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1、 它反映随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.复习:数学期望2023/5/18 1基本内容：一、方差的定义 二、方差的性质第二节 方差2023/5/18 2一、方差(Variance)1.问题的导入X 8 9 10P 0.1 0.8 0.1 Y 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4引例 比较甲乙两个射手的射击水平分析乙甲但是乙射手的波动性较大,不够稳定.2023/5/18 3为了数学上的方便，如何描述这种差异呢？P(X=xi)=pi(i=1,2,)其平均射击水平为E(X)，则他每次射击的波动性为或|xi-E(X)|以 xi-E(X)2 代替|xi-E(X)|则该射手的平均
2、射击波动为xi-E(X)设某射手击中的环数为随机变量X，其分布律为2023/5/18 42.方差(Variance 或 Dispersion)定义.设X是一随机变量，则称EX-E(X)2称为X的方差,记作D(X)即方差的算术平方根称为 X 的标准差，记作即若EXE(X)2存在，2023/5/18 5注:(2)方差D(X)用来体现随机变量X取值分散的程度,反映了X偏离其数学期望E(X)的程度.(3)如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中),以E(X)作为随机变量X的代表性越差（好）.0;(1)由定义知，D(X)=EX-E(X)22023/5/18 63.方差的计算(1)利用随机变量函数
3、的数学期望公式离散随机变量的方差连续随机变量的方差2023/5/18 7(2)利用方差公式且E(X2)也存在,则由于定理：设随机变量X的数学期望E(X)存在，2023/5/18 8解:例1.若 求D(X).已求得=E(X),其中XP()2023/5/18 9已求得例2.若X U(a,b),求D(X).解:2023/5/18 10解:例3.若 求D(X).已求得=E(X),其中Xe(1)2023/5/18 11补充：例求D(X).2023/5/18 12二、方差的性质证:证:2023/5/18 13证:2023/5/18 14故 DXi=EXi 2-(EXi)2 EXi=1p+0(1-p)=p,
4、且 EXi2=p,则 是n 次试验中A出现的次数，=p p 2=p(1-p)=p q，i=1,2,n因 X1,Xn 相互独立，=np q.显然 P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p,=n p;求方差D(X).解:例4.设X服从二项分布B(n,p),设Xi为第i次试验中事件A出现的次数，即2023/5/18 15U(a,b)e()P()B(n,p)(01)p pq np npq 常用随机变量的期望与方差分布 分布列或密度函数期望 方差2023/5/18 16例5.已知随机变量X的数学期望E(X)与设随机变量试证证：(标准化的随机变量)都存在,且2023/5/18 17n 次随机取值的平均值
5、的期望不变 令求解 取多次测量均值的理论依据但偏差比任一次取值的偏差缩小了n 倍若被测物的真值为,n 次重复测量可认为是互不影响的,且每次测量的结果 Xi 都在真值的附近波动(1)(2)(1)表明 n 次测量的算术平均值仍在真值附近取值,(2)则表明 更加接近真值,且 n 越大,接近程度就越好.例6设X1,X2,Xn相互独立,在对误差要求较高的精密测量中 2023/5/18 18(4)对于任意实数C R，有（书P93.8题）E(X-C)2D(X)当且仅当C=E(X)时,E(X-C)2取得最小值D(X).2023/5/18 19求证当且仅当C=E(X)时,E(X-C)2取得最小值D(X).E(X
6、-C)2D(X)证：2023/5/18 20对于任意的正数设X的数学期望 E(X)与方差D(X)存在,有(5)(切比雪夫不等式):证：仅选择连续随机变量的情形来证明.设随机变量X的密度函数为f(x),则有2023/5/18 21注:(1)它给出了在X的分布未知的情况下，估计的方法；(2)说明了方差D(X)的确刻画了X对E(X)偏离程度,由可知:D(X)越小(即X偏离E(X)程度越小),越大，(表明X取值越集中在E(X)的附近)；(3)它是大数定律的理论基础.另一形式：2023/5/18 22例10.已知正常男性成人每毫升血液中白细胞数平均7300,标准差700,利用切比雪夫不等式估计每毫升血液
7、中白细胞数在52009400之间的概率.(P94.19题)解：设X表示每毫升血液中白细胞数，依题意得2023/5/18 23若 存在，称它为X的k阶中心矩.第三节 原点矩与中心矩定义.设X是随机变量，若 存在，称它为X的k阶原点矩.k=2,EX-E(X)2为方差.特别地，k=1,EX-E(X)=0.特别地，k=1,E(X)为数学期望.k=2,E(X2)为2阶原点矩,其计算公式2023/5/18 24定义.随机变量X与Y的函数X-E(X)Y-E(Y)的数学期望存在，则称其为X与Y的协方差,cov(X,Y),即记作第4节 协方差和相关系数若两个随机变量X和Y是相互独立的，则意味着当 时,X和Y不独
8、立。2023/5/18 25协方差的简便计算方法：定义：若X与Y的协方差cov(X,Y)=0，即E(XY)-E(X)E(Y)=0则称X与Y不相关.2023/5/18 26若X与Y相互独立，则X与Y一定不相关;分析:若X与Y相互独立两个随机变量独立与不相关的关系不一定成立.X与Y不相关.反之,X与Y不相关 cov(X,Y)=0.若X与Y不相关，则2023/5/18 27协方差的性质（1）cov(X,Y)=cov(Y,X);（2）cov(X,c)=0;cov(X,X)=D(X);（3）cov(aX,bY)=abcov(X,Y)，a，b为常数（4）cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,
9、Z);（5）2023/5/18 28相关系数 Correlation coefficientu定义 设随机变量X与Y的数学期望与方差都存在，则将X与Y标准化得到的随机变量的协方差cov(X*,Y*)称为X与Y的相关系数，记作R(X,Y)，即 R(X,Y)=cov(X*,Y*).2023/5/18 29相关系数 Correlation coefficient 因为E(X*)=0,E(Y*)=0,所以 其实这也是相关系数的另一种定义。2023/5/18 30则对于任意的正数1.切比雪夫定理定理：设独立随机变量序列X1,X2,X n,的数学期望 E(X1),E(X2),E(X n),D(X1),D(
10、X2),D(X n),都存在，与方差并且方差是一致有上界的,即存在常数C,使得D(Xi)C,i=1,2,n,有第五节 大数定律2023/5/18 31根据切比雪夫不等式得证：D(Xi)C,（i=1,2,n,），2023/5/18 32方差都存在，切比雪夫定理解释：若独立序列X1,X2,X n,的数学期望和并且方差是一致有上界的,则n充分大时,算术平均 紧密地集中在其数学期望的附近.2023/5/18 332.伯努利大数定理（频率的稳定性）定理 设 是n次独立重复试验中事件A发生的频率，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数,恒有 证明：又EXi=p,DXi=p（1-p）设Xi为第i次
11、试验中事件A出现的次数i=1,2,n，则这些变量相互独立，且服从相同分布：“0-1”分布1/4,i=1,2,，n由切比雪夫不等式得2023/5/18 34小概率事件的实际不可能性原理概率很小的随机事件在个别试验中实际上是不可能发生的例：从某工厂生产的产品中任取200件来检查，结果发现其中有6件次品，能否相信该工厂产品的次品率不大于1%？解：假设该工厂的次品率小概率事件小概率事件发生了，说明原假设不成立，即不能否相信该工厂产品的次品率不大于1%。2023/5/18 351.理解方差的定义：2.熟悉方差的性质:内容小结2023/5/18 36(5)若E(X)与 D(X)存在，对于任意的正数(4)对
12、于任意实数CR，有 E(X-C)2D(X)当且仅当C=E(X)时,E(X-C)2取得最小值D(X).有2023/5/18 373.熟悉一些常见分布的方差 若XB(n,p),D(X)=npq;若 若XU(a,b),若2023/5/18 384.方差的计算方法 利用方差的定义:利用方差的简化公式：利用方差的性质；利用常见分布的方差.2023/5/18 39习题三(P92):5、6、9、10、11、13 作业2023/5/18 40备用题1.判断正误：(1)任何随机变量X都能其计算期望和方差.()(2)期望反映的是随机变量取值的集中位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。()(3)随机变量X的方差
13、越小，X取值越集中，方差越大，X取值越分散。()答案:(1)X;(2);(3).2023/5/18 412.选择题 A.4,0.6；B.6,0.4；C.8,0.3；D.24,0.1 A.-1；B.2；C.1；D.32023/5/18 42(4)2023/5/18 43分析(1)由 XB(n,p)得：解方程组得 n=6,p=0.4,故选B.2023/5/18 44故选 C.2023/5/18 45（3）故选 C.2023/5/18 46(4)由题（3）知：且根据切比雪夫不等式，应选D2023/5/18 47 3.假设有十只同种电器元件,其中只有两只废品,装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品
14、,则扔掉重新任取一只;如仍然是废品,则扔掉再取一只.试求在取到正品之前,已取出的废品只数的解：设X表示在取到正品前已取出的废品数,则X的概率分布为方差（续）.X 0 1 2 P 0.8 8/45 1/452023/5/18 48E(X)=00.8+1(8/45)+2(1/45)=2/9.根据定义,随机变量X的数学期望为故X的方差为2023/5/18 49分布函数F(x)在(-,+)处处连续，故4.设X的分布函数为 试确定常数a,b,并求 E(X)与D(X).解：F(x)在x=-1和x=1处连续,有2023/5/18 50即解方程组得X的概率密度函数为=02023/5/18 51D(X)原式=2023/5/18 525.设随机变量X的分布函数为解：2023/5/18 536.设每次试验中，事件A发生的概率为0.5,共进行了1000次试验，用切比雪夫不等式估计：A发生次数在400到600之间的概率.解：设事件发生的次数为随机变量，则(,)，=,.，且 E(X)=np=500,D(X)=np(1-p)=250.由切比雪夫不等式得2023/5/18 54