圆的中考综合练习题.pdf

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1、1、(2012,兰 州)如 图，Z C 是。的 直 径，弦 BD交 A C于 点、E。(1)求 证：/A D E S/B C E；(2)如 果 2=Z E M C,求 证：CD=CB(I)证 明：如 图-：CD=CD：.NA=NB又./1=N2AADEABCEA fT AH(2)证 明：如 图 由 4D2=AE*A C得 万=彳/iiy jX V 4=4AAD Es AACD.NAED=NADC又 是 o o 的 自 径 A ZJZ)C=90 即 有 4ED=90，直 径/CJ_8O：.CD=CB2、(2012,湛 江)如 图，一 知 点 E 在 直 角 A A B C 的 斜 边 A B 上

2、，以 A E 为 直 径 的。O 与 直 角 边 B C 相 切 于 点 D.(1)求 证：A D 平 分 NBAC；(2)若 BE=2,BD=4,求。O 的 半 径.解：(1)证 明：连 接 OD,V B C 是。O 的 切 线，；.OD_LBC,XVACXBC,；.OD AC,.,.Z2=Z3；VOA=OD,；.N1=N3,.*.Z1=Z2,.AD 平 分/BAC：(2)解：B C 与 圆 相 切 于 点 D.,.BD2=BE BA,VBE=2,BD=4,，BA=8,；.AE=AB-BE=6,.OO的 半 径 为 3.3、(2012铜 仁)如 图，已 知。O 的 直 径 A B与 弦 C

3、D相 交 于 点 E,A B 1 C D,。的 切 线 BF与 弦 A D的 延 长 线 相 交 于 点 F.(1)求 证：C D/B F；4(2)若。O 的 半 径 为 5,c o s Z B C D=-,求 线 段 A D的 长.考 点：切 线 的 性 质；圆 周 角 定 理；解 直 角 三 角 形。解 答：(1)证 明：B F是。O 的 切 线，A B是。的 直 径,A B F1A B,V C D 1A B,CD BF；(2)解：T A B是。O 的 直 径，NADB=90。，。0 的 半 径 5,.AB=10,V Z BA D=ZBC D,cos N B A D=c o sN B C

4、D 3迪,5 A B AD=cos Z B A D A B=9 X 10=8,5.AD=8.3 分.6 分.7 分.8 分 10分.12 分4、(2 0 1 2,安 顺)如 图，在。O 中，直 径 A B与 弦 C D相 交 于 点 P,ZCAB=40,ZAPD=65.(1)求 N B 的 大 小；(2)已 知 AD=6求 圆 心 O 到 B D的 距 离.D考 点：圆 周 角 定 理；三 角 形 内 角 和 定 理；垂 径 定 理。解 答：解：(1)V Z A PD=Z C+Z C A B,ZC=65-40=25,.,.Z B=Z C=25；(2)作 OEJ_BD 于 E,贝 U DE=BE

5、,又：AO=BO,0 E A D X 6=3-圆 心 O 到 B D的 距 离 为 3.5、(2012,黄 冈)如 图，在 4 A B C 中，BA=BC,以 A B 为 直 径 作 半 圆。0,交 A C 于 点 D.连 结 DB,过 点 D 作 DE J_BC,垂 足 为 点 E.(1)求 证：D E 为。0 的 切 线；(2)求 证：DB=AB-BE22.证 明 4 1 连 接 C DV A B 为 C 的 直 径,TADB=90*.1 分 V A B=B C二 D 为 A C 中 点.2 分 V O 为 A B 中 点/.OD/BC.3 分(第 22 M ffl)V DE.LBC:.N

6、 O D E=N CED=900.4 分:.D E 为 O 的 切 线.5 分(2V AB-BC,N AD B-9O 0；N C S D=N D B A.乂 N A D E=N DEB=9 0 0:.7 分 二 镭 n 嚣，即=A B-EB8 分6、（2012烟 台）如 图，A B 为。O 的 直 径，弦 C D L A B,垂 足 为 点 E,C F A F,且 CF=CE.（1）求 证：C F是。的 切 线；(2)若 s i n/B A C/，求 也 毁 的 值.5 S 2 lA B C分 析：（1）首 先 连 接 O C,由 C D L A B,C F 1 A F,C F=C E,即 可

7、 判 定 A C平 分 N B A F,由 圆 周 角 定 理 即 可 得 N B O C=2 N B A C,则 可 证 得/B O C=/B A F,即 可 判 定 O C AF,即 可 证 得 C F是。O 的 切 线：（2）由 垂 径 定 理 可 得 C E=D E,即 可 得 SACBD=2SA C E B，由 A B C s a C B E,根 据 相 似 三 角 形 的 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方，易 求 得 4 C B E 与 a A B C 的 面 积 比，继 而 可 求 得 也 理 的 值.SAABC解 答：(1)证 明：连 接 O C.V C E 1 A

8、B,C F 1 A F,CE=CF,，AC 平 分/B A F,H P Z B A F=2Z B A C.V Z B O C=2 Z B A C,.,.Z B O C=Z B A F.；.O C AF.A C F 1 O C.C F是。O 的 切 线.(2)解：AB 是。的 直 径，C D 1 A B,；.C E=E D,Z A C B=Z B E C=9 0.*SACBD=2SA C E B，N B A C=Z BCE,A A B C A C B E.SA C EESAABC(吗 2=(sin Z B A C)2=心)A B 52_ 4SA CBD _8A A B C 257、(2 0 1

9、2天 津 8 分)已 知 AB与。相 切 于 点 C,0A=0B.0A、0B与。0 分 别 交 于 点 D、E.(I)如 图，若。的 直 径 为 8,A B=10,求 0A的 长(结 果 保 留 根 号);(I I)如 图，连 接 CD、C E,若 四 边 形 ODCE为 菱 形.求？2 的 值.【答 案】解：（D 如 图，连 接 0C,则 0C=4。VAB 与。0 相 切 于 点 C,.-.OCAB.,.在 OAB 中，由 OA=OB,AB=10AC=-AB=5o2在 RlOAB 中，OA=J O C+A C?=代+5?=丙。图(H)如 图,连 接 0C,则 OC=OD。:四 边 形 ODC

10、E为 菱 形，；.0D=为。.ODC为 等 边 三 角 形。，ZA0C=60oZA=30%A OC=-O A,即 变=12 OA 2 OA 2图 8、（青 海 西 宁）如 图（1）,月 8 为。的 直 径，C 为。上 一 点，若 直 线 C D 与 O O 相 切 于 点 C,A D A.C D,垂 足 为 D（1）求 证：A D C s A C B；（2）如 果 把 直 线 C D 向 下 平 行 移 动，如 图（2）,直 线 C O 交。于 C、G 两 点，若 题 目 中 的 其 他 条 件 不 变，且 NG=4,8G=3,求 tan/D/C的 值.（1）证 明：连 接 OC,:D C 与

11、。相 交 于 点 C,0 C 是。的 半 径：.D C O C又,JAD V D C,：.ZA D C=ZD CO=90：.A D/O C,；./2=/3*.Q=OC,；./2=/1,/.Z1=Z32 8 是。的 直 径，N 4C B=90。在 NOC与 4CB中 VZ1=Z3,Z A C B=ZAD C=90：.A D C/X A C B（2）解：四 边 形/BGC是 圆 内 接 四 边 形.NB+/CG=180,A Z A C G+ZA C D ISO：.N B=N A C D：NAG B=ZAD C=90,：.ND AC=NGAB 忆 在 RtZGZ5 中，tanZGJ=4 3/.tan

12、 ND4 c=i9、（2012泸 州）如 图，/8 C 内 接 于。，4 8 是。的 直 径，C 是/。的 中 点，弦 CELA B于 点、H,连 接 N O,分 别 交 CE、BC于 点 P、Q,连 接 80.（1）求 证：P 是 线 段/Q 的 中 点；（2）若。的 半 径 为 5,N=与，求 弦 C E的 长.(1)证 明：是。的 直 径，弦 CEJ_/8,又 是 茄 的 中 点，：.A C C D,.A E C D:.NACP=NCAP,:.PA=PC.7 8 是。的 直 径，；./C 8=9 0。ZPCO 900-ZAC P,/C 0 尸=90。一/。2:.NPCQ=NCQP,：.P

13、C=PQ：.P 4=P Q,即 P 是 4 0 的 中 点(2)解：V J C=C D,.ZC A Q ZA B C又,/N/C Q=NBCA,：.C 4 0 s/c&41 5.AC _ A Q _ T _ 3BC=AB=m=1在 RtZ/8C 中，ta n/8 C=7 C 4又.78=10,；./C=6,8 c=8,根 据 直 角 三 角 形 面 积 公 式，得 AC-BC=AB-CH,.,.6x8=10C/7,：.C H=又 CH=HE,：.CE=2CH=10、(2012宜 宾)如 图，。01、相 交 于 尸、0 两 点，其 中。01的 半 径 4=2,的 半 径 厂 2=啦.过 点。作

14、8，尸。，分 别 交 和。2于 点 C、D,连 接 CP、D P,过 点。任 作 一 直 线 4 2 交。O i和。2于 点/、B,连 接/P、BP、A C,且 Z C 与。8 的 延 长 线 交 于 点 E.P4 L(1)求 证：丽=也；(2)若 尸 0=2,试 求 N E 度 数.(1)证 明：.CD1.PQ,:.NPQC=NPQD=90。:.PC、P D 分 别 是。01、。2的 直 径 在。Oi 中，NPAB=NPCD在。2 中，NPBA=/P D CP A PC 2 八 r-为 5 s 尸 C),F H=T77=-L=PB PD r?v(2)解：在 RtZkPC。中，PC=2=4,P

15、Q=2PO 1 c o s/C P Q=k=5，/.ZCP0=6O 在 中，PD=2 2=2小,尸 0=2 s in N P Q 0=坐，/.ZPDQ=45：.ZCAQ=ZCPQ=60f ZPBQ=ZPDQ=45又：PD 是。Q 的 直 径，NPBD=90。：.ZABE=90-N尸 80=45。在 E45 中，A Z=180-ZC A Q-ZABE=7511、（湖 南 怀 化）如 图，已 知 N 8是。的 弦，。3=4,NO8C=30。，点 C是 弦 N 8上 任 意 一 点（不 与 点/、8 重 合），连 接 C。并 延 长 CO交。于 点。，连 接/。、DB.（1）当/N O C=18。时

16、，求 的 度 数;（2）若 AC=2事,求 证/C）sZ 0 C 8.（1）解：连 接 4。，则 N O/C=N O 3C=30。，/0 4。=18Z)J C=300+18=48/D()B=2 N D A C=96。(2)证 明：过 点。作 的 垂 线，垂 足 为 G在 RtZiOGB 中，0 5=4,NOBC=30。；.0 G=2,GB=2小.1C=2，5,.点 C 与 G 重 合:.NAC D=NBCO=90。,OC=2,8=2+4=6，痣=/=弁，A XACD/XOCB(7 C v C D12.(湖 南 湘 潭)如 图，在。上 位 于 直 径 的 异 侧 有 定 点 C 和 动 点 P,

17、点 P在 半 圆 弧 月 8 上 运 动(不 与 4 8 两 点 重 合)，过 点 C 作 直 线 尸 8 的 垂 线 CZ)交 尸 2 于。点.(1)如 图 1,求 证：PCDs/XABC；(2)当 点 尸 运 动 到 什 么 位 置 忖，丝 a/BC?请 在 图 2 中 画 出/丝 N8C理 山 如 下：如 图，.78、PC 是。的 直 径，.48=PC,/APCDsAABC,.PCD丝 ABC(3)解：V ZJC5=90%ACyAB,：.ZABC30：A P C D S A A B C,；./PCD=48C=30,：CPAB,/B 是。的 直 径，：.ACAP：.4cp=N,48C=30

18、/.NBCD=NACB-ZACP-ZPCZ)=90-30o-30o=3013、(湖 北 鄂 州)如 图，梯 形 4BCZ)是 等 腰 梯 形，且/O 2 C,。是 腰 C。的 中 点，以 8长 为 直 径 作 圆，交.B C 于 E,过 E 作 E H L 4 B于 H.(1)求 证：OE/AB-,(2)若 E H=与 C D,求 证：4 8 是。的 切 线；(3)若 B E=4 B H,求 券 的 值.Czi(1)证 明：.等 腰 梯 形 为 BCD,.N 8=N CX OE=OC Z1=Z C；.N 1=N 8,：.O E/A B(2)过。作 0G_L48 于 G:E H U B,：.O

19、G/E H又 O 4 5,.四 边 形。是 平 行 四 边 形:.E H=0G又 E H=CD,：.O G=C DCD为。直 径，.O G是。半 径 又 0 G L Z 8,是。O 的 切 线(3)连 接 0 E,丁。为 直 径，A Z Z)C=90设 BH=x,:BE=4BH,:.B E=4x在 R t/B H E中，由 勾 股 定 理 得 EH=4(4x)2-x：=仃 丫 乂 E H=gC D,：.C D 2 yfl5 xV Z B=Z C,；.R tA B E H s RtA CDE.殂 _ BE_ _ 4x _ 2715CE=CD=2yl5x=1514、（广 东 珠 海）已 知，4 8

20、 是。的 直 径，点 尸 在 弧 t（不 含 点/、B）,把 ZOP沿。对 折，点/的 对 应 点 C恰 好 落 在。上.（1）当 尸、C 都 在 4 3 上 方 时（如 图 1）,判 断 P。与 8 C的 位 置 关 系（只 回 答 结 果）：（2）当 P 在 上 方 而 C在 下 方 时（如 图 2）,（1）中 结 论 还 成 立 吗？证 明 你 的 结 论;（3）当 P、C 都 在 Z 8 上 方 时（如 图 3）,过 C 点 作 8,直 线/P 于。，且 C Z）是。的 切 线，证 明：AB=4PD.解：3 PO BC(2)PO/BC 成 立 证 明：由 对 折，得 N4PO=NCPO

21、JAOPO,：.ZA P O ZA.弧 2 8=弧 心，:.N A=NPCB：.Z C P O Z P C B,：.PO/BC(3)：CD 是。的 切 线，：.OCLCD又 CD LAP,：.20C D=NC尸=90：.OC/AP,：.ZCPD=ZOCP由 对 折，得/Z=/O C P,:C P D=4 A又 NA=NOPi,ZOPC=ZOCP,N/PD 是 平 角 NCPD=NCPO=NOR1=60。,：.C PO P=A B在 RtZXCPO 中，P=C P.cos600=cP=：/8：.AB=PD15、(广 西 贺 州)如 图，P 为。外 一 点，PA、P8 为。的 切 线，A.8 为

22、切 点，/C 为。的 直 径，P O 交 0 O 于 点、E.(1)试 判 断/P8与 N8/C 的 数 量 关 系，并 说 明 理 由.(2)若。的 半 径 为 4,尸 是。外 一 动 点，是 否 存 在 点 P,使 四 边 形 P/O8为 正 方 形？若 存 在，请 求 出 尸。的 长，并 判 断 点 尸 的 个 数 及 其 满 足 的 条 件；若 不 存 在，请 说 明 理 由.解：(1)N A PB=2NBAC理 由：,:PA、P8 为。的 切 线，:.PA=PB,N 4 P 0=N B P O/N 4 P B在 等 腰 八 4尸 8 中，P F 为 N A P B 的 平 分 线：.

23、ZPFA=90,：.ZAPO+ZPAB=90：口 切。于 点 Z,J.PAA.OA即/B/C+NPN8=90,A Z A P O=B A C：.NAPB=2NB4c(2)四 边 形 P/O8是 正 方 形 时 PA=AO=OB=BP=4,PO_L/48 且 P0=N8：.-PO-AB=PA-PB,即 2 P=16.尸 0=4近 这 样 的 点 P 有 无 数 个，它 们 到 圆 心 O 的 距 离 等 于 O P 的 长16、(福 建 莆 田)如 图，点 C 在 以 N 8 为 直 径 的 半 圆。上，延 长 2 C 到 点 3,使 得 C=8C,过 点 D 作。EJL48于 点 E,交/C

24、于 点 尸，点 G 为。尸 的 中 点，连 接 CG、OF、FB.(1)求 证：C G 是。的 切 线;(2)若 1尸 8 的 面 积 是 A O C G 的 面 积 的 2 倍，求 证：OF/BC.证 明：(1)连 接 OC,.1 6 为 0 O 的 直 径，A ZACB=90在 RtZZ)CF 中，DG=FG：.CG=DG=FG,.*.Z 3=Z 4V Z 3=Z 5,.*.Z 4=Z 5：OA=OC,.*.Z1=Z2又 Z l+Z 5=90.N 2+N 4=9 0,即 NGCO=90.CG是。的 切 线(2),:DG=FG,:$DCF=2 S GDCG,:CD=BC,:，SGDCF=2

25、S A B C F，:，S&BCF=2S&DCG又.：S&A F B=2S&DCG，:*S&A F B=S&BCF：.AF=FC又：04=OB,：.OF/BC1 7.（2012辽 宁 大 连）如 图，48 是。的 直 径，点 C 在。上，NC/8的 平 分 线 交。于 点。，过 点。作 Z C 的 垂 线 交 4 C 的 延 长 线 于 点 E,连 接 BC交/。于 点 尸.（1）猜 想 成）与。的 位 置 关 系，并 证 明 你 的 猜 想;（2）若 48=6,A D=5,求 力 尸 的 长.解：(1)猜 想：与。相 切 证 明：连 接 O D,则 04=0。，：.ZO A D ZODA平

26、分 NG48,：.ZCAD=ZOAD=ZODAJ.OD/AE,：.ZAED+ZODE80：DE L A E,即/7)=90.NOOE=90。，BP ODA.ED：.E D与。相 切(2)连 接 8。.AB 是。的 直 径，；.ZADB=90,:NBAD=NCAD=NCBD,NADB=NBDF:.丛 D A B s丛 D B F,，倏=答 BD 卜 D5y/62-52广？FD11 14.AF=AD FD=5=18、（2012,泉 州）（12分）已 知:A、B、C 不 在 同 一 直 线 上.（1）若 点 A、B、C 均 在 半 径 为 R 的。0 上，A、B、C 如 图 一，当/A=45时，R=

27、l,求/B0C的 度 数 和 BC的 长 度；如 图 二，当 N A 为 锐 角 时，求 证 sin/A=；2R（2）.若 库 馋 线 较 BC的 两 个 端 点 分 别 在/MAN的 两 边 AM、AN（B、C 均 与 点 A 不 重 合）滑 动,如 图 三，当 NMAN=60,BC=2时，分 别 作 BP_LAM,CP1AN,交 点 为 点 P,试 探 索：在 整 个 解：（1）NB0C=90（同 弧 所 对 的 圆 周 角 等 于 其 所 对 的 圆 心 角 的 半）；山 勾 股 定 理 可 知 BC=Vl+I-V2（提 示：也 可 延 长 B0或 过 点 0 作 BC边 的 垂 线 段

28、）证 明：可 连 接 B0并 延 长，交 圆 于 点 E,连 接 EC.可 知 EC_LBC（直 径 所 对 的 圆 周 角 为 90）且 NE=NBAC（同 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等）4 BC故 sinZA=-.2R（2）.保 持 不 变.可 知 CQPsaBQA,ftZAQP=ZBQC,所 以 BCQsaAPQ；BC CQ BC 4 7 3，、一 人、即 一=；AP-（为 定 值）.AP PQ cos 300 3故 保 持 不 变。19、(2012,桂 林)如 图，等 圆。和。2相 交 于 4 8 两 点，。0|经 过。2的 圆 心，顺 次 连 接“、。|、B、O2.(1)求 证

29、：四 边 形/。山 牡 是 菱 形；(2)过 直 径 A C 的 端 点 C 作。的 切 线 C E 交 A B 的 延 长 线 于 E,连 接 CO2交 4 E 于 D,求 证：CE=2O2D；(3)在(2)的 条 件 下，若/Q。的 面 积 为 1，求 的 面 积.证 明：与。Q 是 等 圆,=。乃=8。2=。24.1 分.四 边 形/。产 仪 是 菱 形.2 分(2).四 边 形 Z O/a 是 菱 形 来 源:中 教 八 网&：.N OiAB=N O/B.3 分 是。1的 切 线，/C 是。的 直 径,Z ACE=Z AO2C=90.4 分 中&国 教 育*%出 版 网:.A C E

30、s d A O Q.5 分 殷=四 gp C E=2DO2.6 分 EC AC 2 2(3)；四 边 形 2。/。2是 菱 形 A AC/BO2：./XACD BO2D,8 分.DB _ B O2 _ I A D 4 C 2AD=2BD.9 分.s 0 M O2D二 11 S&O DB1220、（2012,天 门）如 图，。为。O上 一 点，点 C 在 直 径 的 延 长 线 上，ZCDA=ZCBD.（1）求 证：8 是。的 切 线;2（2）过 点 3 作。的 切 线 交 C。的 延 长 线 于 点 E,若 8C=6,tanNC%=,求 BE3的 长.(1)证 明：如 图(1 3),连 结 0

31、 0,OB=OD,AOBD=ZBDO.ZCDA=ZCBD.ZCDA=NODB.又 是。的 直 径，.-.ZADO+ZODB=90,NADO+ZCDA=90即 N 8 O=90,:.CD 是 QO 的 切 线.O A F A G(2)解：由 tanNCZX4=tanNN3O=,得”,3 BD 3v ZC=AC,ZCDA=ZCBD,:./CAD/CDB,=BC BD 3,/BC-6,/.CD-4.:CE、BE 是。的 切 线，.8E=0E,BE 1 BC,5BE2+BC2=EC2 即(4+BE)=62+BE2,解 得 BE=/.21、（2012常 德）如 图 8,已 知 AB=AC,Z B A C

32、=1 2 0,在 B C上 取 一 点 O,以 O 为 圆 心 O B为 半 径 作 圆，且。过 A 点，过 A 作 AD B C交 0 O 于 D,求 证：（1）A C是。O 的 切 线；（2）四 边 形 BO A D是 菱 形。知 识 点 考 察：圆 的 切 线 的 判 定，等 腰 三 角 形 的 性 质，等 边 三 角 形 的 性 质，三 角 形 内 角 和，平 行 线 的 性 质，垂 直 的 定 义，菱 形 的 判 定。能 力 考 察：.观 察 能 力，逻 辑 推 理 能 力，打 写 表 达 能 力。分 析：求 证 A C是。的 切 线，则 证 O A _L A C,很 显 然 要 运

33、 用 圆 的 切 线 的 判 定 定 理。要 证 四 边 形 BOAD是 菱 形，先 证 BO AD为 平 行 四 边 形，再 证 一-组 邻 边 相 等。证 明：（1）VAB=AC,ZBAC=I2O,.,.ZABC=ZC=30而 OB=OA,A ZBAO=ZABC=30,.ZCAO=120n-30=90O A A C,而 O A为。O 的 半 径，A C是 O O 的 切 线。（2）连 OD,VAD/7BC.ZDAB=ZABC=30,ZDAO=60而 OA=OD,A D为 等 边 三 角 形，OB=OA=AD,又：AD BC,；.A D B O为 平 行 四 边 形，且 OA=OB.四 边

34、形 BOAD是 菱 形。22、(2012湘 潭)如 图，在。O 上 位 于 直 径 A B的 异 侧 有 定 点 C 和 动 点 P,A C=A B,点 P在 半 圆 弧 A B上 运 动(不 与 A、B 两 点 重 合)，过 点 C 作 直 线 P B的 垂 线 C D交 P B于 D 点.图 1 图 2 图 3(1)如 图 1,求 证：P C D s/A B C；(2)当 点 P 运 动 到 什 么 位 置 时，P C D g Z A B C?请 在 图 2 中 画 出 4 P C D 并 说 明 理 由;(3)如 图 3,当 点 P 运 动 到 C P L A B时，求/B C D 的

35、度 数.解：(1)证 明：A B是。O 的 直 径,ZACB=900,V PD 1C D,ZD=90,.Z D=Z A C B,：N A 与 N P 是 前 对 的 圆 周 角，Z A=Z P,.PC D A A B C：(2)解：当 P C是。O 的 直 径 时，ZXPCD丝 aA B C,理 山：TA B,P C是。O 的 半 径，；.AB=PC,PCDs/XABC,.二 PCD 丝 ABC；(3)解:V ZACB=90,AC=AB,.ZABC=30,V A P C D A A B C,ZPCD=ZABC=30,V C P I AB,A B是。的 直 径，.,.AC=AP.图 2.ZACP

36、=ZABC=30,ZBCD=ZA C-ZACP-ZPCD=900-30-30=30.23、（2012江 苏 苏 州，27,8 分）如 图，已 知 半 径 为 2 的。与 直 线/相 切 于 点/，点 P 是 直 径 左 侧 半 圆 上 的 动 点，过 点 尸 作 直 线/的 垂 线，垂 足 为 C,PC与。交 于 点 连 接 产 工、P B,设 P C的 长 为 霁 当#=：时，求 弦 P/、P 8的 长 度；当 x 为 何 值 时，PD-CD的 值 最 大？最 大 值 是 多 少？C A【答 案】解：；。与 直 线/相 切 于 点 4 为。的 直 径，.又；PC_L/,:.ABPC.：.ZC

37、PA=ZPAB.为。的 直 径，.：.ZPCA=ZAPB.：./P C A/A P B.言=备 w=B；PC=1,48=4,q x 4=、如.在 R tZ/P 8中，由 勾 股 定 理 得：PB=V16-10=蜴.过。作 OE_LPZ),垂 足 为；尸。是。的 弦，OFLPD,：.PF=FD.在 矩 形 O E C/中，CE=OA=2,：.PE=ED=x2.C D P C-PD=霁-2(j 2)=4%./.P.&-CP=2 O-2).C 4-)=-2 J2+1 2 X-1 6=-2?-3)s+2.,.z v 雷，工 当 落 二 m时,同？有 最 大 值，最 大 值 是 2.24、(2 0 1

38、2,扬 州)如 图，是。的 直 径，C 是。上 一 点，垂 直 于 过 点 C 的 切 线,垂 足 为 D.求 证：/C 平 分 8皿(2)若 Z C=2 4，C D=2,求。的 直 径.分 析：(1)连 接 OC，根 据 切 线 的 性 质 判 断 出/D O C,得 到/C=/O O i,再 根 据。/=OC 得 到 N ONC=N OCA,可 得 力 C 平 分/8/D(2)连 接 8 C,得 到 4 Z)C s/x/c 8,根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 即 可 求 出 的 长 解 答：解：（1）如 图：连 接 OC,。切。于 C,：.A D LC D,N/O C=N O C

39、F=9 0。,：.A D/O C,：.Z D A C Z O C A,：OA=OC,：.Z O A C Z O C A,即 A C平 分 N B/D 连 接 8 c.-A B是 直 径，Z A C B=90=Z A D C,：Z O A C Z O C A,:.A D C s A C B,AC AD ABAC _在 RtZX/DC 中，A C=2 CD=2,：.A D=4,.2 7 5 _ 4AB 25：.A B=5.25、（2012,德 州）如 图，点 4 E 是 半 圆 周 上 的 三 等 分 点，直 径 8c=2,AD 1 BC,垂 足 为 连 接 B E 交 4。于 尸，过 力 作/G

40、 8E交 B C 于 G.解：（1）Z G 与。相 切.（1分）证 明：连 接 04,点 儿 是 半 圆 周 上 的 三 等 分 点,:.B A=A E=EC点 A 是 B E的 中 点,J.OALBE.又,：AG BE,J.OA1AG.；.4G与。O 相 切.（5 分）（2）.点/,E 是 半 圆 周 上 的 三 等 分 点，:.NAOB=NAOE=NEOC=60.又 04=0B,.480为 正 三 角 形.（6 分）5LADVOB,08=1,BD=OD-，AD=2 2（8 分）又 NEBC=-NEOC=30,2在 Rt 尸 8。中，FD=BD-tan AEBC=BD-tan30=,6V3

41、73 V3 AF=AD-DF=-=.2 6 3（10 分）26、（2012济 宁）如 图，A B 是。O 的 直 径，A C 是 弦，OD_LAC于 点 D,过 点 A 作。的 切 线 AP,A P 与 O D 的 延 长 线 交 于 点 P,连 接 PC、BC.（1）猜 想：线 段 O D 与 BC 有 何 数 量 和 位 置 关 系，并 证 明 你 的 结 论.（2）求 证：PC是 O O 的 切 线.分 析：（1）根 据 垂 径 定 理 可 以 得 到 D 是 A C 的 中 点，则 O D 是 A A B C 的 中 位 线，根 据 三 角 形 的 中 位 线 定 理 可 以 得 到

42、OD BC,CD=AB C；2（2）连 接 O C,设 O P 与。O 交 于 点 E,可 以 证 得 OAPgOCP,利 用 全 等 三 角 形 的 对 应 角 相 等，以 及 切 线 的 性 质 定 理 可 以 得 到：ZOCP=90,即 OCLPC,即 可 等 证.解 答：（1）猜 想：OD BC,CD=1BC.2证 明：VODXAC,；.AD=DC；A B 是。O 的 直 径，.-.OA=OB.2 分 A O D 是 4 A B C 的 中 位 线，.,.OD/7BC,O D=A B C2（2）证 明：连 接 O C,设 OPLj。交 于 点 E.ZODIAC,O D 经 过 圆 心

43、O,A AE=CE.即/AOE=NCOE在 a O A P 和 OCP中，VOA=OC,OP=OP,.,.OAPAOCP,ZOCP=ZOAPVPA 是。O 的 切 线，:.ZOAP=90.A ZOCP=90,BP OC1PC.PC是（D O 的 切 线.27、（2012衢 州）如 图，在 R t A B C中，ZC=90,/A B C 的 平 分 线 交 A C于 点 D,点 O是 A B上 一 点，。过 B、D 两 点，且 分 别 交 AB、B C于 点 E、F.（1）求 证：A C是。的 切 线；（2）已 知 AB=10,B C=6,求。O 的 半 径 r.（1）证 明：连 接 OD.VO

44、B=OD,A ZOBD=ZODB（等 角 对 等 边）；VBD 平 分 NABC,.*.ZABD=ZDBC,ZODB=ZDBC（等 量 代 换）,.OD BC（内 错 角 相 等，两 直 线 平 行）；又,.NC=90（已 知），./A D O=90。（两 直 线 平 行，同 位 角 相 等）,.,.A C 1 O D,即 A C是。的 切 线；（2）解：由（1）知，OD/7BC,更 蚀（平 行 线 截 线 段 成 比 例）,BC A B.r 1 0-r,，6 10解 得 T,即。O 的 半 径 r 为 4 428、(内 蒙 古 呼 和 浩 特 8 分)如 图 所 示，A C为。的 直 径 且

45、 P A A C,B C O O 的 一 条 弦，直 线 PB交 直 线 A C于 点 D,.DP DO 3(1)求 证：直 线 PB是。的 切 线；(2)求 coszBCA 的 值.【答 案】(1)证 明：连 接 OB、0PD R nr 7.匕=%=4 且 N D=N D,AB D J P D O。DP DO 3.,.zDBC=zDP0o.BClI.OPo.,.zBCO=zPOA,zCBO=zBOPo.OB=OC,.,.zOCB=zCBO(.,.zBOP=zPOAo又.OB=OA,OP=OP,.“BOP学 AOP(SAS)0.1.zPBO=zPAOo 又,.PAJLAC,.zPBO=90。直

46、 线 PB是。的 切 线。(2)由(1)知 N BCO=N POA。设 PB=a,则 BD=2a,又,；PA=PB=a,.,.AD=2 laoDC又 BCllOP,.=2.CO.DC=CA=x ly jla=&a。2C A 近-OA=-a o2.OP=2/.coszBCA=co szPOA=。329、（内 蒙 古 乌 兰 察 布 10分）如 图，在 RtAABC中，ZACB=90D是 A B 边 上 的 一 点，以 BD为 直 径 的。0 与 边 A C 相 切 于 点 E,连 结 DE并 延 长，与 BC的 延 长 线 交 于 点 F.(1)求 证：BD=BF;(2)若 BC=12,AD=8

47、,求 BF 的 长.【答 案】解：(1)证 明：连 结 OE,VOD=OE,A Z0D E=Z0EDo。0 与 边 A C相 切 于 点 E,A O E lA E o N0EA=9 0。V ZACB=90,AZ0EA=ZACBo AOE/ZBCo Z F=Z 0 E Do.*.Z0D E=ZFo/.BD=BFo(2)过 D作 D GJ_AC于 G,连 结 BE,A Z D G C=Z E C F,DG BC。BD 为 直 径，A Z B E D=9 0。VBD=BF,ADE=EFo在 ADEG fllA FECV Z D G C=Z E C E,NDEG=/FEC,DE=EF,VDG/7BC,

48、/.ADGAABCo8=CF8+12+C F-i7A CF2+20CF-96=0,.A A D E G A F E C(A A S)。ADG=CFoDGoBCCF=4 或 CF=-24(舍 去)。.AD ABBF=BC+CF=12+4=1630、(凉 州)如 图 1 和 图 2,M N是。O 的 直 径，弦 AB、C D 相 交 于 M N 上 的 一 点 P,ZAPM=ZCPM.(1)由 以 上 条 件，你 认 为 A B和 C D大 小 关 系 是 什 么，请 说 明 理 由.(2)若 交 点 P 在。的 外 部，上 述 结 论 是 否 成 立？若 成 立，加 以 证 明：若 不 成 立，

49、请 说 明 理 由.(1)(2)解 题 思 路：(1)要 说 明 A B=C D,只 要 证 明 AB、C D所 对 的 圆 心 角 相 等，只 要 说 明 它 们 的 半 相 等.上 述 结 论 仍 然 成 立，它 的 证 明 思 路 与 上 面 的 题 目 是 一 模 一 样 的.解：(1)AB=CD理 山：过 O 作 OE、O F分 别 垂 直 于 A B、C D,垂 足 分 别 为 E、FV ZAPM=ZCPM A Z 1=Z 2 OE=OF连 结 OD、OB OB=OD A R tA O PD R tA O EB；.DF=BE根 据.垂 径 定 理 可 得：AB=CD(2)作 OE_

50、LAB,O F C D,垂 足 为 E、F,/ZAPM=ZCPN 且 OP=OP,ZPEO=ZPFO=90R tA O PER tA O PF.,.OE=OF连 接 OA、OB、OC、OD易 证 R tA O BER tA O D F,RtA O A ER tA O C FA Z 1+Z 2=Z 3+Z 4 AAB=CD31、.已 知：如 图 等 边 N B C内 接 于。0,点 P 是 劣 弧 P C上 的 一 点(端 点 除 外)，延 长 8 P 至。，使 8。=/尸，连 结 CZ).(1)若 N P过 圆 心。，如 图，请 你 判 断 尸。是 什 么 三 角 形？并 说 明 理 由.(2