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1、经典易错题会诊与2012届高考试题预 测（八）考点8 直线与圆命题角度1直线的方程命题角度2两直线的位置关系命题角度3简单线性规划命题角度4圆的方程命题角度5直线与圆探究开放题预测预测角度1直线的方程预测角度2两直线的位置关系预测角度3线性规划预测角度4直线与圆预测角度5有关圆的综合问题经典易错题会诊命题角度1直线的方程1.（典型例题）已知点A（七,l）,B（0,0）C（百,0）,设 的 平 分 线 AE与BC相交于E,那 么 有 丽=2 历 其 中/等于（）考场错解：|=1,|瓦 k 2,由内角平分线定理得：14皇=庠故|而|=3|W|,./l=3.|AB|EB 2 专家把脉 主要是没有考虑
2、到说与函向,；正与之的方向相反,4应为负值.对症下药 v|BC|=3|瓦|,而由与国昉向相反，故4=-3.2.（典型例题）点（1,7）到直线x-y+l=0的 距 离 是（）考场错解 直接运用点到直线的距离公式.专家把脉 在运用点到直线的距离公式时，没有理解直线Ax+By+C=0中，B 的取值，B 应取T,而不是取1.对症下药 111+（1（-1）+11=还 故 选 2.（典型例题）若直线2x-y+c=0按向量a=（l,-l）平移后与圆x?+y2=5相切，则c 的值为（）或-2 B.6 或-4C.4 或-6 或-8 考场错解 C.直线2x-y+c=0按向量a=（l,T）平移后的直线方程为：2（x
3、+l）-（y+l）+c=0即：2x-y+l+c=0,此直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|2、0+里)，0+1 +山=牛1 =技；c =4 或-6,故选 C汗+1 2 万 专家把脉 坐标平移公式运用错误，应用x-h,y-k 分别来替换原来的X,y.对症下药 A 直线2 x-y+c=0 按向量a=(l,-1)平移后的直线为2 x-y-3+c=0,此直线与圆相切有：|0 x2+0,D+(-3)|.c =8 或者说 c=-2,故选 A.V 54.(典型例题)设直线a x+b y+c=O 的倾斜角为a,且 s in a+c o s a=0,则 a、b 满足()考场错解 C.丁 s in a
4、+c o s a =0 n l a n a =1,又t a n a =Z =2 =1./.+/?=0 故选C.b 专家把脉 直线Ax+B y+c=0 的斜率k=-*而不是？对症下药 DT s in“+8 s a =0 /.t a n =-I又truut=k=-=a-h =Q.b专家会诊1 .已知直线的方程，求直线的斜率与倾斜角的范围，反之求直线方程，注意倾斜角的范围及斜率不存在时的情况。2 .会 用直线的五种形式求直线方程，不可忽视每种形式的限制条件。考场思维训练1已知A(3,0),B(-l,-6),延长B A到 P,使9=L 则点P的坐标是|AB|3答案：(竺，2)解析：由已知P分Q的比为-
5、工，由定比分点坐标公式可得.3 42直线卜=4为参数)上到点A(一 2,3)的距离等于&的一个点坐标是()y=3 +V 2/A(-2,3)B(-4,5)C (-2-V 2,3 +V 2 )D (-3,4)答案：D解析：略.答案：1 6.2 x-y+8=0 解析：由已知可设1 2 的方程为：y=t a n 2 a -x-2,L与 h垂直，L,的斜率为k i=2,；.t a n 2 a=2吗=Y,即 卜的方程为y=-ix-2,解方程组得P点坐标(-3,1-t a n a 3 32).由点斜式得式 的方程为y=2(x+3)+2.命题角度2 两直线的位置关系1.(典型例题)已知过点A(-2,m)和 B
6、(M,4)的直线与直线2x+y-l=0平行，则 m的值为()考场错解 A两直线平行故斜率相等可得：/;上 =2.m=0.故选A.-2-m 专家把脉&=-4 而不是4.B B/M-4 对症下药 B利用两直线平行斜率相等可得:=-2=机=一8故选A 2 m2.在坐标平面内，与点A(l,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2 的直线共有A.1 条 B.2条 C.3 条 D.4条 考场错解 D由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行，可设直线y=k x+b 即,k x-y+b=O,专家把脉 当勺=-工时此时/=-L不符合题意。2 2 对症下药 B法一：由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行可设直线y=k
7、x+b,即 k x-y+b=O法二：以A为圆心，1 为半径画圆，以B为圆心2 为半径作圆，.圆心距l A B|=V J a c 0.取 b=3,a=2,c=l.解方程组 得x=y=|故交点在第二象限选8.专家把脉 由图看出的是长度大小关系，在比较时坐标值与长度值相混淆。对症下药 C由图形如此图圆心在第二象限且a、b、c 满足球队0 c a -b,取 c=l,a=2,b=-3解方程组+得 x=_ 2,y=-l,故选C.x-y +1 =0此题也可以讨论a x+b y+c=0在 y 轴截距及斜率与直线x-y+l=0进行比较去解决。4.(典型例题)由动点P向圆x?+y 2=l 引两条切线P A、P B
8、,切点分别为A、B,A P B=6 0,则动点 P的 轨 迹 方 程 为.考场错解 设 A (xi,y2),B(x2,y2),A P A 的直线方程为X i x+力的直线方程为x/x+y 2y=1.又Y A P B=6 O即两直线之间夹角为6 0,从而求出xi、1、xz、y?的关系.联立两方程解得x2+y M.专家把脉 引方法过于繁琐复杂，使运算很易出错，应考虑此特殊性。匕 邛 对症下药 如图：A P B=6 O,0P 平分 A P B/.A P O=3 0,在 R t A A 0P 中，10A|=1 为定值二 0P|=2 V故 P轨迹为以0 为圆心，以 2 为半径的圆(+f=4故正确答案：x
9、2+y2=45.(典型例题)曲线C：1 =8S9 参数）的普通方程是 y=-l+sm6如果曲线C与直线x+y+a=0有公共点,那么实a的取值范围是.考场错解 曲线C的普通方程可化为：/+(丫+1)2=1,与直线x+y+a=O有公共点，故联立得卜?+(y +i)2=1 消去 x 2y 2+2(a+l)y+a 2=0,有公共点故 x+y +a =0 专家把脉 忽略了直线与圆相切时的情况。对症下药 x2+(y+l)2=l;V 2-l a V 2+1专家会诊1.两直线平行与垂直的充要条件在解题中的应用。2 .夹角与距离公式是求距离或角、斜率的最值问题的工具.一定要注意公式的运用及条件.3 .关于直线对
10、称问题，即点关于直线对称，或直线关于直线对称.是命题热点.考场思维训练1 直 线 L:x+3 y-7=0、L:kx-y-2=0 与 x 轴、y 轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则 k的值等于()答案：B 解析：略.2已知点M是点P(4,5)关于直线y=3 x-3 的对称点，则过点M且平行于直线y=3 x+3 的直线方程是.答案：y=3 x+l 解析：略.3 若曲线/+/+1*+(1-/)丫-4=0 关于直线y-x=O 对称的图形仍是其本身，则实数a=()答案：B 解析：略.4 求直线l2:7 x-y+4=0 到 L:x+y-2=0 的角平分线的方程。答案：解：法一：设 k 到 L角平分线J的
11、斜率为k,V kF-1,k2=7解之得1=-3 或 1;=，由图形可知1 +7 4 3k0,；.k=-3,又由仃+2 尸 2 =,解得”与 2 的 交 点 由 点 斜 式 得 丈+7 x-y +4 =0 I 4 4)4 1 4)即 6 x+2 y-3=0法二：设 1 2 到 I I 的角为0,则 t g()=也=,所以角。为锐角，而 a l=a 2=g,由1+&芯 3 22rge二倍角公式可知t g0=y.t gg=-2 或 t gq=T -为锐角，:、弓=；=：；卜,，k=-3 等同解法一.命题角度3 简童单线性规划1.（典型例题）己知点P（x,y）在不等式组X-2K0,y-l0.A._2
12、B.-2,1C.-1,2 I）.1,2 考场错解 由约束条件画出可行域，再平移y=x.过（0,1）时截距最大为1,过（2,0）时截距最小为-2,.取值范围为-2,1选B.专家把脉z=x-y可化为y=x-z,此时y=x-z的截距为-z.故错选。对症下药 平移y=x得最大截距为1,最小截距为-2,.-2W-zW l；.l-W zW 2.2.（典型例题）设集合A=（x,y）x,y,l-x-y是三角形的三边长,则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（）%0 考场错解 由 题 意 可 得;n-x-y 0-x-y x+yx+y 0y 0 故选D.1y .2 专家把脉 三角形两边之和大于第三边没有写完
13、全，0 ,0y 0l-x-y+x yx-y +y x1-x-y 0l-x-y v x+y0 x 2故选A.x+y-l 23.（典型例题）在坐标平面上，不等式组p x二所表示的平面区域的面积为（）考场错解 依条作出当x 2 0时即厂所表示的区域，其面积为1,故当xWO时，同理其面积为1,故总面积为2,故选D.专家把脉 y=-3|x|+l 是关于y 轴对称，但 y=x-l 并不关于y 轴对称，故当x W O 时的面积与 x 0时的面积不相等。对症下药 先作出y=-3|x|+l 的图像（依此函数为偶函数作），再作出y=x-l的图像，再标出其围成的区域，如图所示：其阴影部分为所求且为工，故选2图 8-
14、3B.x-y-20,则 上 的 最 大 值 是.X2 y-3 0 时,z 最大，当 B 0 时，当直线过可行域且y 轴上截距最大时，z 值最小。2 .由于最优解是通过图形来规定的，故作图要准确，尤其整点问题。考场思维训练1 在直角坐标面上有两个区域M和 N.M 是由y 2 0,y x 和 y W 2-x三个不等式来确定的.N是由不等式t W x W t+1 来确定的，t 的取值范围是O W t W l,设 M和 N的公共面积是函数f （t）,则 f（t）为（）A.-t2+t+-2C1-?B.-2r+2t22答案：A 解析：画出M和 N的所表示的区域，可得面积等于不+t+g,所以选A2设实数X,
15、y 满足不等式组|2）的最大值最小值分别为（）（y +2|2 x-3|A.7+3D.以上都不对答案：A 解析：画出不等式组所表示的平面区域，由线性规划的知识知选A3某运输公司有1 0 辆载重量为6 吨的A型卡车与载重量为8 吨的B型卡车，有 1 1 名驾驶员。在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运4 80 吨沥青的任务。己知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8 次，B型卡车7次；每辆卡车每天的成本费A型车3 5 0 元，B型车4 0 0 元。问每天派出A型车与B型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？答案：解：设每天派出A型车与B型车各x、y 辆，并设公司每天的成本为z 元.由题
16、意，得且 z=3 5 0 x+4 0 0 y.作出可行域，作直线l 0:3 5 0 x+4 0 0 y=0,即 7x+8y=0.作出一组平行直线：7x+8y=t中（t为参数）经过可行域内的点和原点距离最近的直线，此直线经过6x+7y=60和y=5的交点A（名，5）,由于点A的坐标不都是整数，而x,yGN,6所以可行域内的点A（,5）不是最优解.6为求出最优解，必须进行定量分析.因为，7 X竺+8X5&x=10,y=0,所以（10,0）是最优解，即 当1通 过B点时，z=3506X 10+400X0=3500 元为最小.答：每天派出A型车10辆不派B型车，公司所化的成本费最低为3500元命题角度
17、4圆的方程1 （典型例题）从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（）考场错解 由半径为3,圆心与原点距离为6,可知两切线间的夹角为60,故所相应的圆心角 为1 2 0,故所求劣弧为圆弧长的2为2Tx3x2=4兀故选C.3 3 专家把脉 没有理解清楚优弧，劣弧的概念，劣弧应为相对较短的一段弧。对症下药 所求劣弧是整个圆弧的1故所求弧长为2 c3 x1=24.3 32.（典型例题）zABC的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H.OH=m（OA+OB+OC J U lJ实数m=一 一.考场错解 选取特殊三角形，取/XABC为等边三角形，则|而|=0,|苏
18、+丽+江|=0,故m可取任意实数。专家把脉 情况太特殊，若所取三角形为等腰三角形（非等边三角形）此时|OWk0,|O4+O+O Ck0此时与m为任意实数相矛盾。对症下药5=1或 向量的加减法的几何意义又可求，或利用直角三角形ABC,-0）2=户.令y=0,-2x（）x+岩+yo-r2=0,-4-2分别为方程的两根，故,（-4）（-2）=xg+-r22xo-yo-7=O.解得x =-3,y=T 3,尸闹.故所求圆的方程为(x+3)2+(y+1 3)2=1 68.专家把脉 应是令x=0,而不是令y=0,故后面的结果均错。对症下药 法一：T A B的中垂线,y =-3必过圆心故解=。得圆心坐标为(y
19、(2,一3),|O A|=2 x-y-l技.所求圆的方程为(x-2)2 +(y +3)2=5.法二:设圆C的方程：(x-殉)2 +(尸%)2 =/圆心在直线2 x-y-7=0上二2与-用-7 =0 又.圆过 A(0,-4)B(0,-2)门+1-%)2 =7 X o+(-2-.o)2=r2 X。=2由解得儿=-3 .圆的方程(X-2)2+()，+r=后专家会诊1.求圆的方程应注意根据所给的条件，恰当选择方方程的形式,用待定系数法求解.2讨论点、直线、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征(方程组解的个数)或几何特征去考虑，其中几何特征数更为简捷实用。考场思维训练1过 点A(l,-2 ),B (-1
20、 ,1 ),且 圆 心 在 直 线x+y-2=0上 的 圆 的 方 程 是()A.a-3)2+(y +l)2=4B.(x +3)2+(y-l)2=4C.(x+l)2+(y+l)2=4D.U-l)2+(y-l)2=4答案：A .,只有A中的圆心(3,T)在直线x+y-2=o上,.选 A.2方程Q l g(x 2 +y 2 _ )=()所以表示的曲线图形是答案：D解析：方程的解为x=l或(+/=2,且x +y R,当x=l,y 0.3.已知两点A (-1,0),B (0,2),若点P是 圆(x-1)2+y 2=i上的动点，则4A B P面积的最大值和最小值分别为()答案：B 解析：过圆心C 作 C
21、M L A B 于 M,设 CM 交圆于P、Q两点，从图可以看出，A A B P和A A R Q 分别为最大和最小值，可以求得最大值和最小值分别为工(4+石)，1 (4-石)，所2 2以选B4如图8-5,已知点A、B的坐标分别是(-3,0),(3,0),点 C 为线段A B 上任一点，P、Q分别以A C 和 B C为直径的两圆。1、。2 的外公切线的切点，求线段P Q 的中点的轨迹方程.七嬖？y答案：解：作 M CL AB 交 P Q 于点M,则 M C是两圆的公切线，时 一M C|=|M Q|,|M Ch|M P|,即 M为 P Q 的中点.设M(x,y),则点C、0 i,O z 的坐标分别
22、是(x,0）、（士 工 0）、（任，0）.连 O M,0M 由平几知识得：Z 0IM02=90,2 2.有|0 刈 2+|0 如|2=|0 1 0 2 ,即:（x-z3 l）V+（x-2 i）2+y22 2=(-3+X_3+X)2J 化简得 x?+4 y 2=9.2 2又：点 C(x,O)在线段AB 上，且 AC、B C是圆的直径,-3 x 3.故所求的轨迹方程为x2+4 y 2=9(-3 x 3).命题角度5 直线与圆1 .(典型例题)已知直线L 过 点(-2,0,当直线L)与圆/+)，2=28有两个交点时，其 斜 率 k 取 值 范 围 是)考场错解设此直线为y =A(x +2).圆心到直
23、线的距离刚好好等于半径(即相切)k1=-,故选 D .8 专家把脉 计算出见答案中有此结果，便盲目选出答案.并没有开方算出*=土也.4对 症 下 药 可 设 直 线 方 程 为 y =k(x +2)代 入 圆 的 方 程 中，用A 0 可得*2 2.故-旦 k 旦.选C.8 4 42 .(典型例题)a=b j 是 直线y =x+2 与圆(x-a)2+(y+b)2=2ffl 切的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 考场错解当 a =时圆心坐标为（a,-a ）圆心到直线的距离为尸=拒与半V 2径杨等，故a =6 是直线和圆相切的充分人条件，同理不直线与圆相
24、切时，圆心（。，-6）到y =x+2 的总巨离为V 2=6 =a=b.故a=b 是直线与圆相切的充分必要条件.专家把脉在运用点到直线的距离公式时,y =x+2 应先变为x-y +2 =0 再计算.这刊里V的系数应为-1而不是未变形前的1.对症下药 当=人,时圆心（a,-a）到直线x-y +2=0 的距离为!与必不一定刚好等V 2于 亚，故不是充分条件，当直线与圆相切时,（匹-冷到直线x-y +2 =0的距离应等于半径,即1+2|=拒解得“=o 或a +8=_ 4 故也不是必要，综合得a =是直线与圆相切的既不充V 2分也不必要条件.1.（典型例题）圆心为（1,2）且与直线5 x-1 2 x-7
25、=0 相 切 的 圆 的 方 程 为.考场错解圆心到直线的距离等于半径即!.1空 上!口 =厂=2.圆的方程为（x -+7 52+1 22 专家把脉在算出r 后,往*-与）2+（+%）2 =户中代入时、忘记后面是尼 对症下药 由圆心到直线的距离等于半径得r =2.4.（典型例题）设P 0.由心5=工 显=山=-1.为 x2 为尤2 专家把脉.=（）时,，虽然不成立，而 工=0时说k k2明k不存在，即直线AB，后 由.对症下药法一;由题意，直线A B不能是水平线，故可设直线方程为:=x=-2?又设A（X A）B），B（XB，8），则其坐标满足!”二；2p消去X得I y=2 p xy2-2pky
26、-4p2=0.，由此得因止匕豆劣=xAxB+yAyB=0,即OA 08故O必在 圆H的圆周上.又题意圆心”（坳,）力）是A B中心点，幺守（2+/）p痂 2图8-7由前己证,0 H应是圆H的半径，且|OH|=J昭+明=k+5 M+4 p.从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H和面积最小，此时，直线A B的方程为:x=2p.法二:由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：妙=了-2 又 设4乙，以),如小W)，则其坐标满足ky=x-2p,y2=2 PxI=J(XA-XB)-+(一犯)2=+=上式当心=打 时，等号成立，直径|A B|最小,从而圆面积最小，此时直线AB的方程为x =2p.专
27、家会诊1.直线与圆、圆与圆的位置关系判断时利用几何法(即圆心到直线，圆心与圆心之间的距离，结合直角三角形求解.)2.有关过圆外或圆上一点的切线问题，要熟悉切线方程的形式.考场思维训练1已知直线a x+b y+c=0(a b c W 0)与圆x 2+y2=i相切，则三条边分别为，|a|、|b|、|c|的三角形是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不存在答案：B解析：”一 =1.州+.2 a2+b2-2c2=0,则直线a x+b y+c=0被x 2+y2=i所截得的弦长为()分别消去x,y,得y2 _ 2 pA y _ 4 P 2=o.xI 2-2p(k2+2)x+4p2=0.故
28、得A、B所在圆的方程x 2+)/-2p伏2+2)x-2pW =0.明显的，0,(0,0)满足上面方程A、B、。三点均在上面方程所表示的圆上，又知A、B中点H的坐标为(区三场,2而前面圆的方程可以可表示为 x-(2+&2)p 2+(y-pK)2=(2+2)2p2+*2武 故|O H|为上面圆的半径R,从而以A B为直径直圆必过点0 (0,0).又/?2=|O/|2=a4+5*2+4)p2,故当=0时.屋J最小.从而圆的面积最小，此时直线A B R的方程为：x =2p法三:，同解法得。必在圆周上,又直径|A B彳一一算一-4：图8-8A.-B.1 C.D.V22 2答案：D 解析：设圆心到直线的距
29、离为d,弦长为1,贝|J d2=r-=1 ,1=2 JR2_ 4 2=痣.a2+h2 23 如图,已知点 F(0,1),直线 L：y=-2,及圆 C：x2+(y-3)2=l.若动点M到点F 的距离比它到直线L 的距离小1,求动点M 的轨迹E的方程；答案：解x 4 y XIX 2=-4 P(2,过点F 的直线g 交轨迹E 于 C(x i，y“、H(X 2，y2)两点，求证：X|X2 为定值；过轨迹E 上一点P 作圆C的切线，切点为A、B,要使四边形PA C B 的面积S 最小，求点 P 的坐标及S 的最小值.4如图8-9,已知圆C:(x+4产+y 2=4.圆 D的圆心D在 y 轴上且与圆C外 切
30、.圆 D与 y 轴交于 A、B两点，点 P 为(-3,0).若点D坐标为(0,3),求N A P B 的正切值；答案：V|C D H7l C O|2+|OD|2=5,(0 为原点)且圆 D与圆C外切，圆 D 半径 r=5-2=3,此时，A、B坐标分别为(0,0)、(0,6),.PA 在 x 轴 上,且 B P的斜率k=2,t an N A PB=2.(2)当点D在 y 轴上运动时，求/A P B 的最大值；答 案：设D 的 坐 标 为(0,a),圆D 的 半 径 为 r ,则(r+2)2=16+a)设 PA、PB 的斜率为11 a-r,akl=也a+r/.t an Z A PB=.a+r1 +
31、-3由解出a,代人,A t an Z A PB e2 5Z A P B 的最大值为ar t t an、kz,又 A、B的坐标分别为(0,a-r),(0,a+r).则+ra-r=.纥 02 T 2+9-3得 t an/A PB=如一=3 +2 而 8 r-6为单调增函数，r d 2,+3 4r-3 2 8 r-6)12T,(3)在 x 轴上是否存在定点Q,当圆D在 y 轴上运动时，N A Q B 是定值?如果存在，求出点Q 坐标；如果不存在，说明理由.答案：假设存在Q 点，设 Q(b,0),QA、QB 的斜率分别为L、k2,则 中 k尸 一&=二-b -ba+r a-rt an Z A QB=|
32、Az kH一=|,将 a2-(r+2)入16 代 人 上 式，得 t an Z1 +M i a+r ta-r 扇+/“-b -bA QB=|,H 6 日 欲使/A Q B 大小与r 无关，则应有b J 1 2,即 6=2 百，庐-12 +4/庐-12 ,+4此时 t a n N A QB=6，Z A QB=60,存在Q 点，当圆D变动时，N A Q B 为定值60 ,这 Q 点坐标为(2 百，0)探究开放题预测预测角度1 直线的方程1.求与直线3 x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是2 4的直线乙的方程.解题思路 满足两个条件才能确定一条直线.一般地，求直线方程有两个解法，即用
33、其中一个条件列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此参数.解答 解法一：先 用“平行”这个条件设出乙的方程为3 x+4y+m=0再用“面积”条件去 求 m,.直线1 交 x 轴 于 A C/,0),交了轴于B(0,-：)由;T+=24,得 m=2 4,代入得所求直线的方程为：3 x+4y 2 4=0解法二：先用面积这个条件列出1 的方程，设 1 在 x 轴上截距离a,在 y 轴上截距b,则有工，2l ab=2 4,因为乙的倾角为钝角，所 以 a、b 同号，|ab|=ab,1 的截距式为+上=1,即a 4848 x+a、-48 a=0又该直线与3 x+4y+2=0平行，.竺=贮工，3 4 2A
34、 a=18 代入得所求直线1 的方程为3 x+4y 2 4=02.设正方形A B C D(A、B、C、D顺时针排列)的外接圆方程为x2+y2-6x+a=0(a 9),C、D点所在直线I 的斜率为3(1)求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线A C、B D 的斜率；(2)如果在X 轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以X 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线I 的方程；(3)如果A B C D 的外接圆半径为2 ,在 x 轴上方的A、B两点在一条以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线I 的方程.解题思路(1)利用斜率公式求倾斜南.(2)(3)运用轨迹法.解答 由(x-3产+y
35、2=9-a(a/5 r)设抛物线方程为y2=2px(p0),由于A、B两点在抛物线上，(与 r)2=2p(3-1 石 r),*厂=解出：r=行，p二 弓.(|V5r)2=2P(3+V”得抛物线方程为y2=x.由此可知A点坐标为(1,1),且A点关于M(3,0)的对称点C的坐标是(5,-1),.直线I 的方程为 y-(-l)=l(x-5),即 x-3y-8=0.将圆方程(x-3/+y2=(2万 产分别与AC、BD的直线方程：y=-(x-2),y=2(x-3)联立，可解得 A(-l,2),B(5,4).设抛物线方程为了 y2=a(x-m)(*)将A(-l,2)、B(5,4)的坐标代入 万,得解得：
36、a=2,m=-3,.抛物线的方程为y2=2(x+3).A(-l,2),点关于 M(3,0)的观点为 C(7,-2),故直线 I 的方程为 y-(-2)=1(x-7),即 x-3y-13=0.预测角度2两直线的位置关系1.若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A 2,3),B(3,2),求实数m的取值范围.解题思路 运用数形结合的思想来解，直线mx+y+2=0的斜率-m应为倾角的正切，而当倾角在(0,90)或(90,180。)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在NACB内部变化时，众应大于或等于kBc，或者k小于或等于kAc，当A、B两点的坐标变化时，求出m的范围.解答 直线m+y
37、+2=0过一定点C(0,-2),直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0,-2)的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在NABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为灯、k2,则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率A应满足k 2 k i,或 kWk2,VA(-2,3)B(3,2)2.如图 8-1 1,已知：射线 OA 为 y=kx(k0,x 0),射线 OB 为了 y=-kx(x0),动点 P(x,y)在/A O x的内部，PMJ_OA于M,PN_LkOB于N,四边形ONPM的面积恰为k.(1)当k为定值时，动点P的纵坐标y是横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解
38、析式；(2)根据A的取值范围，确定y=f(x)的定义域.解题思路 设点的坐标而不求，直接转化.(2)垂 足N必须在射线O B上，所以必须满足条件：y?x,将它代入函数解析式，得K2一1 0,b 0).则 10Ml=a Jl+M,|ON|=b71+k2.由动点P在/AOx的内部，得0y0,y=y l-k2(2)由 0ykx,得 0&_ 攵2_ kx当k=l时，不等式为0拒.当0kl时，由不等式得X24,XYE：(*)O必 丁X l时，由不等式得x 2 R,且互M +但垂足N必须在射线OB上，否则0、N、P、M四点不能组成四边形，所以还必须满足条件：y：x,将它代入函数解析式，得J x 2 T 2
39、 _ x解 得 心+1 *l),或 xWA(0拒 ;当 oki时，定义域为仅|+x l时，定义域为X|炉 i v x v M.l-k2预测角度3线性规划1.已知x、y 满足约束条件求目标函数z=2x-y的最大值和最小值.解题思路 由x、y 满足的约束条件作出可行域，利用平移法求最值.解答 根据x、y 满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分（包括边界）.作直线Io：2x-y=0,再作一组平行于Io的直线I：2x-y=t,tGR可知，当 I 在 Io的右下方时,直线I 上的点（x,y）满足2x-y0,即 t 0,而且直线I 往右平移时，t 随之增大.当直线I 平移至II的位置时，直线经过可
40、行域上的点B,此时所对应的t 最大；当 I 在 10的左上方时，直线I 上的点（x,y）满足2x-y0,即 t40.在平面直角坐标系中，画出不等式组所表示的平面区域，这个区域是直线x+y=100,y=20,2x-y=40围成的一个三角形区域EFG（包括边界），即可行域，如图所示的阴影部分.设混合物的成本为k 元，那么k=6x+5y+4（100-x-y）=2x+y+400.作直线Io：2x+y=0,把直线Io向右上方平移至li位置时，直线经过可行域上的点E,且与原点的距离最小，此 时2x+y的值最小，从而A的值最小.由 2x-y=40,b =20,得F =：即点E的坐标是(30,20).y=20
41、,所以，k 城 小 也=2X 30+20+400=480(元)，此时 z=100-30-20=50.答：取x=30,y=20,z=50时，混合物的成本最小，最小值是480元.预测角度4直线与圆1.已知点T是半圆0的直径AB上一点,AB=2、OT=t(0t/32-22=技故a=石 或a=-7F所以直线M Q方程是2x+标 y-2 石=0 或 2x-亚 y+2 V?=0；(2)连接MB、M Q,设P(x,y)p(a,0),由点M、P、Q在一直线上，得2=,(*)由射影定理得-a x|M B|2=|MP|M Q|,即&(y-2)2 户7=1,(答案:)把(*)及(答案：)消 去a,并 注 意 到y
42、0,X20司+工2=0P-3由1平2=吗这0 解得k23.廿-3A=6 4/:+16(3-k2)(4k2+3)0由双曲线左准线方程x=-l且e=2,有|AMi|BMi|=e|xi+l|e|x2+l|.r,.dl.16&2+12 8&2 336=4X1X2+(X1+X2)+1=4(-+1)=100+f k2-3 k2-3 r-3V k2-30,/.|AMi|X|BMi|100又 当 直 线 倾 斜 角 等 于 今 时，A(4,y1)、B(4,y2),|AMX|=|BMi|=e(4+l)=10,|AMi|IBM1H100故|AMi|BMi|2100.考点高分解题综合训练说明：14解析：略1方程X
43、_ X|+也.-1 +2yt+21 +2（A E R且入#1）表示的曲线是)A.以点M i%,yi）、M2（X2，丫2）为端点的线段B.过点 M i（xi，yi）、M2（X2）y2）的直线C.过点Mi（xi，汨、M2（X2，y2）两点的直线，去掉点M i的部分D.过点Mi（xi，yi）、Mz（X2,丫2）两点的直线去掉M2的部分答案：D2直线I经过A（2,1）、B（l,m2XmGR）两点，那么直线I的倾斜角的取值范围是（）A.0,n B.0,U(y,n)C.0,-D.0,-U -n,n4 4 4答案：B3曲 线y=l+V4-x2,xW 2,2与 直 线y=k（x-2）+4有两个交点时，实 数k
44、的取值范围是（）答案：D4若x、y满足x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的最大值是（）答案：Cy x5使可行域为3y N x的目标函数z=ax+by（abWO）,在x=2,y=2取得最大值的充要条件是x+y 0.b6 已知向量 a=(2cos a,2sina),b=(3cosB,3sin P),a 与 b 的夹角为 60,则直线 xcosa-ysin a+；=0与圆(x-cos B产+(y+sin B尸=：的位置关系是()A.相切 B.相交C.相离 D.随a,|3的值而定答案：C解析：略x 07当x,y满足约束条件(k为常数)时，能使z=x+3y的最大值为1 2的k的值2x+y+k l)8
45、2C.x2+-=l82D.x2+-=l10答案：B9有下列4个命题：两直线垂直的充要条件是kik2=-l；点M(xo.yo)在直线Ax+By+C=O外时，过 点M(x0,yo)与直线Ax+By+C=0(ABW0)平行的直线方程为 A(x-xo)+B(y-yo)=O；直线h：y=2 x-l到 卜：y x+5 的角是巴;3 4两平行直线A x+B y+C i=O 与 A x+B y+C 2=0 间 的 距 离 是 其 中 正 确 的 命 题 有2 +8 2()A.B.C.D.以上答案均对答案：C10圆 x 2+y 2-4 x+2 y+c=0 与 y轴交于A、B两点，圆心为P,若N A P B=1
46、2 0 ,则实数c 等于图8-15答案：-1 111直线二+=1与圆x 2+y 2=r 2(r 0)相切的充要条件是_a b答案：|a b|=r*2+*7/?212已知动圆户与定圆C：(x+2?+y 2=i 相外切，又与定直线L:x=l相切，那么动圆圆心户的轨迹方程是答案：y2=8 x 解析：设圆心的坐标为(x,y),由已知有l-X=7(x+2)2+.y2-1 ,整理后可得.13已知 A B C 的顶点A(3,-1),A B 边上的中线所在直线的方程为6 x+I Oy-5 9=O,NB的平分线所在直线的方程为：x-4y+1 0=0,求边B C 所在直线的方程.答案：解：设 B(a,b),B 在
47、直线B T 上，.a-4b+1 0=0 又 A B 中点M(三,丝1)在直线C M 上，.点M的坐标满足方程6 x+1 0 y-5 9=02 2.6 +1 0 1-5 9=0 2 2解、组成的方程组可得a=1 0,b=5A B d O,5),又由角平分线的定义可知，直线B C 到 B T 的角等于直线B T 到直线B A 的角，又扇4B尸!7 4.kBT-kBC=kBA-kBT)=二,B C 所在直线的方程为 y-5=-2(x-1 0)即 2x+9 y-6 5=01 +kgfkfjc I+kKA kB r 9 914 某人有楼房一幢，室内面积共1 8 0 m 2,拟分隔成两类房间作为旅游客房.
48、大房间每间面积 为 1 8 m 2,可住游客5名，每名游客每天住宿费为4 0 元；小房间每间面积为1 5 m 2,可住游客3名，每名游客每天住宿费为5 0 元.装修大房间每间需1 0 0 0 元，装修小房间每间需6 0 0 元.如果他只能筹款8 0 0 0 元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？答案：解：设隔出大房间x间，小房间y间时收益为z 元，则 x、y 满足且 z=20 0 x+1 5 0 y.作出可行域及直线1：20 0 x+1 5 0 y=0,即 4x+3 y =0.(如图4)把直线1。向上平移至L的位置时，直线经过可行域上的点B,且与原点距离
49、最大.此时，z=20 0 x+1 5 0 y 取最大值.但解 6 x+5 y=6 0 与 5 x+3 y=40 联立的方程组得到8(拳 与).由于点B的坐标不是整数，而x、y N,所以可行域内的点B不是最优解.为求出最优解，同样必须进行定量分析.因为4乂 竽 3 乂 写=拳%3 7.1,但该方程的非负整数解(1,1 1)、(4,7)、(7,3)均不在可行域内，所以应取4x+3 y=3 6.同样可以验证，在可行域内满足上述方程的整点为(0,1 2)和(3,8).此时z 取最大值1 8 0 0 元.15设有半径为3 k m 的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后
50、不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与。相遇.设A、B两人速度一定，其速度比为3：1,问两人在何处相遇？答案：解：如图建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3 V 千米/小时，v千米/小时，再设出发X。小时，在点P 改变方向，又经过y。小时，在点Q处与B相遇.则 P、Q 两点坐标为(3 v x o,0),(0,v x o+v y o).由 I OP+1 0 Q 广=|P Q 广 知,(3 v x 0)2+(v x o+v y o)=(3 v y0)B P(x o+y o)(5 x o-4y o)=O./X o+yo O,；.5 x o=4y o 将代人k-板土曳