《数学经典易错题会诊与高考试题预测14.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学经典易错题会诊与高考试题预测14.pdf（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献经典易错题会诊与2012 届高考试题预测（十四）考点 14 极限?数学归纳法?数列的极限?函数的极限?函数的连续性?数学归纳法在数列中的应用?数列的极限?函数的极限?函数的连续性经典易错题会诊命题角度1 数学归纳法1（典型例题）已知a0,数列 an满足 a1=a,an+1=a+na1,n=1,2,.()已知数列 an极限存在且大于零，求A=nnalim(将 A 用 a 表示)；()设 bn=an-A,n=1,2,证明：bn+1=-;)(AbAbnn()若|bn|n21,对 n=1,2都成立，求a 的取值范围。考场错解 ()由nna
2、lim，存在，且 A=nnalim（A0）,对 aa+1=a+na1两边取极限得，A=a+A1.解得 A=.242aa又 A0,A=.242aa()由 an+bn+A,an+1=a+na1得 bn+1+A=a+Abn1.)(1111AbAbAbAAbAabnnnnn即)(1AbAbbnnn对 n=1,2都成立。()对 n=1,2,|bn|n21，则取 n=1 时，21|1b,得.21|4(21|2aaa14.21|)4(21|22aaaa,解得23a。中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献 专家把脉 第问中以特值代替一般，而且不知bn数列的增减性，更不能以b1取代 b
3、n.对症下药 ()()同上。()令|b1|21,得.21|)4(21|2aaa.21|421|2aa.23,142aaa解得现证明当23a时，nnb21|对 n=1,2,都成立。(i)当 n=1 时结论成立（已验证）。(ii)假设当 n=k(k 1)时结论成立，即kkb21|，那么.21|1|)(|1kkkkkAbAAbAbb故只须证明21|1AbAk，即证 A|bk+A|2 对 a23成立由于,422422aaaaA而当 a23时，而当 a23时，.2,142Aaa,1212|kkkbAAb即A|bk+A|2.故当 a23时，.212121|11kkkb即n=k+1时结论成立。根据(i)和(
4、ii)，可知结论对一切正整数都成立。故|bn|n21对n=1,2,都成立的 a的取值范围为,23 2(典型例题)已知数列 an中,a1=3,前 n 项和 Sn满足条件Sn=6-2an+1.计算 a2、a3、a4,然后猜想 an的表达式。并证明你的结论。考场错解 当 n2 时，an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=21an.因为 a1=3,所以a2=21a1=23,a3=21a2=43,a4=21a3=.83由此猜想an=)(23*1Nnn当 n=1 时，a1=1123=3,结论成立；假设当 n=k(k1)时结论成立，即ak=123k成立，则当n
5、=k+1 时，因为ak+1=21ak，所以,211kkaa又 a1=3,所以 an是首项为 3 公比为21的等比数列。由此得 ak+1=3（21）k+1-1=1123k,中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献这表明，当n=k+1 时结论也成立。由、可知，猜想对任意nN*都成立。专家把脉 应由 a1=S1=6-2a2,求得 a2=23,再由 an+1=21an(n2)求得 a3=43,a4=83,进而由此猜想 an=123n(nE*).用数学归纳法证明猜想时，没有利用归纳假设123kka，而是根据等比列的通项公式求得ak+1=1123k.这种证明不属于数学归纳法。对症下
6、药 由 a1=S1=6-2a2,a1=3,得 a2=.23当 n2 时，an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即an+1=21an.将 a2=23代入得 a3=21a2=43,a4=21a3=83,由此猜想an=*).(231Nnn下面用数学归纳法证明猜想成立。当 n=1 时，a1=3311a,猜想成立；假设当n=k(k1)时结论成立，即ak=123k成立，则当n=k+1 时，因为ak+1=21ak，所以ak+1=21123k=112323kk这表明，当n=k+1 时结论也成立。由，可知，猜想对nN*都成立。3（典型例题）已知不等式21+31+n121log
7、2n,其中 n 为大于 2 的整数，log2n表示不超过 log2n 的最大整数。设数列an的各项为正，且满足a1=b(b0),an11nnanna,n=2,3,4,.()证明：anlog222nbb，n=2,3,4,5,;()猜测数列 an是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（）试确定一个正整数N，使得当nN 时，对任意b0,都有 an10=1024.取 N=1024,有 an51.专家把脉 （1）在运用数学归纳证明时，第n-k+1 步时，一定要运用归纳假设进行不等式放缩与转化，不能去拼凑。对症下药 （）证法1：当 n2 时，0an,11nnanmanaananaanannnnnn
8、1111,111111即,于是有naaaaaann1111,3111,21112312，所有不等式两边相加可得.13121111naan由已知不等式知，当n 3 时有，.log211121naana1b,.2log2log211122bnbnbanan10,n210=1024,故取N=1024，可使当nN时,都有 an0)与直线 l:y=x相交于 A1,作 A1B1l 交 x 轴于 B1,作 B1A2l 交曲线 C于A2依此类推。（1）求点 A1、A2、A3和 B1、B2、B3的坐标；答案：A1(1,1)、A2（2+1,2-1）、A3（3+2,3-2）、B1（2,0）、B2（22,0）、B3（
9、23,0）（2）猜想 An的坐标，并加以证明；答案：An()1,1nnnn,证明略.（3）.|lim11nnnnnBBBB答案：设An().0,(),1nnnnbBaa由题图：A1（1，1），B1（2，0）a1=1,b1=2 且)(1111上在直线nnnnnnnbxyAbnaaaab11lim22lim|1|1|lim1nnnnaaBBBBnnnnnnnnn，分子分母乘以（)1)(1nnnn）中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献及nlim1111111lim11nnnnnnn3 设数列 a1,a2,，an,的前 n 项的和 Sn和 an 的关系是Sn=1-ban-,
10、)1(1nb其中 b是与 n无关的常数，且b-1。（1）求 an和 an-1的关系式；答案：an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)-)2()1()()1(1)1(111nbbaabbbnnnnn解得 an=)2()1(111nbbabbnn（2）猜想 an的表达式（用n 和 b 表示）；答案：a=S1=1-ba1-21)1(,11bbab,)1()1()1()1(1)1(1)1(2)1()1()1(11ba13232121322212nnnnnnnnnnbbbbabbbbbbbabbbbnbbbabbbbbbabbb由此猜想an=1111)1(32)1(nnnbbbbbabb把 a1=2
11、)1(bb代入上式得an=)1(2)1()1)(1()1(21111bnbbbbbbbbbnnnnn（3）当 0b0,b0).()当 a=b 时，求数列 un 的前项 n 项和 Sn。（）求nlim1nnuu。考 场 错 解 （）当a+b时，rn=(n+1)an.Sn=2a+3a2+4a3+nan-1+(n+1)an.则aSn=2a2+3a3+4a4+nan+(n+1)an+1.两式相减：Sn=2212)1(2)2()1(aaaanannn()nlim1nnuu=nlim1)1(nnuaan=nlimnna)1(=a.专家把脉 （）问运用错位相减时忽视a=1 的情况。（）a=b 是（）的条件，
12、当ab 时，极限显然不一定是a.对症下药 （）当 a=b 时，un=(n+1)an.这时数列 un的前 n 项和Sn=2a+3a2+4a3+nan-1+(n+1)an.式两边同乘以a,得 aSn=2a2+3a3+4a4+nan+(n+1)an+1式减去式，得（1-a）Sn=2a+a2+a3+an-(n+1)an+1中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献若 a1,(1-a)Sn=aaan1)1(-(n+1)an+1+a Sn=221212)1(2)2()1(1)1()1()1(aaananaaanaaaannnn若 a=1,Sn=2+3+n+(n+1)=2)3(nn()
13、由（），当 a=b 时，un=(n+1)an,则nlim1nnuu=nlim1)1(nnuaan=nlimnna)1(=a.当 ab 时，un=an+an-1b+abn-1+bn=an1+nababab)()(2=.,)(11)(1111111nnnnnnnnnnbabauubabaababa此时或 ab0,nlim1nnuu=nlimnnnnbaba11=nlim.)(1)(aababbann若 ba0,nlim1nnuu=nlim.1)()(bbabbaann专家会诊1 充分运用数列的极限的四则运算及几个重要极限nlimC=C.(C 为常数).nlimn1=0.nlimqn=0,|q|0,
14、a 1),设y4=17,y7=11.(1)求数列 yn的前多少项最大，最大为多少？答案：由已知得，数列为关数列，y4=17,y7=11,公差 d=,0,13,0,121,225)4(4,231711ynynnynnndnyyn数列时当时当的前 12 项最大，最大为144.（2）设 bn=2yn,sn=b1+b2+bn,求nlim252ns的值。答案：bn=2yn,Sn=b1+b2+bn,bn 为等比数列.且公比为q=41,nlimSn=32432125231qSnlim.31225nS4 设 an=1+q+q2+qn-1(n N+,q)，An=C1na1+C2na+Cnnan (1)用 q和
15、n 表示 An;答案：q 1,an=qqn11)1()1(211)()(11)()(1111111122101022121221qqqCqCqqCCCCCqCqCqqCCCCqCqqCqqCqqAnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn(2)当-3q1 时，求 limnnA2的值；答案：,13,)21(1112qqqAnnn中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献|21q|1,xlimnnA2=q11命题角度3 函数的极限1（典型例题）若1limx（211xbxa）=1，则常数a,b 的值为（）Aa=-2,b=4 Ba=2,b=-4 Ca=-1,b=-4
16、Da=2,b=4 考场错解 A 1limx21)1(xbxa=1limx.1)1)(1(xxbaax故能约去（1-x）,a=-2,b=4.专家把脉 （ax+a-b）中有在式（1-x）的求解中，注意a、b 的符号。对症下药 C 1limx21)1(xbxa=1limx.1)1)(1(xxbaax故 ax+a-b 中必有因式（1-x），且极限为1。故 a=-2,b=-4.2（典型例题）若1limx,11)1(xxf则1limx)22(1xfx（）A-1 B1 C-21 D21 考场错解 D 1limx,11)1(xxf则1limx)22(1xfx1limx.21)1(21xfx考场把脉 错误理解极
17、限存在的条件。函数f(x)中必有因式（x-1）。对症下药 C1limx,11)1(xxf故 f(x-1)=x-1.f(x)=x.1limx.21221xx3（典型例题）1limx（34223122xxxx）=（）A-21B21C-61D61考场错解 B 原式=1limx)3)(2)(1(1xxxx=1limx.21)3)(2(1xx 专家把脉 在运算中注意符号的变化。对症下药 A 1limx)3)(2)(1()2(23xxxxx=1limx)3)(2)(1(1xxxx=1limx.21)3)(2(1xx4（典型例题）93lim23xxx=（）A-61B0 C61D31中高考复习精品，为中高考保
18、驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献考场错解 B 当 x-3,x+3=0,故93lim23xxx=0。专家把脉 求函数极限时，分母为0 的因式应约去才可代入。对诊下药 A 6131lim3xx专家会诊1求函数的极限时，如果xx0即 x0是连续的点。即使函数f(x)有意义的点，只需求f(x0)的值。就是函数的极限值。2当 f(x)在 x0处不连续时，即x=x0代入后使式子f(x)无意义，应考虑约去此因式，使之有意义时再求f(x0)的值，即为极限值。3已知函数的极限，求出函数中的系数时，应满足两个条件，即存在性与极限值同时考虑。考场思维训练1 设 f(x)在 x0处可导，f(x0)=0 则nli
19、mnf(x0-n1)=_.答案：-f (x0)解析：)1(lim0nxnfn=).(1)()1(lim000 xfnxfnxfx2 121lim221xxxn ()A.21 B.32C.0 D.2 答案：B解析：略3 已知22lim22xcxxx=a,且函数 y=aln2x+xb+c 在1，e 上存在反函数，则（）Ab(-，0)Bb(2e,+)Cb(-，0)(2e,+)Db(0，2e)答案：C解析：略4 设 f(x)是 x 的三次多项式，已知axxfax2)(lim2=axxfax4)(lim4=1，试求axxfax3)(lim3的值。（a 为非零常数）.答案：解：由于ax2lim,12)(a
20、xxf可知 f(2a)=0 同理 f(4a)=0 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献可知f(x)必含有（x-2a）与（x-4a）有因式，由于f(x)是 x 的三次多项式，故可设f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C),这里 A、C 均为选定的常数，由,12)(lim2axxfax即,1)2)(42(,1)(4(lim2)(4)(2(lim22CaaaCxaxAaxCxaxaxAaxax得即4a2A-2aCA=-1 同理，由于,1)4)(24(,14)(lim4CaaaAaxxfax得即 8a2A-2Aca=1 由得C=3a,A=),3)(4)(2(21)(,
21、2122axaxaxaxfa因而21)(21)4)(2(21lim3)(lim2233?aaaaxaxaaxxfaxax命题角度 4 函数的连续性1（典型例题）极限0limxxf(x)存在是函数f(x)在点 x=x0处连续的（）A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件 考场错解 C 0limxxf(x)存在f(x)在点 x=x0处连续。专家把脉 0limxxf(x)f(x0)时，则 f(x)在点 x=x0处不连续。对症下药 B 0limxxf(x)不一定等于函数值f(x0)，而 f(x)在点 x=x0处连续。则有0limxxf(x)=f(x0)2（典型例题）已
22、知函数f(x)=nnnxx4lim，试判别f(x)在定义域内是否连续，若不连续，求出其不连续点。考场错解 4-nx 0,xn4,x-2.f(x)的定义域为（-，-2）（-2，+）。当 x=0 时，f(x)=0,f(0)=0.故连续。故函数f(x)在定义域内连续。专家把脉 错把函数 f(x)=nnnxx4lim当作函数f(x)=.4nnxx中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献对症下药 （1）当|x|1 时，f(x)=nnnxx4lim=31.(4)当 x=1 时 f(x)=nnnxx4lim=-1。111131110)(xxxxxf或f(x)的定义域为（-，-1）（-
23、1，+）。而在定域内，x=1 时。1limxf(x)=0.1limxf(x)=-1.1limxf(x)不存在。故 f(x)在 x=1 处不连续。f(x)在定义域内不连续。专家会诊1在判断函数的连续性时，充分运用它的重要条件，即0limxxf(x)=f(x0).前提是 f(x)在 x0处的极限要存在。2在求函数的不连续点时，或不连续区间。首先是定义之外的点或区域一定不连续。往往只须考虑定义域内的不连续部分。考场思维训练1 f(x)在 x=1 处连续，且1)(lim1xxfx=2，则 f(1)等于（）A-1 B0 C 1 D2 答案：B解析：略2 1limxxxxarctan4)2ln(2=_.答
24、案：1解析：利用函数的连续性，即),()(lim00 xfxfxx11arctan4)12sin(1arctan4)2sin(lim221lxxxx3 设 f(x)=)()(21112110的连续区间为则xfxxxxA（0，2）B（0，1）中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献C（0，1）（1，2）D（1，2）答案：C解析：11lim)(lim11xxxf21)1(1)(lim,1lim)(lim111fxfxfxxx即 f(x)D x=1 点不连续，显知f(x)在（0，1）和（1，2）连续。4 求函数 f(x)=)1()21(log)1(2xxxx的不连续点和连续区
25、间答案：解：不连续点是x=1,连续区间是（-，1）（1+）探究开放题预测预测角度 1 数学归纳法在数列中的应用1已知数列 an 满足条件（n-1）an+1=(n+1)(an-1)且 a2=6,设 bn=an+n(n N*),(1)求bn的通项公式；（2）求nlim（21212121432nbbbb）的值。解题思路 （1）运用归纳猜想证明。（2）裂项法先求数列的和，再求和的极限。解答 1.(1)当 n=1 时，代入已知式子中，得a1=1,当 n=2 时，得 a3=6，同理可得a4=28,再代入 bn=an+n,得 b1=2,b2=8,b3=18,猜想 bn=2n2,用数学归纳法证明：1当 n=1
26、 时，b1=a1+1=2.显然成立。n=2 时,.结论成立。2假设 n=k(k 2)时命题成立，即bk=2k2,即ak+k=2k2,ak=2k2-k,则 n=k+1 时，bk+1=ak+1+k+1=)1(11kakk+k+1=11kk(2k2-k-1)+k+1=(k+1)(2k+1)+(k+1)=(k+1)(2k+2)=2(k+1)2当 n=k+1 时，结论成立。由 1、2可知 bn=2n2.(2)原式=nlim（221161612n）nlim21)1)(1(142131121nnnlim41)111151314121311(21nnnlim83)111211(nn.2设函数f(x)对所有的有
27、理数m、n 都有|f(m+n)-f(m)|,mn证明：对所有正整数k 有ki 1|f(2k)-f(2i)|.2)1(kk中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献 解题思路 运用数学归纳法证明。解答 1当 k=1 时，左=0=右，命题成立。2假设 k=n 时，不等式成立，即ni 1|f(2k)-f(2i)|,2)1(nn则 k=n+1 时，11ni|f(2k+1)-f(2i)|=11ni|f(2k+1)-f(2i)+f(2n)-f(2i)|11ni|f(2k+1)-f(2i)|+,2)1(nn=ni 1|f(2k+2n)-f(2i)|+2)1(nn=n+2)1(nn=2)
28、1(nn.故当 k=n+1 时，命题也成立。由 1，2可知原不等式成立。预测角度 2 数列的极限1已知（xxx1）6的展开式的第五项等于215，则nlim（x-1+x-2+x-n）等于A0 B 1 C2 D-1 解题思路 利用二项式的通项公式求出x 的值，再求数列和的极限。解答 B T5=C46（x-1）4(23x)2=15x-1=215x-1=21,lim(x-1+x-2+x-n)=lim(n21814121)=121121.选 B 2设 xn=)1(nnn,求数列 xn的极限。解题思路 由于)1,nn的极限都不存在，所以应先将xn 变形，使之变成极限可求的数列。解答 因为 xn=)1(nn
29、n=nnnnnnnnnn11)1)(1(用n除分子和分母，得 xn=1111n,而 1,1111nn由 1+11n得知),(111nn再应用除法运算，即求得nlimxn=nlim211111n.*3.已知 a、b 是不相等的正数，若nlimnnnnbaba11=2，则 b 的取值范围是（）A0b2 B0b2解题思路 B 讨论 a与 b 的大小后，分子、分母同除以11nnba或，后再求由极限值求范围。解答 当 ab 时，nlimnnnababa11nlim.2)(11)(11?aabaaabnn0b2.当 ab 时，nlimnnnababa11nlimbbabbann1)(11)(1?=-b0
30、不可能为2，故 ab 不成立。b 的范围是（0，2）。故选 B 预测角度3 函数的极限11)1sin(sinlim1sin1sin2sinlim2232xxxxxnn2求.42lim4xxn 解题思路 将分子有理化，使分子分母极限存在。解答 42lim4xxx=4121)2)(4(4lim)2)(4()2)(2(lim44xxxxxxxxxx。预测角度 4 函数的连续性1函数 f(x)在 x0处有定义是0limxx（fx）存在的（）A充分不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解题思路 利用极限在某点存在性判断解答 D 函数在x0处有定义，但在此点处极限不一定存在，反之也不
31、一定，如图（1）（2）。2设 f(x)=)0()0(11xbxaxxx当 a 取何值时，函数f(x)是连续的？解题思路 利用连续的存在性的充要条件，即0limxx（x）=f(x0)，以及连续的定义。解答 x0 连续，只须判断，当x=0 时，函数也连续时，从而求a 的值。f(x)在 x=0 处有定义，且0limxf(x)=210limxf(x)=a.中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献只有当a=21时。0limxxf(x)才存在，且值为21。又 f(0)=a 当 a=21时。f(x)是连续函数。专家会诊1深刻理解函数f(x)在 x0处连续的概念，即函数f(x)在 x0
32、处有定义。f(x)在 x0处有极限。0limxxf(x)=f(x0).函数 f(x)在 x0处连续反映在图像上是f(x)在 x0处是不间断的。2由连续的定义，可以得到计算极限的一种方法：如果 f(x)在定义区间内是连续的，则0limxxf(x)=f(x0)，只要求出函数值f(x0)即可。考点高分解题综合训练1 已知 f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m，使得对任意nN,都能使 m 整除 f(n),则最大的m的值为（）A30 B26 C36 D6 答案：C.解析：f(1)=36,f(2)=108=3 36,f(3)=360=10 36 f(1)、f(2)、f(3)能被36整除，猜想f(n
33、)能被 36 整流器除。证明：n=1、2时，由上得证，设n=k(kl 2)时，f(k)=(2k+7)3k+9 能被 36 整除，则 n=k+1时，f(k+1)-f(k)=(2k+9)3k+1-(2k+7)3k=(6k+27)3k-(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k-2(k 2)1(kf能被 36 整除f(1)不能被大于36 的数整除，所求最大的m 的值等于36.2 记二项式（1+2x）n展开式的各系数和为an,其二项系数为b，则nnnnnabablim等于（）A1 B-1 C0 D 不存在答案：B 解析：an=3n,bn=2n,.,11)32(1)32(lim3232li
34、mlimBababnnnnnnnnnnnnn所以选3 6)1(xxx的展开式中的第五项是nnxxxS21,215，则nlimSn 等于（）A1 B21 C41 D61答案：A 解析：略4 已知 a、bR,|a|b|,又nlimnnnaba1nlimnnnaba1，则 a 的取值范围是（）Aa1 B1-a1 D-1a1答案：B 解析：略中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献5 若 f(x)=11113xx在点 x=0 处连续，则f(0)等于()A23B32C1 D0 答案：A 解析：略 f(x)2311111)0(1111)1(1111)1()11(11)1()11)(
35、11(3233332332fxxxxxxxxxxx6 观察下列式子：474131211,3531211,2321122222则可归纳出_.答案：:1+11112)11(11232122即12122)12(1)1(1312112222n归纳为 1+)(112)1(13121*222Nnnnn7 xxxcossin1lim2=_.答案：0 解析：略8 an 是（3-x）n 的展开式中x 项的系数（n=2，3，4，）则nlim（nnaaa3333322）=_。答案：18 解析：略9 nlim（112nn+an+b）=3 则 a+b=_.答案：3 解析：略10 已知数列 bn 是等差数列，b1=1,b
36、1+b2+b10=145(1)求数列 an的通项公式bn;答案：解：设数列为bn 的公差为d 由题意知23,3111452)110(1010111nbndbdbb（2）设数列 an的通项 an=loga(1+nb1)(其中 a0 且 a1)记 Sn是数列 an的前 n 项和，试比较Sn与31logabn+1的大小，并证明你的结论。中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献答案：证明：由bn=3n-2 知Sn=loga(1+1)+loga(1+41)+loga(1+231n)=loga(1+1)(1+41)(1+231n)而.13)2311()411)(11(log31,1
37、3loglog313131的大小与比较的大小与于是比较nnbSnnbnnaaa取 n=1,有（1+1）=33311348?取 n=2,有（1+1）（1+41）33312378推测：（1+1）（1+41）（）1+(*)132313nn当 n=1 时，已验证（*）式成立.假设 n=k(k 1 时（*）式成立，即（1+1）（1+41）（1+313231kk）则当 n=k+1 时，（1+1）（1+41）（1+)1311(13)2)1(311)(2313kkkk=3131323kkk,1)1(3)1311)(2311()411)(11(1)1(3432313130)13(19)13()13)(43()2
38、3()43)1313k23k(333322233333kkkkkkkkkkkkkkkk从而）（即当 n=k+1 时，（*）式成立由知，（*）式任意正整数n 都成立.于是，当a1 时，Sn31logabn+1,当 0a1 时，Sn0 且 a1),若数列：2，f(a1),f(2),f(an),2n+4(n N*)成等差数列。（1）求数列 an的通项 an;答案：2n+4=2+(n+2-1)d,d=2,f(an)=2+(n+1-1)2=2n+2,an=a2n+2(2)若 0af-1(t),求实数 t 的取值范围。答案：bn=an f(an)=(2n+2)a2n+2=(2n+2)22n+2=(n+1)
39、22n+3.114121nnnnbbnnbb?bn为递增数列bn中最小的项为b1=2 25=26 f-1(t)2t,262t,t612 设实数 q满足|q|1,数列 an满足：a1=2,a20,an an+1=-qn,求 an表达式，又如果nlimS2n3,求 q 的取值范围。答案：解：a1a2=-q,a1=2,a20,q0,a2=-29,anan+1=-qn,an+1an+2=q an 于是，a1=2,a3=2 q,a=2 qn-猜想：a2n+1=-),3,2,1(21nqn综合，猜想通项公式为?)(221)(1212NkkqknNkknqkan时时下证：（1）当 n=1,2 时猜想成立（2
40、）设 n=2k-1 时，a2k-1=2 qk-1则 n=2k+1 时，由于a2k+1=q a2k-1中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献a2k+1=2 qk即 n=2k-1 成立.可推知 n=2k+1 也成立.设 n=2k 时，a2k=-21qk,则 n=2k+2 时，由于 a2k+2=q a2k,所以，a2k+2=-21qk+1,这说明 n=2k 成立，可推知 n=2k+2 也成立.综合所述，对一切自然数n，猜想都成立.这样所求通项公式为?)(221)(1212NkknqknNkknqkan时当时当S2n=(a1+a3a2n-1)+(a2+a4+a2n)=2(1+
41、q+q2+qn-1)-21(q+q2+qn)=)24)(191()1()1(211)1(2qnqqnqqqn?由于|q|0,|q|1解得-1q0 或 0q2.又 n2 时，an-an+1=an-,0)42(21)4(21)4(21)4(2122nnnnnnnaaaaaaaa1,a2,a2 anan+1 2,即an是行列增后减数列，（an）max=a2=.25（2）已知圆锥曲线Cn的方程为：*)(1)()(21122Nnaayaaxnnnn设nlimCn=C,求曲线C 的方程并求曲线C的面积。答案：由上可知，,212nnaa所以圆锥曲线Cn为椭圆.中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献由于 an 存在极限，所以可设.lim1lim,lim1AaaAannnnnnn则又由 an0 得 A0,从而 A=.2lim.2)4(21nnaAAA即由此可得曲线C的方程 即是n 时曲线Cn的方程为：.4,4)2()2(:2,)2,2(,12)2(2)2(2222222RCyxyx的面积为从而圆为半径的圆为圆心即为以