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1、圆锥曲线圆锥曲线题组二题组二一、一、选择题选择题1(江西省上高二中江西省上高二中 20112011 届高三理）届高三理）函数 yx22x 在区间a，b上的值域是1，3，则点(a，b)的轨迹是图中的A线段 AB 和线段 ADB线段 AB 和线段 CDC线段 AD 和线段 BCD线段 AC 和线段 BD答案答案 A.A.x22（浙江省桐乡一中（浙江省桐乡一中 20112011 届高三文）届高三文）已知点 P 的双曲线a2y2b21（a0，b0）右支上一点，F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点，I 为PF1F2 的内心，若SIPF1 SIPF2SIF1F2成立，则的值为（）a2b22a（A）a22a
2、 b（B）ba（C）a（D）b答案答案 B.B.3.山西省四校山西省四校 20112011 届高三文）届高三文）设曲线 y=x(n N),在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标n+1*为xn,则 log2011x1+log2011x2+log2011x2010的值为（）A.-log20112010 B.-1 C.log20112010-1 D.1答案答案 B.B.x2y216121 的长轴为 A1A2，短轴为 B1B2，将椭圆沿 y4(浙江省桐乡一中浙江省桐乡一中 20112011 届高三文届高三文)椭圆轴折成一个二面角，使得 A1 点在平面 B1A2B2 上的射影恰好为椭圆的右焦点，
3、则该二面角的大小为（）（A）75（B）60（C）45（D）30答案答案 B.B.5.（福建省福州八中福建省福州八中20112011届高三理）届高三理）在点（0，1）处作抛物线y x2 x1的切线，切线方程为A.2x y 2 0B.3x y 3 0C.x y 1 0D.x y 1 0答案答案 D.D.6.（河北省唐山一中河北省唐山一中 20112011届高三文）届高三文）x2y21的右焦点到一条渐近线的距离为 1，则该双曲线的离心率为已知双曲线3b2（）A.2B.3C.2 33 2D.32答案答案 C.C.7(河南信阳市河南信阳市 20112011 届高三理）届高三理）若一圆弧长等于其所在圆的内
4、接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）A3B2C3D2答案答案 C.C.x2y216121 的长轴为 A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿 y8（浙江省桐乡一中（浙江省桐乡一中 20112011届高三文）届高三文）椭圆轴折成一个二面角，使得 A1 点在平面 B1A2B2 上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）（A）75（B）60（C）45（D）30答案答案 B.B.二、二、填空题填空题2 2x9（浙江省桐乡一中（浙江省桐乡一中 20112011届高三理）届高三理）已知抛物线 4 4y上一点 N 到其焦点 F 的距离是 3，那么点N 到直线 y1 的距离等于答案 3.10（浙江省桐
5、乡一中（浙江省桐乡一中 20112011 届高三文）届高三文）已知抛物线y 4x的一条切线与直线x 8y 2 0垂直，则切点的坐标是答案答案（1，4）211（广东省广州东莞五校广东省广州东莞五校 20112011 届高三理）届高三理）抛物线y2 4x上一点M到焦点的距离为 3，则点M的横坐标x 答案 2.2y 2px(p 0)，过定点（p，0）作两条互相垂12（浙江省桐乡一中（浙江省桐乡一中 20112011 届高三文）届高三文）已知抛物线直的直线 l1 和 l2，其中 l1 与抛物线交于 P、Q 两点，l2 与抛物线交于 M、N 两点，l1 斜率为 k某p同学已正确求得弦 PQ 的中点坐标为
6、（k2答案(pk p,pk)2 p,pk），则弦 MN 的中点坐标（2 2）简答题简答题12（江苏泰兴市重点中学（江苏泰兴市重点中学 20112011届届理）理）（本小题满分 14 分）已知：在函数的图象上，f(x)mx3 x以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为.4（I）求m,n的值；（II）是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)k 1993对于x1,3恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k，如果不存在，请说明理由。答案12依题意，得f(1)tan4,即3m 11,m 2.3因为f(1)n,所以n .6分132（II）令f(x)2x 1 0,得x 2.8分2当1 x 2时,f(x)2x21
7、 0;2当22 x 时,f(x)2x21 0;22当2 x 3时,f(x)2x21 0;212222,f(),f(),f(3)15.323232 f(x)15.12分3又f(1)因此，当x1,3时,要使得不等式f(x)k 1993对于x1,3恒成立，则k 15 1993 2008.所以，存在最小的正整数k 2008.使得不等式f(x)k 1993对于x1,3恒成立13（江苏泰兴市重点中学（江苏泰兴市重点中学 20112011届届理）理）把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。1x 1t2（1）（t 为参数）；y 23t2x 1t2（2）（t 为参数）；y 2t答案 13（1）由x
8、 11t,得t 2x22 y 23(2x2)2 3x y23 0，此方程表示直线（2）由y 2t，得t y 2x 1(y2)2即(y2)2 x1，此方程表示抛物线14（浙江省桐乡一中（浙江省桐乡一中 20112011届高三理）届高三理）已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,且抛物线 x2=4 4 2 2y 的焦点是椭圆 M 的一个焦点,又点 A(1,2 2)在椭圆 M 上.()求椭圆 M 的方程;()已知直线 l 的方向向量为(1,2 2),若直线 l 与椭圆 M 交于 B、C 两点,求ABC 面积的最大值.y2x2212(0,2)aa 2答案 14解:()由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为.21
9、14222A(1,2)aa 2将点代入方程得,整理得a 5a 4 0,解得a 4或a 1(舍).22y2x212故所求椭圆方程为4.6 分()设直线BC的方程为y 代入椭圆方程并化简得4x22xm,设B(x1,y1),C(x2,y2),2 2mx m24 0,9 分222 8m 16(m 4)8(8 m)0,可得m2 8.()由2m2 4x1 x2 m,x1x224,由3 162m2BC 3 x1 x22故.d m3,11 分又点A到BC的距离为故SABCm2(162m2)112m2(162m2)BC d 22424 2,22当且仅当2m 162m,即m 2时取等号(满足式)所以ABC面积的最
10、大值为2.15（浙江省桐乡一中（浙江省桐乡一中 20112011届高三理）届高三理）（本小题满分 15 分）已知函数 f(x)ln(2x)ax.（）设曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线为 l，若 l 与圆(x+1)2+y2=1 相切，求 a 的值；（）求函数的 f(x)单调区间.f(x)a答案15解:（）依题意有，1x2.因此过(1,f(1)点的直线的斜率为a 1，又f(1)a,所以，过(1,f(1)点的直线方程为y a (a1)(x1).1a1又已知圆的圆心为(1,0)，半径为1，依题意，(a1)121，解得a 1.f(x)a（）1x 2.(1)当 a 0 时，f(x)0恒成立，所
11、以f(x)的单调减区间是（,2 2)21 2a，又由已知x 2.112 x 2a，令f(x)0，解得a.（2）当a 0，所以令f(x)0，解得x 211(,2)(2,2)a,f(x)的单调减区间是a所以,f(x)的单调增区间是.16（四川省成都外国语学校（四川省成都外国语学校 20112011届高三届高三 1010 月文）月文）11（12 分）已知函数f(x)ax3x2(2 2a)x b。32（1）若曲线y f(x)在点 P(1,f(1)处的切线方程为y（2）证明函数y f(x)不可能在 R 上的增函数；1，求a,b的值；2（3）若函数y f(x)在区间(2,0)上存在极值点，求实数a的取值范
12、围。f(1)01a 11 答案 16解：（1）f(x)ax x(2 2a)b f(1)322（2）假设f(x)0ax2 x(2 2a)恒成立a02 0 8a 8a 1 0而a0 时 8a28a 10，不可能f(x)0（3）当a 0时f(x)x 2 0 x 2(2,0)不满足x2当a 0，则方程x2(2)0在(2,0)有解aax2设g(x)x2(2)aa若g(2)g(0)0时a 1或a 2，此时0。而a 1,g(x)0 x 0或x 1不成立3a 2时g(x)0 x 2或不成立2ba(,1)(2,)，202a若g(2)g(0)0.5无解故a(,1)(2,)2217（浙江省桐乡一中（浙江省桐乡一中
13、20112011 届高三文）届高三文）（本小题满分 15 分）已知圆 O：x y 2交 x 轴于 A，B2两点，曲线 C 是以 AB 为长轴，离心率为2的椭圆，其左焦点为 F若 P 是圆 O 上一点，连结 PF，过原点 P 作直线 PF 的垂线交直线x 2于点 Q（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若点 P 的坐标为（1，1），求证：直线 PQ 圆 O 相切；（3）试探究：当点P 在圆 O 上运动时（不与A、B 重合），直线PQ 与圆 O 是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由a 2,e 2,所以c 1.2答案 6解：（1）因为x2 y21则 b=1，即椭圆 C 的标准方程为
14、2（2）因为 P（1，1），所以所以kOQ 2kPF1,2，所以直线 OQ 的方程为 y=2x.又 Q 在直线x 2上，所以点 Q（2，4）k kPQPQ 1 1,k kO OP P 1 1,kOPkPQ 1,即 PQOQ，故直线 PQ 与圆 O 相切，（3）当点 P 在圆 O 上运动时，直线PQ 与圆 P 保持相切的位置关系.设P(x0,y0)(x0 2)，2 22 2y y0 0 2 2 x x0 0,所以所以k kPFPF 则y y0 0 x x 1 1,k kOQOQ 0 0,x x0 0 1 1y y0 0 x01x,y0y 所以直线 OQ 的方程为(2,2x0 2)y0所以点 Qy
15、 y0 0 k kPQPQ 所以2 2x x0 0 2 22 2y y0 0y y0 0 (2 2x x0 0 2 2)x x0 0 2 2(x x0 0 2 2)y y0 02 x0 2x0 xy 0,又kOP0(x0 2)y0y0 x0所以kOPkPQ 1，即 OPPQ（P 不与 A、B 重合），故直线 PQ 始终与圆 O 相切.18.(福建省福州八中福建省福州八中 20112011届高三文届高三文)（本小题满分 12 分）已知函数f(x)x33ax 1，a R.（）若函数y f(x)的图象在x 1处的切线与直线y 6x6平行，求实数a的值；（）设函数g(x)f(x)6，对任意的1 x 1
16、，都有g(x)0成立，求实数a的取值范围；（）当a 0时，请问：是否存在整数a的值，使方程f(x)15有且只有一个实根？若存在，求出整数a的值；否则，请说明理由.2答案18.解：（）f(x)3x 3a1 分f(1)3 3a=62 分a=13 分（）g(x)3x23a6g(x)3x23a60在(-1,1)上恒成立.4 分a1在(-1,1)上恒成立.a 16 分（）存在7 分理由如下：方程f(x)15有且只有一个实根，即为函数y f(x)的图象与直线y 15有且只有一个公共点.由f(x)3x23a（1）若a 0,则f(x)0,f(x)在实数集 R 上单调递增此时,函数y f(x)的图象与直线y 1
17、5有且只有一个公共点.8 分（2）若a 0，则f(x)3(xa)(xa).9 分列表如下：x-a(-a,)(-,-a)-a(-a,-a)f(x)f(x)+0极大值-0极小值+(f(x)极小值15)(f(x)极大值15)0，得：(a)38(a)38010 分0(a)38，解得4a0.11分综上所述，4b0）上一点，F1、F2分别是椭圆 E 的左、2ab右焦点，O 是坐标原点，PF1x 轴.求椭圆 E 的方程；设 A、B 是椭圆 E 上两个动点，PA PB PO（04，且2）.求证：直线 AB 的斜率等于椭圆 E 的离心率；在的条件下，当PAB 面积取得最大值时，求的值.答案 19.19.解：解：
18、PF1x 轴，F1(-1，0)，c=1，F2(1，0)，|PF2|=2 （）23225，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，2x2y21；3 分椭圆 E 的方程为：43设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，由PA PB PO得333）+（x2+1，y2-）=(1,-)，2223所以 x1+x2=-2，y1+y2=(2-)5 分2（x1+1，y1-222又3x1 4y1212，3x2 4y212，两式相减得 3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.以式代入可得 AB 的斜率 k=y1 y21c=e；8 分x1 x22a设直线 AB 的方程为 y=1x+t，2与3x2 4y212联立消去 y 并整理得 x2+tx+t2-3=0,=3(4-t2)，|AB|=1 k|x1 x2|121153(4t2)4t2，42,点 P 到直线 AB 的距离为 d=2|t 2|5PAB 的面积为 S=设 f(t)=S2=13|AB|d=4t2|t 2|,10 分22343(t-4t+16t-16)(-2t2)，481，4f(t)=-3(t3-3t2+4)=-3(t+1)(t-2)2，由 f(t)=0 及-2t0，当 t(-1,2)时，f(t)0，f(t)=-1 时取得最大值所以 S 的最大值为9.2此时 x1+x2=-t=1=-2，=3.12 分