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1、高考数学经典易错题会诊(十)考 点 10空间直线与平面A 空间直线与平面的位置关系A 空间角A 空间距离A 简单几何体A 利用三垂线定理作二面角的平面角A 求点到面的距离A 折叠问题经典易错题会诊命题角度1空间直线与平面的位置关系1.(典型例题)如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧 棱PD_L底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作EF_LPB于点F.(1)证明：PA平面EDB；(2)证明：BPJ_平面EFD；(3)求二面角C PD D的大小.考场错解 第(2)问证明：.口=0(：,E为PC的中点，.DE_LPC,DF在平面PBC上的射影为E F,又由已知EF_LPB,所
2、以根据三垂线定理可得：DF1PB,又 EF_LPB,；.PB_L平面 EFD。专家把脉 直线在平面上的射影的概念理解错误，只有DEJ_PC,不能得出EF为DF在面PBC上的射影，应先证明D E,平面PBC,才能得出EF为DF在面PBC上的射影，再利用三垂线定理。”对症下药(1)如图，连接AC、AC交BD于O,连 接EO。.底面ABCD”为正方形，二。为AC的中点，在APAC中，E。是中位线，.PAE0,“又EO u平面E D B,且PAa平 面E D B,所 以PA平面EDB；(2)：PD_L平面A B C D,二平面PDC_L平面A B C D,又底面ABCD为正方形，A B C lC D,
3、，BCJ_平面 PCD,/.B C D E,又 DE_LPC,；.DE_L平面 PBC,；.DF 在平面 PBC 上的射影为 E F,又 EF_LPB,；.D FJ_P B,又 PB_LEF,PB_L平面 DEF；（3）由（2）知，P B D F,故/E F D是二面角C PB D的平面角。由（2）知,DE_LEF,P D D B,设正方形 ABCD 的边长为 a 则 PD=DC=a,BD=72 a,P B=a,PC=V2 a,DE=-PC=a,RtAPDBk,0F=P D*B D RtAEFD 中，sinZ2 2 PB 3EFD=2=3，.NEFD=纥所以二面角C PB D的大小为纥DF 2
4、 3 32.(典型例题)下列五个正方体图形中，I是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能 得 出 此 面M NP的 图 形 的 序 号 是.(写出所有符合要求的图形序号)考场错解 由于I在MN、NP、M P所在的面内的射影分别为各面正方形的对角线，由正方形的性质可得l_LMN,l M P,lN P,(1)中 此 面MNP；(2)中I在下底面的射影与M P垂直，；.IJL面MNP；(3)中取A B的中点E,连接ME、NE,在下底面的射影垂直于E N,，I_LE N,，I_L面MEN,.l_ L M N,同理l_LMP,二1_1_面 MNP；(4)中 I 在面 ADDiAi上的射
5、影与 MP 垂直，I_ L M P,二1_1_面 MNP：(5)中取AA 1中点E,连 接ME,EP,I在面ADDiAi、面ABBiAi内的射影分别与ME,EP垂直，.M l.M E,.I_L面M P,得1_1_面MPN；综合知，本题的答案是(1)、(2)、(3)、(4)、(5)专家把脉 直线与平面垂直的判定有误，证一条直线与一个面垂直，应该证明这条直线与该平面内的两条相交直线垂直，而错解中只证一条垂直，所以出错。对症下药(1)中I在面ADDiA、AiBiCiDi，内的射影分别为ADi，B1D1，而ADMN,B iD iM P,A IJ-M N,l_LM P,二1_1_面 MNP；(2)中若
6、l_LMN,则取 AAi 的中点 E,连接ME、NE,I在面AD D iAi内的射影为A D i而ADME,.l_ L M E,结合IJ _ M N,得I_1_面MEN,这显然不可能，.I与M N不可能垂直，l与面M NP不垂直；(3)类 似(2)的证明，可得I与面M NP不垂直；(4)中l_LM P易证，而MNAC,I1AC,，I_L面 MNP；(5)中取 AAN 中点 E,连接 ME,P E,可证得 l_L面 M E P,，l M P,同理可证l_LNP,；.1_面乂明，综上知，本题的正答案是(1)(4)、(5)。3.(典型例题)如图10-4所示，在正三棱锥A BCD中，ZBAC=30,A
7、 B=a,平行于AD、BC 的截面 EFGH 分别交 AB、BD、DC、CA 于 E、F、G、H。(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由；(2)设P是棱A D上的点，当A P为何值时，平 面PBC_L平 面EFG H,请给出证明。考场错解(1)；AD平面 EFG H,又平面 ACDc 平面 EFGH=HG,；.ADHG,同理ADE F,，EFH G,同理EHFG,.四边形EFGH为平行四边形；(2)取 AD 中点 P,连接 BP、C P,ABCD 为正棱锥，所以 BP_LAD,CP1AD,AAD_ 1 _ 面 B C P,又 由(1)知 HGA D,，HG_L 面 BCP,；.P 为所求，
8、此时 A P=J2 专家把脉 正三棱锥的性质不熟悉而出错，正三棱锥的相对的棱互相垂直；正三棱锥的三个侧面是等腰三角形不是等边三角形。对症下药(1)：AD面 EFG H,面 ACDc 面 EFGH=HG,，ADH G,同理 EFAD,所 以HGE F,同理EHF G,，EFGH为平行四边形。又A BCD为正三棱锥，A在底 面BCD上的射影0是4 B C D的中心，DOJ_BC,根据三垂线定理,AD1BC,AHG E H,四边形EFGH为矩形；(2)作 CP_LAD 于 P 点，连接 BP,VAD1BC,.*.A D BCP,；.HGAD,/.H G 面 BCP,X H G cg E F G H,
9、B C P lffi EFGH,在 RtZXAPC 中，ZCAP=30，AC=a,AP*.2专家会诊解线面位置关系的题目，首先要熟悉各种位置关系的判定方法及性质，其次解题,、”.时应将判定与性质结合起来，多用分析法，如要证a a则过a作一平面B,使B c a=b，再证a b；第三要善于转化，如两条羿面直线是否垂直，要用三垂线,；定理将其转化为两相交直线是否垂直。线面的位置关系是立体几何的基础，学习时应予以重视。“考场思维训练1 如图1 0-5 所示的四个正方体图形中，A、B为正方体的四个项点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出A B 平面MNP的 图 形 的 序 号 是.(写 出 所 有符
10、合要求的图形序号)答案：解析：中平面M N P 平面A B,，A B/平面M N P；中取下底面中心0,M P 的中点C,连接N 0,N C,则由已知 A B N O,A B H N C.，A B 面 M N P；中 A B M P,；.A B 平面 M N P；中 A B 面 M N P./.填.2 如图，在正三棱柱A B C-A i B i C i 中，A B=A A i，E 是棱B B i 的中点。”.(1)求证：平面A i E C _ L平面A A i G C；答案：连接A i C 与 A C i 交于点F,则由条件可得E C i=E A i，则 E F J _ A C i，同理E C
11、】=E A,则 E F ；_ LA i C 所以E F 上平面A A i GC,而 E F u 平面A i E C,所以平面A i E C _ L平面A A i GC.(2)若把平面A i E C 与平面A 1 B 1 C 1 所成锐二面角为6 0。时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由。答案:延长C E 交 CB的延长线于点H,则有C B=B i H=A R,故N H A C=9 0 且N C A i H=9 0,所以/C A 6 为平面A i E C 与平面ABC所成的锐二面角的平面角，若此棱柱为“黄金棱柱”,则 ZC A,=6 0 ,应有C C 尸百A
12、Q 与条件A B=A A i 矛盾.此三棱柱不为“黄金棱柱(3)设 A B=a,求三棱锥A-A i E C 的体积。答 案:V AI-AIEC=VE-AAIC=1 E F 1 A AI A C3 23已知正三棱锥P-A B C 的三条侧棱两两互相垂直，G 是侧面4 P A B 的重心，E 是 B C上的一点，且 B E=B C,F 是 PB 上一点，且3PF=-PB,如图3(1)求证：GF J-平面 PB C：答案：连接B G并延长交A P于 M,由C为 A PA B 的重心，则 MG=，B M,又由PF=,3A GF/MPV A PB P,A P C P.，A P_ L平面 PB C,；.G
13、F _ L平面 PB C(2)求证：E F B C；答案：在侧面 PBC 内作 FD/PC 交 BC 于 D.V P F=lpB r.D C=lB C.又 BE=1BC,.DE=1BC.3 3 3 3故BE=DE,E为BD的中点，由aPBC为等腰三角形，得aE B D也为等腰三角形.；.FB=FD.EF1BC.(3)求证：GE是异面直线PG与BC的公垂线。答案：.皿 平 面PBC,且E W C,.GE，B C,连PG交A B Q,则叫P H,过C作GNAB交PB于N,则BN二L3PB.V PH 1 A B,A PG1 A B,A PG1 GN.V B N=i PB,BE=i BC,；.NEP
14、C,而 PC 上平面 PAB,NE_L平面 P A B,又 PG u面 PAB,3 3，NEJ_PG,又 PG_LGN,PG_L平面 G E N,而 GEC 平面 G E N.，PG_LGE,又由 G EJ_BC,，GE是异面直线PG与BC的公垂线.命题角度2空间角1.(典型例题)如图1 0-8,在三棱锥SABC中，A B C是边长为4的正三角形，平面SAC1.平面 ABC,SA=SC=2/3,M、N 分别为 AB、SB 的中点。(1)证明：AC1SB；(2)求二面角N CM B的大小；(3)求点B到平面C M N的距离。考场错解第(2)问：过N作N F_LCM,过F作FE_LCM交BC于E点
15、，则NNFE为二面角N CM B的平面角。(此题只做到此处，因为不知E、F的位置，/N F E等于多少计算不出来)。专家把脉求二面角的大小时，只顾用定义作出二面角的平面角，给计算千百万麻烦或根本就算不出来，所以一般用三垂线定理来作二面角的平面角，就是便于计算。对症下药(1)如图 1 0-9,取 AC 中点 D,连接 SD,DB,VSA=SC,AB=BC,A A C lS D,且 A C _LB D,，AC_L平面 SDB。又 SBu 平面 S D B,，AC_LSB。图 10-9(2)取BD的中点E,连 接N E,过E作EF1C M于F,连 续NF,二,平面SAC_L平面ABCD,SD1AC,
16、.SDJL面 A B C D,又 N、E 分别为 SB、BD 的中点，；.NES D,此_1_面人8(：,又EF_LCM,A NF C M,，NNFE 为二面角 N CM B 的平面角。NE=，SD=后，在正a A B C中，由平面几何知识可求得EF=，M B=L 在RtzNEF中，tan2 4 2N N E F=2五,.二面角 N CMEFB的大小是arctan2 72；(3)在 RtNEF 中，NF=7EF2+EV2=-,2SACMN=-C M NF=-/3,SACMBBM CM=2 后.设点 B 到平面 CMN 的距离为 h,；VB-2 2 2CMN=VN-CMB,NE_L平面 CMB,
17、-SACMN H=-!-SACMB*NE,；.h=.即点 B 到平面 CMN3 3 3的 距 离 为 逆。32.（典型例题）在长方体ABCDA iB iJ D i中,已 知AB=4,AD=3,AAi=2,E、F分别是线段AB、BC 上的点，且 EB=FB=1。（1）求二面角C DEG的正切值（2）求直线ECi与FDi所成角的余弦值。考场错解第（2）问：；D1FDE,二/CiED为ECi与FDi所成的角，DE=3及，C1D=2后，C1E=V14,.cosNCiEEn-段-2。=叵，.E j与F 6所成角的余弦值为叵。2V143V2 14 14 专家把脉缺少空间想象能力，题中的DiF与DE不平行，
18、实际上DiF与DE是异面直线。对症下药正解一：（1）如图过C作CG_LDE,垂足为G,连接C1G。：CC1_L平面ABCD,1 ACG是CiG在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得DECiG（,AZC G C i是二面角CDEC i的平面角。在4ADE 中，AE=AD=3,NDAE=90,/.ZADE=45,得/CDG=45,；.CG=CD sinNCDG=2 V2.,.tanZCGCi=-S-=.CG 2二二面角C DEC i的正切值为变2（2）延长 BA 至点 Ei，使 A E i=l,连接 DEi有 DiCiEiE,D iJ=E iE,；四边形 D正IECI 是平行四边形。，EiDiE
19、Q,于是NEiDiF为ECi与FDi所成的角。在 RtBEiF 中，EF=J记，在 RtDiDEi 中，。正产”了，在 RtZDiDF 中，FD产 后，所以在EiFDi中，由余弦定理得：cosNEiDiF=14+24-262x714x724叵14正解二：（1）以A为原点，AB,皿 的 分别为X轴,y轴,Z轴的正向建立空间直角坐标系,则有 D(0,3,0)、Di(0,3,2)、E (3,0,0)、F(4,1,0)Cl(4,3,2)于是。E=(3,-3,0),西=(1,3,2),丽=(-4,2,2).设向量1=(“2)为平面(2由 人的法向量,则有n DE,n E G，得 x=y=-1z，令 x=
20、l,得 =(1,1,-2),向 量 其=(0,0,2)与平面 CDE 垂直，与A41所成的角9为二面角C DEC i的平面角。八 nAA 4(八 6cos 0=；=-=tanfc*=;lll 例 I 3 2(2)设E C I与FD1所成的角为B,则cosB=空 啊:叵.I EC|x|FDt|143.(典型例题)如图1 0-1 1,四棱锥PABCD的底面是正方形，PA_L底面ABCD,AEPD,EFCD,AM=EF。(1)证明M F是异面直线A B与PC的公垂线；(2)若PA=3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。考场错解第(2)问：由(1)知PC _LM F,，AF为AC在面EAM内的
21、射影，；.N C A F为AC与平面EAM所成的角，通过解三角形FAC,解得s in/C A F=.A C与平面EAM所成的角的正弦值为巫。图 10-11 专家把脉直线AC与平面EAM所成的角不是就得不出AF为AC在面EAM内的射影,直线与平面所成的角必须是斜线与斜线在平面内的射影所夹的角，所以找射影是关键。对症下药(1)V P A ffiA B C D,A P A lC D,又：底面 ABCD 为正方形，CD_LAD,.CDJ 平面 P A D,得平面 PCD_L平面 P A D,又 A E u平面 PAD,AEPD,.AEJ平面PCD,A A E 1 C D,又 EFCDAB,A M=E
22、F,；.四边形 AMFE 为平形四边形，MFAE,MF_LCD,M F1AB,MF_LPC,MF 为异面直线 AB 与 PC 的公垂线；(2)解法一：连接BD交AC于。，连 接B E,过。作。H_LBE,H为垂足，：AE_LPD,CDPD,EF/7CD,AEF1PD,PD_L 平面 M A E,又 OH_LBE,A O H/D E,，OH_L 平面M A E 连接A H,则/H A O是直线AC与平面M AE所成的角，设AB=a则PA=3a,AO=-AC=a,因 RtZADERtZPDA,故 ED=-,O H =-E D =-=,A(ffi RtA2 2 PD 2 2-/10AHO 中，s i
23、n Z H AO .AO 10解法二：以 诟、A D,而 分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,.4尸=(0,奈0,、),48=(2,0,0),设 为平面 人1/1的法向量，且 =(x,y,z),可得面 EAM的一个法向量为(0,1,-3),AC=(a,a,0).V s.sin a=o专家会诊空间的各种角是对点、直线、平面所组成的穿间图形的位置关系进行定性分析和宣量计算的重要组成部分，空间角的度量都是转化为平面角来实现的，要熟练掌握种类角转化为平面角的常用方法，为了实现这种转化，一是靠经验和知识的积累；二是利禄识图和画图的训练；三要以推理为主要依据，求角的一般步骤是：(1)找
24、出或作出要求的角；(2)证明它符合定义；(3)在某一三角形中进行计算，得结果，当然在解选择或填空题时，一些间接方法也经常用。考场思维训练1 如图，在矩形A B C D 中，A B=1,B C=a,现沿A C 折成二面角D A C B,使 B D 为 异 面直线A D、B C 的公垂线。(1)求证：平面A B D _ L 平面A B C；答案：解：(1)VA D 1 C D,A D _ L B D,.A D，平面 B C D,；.B C _ L A D,又 B C 上 B D,，平面 A B D,而 B C u平面A B C,故面A B D，面 A B C.(2)a 为何值时，二面角D A C
25、B为 4 5 ；答案：，,面A B D 上面A B C,作 D E L A B 于 E,则 D E L 平面A B C,作 E F L A C 于 F,由三垂线定理有 A C J _ D F,二/D F E 为二面角 D-A C B 的平面角.在 R t Z X A D C 中，A D、A F.A C,.,.A F=-；-2-又 R t A A F E R t A A B C,，+ic cE F-_-A-F-B-C-_ ,a2,山 ,2 _ EF.2 _ 4V84DFE=,.ci=，ci-.JXI DF 2 2(3)a 为可值时，异面直线A C 与 B D 所成的角为6 0。答案:作B M 1
26、 A C 于 M,过点0作 B N A C 与 F E 的延长线交于点，则 B M F N 为矩形，且 B N X D N.AZ D B N 为异面直线 A C 与 B D 所成的角.：M F=A O 2 A F=1 ,=B N,B D=-a1,V2+1又在 R t A B N D 中 c o sZ D B N=,2 V2+1 7b-2 如图，在长方体A B C D 一万B i J D i 中,E、F 分别为B B 1、D2上 的 点,且 A E，A 隹,A F A i D(1)求证：A i C _ L 平面A E F答案：在长方体A B C D-A B C D 中，AB为 AC在平面A B
27、B A 内的射影，：A E 上 A 1 B,；.A E *0S 10-13_ L A 1 C 同理 A F _ L A ,，A q _ L 平面 AE F(2)若 AB=3,AD=4,AAi=5,M是 团a 的中点，求 A M与平面AE F所成角的大小。答案：以D 为坐标原点，诙，庆，的分别为x、y、z 轴的正方向建立空间坐标系.则A(4,0,0),M(2,3,5),Al(4,0,5),C(0,3,0),.4 E(-1A(1,0,0)、D14 2 2S 10-25(0,0,2),EF (,-)A。1=(-1,0 2)，i i i.EFAD.=-x(-l)+0 x(-)+-x 2 =0,.-.E
28、F L A D,又 BCiADi，.EFADio2 2 4(3)可以得平面BDF的一个法向量为而，而而=(-1,0,0),B(0,1,0)前=(总-,0),而=(；,-*),设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z)由n lBE,n TW,-X-y=0,x-!-y+L =0,令 x=l,得y=-l,z=-4,平面 BEF 的一个法向量2 2 2 2 4为 n=(l,-l,-4),；.cosa 变，.所求二面角 E T B D 的大小为 arccos 正.In|I AD|6 6专家会诊棱柱、棱锥、球是几何中的重要载体，学习中除了牢固掌握有关概念、性质、面积体积公式之外，还要灵活运用有关知识进行
29、位置益寿延年判断与论证，进而达到计算的目的，在计算时要注意把某些平面图形分离现来运用平面几何的知识来进行计算，V-7一这是立体几何中计算问题的重要方法和技巧。7%、/考场思维训练,1如图，正四面体ABCD的棱长为1,P、Q分别为AB、CD上两点，且AP=CQ=入，求出正四面体侧面上从P到Q的最小距离。答案：解析：由对称性知，在侧面上从P到Q只需考虑两种情形，即从P到Q经过棱AC或经过棱AD.当经过棱AC时，如 图1沿AD把侧面展开，：AP=CQ=A,且APCQ.四边形APCQ为平行四边形，E 是 PQ 的中点，；.PQ=2PE,在4APE 中，ZPAE=60,AP=X,AE=1)由余弦定理，有
30、 P E=J +!-9cos60。，PQ=/-23+1;当 经 过 棱A D时，如图2,沿A C展 开，此时PQ=1,又：入，时,6 万-24+1 )时,6 -2/i+l 12 2图 10-262(S 2).PQ的最小值为.2 如图，已知斜三棱柱ABC A iB iC i中，AC=BC,D为A B的中点，平面A iB iG平面ABBiAi，异面直线BCi与A B i互相垂直。(1)求证：A B J平面AiCD；答案：取A B 中点D i,连 结BDi、C D,可证明3D 平 面ABB囿,从 而GDAB又由垂线定理可得 A B d B D.,V C D/Z C i,，C D _ L A B i,
31、A B D“，A _ L A B”，A B i _ L 平面A)C D.(2)若 C C i 与平面A B B 1 A 1 的距离为1,A 0=国,A B i=5,求三棱锥ALACD的体积。答 案:由(1)知 C 1 D 1 J _ 平面A B B 1 A 1,；.C D J _ 平面 A B B(,A i,Y C G 平 面 A B B A,到平面A B B i A,的距离为C D.即为C-A.A D 的 高.，C D=1,在 R t A A)C D中，A =历,.A i D=,3 7 -1 =6.设 A B 1 交 A D、D B 于点 E、F.V A i D/DtB,A D=D B,，A
32、 E=E F,同理 E F=F B”/.A E=g A 8 1 =m .又 v ABt 1 AtD,3 如图所示，正三棱柱A B C A i B K i 的侧棱长为2,底面边长为1,M是 B C 的中点,在直线CG上找一点N,使 M N _ L A B i。答案：解析：:A B C-A B G 为正三棱柱，M为 B C 中点 A A M I B C,又侧面B C C B _ L 底面A B C,，A M _ L 平面B C C B.，A B i 在平面B C C B 上的射影为B B 1,要 M N _ L A B“只须M N _ L B N 即可.如图所示建 立 直 角 坐 标 系，M(二0
33、),用(0,2),设N(Ly),则由8幽 1 MN有(,-2)(,y)=0,得 丫 =CN=CCX.:.N 在CQ的一个等分点处.2 2 2 8 16)探究开放题预测预测角度1利用三垂线定理作二面角的平面角1 如图1 0-28,正三棱术A B C A i B i C i 的所有棱长均相等，D是 B C 上一点，A D _ L J D(1)求二面角C A C i D的大小；(2)若 A B=2,求直线A i B 与截面A D C i 的距离 解题思路求二面角的大小，一般先利用三垂线定理作出二面角的平面角，再通过解 *三角形得出结果，二面角有两个半平面，先要分析过哪个半平面内有一点能方便地作出 工
34、另外一个半平面的垂线，一般利用“有两个面垂直，在一个面内作交线的垂线，则这条线垂直另外一个面”这个性质来作。本题中可以先证平面A D C i，平 面 B C J B i，再过C作 C i D 的垂线，则这条线与平面A D J 垂直，再利用三垂线定理作出平面角，第(2)问可求 B到平面ADJ的距离。解答(1)如图 1 0-29,；A B C A i B i C i 为正三棱柱:C C i A D,又 A D _ L J D,.A D，平面B i B C C i o，平面 A D C i J 平面 B C C i B i。过 C 作 C E J _ J D 于 E,贝 C E J _ 平面 ADJ
35、,过 E .ffl 10-30作 EFACi，连接F C,则由三垂线定理知N CFE为二面角CACXD 的平面角。设 AB=a,D 是 BC 的中点，CE-CCCD=后 a,cF=AC，CCi=亚”,在 RtaEFC 中，sinZEFC=,C,D 5 AC,2 5二二面角CACi D 的大小为arcsin乎 连接 A iC,设 AiCAACi=O,连接 D。，则 AiBD。，；.AiB平面 A D Q AiB 至 U 截面 ADG的距离等于B 到 ADCi的距离，过 B 作 B H C iD,交 CiD 的延长线于H,由(1)平面ADCi_L平面BCCiBi得 BH_L平面ADCi，即 BH为
36、 B 至 lj面 ADCi的距离BH=EC=2x无=型.直5 5线AIB与平面ADCj的距离为巫52 如图 10-30,ABCD 中，PA_L平面 ABCD,M、N、R 分别是 AB、PC、CD 的中点，(1)求证：直线AR平面PMC；(2)求证：直线MN_L直线AB；(3)若平面PDC与平面ABCD所成的二面角(锐角)为。，能束确定。使直线MN是异面直线AB与 PC的公垂线，若能确定，求 出。的值；若不能确定，说明理由。解题思路证线面平行，先证线线平行，证线线垂直，通过线面垂直转换，这是一般的解题思路，用这种解题思路证(1)、(2)问，第(3)问先作(或找)出这个二面角的平面角，再通过解方程
37、的方法求出。的值。/解答(1)如图10-30,DABCD为矩形,M、R 分别为AB、CD 的中点，AM=CR,四边形ARCM为平行四边形，；.ARCM,；.AR平面PMC。(2)由已知可得AB_LMR,AB_L平 面 PAD,/.A B P D,又 RN为4 P C D 的中位线，A NRP D,得 AB_L平面 MNR,/.ABlM No(3)；PA_L平面ABCD,ADDC,/P D A 为平面PDC与平面ABCD所成的二面角(锐角)的平面角，,9=/PD A。由(2)知 MN_LAB,ABCD,A M N IC D,又 MN1.PC,平面 PCD,AM N1NR,A ZMNR=90,在
38、RtaPDA 中，设 AD=a,P D=-,cos。在 RtAMNR 中，NR=PD=a,NNRM=NPDA=仇：.8 S。=睫=J，:cos=，得。=巳时，能使2 2cos MR 2 8S6 2 4直线MN是异面直线AB、PC的公垂线。预测角度2求点到面的距离1.如图，PA_L平面A C,四边形ABCD是矩形，E、F 分别是AB、PD的中点。(1)求证：AF平面PCE；(2)若二面角 PCDB 为 45,AD=2,CD=3。(i)求二面角PECA 的大小；(i i)求点F 到平面PCE的距离。解题思路过 AF作一个平面与平面PEC相交，证明A F与交线平行，由于E、F 为中点，所以取PC的中
39、点即可；分别作出PCDB 和 PECA 的平面角，求点F 到平面PCE的距离可用直接法，也可以用间接解法。解答(1)如图，取 PC 的中点 M,连接 ME、MF,：FMCD,FMCD,AECD,2AEC D,，AEMF且AE=MF,，四边形AFME是平行四边形。；.AFEM,2仁：AF u 平面 CPE,AF 平面 PCE。(2)(i)：PAJ_平面 AC,C D A D,根据三垂线定理知，CDPD,ZPDA是二面角P CD B的平面角，则/PDA=45,于是aP A D为等腰直角三角形，过A作CE的垂线交CE的延长线于G,连接P G,根据三垂线定理知NPGA为二面角PECA的大小为arcta
40、no-.3(ii)解法一：V A F 1 P D,又 AF_LCD,；.AFJ_平面 P C D,而 EMFA,；.EM_L平面 PCD,又E M u平面PEC,.平面PEC_L平面PCD,在面PCD内过F作FHPC于H,则FH为点F到平面PCE的距离，由已知PD=2拉，PF=ipD=V2,P C=M，知FH=豆 区，；.F至I2 17平面PCE的 距 离 为 返。17解法二：由EMF A,知点F到平面PCE的距离可转化为点A到平面PCE的距离，过点A在面PAG内作AN_LPG,则A N为点A到平面PCE的距离，可算得AN=巨。2.如图10-33,在棱长为a的正方体,ABCDA iB iJ D
41、 i中,E、F分别为棱AB和BC的中点，EF与BD相交于H。(1)求二面角Bi EF B的大小；(2)试在棱BBi上找一点M,使DiM_L平 面B1EF,并证明你的结论；(3)求D i到平面BiEF的距离。解题思路第(1)问二面角Bi EF B的平面角为/B iH B；由于面DiDBBiJ_平面B正F,，过D i作D iN LB iH并延长交BBi于M,利用平面几何的知识判断M的位置；第(3)力 问即求DiN,ffl 10-34 解答(1)由已知 EFAC,FABCDA iB iJD i 为正方体，ACJ_平面 BDDiBi，.EF_L平面 BD D B，,ZBiHB为二面角 BiEF B 的
42、平面角，在 RtZXBiBH 中,B1B=a,B H=a,A tan Z BiHB=272./.Z BiHB=arctan 72.BP BLEF B 的大小为 arctan 痣.由(1)知EF_L平 面BDDiBi，二平面BiEF_L平 面BDDiBi，.过 也作Di N垂足为N,延长D iN交BBi于M,得，DiM_L平面B iE F,如图，建立坐标系，则D(0,0)、Di(0,a)、H(迈a,0),设 M(V I a,y0)，由 DiM_LBiH，得 所 处 ,；.M 为 BBi 的中点。4 2(3)由(2)DaN为D i到直线B iH的距离,由点到直线的距离可得=口小=32,；.D i到
43、3面BiEF的距离为a a。3预测角度3折叠问题1.如图10-35,4 B C D内接于直角梯形AiA2A3 D,已知沿4 B C D三边把a A iB D、A2BC、ZAsCD翻折上去，恰好使A i、A2、A3重合于A。(1)求证：AB_LCD；(2)若 AiD=10,AIA2=8,求二面角 A CD B 的大小。解题思路这是一个折叠问题，解这一类题的关键是分析折叠前后不变的量，不变 不 。的位置关系，利用这些不变来解题，第(1)问可证ABJ_平面A C D,由AB_L平面A C D,利用三垂线定理可作出二面角A CD B的平面角。解答(1)如图1 0-3 6,由平面图形中AiBJ_AiD,
44、AiB_LA2c知,立体图形中ABJLAC,A B A D,，ABJ_平面 ACD,A AB CD(2)过 A 作 AE_LCD 于 E,连接 BE,；.CD_L平面 ABE,NAEB=。为二面角 A CD B的平面角，在平面图形中，AIB=A2B=4,AID=A3D=10,过 D 作 DDI_LA2A3,在 RtZAsDDi中可得 ABDI=6,：.A2A3=16。A2C=A3C=8,CD=164+4=2折。在立体图形中，AC=8,AD=10,CD=2 后，cosZACD=1+0折 七 岭=-jL.s in ZACD=二.2x8x2717 V17 J17在 RtZiAEC 中，AE=8 si
45、n/A C D=L,在 RSBAE 中，tan 0=tanZV17AEB=四=，二arctan 姮，二面角 A CD B 的大小为 arctan近.AE 8 8 82.如图 1 0-3 7,已知 ABCD 中，AD=BC,A D Z/B C,且 AB=3 应，AD=2后，B D=K，沿BD将其折成一个二面角A BD C,使得AB_LCD。(I)求二面角A BD C的大小；(II)求折后点A到面BCD的距离。解题思路先将平面图形的性质研究清楚，在立体图形中将垂直关系进行转化，可以得出结果。解答(I)在平面图形中，AD2+BD2=AB2,.,.ADBD,B C 1 B D,在立体图形中，如图1 0
46、-3 8,作 AH_L平面 BCD 于 H,连 DH、B H,设 BH 交 CD 于 E。由 AD_LBD 得NADH 为=V5,CE=3拉-亚=26,又DH/BC,:.-=-,=-CB=:.在R/AAZW中,8 s乙1DC CB CE 2 2 B I NADH=60,二面角 A BD C 的大小为 60。(2)由(1)知 AH=ADsinNADH=2 6 x 3 =3.2考点高分解题综合训练1 在斜三棱柱ABC A 1 B G的底面4 A B C中，ZA=90,且BC1_LAC,过C l作C1H_L底面A B C,则 H 在()A.直线AC上B.直线AB上C.直线BC上D.ABC的内部答 案
47、:B 解析：连 A3,：AC_LAB,A C B C i,且 BGDAB=B,.AC，平面 ABC”又 案 u平面A B C,，H 一定交线AB上.2正四面体内任意一点到各面的距离和为一个常量，这人常量是（）A.正四面体的一条棱长B.正四面体后条斜高的长C.正四面体的高D.以上结论都不对答案：c解析：正四面体的四个面都全等，设其面积都为S,四面体的高为h,并设正四面体 内 任 一 点 到 四 个 面 的 距 离 分 别 为 、h 2、h 3、h“贝IV正四面体3设。是正三棱锥PABC底面ABC的中心，过。的动平面与PABC的三条侧棱或其延长线的交点分别记为Q、R、S,则和式-L +-+，满足（
48、）PQ PR PSA.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值 XC.既有最大值又有最小值，最大值不等于最小值,/ID.是一具与平面RS位置无关的常量。答案：D解析：如图，四面体PQRS可以划分为0为公式共顶点，分别以PQR、APRS,八PQS为底面的三个三棱锥，由已知可设NQPR=NRPS=NQPS=a,又是。是P-ABC底面4ABC的中心，0 点到三个侧面的距离相等，设 为 d,则的角为 9,于是 VPQRS=VQTRS=!PR，PS，sinPQs in O.q +A=为常量U1 O 1 y Z I f v*4直线AB与直二面角。一I一B的两个地平面分别相交于A、B两点，且A、B a l,
49、如果直线AB与a、B所成的角分别是。1和。2,则。计8 2 （）A.0 0 i+0 2 工 D.0 0 i+0 2 2答案：D解析：如图，过A作AAH】于A i,过B作BB_L1于B i,连结ABi、A iB,则由a_LB,可 得 A A，B,BBi J_ a，得/BAA尸 0 1 ,在 Rt AAB 中，cos N（第4题图）A BA产 纯 在 血 中,s i n NB A B B 8,:.co s02 Z si n g,又用,%为 锐 角 叱 用 +02-AH AB 25 已知P为锐二面角a 一|一B内一点，且 P 到 a、B及棱I 的距离之比为1：拒：2,则此二面角的大小为.答案：7 5
50、 解析：过 P 作 P A L 0,P B,B ,P A、P B 确定的平面与1 交于C,则 1，平面P A B,A 1 1 P C,Z P C,/B C A 为 a-1-B 的平面角，分别算出NP C A、Z P C B,得二面角的大小为7 5 .6 球面上有三点A、B、C,每两点间的球面距离都等于巴R,其 中 R为球的半径，则过A、2B、C三点的 截 面 圆 的 面 积 等 于.答案：2 成2 解析：由已知/A O B=N A O C=N B O C=N,;.A B=A C=B C=V L?,A A B C 的外接圆3 2的半径为四K,截面贺圆的面积等于九(逅R)(J IR2).3 3 3