《全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（圆锥曲线与方程）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（圆锥曲线与方程）.pdf（37页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、全 国 各 地 高 考 数 学 试 题 及 解 答 分 类 汇 编 大 全（圆 锥 曲 线 与 方 程）一、选择题：1.（2 008 北京理）若点P到直线x =-l 的距离比它到点（2,0）的距离小1,则点P的轨迹为（D ）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线2.（2 008 福建文、理）双 曲 线=+与=1（。0,力0）的两个焦点为百,广，若 P为其上的一点，目a hI 1=2 I P 8I,则双曲线离心率的取值范围为（B ）A.（1,3）B.（1,3 C.（3,+8）D.3,+oo）2 23、（2 008 海南、宁夏文）双曲线土-2-=1 的焦距为（D ）10 2A.3A/2 B.4
2、5/2 C.3 5/3 D.4A/34、（2 008 海南、宁夏理）已知点P在抛物线y 2 =4 x 上，那么点P到点Q （2,-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P的坐标为（A）A.（-,-1）B.（-,1）C,（1,2）D.（1,-2）4 45.（2 008 湖北文、理）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点产变轨进入以月球球心尸为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在尸点第二次变轨进入仍以尸为一个焦点的椭圆轨道H 绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道HI 绕月飞行，若用2 c l和 2 c 2 分别表示椭圆轨道I 和
3、I I 的焦距，用 2%和2%分别表示椭圆轨道I 和 H 的长轴的长，给出下列式子：q +q =a,+c2ax-q =a、c2cya2 ac2 0/0）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线a2 b的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（C ）A.（1,V 2 B./2,+00）C.（1,2 +1 D.V 2 +1,+oo）7.（2 008 湖南理）若 双 曲 线 二-4=1（“0 力 0）上横坐标为名的点到右焦点的距离大于它到左准线a b 2的距离，则双曲线离心率的取值范围是（B.）A.（l,2）B.（2,+oo）C.（l,5）D.（5,+00）8.（2 008 江西文、理）已知、鸟 是 椭
4、圆 的 两 个 焦 点.满 足 MF?=。的点 总 在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C ）A.（0,1）B.（0,-2c.（。,也）2D.g,D29.（2 008 辽宁文）已知双曲线9 y2-m2x2=l（m 0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为g ,则机=（D ）A.1 B.2 C.3 D.410.（2 008 辽宁理）已知点尸是抛物线尸=2 x 上的一个动点，则点P到 点（0,2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（A）V 17 77 9A.-B.3 C.J5 D.一2 211.（2 008 全 国 I 卷文）若直线+2=1 与圆x 2 +V=l 有公共点，贝 ij（D
5、）a bA.a2+b2 1 B.a2+h2 1 C.1+D.1+a2 b2 a2 b212.（2 008 全国U 卷文）设 A B C 是等腰三角形，N A 8 C =12 0,则以4 8为焦点且过点。的双曲线的离心率为（B ）A.匕 正 B.2 C.1+V 2 D.1 +V 32 22 213.（2 008 全国I I 卷理）设。1,则双曲线二 =1的离心率e 的取值范围是（B ）a2（a +l）2A.（V 2.2）B.（V 2，V 5）C.（2,5）D.（2,75）14.（2 008 山东理）设椭圆G 的离心率为工，焦点在X 轴上且长轴长为2 6.若曲线Q 上的点13到椭圆G 的两个焦点的
6、距离的差的绝对值等于8,则曲线C 2 的标准方程为（A）2 2）26）A导=1 言 一 点=12 2予 一 不=1X2(D)-1 32 1 22=1V-2 v21 5.（20 0 8 陕西文、理）双曲线二J=1a b（a 0,80）的左、右焦点分别是月，F2,过月作倾斜角为3 0 的直线交双曲线右支于M点，若 垂 直 于 x轴，则双曲线的离心率为（B ）A.瓜 B.V 3 C.V 2D.立32 21 6.(20 0 8 上海文)设p 是椭圆卷+女=1A.4 B.5 C.8上的点.若 外 乃是椭圆的两个焦点，则|尸川+|尸 周 等 于 ）D.1 01 7.（20 0 8 四川文）已知双曲线C：Z
7、？-=1 的左右焦点分别为片,工，P为C 的右支上一点，且9 1 6 P F2=FF2,则A P6工的面积等于(C)(A)24 (B)3 6 (C)4 8 (D)9 62 21 7.【解 工 .,双曲线C:工 一 匕=1 中a=3,b =4,c=59 1 6.耳(-5,0),其(5,0).P 用=|片段.忸 用=24 +俨居|=6 +1 0 =1 6作P F i边上的高4鸟，则46=8,二F=6A P 弱的面积为；|尸/讣|尸刃=；*1 6*6 =4 8 故选C1 8.（2008四川理）已知抛物线C：V=8x的焦点为R,准线与x轴的交点为K,点A在C上且 A K =yl A F ,则 A4 F
8、 K 的面积为（B）(A)4 (B)8 (C)1 6 (D)3 21 8.1 解工.抛物线C:y 2=8 x的焦点为尸(2,0),准线为x =2设A(x 0，%)，过A点向准线作垂线A B,则8(2,%)：A K 42 A F,又AF=A8=XO_(-2)=XO+2K(-2,0).山 6 K 2 =AK2 AB 2 得%2=(4+2)2,即 8%=(%+2)2,解得A4 F K 的面积为g|KF H y 0|=g x 4 x 4 =8 故选 BBAF x2 219（2008天津文）设椭圆f +当=l（m 0,n 0）的右焦点与抛物线/=8 x的焦点相同,n离 心 率 为 则 此 椭 圆 的 方
9、 程 为（29 2x y 1A.-F =11 2 1 6B.2 2-厂-+1-厂-一1-1B)x220.(2008天津理)设椭圆+m1 6 1 2y2m2-1C.Y 12.-1-=14 8 6 4D.J J6 4 4 81（2 1）上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则P点到右准线的距离为（B ）1（A）6 （B）2（C）-2277)2y21.（20 0 8浙江文、9Y理）若双曲线一 一ab21的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心 率 是（D）（A）322.（20 0 8浙江理）(B)5(C)V 3(D)V 5如图，A B是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面
10、。内运动，使得A A B P的面积为定值，则动点P的轨迹是（B ）（A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线x223.（2008重庆文）若双曲线-3的准线上，则p的 值 为（C）（A）2（B）3 （C）41 6 y 2P11的左焦点在抛物线）a=2px(0)472X224.（2008重庆理）已知双曲线ra曲线方程为（C）y21 （a 0力 0）的一条渐近线为y=k x（k 0）,离心率则双(A)4ay24 a 22=1 +-ay25 a 22 2 工 y 1 (CVF=1X2y2k瓦1二、填空题：2 21.（2008安徽文）已知双曲线-上一=1的离心率是百。则=4n 12-2.（200
11、8福建文）若直线3x+4y+用=0与圆V +V -2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是（-8,0）U（10,+8）3、（2008海南、宁夏理）过 双 曲 线 土-乙=1的右顶点为A,右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近9 1632线的直线与双曲线交于点B,则4 A F B的面积为I I-2 24、（2008海南、宁夏文）过椭圆工+匕=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为5 4坐标原点，则A O A B的面积为_ _ _ _ _-35.（2008湖南理）已 知 椭 圆 二+二=1 （q 6 0）的右焦点为F,右准线为/,离心率e=X5.a b 5过顶点A（0,
12、b）作AM J./,垂足为M,则直线FM的斜率等于22 26.（2008江苏）在平面直角坐标系中，椭 圆 二+二=1（。6 0）的焦距为2,以O为圆心，。为半径的a h（a2 B圆，过点 ,0作圆的两切线互相垂直，则离心率6=c 2 一2 27（2008江西文）已知双曲线与-2r=1（0/0）的两条渐近线方程为y=若顶点到渐近a b 3线的距离为1,则双曲线方程为一三一主匚=1.4 48.（2008江西理）过抛物线2=2 0），（。0）的焦点尸作倾斜角为3 0 的直线，与抛物线分别交于A、BA川 1两点（点4在），轴左侧），则 一=_ _ _ _ _ _-_ _ _ _.FB 239.（200
13、8全 国I卷文）在A B C中，NA=9（T,tan 5=-.若以A,8为焦点的椭圆经过点C,则该4椭圆的离心率e=.210.（2008全 国I卷文、理）己知抛物线y=a x 2-i的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 2.71 1.（20 0 8 全 国 I 卷理）在 A 5C 中，A B =BCf co s 8 =-一 .若以A,8为焦点的椭圆经过点C,183则该椭圆的离心率e=81 2.（20 0 8 全国n卷理）已知F是抛物线C y 2=4 x 的焦点，过户且斜率为1 的直线交C 于 4 8两点.设|M|FZ?|,则|E 4|与怛M 的比侑等于 3+2.
14、1 3.（20 0 8 全国n卷文）已知尸是抛物线C：V=4x的焦点，A,B是C上的两个点，线段A 8的中点为M（2,2）,则XABF的面积等于 2.1 3.（20 0 8 山东文）已知圆 C:/+y 2-6 x-4 y +8 =0.以圆 C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述2 2条件的双曲线的标准方程为-=1 4 1 21 4.（2 0 0 8 上海文）若直线a x-y +l =0经过抛物线y 2=4 x 的焦点，则实数=-L .1 5.（2 0 0 8 上海理）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2”，短轴长为幼的椭圆，
15、已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为小、后，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导 航 灯 的 仰 角 分 别 为。2,那么船只已进入该浅水区的判别条件是4 c o t 4 +4,c o t 02 1,弘),8(乙,为)，则 不 马 是此二次方程的两个根.弘2 8(d 1)X+X)-z_ 9 XiX=.1-1 +2/1 2 +2k2AB=7(X j -x2)2+(y,-y2)2=J(1+J 2)(X|_%2)2 =7(1+2)()+X2)2-4X(X2=Ja+/m高尸32(%2-_4拒(1+小)l+2k2二女2=tai
16、?6代 入（1式得 ABl+2k4V22-cos2 0(1)(2)2当。时，|AB|=2 jI 仍 满 足（2）式。，|AM=4后2-c o s2 0(3)设有线4B的倾斜角为。，由于。E J.A B,由(2)可得|阳=二 旦，|。同 二4血1 1 2-c o s?。1 1 2-s i t?。i4Di|nr,4 V 2 4 V 2 1 2 V 2 1 2 V 2A B +D E =-+-=-；-=-2-c o s*-0 2-s i n-0 2 +s i n*-c o s*-0 20 +I s i.n 2 02夕04当。=?或6=苧 时-，取得最小 值 等22.(2 0 0 8安 徽 理)设椭圆
17、C：W +4 =l(a b 0)过点朋(血,1),且着焦点为耳(C,0)a b(I)求椭圆C的方程：(I I)当过点P(4,l)的动直线/与椭圆C相交与两不同点A,8时，在线段AB上取点Q,满足|而|班|=|而 而|，证明：点。总在某定直线上.2.解由题意：c2=22 1Y2 v2 0且Q四点共线，从 而 而=2而，而=/1而于是4 _ x 1-2X21-2_ 2 +AX2X 1+/111-2V一弘+丸为yT从而X；一 福；1-/124%，(1)3方 式 (2)i-r f又点A、B在椭圆C上，即x：+2 y；=4,(3)x；+2 y；=4,(4)(1)+(2)X 2 并 结 合(3),(4)得
18、4 s +2 y =4即点Q(x,y)总在定直线2 x +y -2 =0上方法二:设点。,4(1),6(乙,为)，由题设，网，冏砌,画 均 不 为零。P A P B且=A Q Q B又P,A,。,8四点共线，可 设 方=丸 而，丽=4限(4*0,1),于是4 Ax-A y1-2(1)4+1 +A yx2=-,y2=-(2)-1 +2 2 14-/1由于4(%,乂),8(,必)在椭圆C上，将(1)，(2)分别代入C的方程炉+2)/=4,整理得(x2+2y2-4)A2-4(2x+y-2)2+14=0(3)(x2+2/-4)22+4(2x+y-2)2+14=0(4)(4)-(3)得 8(2 x+y-
19、2)2=02*0,lx+y 2=0即点Q(x,y)总在定直线2x+y 2=0上3.（2008北京文）已知ABC的顶点力，8在椭圆/+3 2=4上，C在直线Ly=x+2上，且A8/.(I)(II)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及AABC的面积；当NA8C=90,且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.3.解:（I）因为48/,月.4 8边通过点（0,0）,所以4 8所在直线的方程为y=x.设4,8两点坐标分别为（即,力），（历,丫2）.由3=4,得,I 所以卜 同=行k 7 2|=2后.又因为AB边上的高h等于原点到直线/的距离,所以/7 =VIS.C =3AB|%=2./iD v 2
20、 1 （H）设4 8所在直线的方程为y=x+m.由r+3 V 2=4得 4x2+6mx+3m2-4=0.y-x+m因为A,8在椭圆上，所以 =12加 2+640.设A,8两点坐标分别为（X|,yi）,（*2,丫2）.3 m贝 IJX +%2=-鼠，卒23/4所以|Aa=夜 归 _ 司4,3 2-6疗2又因为8 c的长等于点（0内）到直线/的距离，即|BC|所以|AC=|4 8+忸=加2 2m+10=（?+11.所以当，”=-1时，AC边最长.（这 时=12+64 0）此时AB所在直线的方程为y=x-l.4.（2008北京理）已知菱形A8CO的顶点4 C在椭圆F+32=4上，对 角 线 所 在
21、直 线 的 斜 率 为1.（I）当直线8。过点（0,1）时，求直线A C的方程；（II）当N A B C=60时，求菱形ABCD面积的最大值.4.解：（I）由题意得直线8。的方程为y=x+l.因为四边形4 8 c o为菱形，所以AC，8 0.于是可设直线AC的方程为y -x +n.由+3)得2 _6 X+3/_4=oy=-x+n因为A,C在椭圆上,4 G所以 =-1 2/+6 4 0,解得一 一 n 3 3设4 C两点坐标分别为（卬x）,（马，为），3 3几2-4则 X j+x2=xx2=-，弘=_玉+，y2=-x2+n .所以/+为=耳 所以A C的中点坐标为3 n n 了由四边形A8CO为
22、菱形可知，点3 n nT?4在直线y=x+l上,n 37?所以。=叫+1,解得“=2.4 4所以直线A C的方程为y=-x 2,即x+y+2=0.（II）因为四边形A 6C 0为菱形，且NABC=6（r,所以|人a=忸。|=|。所以菱形4 6 c o的而积S2由（1 ）可得=（占 _2）2+（7 必）2 =.1+1 6所以S日(3/+16)4 6-n 0）的一个焦点为F（1,0）且 过 点（2,0）,（1）求椭圆C的方程；（2）若AB为垂直与x轴的动弦，直线/:x=4与x轴交于N,直线AF与BN交于点M。求证：点M恒在椭圆C上；求 4W N面积的最大值。5.解：由题设a=2,c=l,从而：从=
23、/一c2=3,所以方程2 2为：土+匕=14 3(2)有F(l,0),N(4,0);设 A(m,n),则 B(m,-n),AF 与 BN 得方程分别为:n(x l)-(/n-l)y =0,n(x-4)-(m-4)y=0,设交点M坐标为：（%.为），则小5/M-832 m-5，y 2 m-5x02 y()2 _(5zn-8)2+36-9/n2T T 4(2-5)2点M恒在椭圆C I:2 2设AM的方程为x=ty+l,带入土 +上=1,得：(3r2+4)/+6 y-9 =04 3设4 4了|),用(2，%)，则有|+2=-6/3f2+4,y 3+4 加 4局3产+3则E 刃=3r+4 _令3/+4
24、 =4(4 2 4),则|弘_2|=4 6/-(；_:)2+：V /I 2 4.0),因 此，恒有|O A+|O6|2|A8|2.(ii)当直线48不与x轴重合时，2 2设 直 线 的 方 程 为：%=少+1,代 入 +与=1,a b 整理得(力+/m 2)y 2 +2b2叱+b-=0,所以3+%2b2m _ b2-ab2a2+b2m2，yy 2 a2+b2m2因为恒有|0 A +OBf ,1%0恒成立.Xtx2+yty2=myx+l)(?ny2+1)+%=(/+1 跖+皿%+%)+1 (“J+I X -2b2 m2a2+b2m2 a2+b2m2+-m2 a2 b2 +b2-a2b2+a2a2
25、+b2m2又 所以加%2/+/?2-。2+。2 a2-a2h2+b2 对 MI R 恒成立.当m R 时,a%2 m2最小值为0,所 以/+法。(Ta2b2-b2 a2 0力 0,所以 a 0,1 +J5 I-J 5解得心 上22.或（舍去）,2 2即 a -2综 合（i i）,a的取值范围为（匕 或，+oo）.2解法二：（I）同解法一，（II）解：（i）当直线/垂直于x轴时，.1 y2,2 b2（a2-V）x=l代入一7 +言=L力=-o-=1 a b a因为恒有IOA F+IO8|2 L4 B F,2（1 +y/）1,解得a 1 +752或（舍去）,2即心 匕 避2(i i)当直线/不垂直
26、于x轴时，设4 (X i V).B 6 2)2 2设直线AB的方程为y=A(x-l)代入 j+2r=1,a b(b+a2k2)x2-2a2k2x+a1 k2 a2 b2=0,故 Xi+X2=2612k2b2+a2k2x2x2因为恒有 IOA+1 0 81 2 V 1 A gi2,a2k2-a2b2b2+a2k2所以 x-|+y 1+舄+y 2 +(y 2-y i).得 X|X2+y i y 2 0时:不合题意；当 a-a2 b+b2=O 时，a 当 a2-a2 b2+b20 时，a2-a2(a2-1)+(t;2-l)0,A T J Z M-3 +V 5 2 3 6 /冬土、1 +6 l+I 1
27、 +V 5解符 a -或 a -(舍去)，a -，因 止 匕a2-.2 2 2 2综 合(i)(i i),的取值范围为(5 5,+0 0).27.(2 0 0 8广东文、理)设 b 0,椭圆方程为 0)x=y=b +所以点G的坐标为G (4,b+2),山x 2=8(y b),得y =：x 2+b,求导数得于是，抛物线y =在点G的切线/的斜率为=y =4=；x 4 =l,2 2又椭圆%+彳=1中c?=2/一/=/，即 c=b,所以椭圆的右焦点 为 大(b,0)山切线1过点工,可知您与=b2 0=1，解得b=L2 2所以满足条件的椭圆方程和抛物线方程分别为5 +匕=1和 X?=8(y -1)(2
28、)在抛物线上存在点P,使得4 A B P 为直角三角形。且这样的点有4个。证明:分别过点A、B做 y 轴的平行线,交抛物线于M,N 点,则 NMA B=9 0,Z NB A=9 0,显然M,N 在抛物线上，且使得a A B M,Z A B N为直角二角形。若以N A P 3为直角，设尸点坐标为A、B两点的坐标分别为(加,0)和(0,0),8P A P5 =x2-2 +(-x2+l)2=x4+-x2-l=0 8 6 4 4关乎f的二次方程有一大于零的解，为有两解，即以NA PB 为直角的R t A B P有两个,综上所述，满足条件的点共有4个。8、(2 008海南、宁夏理)在直角坐标系xO y中
29、，椭圆C|：9 2厂,广7+3=1(4 8 0)的左、右焦点分别为R、F2O F 2 也是抛物线C 2：黄=4%的焦点，点 M 为 C i与 C 2 在第一象限的交点，且IM F,1=2。3(1)求 C i的方程；(2)平面上的点N满 足 痂=诟+诟，直线，MN,且与C i交于A、B 两点,若 苏 砺=0,求直线/的方程。8.解：（I）由。2：y =4 x 知鸟（1,0）.设（X i，弘），M 在G 上，因为|名|=|，所以玉+1 =|,_2 _ 2 7 6倚餐=，M例 在 G 上，且椭圆G 的半焦距c =i，于是 4 8 ,-1-=1,2=xx2+6(玉一 m)(x2-m)=7X,X2-6
30、z(玉 +/)+6 m2=78 m2-4 ,-o m91 6/77+6 m29=1 (1 4 m2-2 8)=0.所以m=J 5 .此时 =(1 6Z)2-4 x9(8 /-4)0 ,故所求直线l的方程为y=y/6x-2y3,或 y=Cx +26 .9.（2 008 湖北文）已知双曲线C :二一2rl（a 0力 0）的两个焦点为F:（2,0）,产：（2,0）,点P（3,J 7）a b l的曲线。上.(I)求双曲线C 的方程；(I I)记 0 为坐标原点，过点。(0,2)的直线/与双曲线C 相交于不同的两点E、F,若OEF的面积为2 J 5,求直线/的方程9.本小题主要考查双曲线的定义、标准方程
31、、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待写系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力.(满 分 13分)丫2 2(1)解 法 1：依题意，由。2+户=4,得双曲线方程为F-J=1 (0 V/V 4=,a-4-ar-o 7将 点(3,V7)代入上式，得 马=l.解得/=8(舍 去)或 笳=2,a2 4-a22 2故所求双曲线方程为-1二=1.2 2解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.2a=PF-P F J(3+2)+诉)2 _#_2)2+(7 7)2=2A/2,/.6?2=2 b2=c2a1 2.2 2双曲线c 的方程为-匕=1.2 2(11)解 法 1：依题意
32、，可设直线/的方程为广质+2,代入双曲线C 的方程并整理，得(1 一炉)，一 4H6=0.直线/与双曲线C 相交于不同的两点七、F,一攵2工o,化w 1,b =(4 女)2 +4 X 6(1 女)2 0,一 J3VZ V J3,:kG(V 3,-l)U(1,V3).4Z 6设E(X 1加),尸(尤2 2)，则山式得X|+X2=-TXX2 =-是1 k 1 k IEFI=(X|一/尸+(X-乃=J(1+H)(X|一=J1+.+x2)2-4X1X2=J l+M.2后 台 2 k2而原点0 到直线/的距离d=S OEF d I EF I .2 2r 71+7=J l+Y .22旧3-心 203-E
33、l-k2 I l-k2 I22若 S、OEF=2V2,即 23=2五=左4 2=0,解得上土行.I 1 攵 “I满足.故满足条件的直线I 有两条，其方程分别为y=42x+2 和 y=-叵x+2.解法2：依题意，可设直线/的方程为产质+2,代入双曲线C 的方程并整理，由I图2得(1 一二”一4心-6=0.直线/与比曲线C 相交于不同的两点E、F,.1-k2 H0,什1,A=(软/+4x6(1 左2)o,-y/3k43.V3,-1)U(1,V3).设后3 例),尸(4,及)，则由式得而i-k21h j也1=+x2)2-4XX2当E、F 在同一支上时(如图1所示)，SAOEF=S、OQE=I OQ
34、I II Xj I I x2 1 1=I OQ I I X 1 x2 I；当E、户在不同支上时(如图2 所示),S oEF=S、oQf+S QQE=I OQ I(l I+I x2 I)=I OQ I I X 1 x2 I.综上得以。=3|。11匹一次2 1，于是由1。1=2及式，得SWEF=2向-k21若 S、EF=2 V2,即 2旧3二k-=2 okA -心 一2=0,解得 k=42，满足.l-k2 I故满足条件的白线/有两条，其方程分别为尸V2x+2 和 产-J i +2.10.(2008湖北理)如图，在以点O 为圆心，IABI=4为直径的半圆ADB中，ODLAB,P是半圆弧上一点,/PO
35、B=30,曲线C 是满足IIMAI-IMBII为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P.(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；(I I)设过点D 的直线1与曲线C 相交于不同的两点E、F.若AOEF的面积不小于2A/2,求直线1斜率的取值范围.10.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析儿何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.(满 分 13分)(I)解 法 1：以。为原点，A B,。所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A(-2,0),B(2,0),0(0,2),P(V3,l),依题意得 MA -MB =PA -PB =(2+6)2 +12
36、-7(2-V 3)2+12=272 AB =4.曲线C 是以原点为中心，A、8 为焦点的双曲线.设实平轴长为a,虚半轴长为从 半焦距为。，则 c=2,2a=2四 ,：.a2=2,b2=c2-a2=2.曲线C的方程为-一 二=1.2 2解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得I MA I-I MB I=I 以 II P8 I VI A B|=4.曲线C是以原点为中心，A、8为焦点的双曲线.(11)解 法 1：依题意，可设直线/的方程为y=h+2,代入双曲线C 的方程并整理得(1-3 x2-4h-6=0.直线/与双曲线C 相交于不同的两点E、F,.1-/*o,k*1,A =(-4 Z)2+
37、4 x 6(1 公)0,=-V 3 =J l +T.(X 1+x2)2-4 X j X2=7 1+A：2.3/.而原点O 到仃线/的距离d=.SADEF=&，I i,J l +公2 1 1 2 7I7F2向3-T 2 3-1若A O E F面积不小于2后,即SAOF 2 V 2，则有2,2y2 k4-k2-2 -V2 k 0-4 3 k 4,所 以 L().于是，2(2-4)A =2 2(2-6)2-4 2(2-4)当且仅当 2 2(2-6)n(*)-0.2(2-4)上述方程存在正实根，即直线/存在.解(*)彳？3 所以4 4K .4 2 6,3即4的取值范围是4 2时;点P(x,0)存在无穷
38、多条“相关弦”.给定x o 2.(I)证明：点 P (xo,O)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；(II)试问：点 P(xo,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值(用X。表示)：若不存在，请说明理由.1 2.解：(I)设 为 点 P (xo,O)的 任 意 条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是(X|J|)、(X 2 J 2)(X 1 HX 2)，贝 I y 2 i=4 x i,6=4 X 2,两式相减得(力+丫2)(y r Y 2)=4(X 1-X 2).因为X .X 2,所以乃+力声0.设直线A8 的斜率是k,弦 AB的中点是M(即“,”)，则k=一=2-从 而 A8
39、 的垂直平分线/的方程为y-y =2(x X ).一 M +为 2又点P (xo,O)在直线/上，所 以-以=-24入 0-/).而 产 0,于是=X。-2.故点P (xo,O)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.(H)山(I)知，弦 4?所 在 直 线 的 方 程 是=k(x-x,“)，代入J?=4x中，整理得出2 万 2+2 伙()，,“一日2 x +(y,“丘,“)2 =0.()则苞、是 方 程()的两个实根，且 芯.=%).设点P的相关弦 AB的弦长为I,则I2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1 +女 2)区 一十)2=(1 +k2 )(x,+X 2 )2 -4 玉 工
40、 2 =4(1 +女 2 )(x/一 X%2 )y；=(4 +%)(4/-片)=-城 +4%(3)+1 6/=4(4 +讲 _ 咸 _ 2(4 -1)=4(%-1)2-戌-2(%-3)2.因为 yl 4 m=4(x,-2)=4 所 8,于是设 t=y；,贝 ij r e (0.4 xo-8).记/-=g（r）=-t-2（x 3 测 2（X o-3）6 （0,4 衍 8）,所以当 l=2（x0-3）,G P 片=2-3）时，I有最大值2（x o-1）.若 2 x（）3,则 2（x（r 3）4 0,g在 区 间（0,4 x0-8）上是减函数,所以0 尸 3 时，点 P （xo,O）的“相关弦”的弦
41、长中存在最大值，且最大值为 2 （x o-1）；当 2。），过点用的一条直线交抛物线于A、B两点，A P.的延长线分别交曲线。于 E、F.（1）证明E、F、N 三点共线；（2）如果A、B、M、N 四点共线，问：是否存在方，使以线段为直径的圆与抛物线有异于A、B的交点？如果存在，求出打的取值范围，并求出该交点到直线A8 的距离；若不存在，请说明理由.13.（1）证明:设 A（4%；）、5（%2芯），E（xE,yE）B（xF,yF）2 2则直线AB的方程：y =%二 二（x -x j+X：X -x2即：y=（玉x2）x-x1x2因（与，儿）在A 8上，所以%=（%+x2）x0-X 1 X2.又直线
42、A P方程：y =玉山 0 丫 2 Y 。洱 Y2”|一)。丫 _ AX j pj:X-X-0 U2百x=y2 _2所以 +=xE,yE=-益阳 X|同理，与=一&，X,所以直线E E的方程:=近2/X +/、y。)二 一()yox XxX2 X jX2令 x=一/得 y =-（莅+2）/一%玉将代入上式得y =X），即N 点在直线EE上所以及F,N 三点共线（2）解：由己知A、B、M、N 共线，所以A卜板,（收,打）以48为直径的圆的方程：x2+（y-y0）2=y0由 E+（-凡）=%得 户（2%1）y+3 _%=0 厂=y所以 y =%）（舍去），y =y0-1要使圆与抛物线有异A,B的交
43、点，则 y0-l 0所以存在先N 1,使以AB为直径的圆J抛物线有异于A,5的交点T（丐,为）则为=打 一1，所以交点T到AB的距陷为先一a=X）一（T）=11 4.（2008江西理）设点尸（%,%）在直线=机（7用,0 机1）上，过点P作双曲线V 一 2 =1的两条切线P A、PB,切点为A、B,定 点 加（,，0）.m（1）过点A作直线x-y =0的垂线，垂足为N,试求 AMN的重心G所在的曲线方程；（2）求证：4、8三点共线.1 4.解：（1）设 4，以），N（XN，XN），TA NI,直线 y则力 f=_XA -*N)22设 G(x,y),则1-+x.+-AY -_ m 2%+)八4+
44、为-1-XA +力3 m 2 6 解得1 113x.+y,-A+yA2，311y萨+*9 3 3xA x y-4 4 T，代入双曲线方程 丁=1,并整理得J y 1yA=x+y+4 4 4m1 ,9一 藐)9y21,22即G点所在曲线方程为加 一-工 =12/9 2/9（2）设A（x”y。，B（x2,y2）,P A斜率为k,则切线P A的方程为：y 弘=人。一再）由 -P i=竽-），消去y并整理得:I x=1（1 1 2）日一2%（乃 一 姐）x（%-5）2-1 =。因为直线与双曲线相切,从而=4/（以一3）2+4（1 _%2）（弘 _ 姐）2+4（1 _%2）=0,及“yj=,解得人=土因
45、此P A的方程为：yiy=xix-l同理P B的方程为：y2y=x2x-l又（见 打）在P A、P B ,二%/0=/加-1 y2y0=x2m-l即点A（X ，M）,（，乃）都在直线V o）=加1一1 二，又M（,0）也在 yQy=m x-1,m:.A、M、B三点共线。1 5.(2 0 0 8 辽 宁 文)在平面直角坐标系X。)，中，点尸到两点(0,一 百)，(0,百)的距离之和等于4,设点产的轨迹为C.(I )写出C的方程；(H)设直线y =f c c +l 与 C交于A,8两 点.k为 何 值 时 况 _ L 而？此时|丽|的值是多少？1 5.本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及
46、直线,J椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析儿何知识解决问题的能力.满分1 2 分.解：(I )设。(苫，y),由椭圆定义可知，点 P的轨迹C是以(0,-6),(0,6)为焦点，长半轴为2的椭圆.它的短半轴匕=4 2 一(当产=1,故曲线C的方程为犬+汇=1.4 分4(I I)设 4，/),B(X2,y2),其坐标满足x2 J _ 1,4y-kx+l.消去y并整理得(k2+4)x 2+2丘-3 =0,.2k 3 ,八故 x1,+x2=攵 2-+-4-,x,x2 =攵 2-+-4-.6 分O A JL O B,即 xxx2+yry2=0.而 必y 2=k2XX2+Z(X +)+1，于是否 入
47、2+m为=上 工+攵 2+4 左 2+4 攵 2+4 公+4所以=g 时，/十 弘 必 二。，故0A _ L 0 6.8分1_ 4 12当忆=2 时，再+马=+yy，再修=-7 VI A 6|=小 区-川)2+(%-%)2 =)(1+/)(2 玉)2,而(2 一玉尸=(2+玉f -4%尤242,4x 3 43X13=+4 x-=,172 17 172所以丽.12分16.(2008 辽宁理)在直角坐标系x O y 中，点 P到两点(0,-G),(0,百)的距离之和等于4,设点尸的轨迹为C,直线y =H+l 与 C交于A,B两点.(I)写巴的 变 S;(I I)若 况 1 O B,求 k的值；(I
48、 I I)若点A在第一象限，证明：当 心 0 时，恒有I 况 1 1而I.16.本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线。椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分12分.解：（I ）设尸（尤，y）,山椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0,-6）,（。百）为焦点，长半轴为2的椭圆.它的短半轴b =22（百 丁 =1,故曲线C的方程为/+汇=1.3分4(I I)设 A(x p 3),B(X2,y2),其坐标满足，2XJ +十 厂一.11,4y=f c x +l.消去y并整理得(k2+4)x2+2履 3 =0,2k 3故 X,+=-，XxX2=-;-.公+4-公+
49、4若 0A _L O B,即 xx2+必 为=0.而X%=k2xxx2+k(x+%)+l，工日 3 3&2 2kz f八于是 x,1 x22+X%=；-Z-：+1 =0,1 2 廿+4 Y+4%2+4化简得-4/+1=0,所以左=工.8分2(111)|可I而=#+才(考+必)=(%：一玲+4(1 _*_ 1+X；)=-3（X1-X2）（X1+X2）_ 6 k（再 一/）k2+43因为A在第象限，故须0.由 玉 =一/一 知天2 0，-2 2故阿-O B 0,即在题设条件下，恒有5司|而j.12分17.（2008全 国I卷文、理）双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上，两条渐近线分别为=/2,经过右
50、焦点方垂直于4的直线分别交4，4于4 B两 点.已知而 卜|而|成等差数列，且 而 与 成 同向.（I ）求双曲线的离心率；（I I）设A8被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.1 7.解：（1）设。A=/TI-d,A B -m ,O B -m +d由勾股定理可得:（机机2 =（机+4）2m1-4d-副b A H At a n Z A OF=-,t a nZ A O B =t a n2 Z A 0 F =-a O A 32。4 b 1山倍角公式.一J=，解得上=上则离心率e(2)过 产直线方程为y =-(x c)h2可双曲线方程jYa2=1联立将 a=2b,c=代入，化简有匕/一 延