成。由于实用的原因，图中的角限于范围内。作为“假定计算，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应
2、力比拟。现设胶合缝的许用切应力为许用拉应力的，且这一拉杆的强度由胶合缝强度控制。为了使杆能承受最大的荷载F，试问角的值应取多大？ 解：；10203036.8833 4050601.000 1.031 1.132 1.333 1.563 1.704 2.420 4.000 47.754 4.386 2.334 1.732 1.562 1.523 1.523 1.732 由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当时，杆能承受最大荷载，该荷载为：习题7-4 假设上题中拉杆胶合缝的许用应力，而，那么值应取多大？假设杆的横截面
3、面积为，试确定其最大许可荷载。解： 由上题计算得：1020304050601.000 1.031 1.132 1.250 1.333 1.704 2.420 4.000 31.836 2.924 1.556 1.250 1.155 1.015 1.015 1.155 由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当时，杆能承受最大荷载，该荷载为： 习题7-5 试根据相应的应力圆上的关系，写出图示单元体任一斜面上正应力及切应力的计算公式。设截面的法线与轴成角如下图作图时可设。解：坐标面应力：X，0；Y，0设斜面的应力为M，。
4、X、Y点作出如下图的应力圆。由图中的几何关系可知：习题7-6 某建筑物地基中的一单元体如下图，压应力，压应力。试用应力圆求法线与轴成顺时针夹角且垂直于纸面的斜面上的正应力及切应力，并利用习题7-5中得到的公式进展校核。解：坐标面应力：X-0.05，0；Y-0.2，0。根据以上数据作出如下图的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：按习题7-5得到的公式计算如下：作图法应力圆法与解析法公式法的结果一致。习题7-7 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为的截面上，在顶面以下的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与轴之间的夹角。解：1求计算点的正应力与切应力2写出坐标面应力 X
5、，Y0，(3) 作应力圆求最大与最小主应力，并求最大主应力与轴的夹角 作应力圆如下图。从图中按比例尺量得：习题7-8 各单元体面上的应力如下图。试利用应力圆的几何关系求： 1指定截面上的应力； 2主应力的数值；3在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。习题7-8a解：坐标面应力：X20，0；Y-40，0。根据以上数据作出如下图的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：单元体图应力圆O.Mohr圆主单元体图 习题7-8b解：坐标面应力：X0，30；Y0，-30。根据以上数据作出如下图的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：单元体图应力圆O.Mohr圆主单元体图习题7-
6、8c解：坐标面应力：X-50，0；Y-50，0。根据以上数据作出如下图的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：单元体图应力圆O.Mohr圆主单元体图习题7-8d解：坐标面应力：X0，-50；Y-20，50。根据以上数据作出如下图的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：单元体图应力圆O.Mohr圆主单元体图习题7-9 各单元体如下图。试利用应力圆的几何关系求： 1主应力的数值；2在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。习题7-9a解：坐标面应力：X130，70；Y0，-70。根据以上数据作出如下图的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：单元体图应力圆O
7、.Mohr圆主单元体图习题7-9b解：坐标面应力：X-140，-80；Y0，80。根据以上数据作出如下图的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：单元体图应力圆O.Mohr圆主单元体图习题7-9c解：坐标面应力：X-20，-10；Y-50，10。根据以上数据作出如下图的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：单元体图应力圆O.Mohr圆主单元体图习题7-9d解：坐标面应力：X80，30；Y160，-30。根据以上数据作出如下图的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：单元体图应力圆O.Mohr圆主单元体图习题7-10 平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如
8、下图。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角值。平面应力状态下的两斜面应力应力圆解：两斜面上的坐标面应力为：A38，28，B114，-48由以上上两点作出的直线AB是应力圆上的一条弦，如下图。作AB的垂直平分线交水平坐标轴于C点，那么C为应力圆的圆心。设圆心坐标为C那么根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等性质，可列以下方程：解以上方程得：。即圆心坐标为C86，0应力圆的半径：主应力为：2主方向角 上斜面A与中间主应力平面之间的夹角 上斜面A与最大主应力平面之间的夹角3两截面间夹角：习题7-11 某点处的应力如下图，设及值为，试考虑如何根据数据直接作出应力圆。解：
9、(1)(2)(1)、2联立，可解得和。至此，三个面的应力均为：X，0，Y，0，均为负值；。由X，Y面的应力就可以作出应力圆。习题7-12 一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如下图，梁的自重略去不计。试示上三点处的主应力。解：1求点的主应力 因点处于单向拉伸状态，故，。2求点的主应力 在的左邻截面上，,Y(0,-60.821).3求点的主应力,Y(0,-84.956).习题7-13 在一块钢板上先画上直径的圆，然后在板上加上应力，如下图。试问所画的圆将变成何种图形？并计算其尺寸。钢板的弹性模量，。解：坐标面应力X70，21，Y14，-21所画的圆变成椭圆，其中 长轴短轴习题7-14 一受力构件外表上某
10、点处的，单元体的三个面上都没有切应力。试求该点处的最大正应力和最大切应力。解：最大正应力为。最小正应力是。最大切应力是 习题7-15 单元体各面上的应力如下图。试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。习题7-15a解：坐标面应力：X70，-40，Y30，-40，Z50，0单元体图应力圆由XY平面内应力值作a、b点，连接a、b交 轴得圆心C50，0 应力圆半径：习题7-15b解：坐标面应力：X60，40，Y50，0，Z0，-40单元体图应力圆由XZ平面内应力作a、b点，连接a、b交 轴于C点，OC=30，故应力圆圆心C30，0应力圆半径：习题7-15c解：坐标面应力：X-80，0，Y0，-50
11、，Z0，50单元体图应力圆由YZ平面内应力值作a、b点，圆心为O，半径为50，作应力圆得习题7-16 一点处应力状态的应力圆如下图。试用单元体示出该点处的应力状态，并在该单元体上绘出应力圆上A点所代表的截面。习题7-16(a)解：该点处于三向应力状态：，。A点所代表的截面平行于的方向。据此，可画出如下图的单元体图和A截的位置。A应力圆主单元体图与A截面的位置习题7-16(b)解：该点处于三向应力状态：，。A点所代表的截面平行于的方向。据此，可画出如下图的单元体图和A截的位置。A应力圆主单元体图与A截面的位置习题7-17 有一厚度为的钢板，在两个垂直方向受拉，拉应力分别为150及55。钢材的弹性
12、常数为，。试求钢板厚度的减小值。解：钢板厚度的减小值为：习题7-18 边长为的钢立方体置于钢模中，在顶面上均匀地受力作用。，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可略去不计。试求立方体各个面上的正应力。 解： 1 2联解式1，2得习题7-19 在矩形截面钢拉伸试样的轴向拉力时，测得试样中段B点处与其轴线成方向的线应变为。材料的弹性模量，试求泊松比。解：平面应力状态下的广义虎克定律适用于任意两互相垂直的方向，故有：。钢杆处于单向拉应力状态：拉杆横截面上的正应力 斜截面上的应力 由广义虎克定律 解得： 习题7-20 D=120mm，d=80mm的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩 ，如下图。在轴
13、的中部外表A点处，测得与其母线成 方向的线应变为 。材料的弹性常数 ， ，试求扭转力偶矩 。解：方向如图习题7-21 在受集中力偶作用矩形截面简支梁中，测得中性层上 k点处沿方向的线应变为。材料的弹性常数和梁的横截面及长度尺寸。试求集中力偶矩。解：支座反力：K截面的弯矩与剪力：K点的正应力与切应力：故坐标面应力为：X，0，Y0，- 最大正应力的方向与正向的夹角，故习题7-22 一直径为的实心钢球承受静水压力，压强为。设钢球的，。试问其体积减小多少？解：体积应变习题7-23 图示单元体材料的弹性常数，。试求该单元体的形状改变能密度。解：坐标面应力：X70，-40，Y30，40，Z50，0 在XY
14、面内，求出最大与最小应力：故，。单元体的形状改变能密度：习题7-24 从某铸铁构件内的危险点取出的单元体，各面上的应力分量如下图。铸铁材料的泊松比，许用拉应力，许用压应力。试按第一和第二强度理论校核其强度。解：坐标面应力：X15，15，Y0，-15第一强度理论：因为 ，即，所以 符合第一强度理论的强度条件，构件不会破坏，即平安。第二强度理论：因为 ， ，即，所以 符合第二强度理论的强度条件，构件不会破坏，即平安。习题7-25 一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。钢材的许用应力为， 。试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强度理论校核危险截面上的a点的强度。注：通常在计算a点
15、处的应力时，近似地按点的位置计算。解： 左支座为A，右支座为B，左集中力作用点为C，右集中力作用点为D。支座反力： 1梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘 超过 的5.3%，在工程上是允许的。2梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处3在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度 超过 的3.53%，在工程上是允许的。习题7-26 钢轨与火车车轮接触点处的正应力，参看图7-7。假设钢轨的许用应力。试按第三强度理论与第四强度理论校核其强度。解：按第三强度校核：符合第三强度理论所提出的强度条件，即平安。符合第四强度理论所提出的强度条件，即平安。习题7-27 受内压力作用的容器，其圆筒局部任意一点A
16、图a处的应力状态如图b所示。当容器承受最大的内压力时，用应变计测得 。钢材的弹性模量E=210GPa，泊松比 =0.3，许用应力 。试按第三强度理论校核A点的强度。解： 根据第三强度理论： 超过 的7.64%，不能满足强度要求。习题7-28 设有单元体如下图，材料的许用拉应力为，许用压应力为。试按莫尔强度理论校核其强度。解：坐标面应力：X-70，-50，Y0，50。莫尔强度理论的相当应力：因为 ，即，所以 符合莫尔强度理论所提出的强度条件，即平安。习题7-29 图示两端封闭的铸铁薄壁圆筒，其内径，壁厚，承受内压力，且两端受轴向压力作用。材料的许用拉应力，泊松比。试按第二强度理论校核其强度。解：
17、在内压力作用下，任一点产生的应力为： 径向 纵向但薄壁圆筒除在内压力作用下产生之外，又在轴向压力作用下产生压应力： 在内压力与轴向压力共同作用下，薄壁圆筒内壁处某一点产生的应力：用第二强度理论校核： 故，该薄壁容器满足强度要求。习题7-30 在题7-29中试按莫尔强度理论进展强度校核。材料的拉伸与压压缩许用应力分别为以及。解：莫尔强度理论的相当应力：因为 ，即，所以 符合莫尔强度理论所提出的强度条件，即平安。习题7-31 用Q235钢制成的实心圆截面杆，受轴向拉力F及扭转力偶矩共同作用，且。今测得圆杆外表k点处沿图示方向的线应变。杆直径，材料的弹性常数，。试求荷载F和。假设其许用应力，试按第四
18、强度理论校核杆的强度。解：计算F和的大小：在k点处产生的切应力为：F在k点处产生的正应力为：即：X，Y 0，广义虎克定律： F以N为单位，d以mm为单位，下同。按第四强度理论校核杆件的强度：符合第四强度理论所提出的强度条件，即平安。习题7-32 内径、壁厚、两端封闭的薄壁圆筒，用来做内压力和扭转联合作用的试验。要求内压力引起的最大正应力值等于扭转力偶矩所引起的横截面切应力值的2倍。当内压力时，筒壁的材料出现屈服现象，试求筒壁中的最大切应力及形状改变能密度。材料的，。解：内压力引起的最大正应力： 轴向应力 环向应力径向应力依题意：扭矩引起的切应力为：，。主应力：筒壁中的最大切应力：形状改变能密度：