专题复习函数人教版.pdf

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1、专 题 复 习 函 数 本 周 教 学 内 容：专 题 复 习“函 数”重 点 是 函 数 的 性 质 及 其 运 用 以 及 数 形 结 合 思 想 方 法 的 具 体 运 用。重 点 与 难 点：1.函 数 的 内 容 是 高 中 数 学 教 材 中 的 重 要 内 容，由 其 在 教 材 中 所 占 篇 幅 之 多 可 见 其 地 位 的 重 要 性。函 数 的 思 想 方 法，就 是 运 动 变 化 的，联 系 的 思 想 方 法，这 是 我 们 正 确 认 识 参 观 世 界 的 重 要 的 思 考 方 法 和 哲 学 观 点。因 此，要 充 分 重 视 对 函 数 的 学 习 与

2、研 究。2.本 章 内 容 在 高 考 试 题 中，选 择、填 空 题 均 以 直 接 考 查 基 本 知 识 的 小 题 出 现，难 度 不 大，但 要 注 意 对 基 本 概 念，如 映 射、反 函 数、奇 偶 性、单 调 性、周 期 等 的 正 确 理 解 与 应 用；而 解 答 题 多 以 方 程、或 二 次 函 数 为 背 景、综 合 考 查 函 数、方 程、不 等 式 的 知 识，重 视 代 数 推 理 能 力 的 考 查，另 外，近 几 年 的 高 考 试 题 中 的 应 用 问 题，也 多 以 考 查 函 数 为 主，也 要 多 加 训 练。三.复 习 建 议：1.重 视 重

3、点 内 容 的 复 习 2.重 视 基 本 解 题 方 法 的 复 习 3.重 视 函 数 思 想 的 应 用(函 数 与 方 程，函 数 与 不 等 式 的 综 合)典 型 例 题 分 析 与 解 答 例 1.已 知/(x)=asinx+/?F+4(其 中 a、b为 常 数)，?j/lg(log310)=5则/lg(lg3)的 值 是()A.-5 B.-3 C.3 D.随 a、b 的 值 的 不 同 而 变 化 分 析：读 题 后 发 现，该 题 是 一 道 求 函 数 值 的 题 目，通 常，在 给 定 函 数 解 析 式 的 情 况 下，往 往 把 自 变 量 的 数 值 代 入 解 析

4、 式 中，经 计 算 求 得 函 数 值。但 本 题 的 障 碍 是 解 析 式 中 除 自 变 量 x 以 外，其 系 数 却 是 字 母 常 数，因 此 怎 样 避 开 这 个 障 碍,便 成 了 我 们 研 究 的 出 发 点。认 真 观 察 函 数 解 析 式，不 难 发 现：asinx+b坂 是 奇 函 数,显 然 有 y(x)+-x)=8,再 分 析 所 求 函 数 值 的 特 征，发 现：log,10=-1 g 3lg(log310)=lg(-)=-lg(lg3)但 3/./lg(log310)=/-lg(lg3)=-5由/(x)+f(-无)=8 可 得/lg(lg3)+/-lg

5、(lg3)=8/lg(lg3)=8-丹 一 lg(lg3)=8-5=3,故 选 C。例 2.已 知 函 却(x)=*二 的 反 函 数 fT(x)的 图 象 的 对 称 中 心 是(-1,3),则 实 数 a 等 于 x-a-l分 析：一 般 地，先 求 出(X)的 解 析 式，再 根 据 对 称 中 心 坐 标 是(-1,3)来 确 定 a 的 值，能 否 避 免 求(X)的 运 算过 程 呢？我 们 知 道 f(x)与 r(x)的 图 象 关 于 直 线 y=x对 称。由 此 可 得 f(x)图 象 的 对 称 中 心 是(-1,3)关 于 直 线 y=x的 对 称 点(3,T),再 由/

6、（%）=二-=二（二 二 1=（一 1）+一 d 一，可 知 x）的 图 象 对 称 中 心 为 X C l i X U,X（4+1）（+1,1）,故 点（+1,1）与 点（3,1）重 合。+1=3,a=2 注 在 解 决 有 关 反 函 数 的 问 题 中，常 常 利 用 反 函 数 与 原 函 数 的 关 系(数 值 之 间 或 图 象 之 间)避 免 求 L G)的 表 达 式,而 直 接 用 f(x)的 表 达 式 解 决 问 题。如：荀(x)=2 i W，财 T(I)=x+5-例 3.已 知 XI是 方 程 Igx=3-尤 的 根，了 2是 方 程 10*=3-X的 根，则 X+无

7、2=。分 析：由 两 个 方 程 可 以 发 现，要 想 通 过 解 方 程 求 出 x X2,几 乎 不 可 能 因 此 必 须 另 辟 蹊 径，联 想 到 方 程 与 函 数 的 关 系,可 把 问 题 转 化 为：XI是 函 数 y=lgx与 y=3-x的 图 象 交 点 P 的 横 坐 标，整 是 函 数 y=l(T与 y=3-x图 象 交 点 Q 的 横 坐 标。进 一 步 发 现：y=lgx与 y=l(T互 为 反 函 数，其 图 象 关 于 直 线 y=x对 称，于 是 可 结 合 图 形 解 决 该 问 题，而 直 线 y=x与 直 线 y=3-x垂 直。故 P、Q 关 于 直

8、 线 y=x对 称，且 其 中 点 是 的 交 点 M(-,-),(见 图 示)y=3 x 2 2由 中 点 坐 标 公 式，易 知 七+2 注 在 解 决 有 关 如 上 述 所 示 的 超 越 方 程 的 问 题 时，往 往 需 要 联 系 函 数 图 象，进 行 数 形 结 合，使 方 程 问 题 明 朗 化,直 观 化，进 而 得 解。例 4.设 P(1,0)关 于 直 线 y=kx的 对 称 点 为 Q,直 线 0Q的 斜 率 记 为 f(k)(I)写 出 以 k 为 自 变 量 的 函 数 f(k)的 表 达 式，并 指 出 此 函 数 的 定 义 域；(II)判 定 f(k)的

9、奇 偶 性；(III)当 ke(1,+8)时，判 定 f(k)的 增 减 性。分 析：如 下 图，通 常 解 法 是 先 利 用 P、Q 的 对 称 性，求 出 Q 点 坐 标，再 利 用 斜 率 公 式 求 出 f(k)的 表 达 式，如 果 深 入 分 析 图 形 的 特 征，联 想 斜 率 与 倾 斜 角 的 关 系，不 难 发 现：若 设 直 线 0P的 倾 角 为 0,则 k=tg 0；而 直 线 0Q的 倾 斜 角 为 2。(当 0。0 90时)或 2 9 n(当 90 W。180时)，且 f(k)=tg2 9,于 是 可 利 用 三 角 公 式 迅 速 求 解，可 避 开 了 求

10、 Q 点 坐 标。解：（/）设=次 夕 则 直 线。的 倾 角 为 2减 26-，、cc 2tge 2k 演 f（k）=tg ie=-5=5，或-t g26 l-k22k/（%）=吆（2 6 _万）=吆 26=I-K函 数 且 为，定 义 域 为（一 8,-1）U（-L 1）U（1，+8）i k（/）/（口 的 定 义 域 为（一 8,-1）U（-1，1）U（b+8）即（一 左）=2（-火）1一（一 Q22k1-k2=-fW故/伏）是 奇 函 数。（/）设 七%1，则 f*2）-f g=2A2 2kl 2（&2 i）（l+：/2）_与 2 _占 2 一（1 42）（1七 2）/k2 k 1,:

11、.k2-k,0,1+%/2，1 左：0,i-j l22 0即/（的）/（占）./在（1,+8）上 是 增 函 数。注 熟 练 用 函 数 的 奇 偶 性，单 调 性 的 定 义，解 决 函 数 奇 偶 性，单 调 性 的 判 定 问 题，是 研 究 函 数 的 基 本 技 能，应 充 分 重 视 并 熟 练 掌 握。例 5.已 知 上 a W l,若/（）=+_ 2了+1在 区 间 1,3 上 的 最 大 值 为 M（a）,最 小 值 为 N（。），令 g（a）=M（a）-N（a）(I)求 g(a)的 函 数 表 达 式；(I D 判 断 g(a)的 单 调 性，并 求 Hl g(a)的 最

12、小 值。分 析：本 题 的 题 意 明 确：把 f(x)在 1,3 上 的 最 大 值，最 小 值 表 示 出 来，但 要 注 意 抛 物 线 的 顶 点 是 否 在 区 间 1,3 内，何 时 在 顶 点 处 求 得 最 值，何 时 在 区 间 的 端 点 处 取 得 最 值。解：(/)3./=ax2-2x+1表 示 开 口 向 上 的 抛 物 线/(x)=a(x-)2 4-(1-),抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=a a a由 可 知 3 a/(x)的 最 小 值 为/()=1 a a即 N(a)=l-La/(D=-h/(3)=9-5,/(l)-/(3)=-8(-1)当 g w

13、。w g 时，/(3),则 x)在 1,3 上 的 最 大 值 为 了=。一 1,即 M(a)=a-,此 时 g(a)=Ma-N(a)=(a-1)-(1-)=a+-2a a当 gaWlH寸，/(3),则 x)在 1,3 上 的 最 大 值 为 3)=9.-5,即(a)=9a-5,此 时，g(a)=M(a)-N(a)=(9a-5)-(1-,)=9a+2 一 6a a g(a)=J 9 a d-6a1a e-,3a e()a2 03 2-a1a2.?(,)g(a2)r.g(a)在;，g 上 是 减 函 数 设%的 1，则 g(aj-g(a2)=.-)02 aia2 g(%)g(%)，g(a)在(g

14、,1 上 是 增 函 数 由 g(a)在 1,1 上 的 单 调 性 的 讨 论 可 知 当 时，g(q)有 最 小 值，且 最 小 值 为 g。例 6.设/1(x)是 定 义 在(-8,+8)上 以 2为 周 期 的 函 数，且 为 偶 函 数，在 区 间 2,3,/(x)=4-2(x-3)2(/)求 x e l,2上/1(X)的 解 析 表 达 式；(II)若 矩 形 ABCD的 两 个 顶 点 A、B 在 x 轴 上，C、D 在 函 数 y=f(x)(0WxW2)的 图 象 上，求 矩 形 面 积 S 的 最 大 值。分 析：(1)可 以 先 利 用 偶 函 数 的 概 念，求 得 f(

15、x)在-3,-2上 的 表 达 式，再 利 用 周 期 的 条 件，求 出 f(x)在 1,2上 的 表 达 式；(II)设 出 A(x,0),建 立 矩 形 ABCD的 面 积 表 达 式 S=f(x),进 而 转 化 为 求 函 数 的 最 值。解：(/)设 x e 3,-2,则 一 x e 2,3,由 已 知 条 件，有/(-x)=4-2(-x-3)2=4-2(x+3)2,而 f(x)为 偶 函 数/./(-x)=/(x)f(x)=4-2(x+3),x G 3 f-2 设 2,则 X-4 e-3,-2/(X)的 周 期 为 2,(x)=/(x-4)阿(x-4)=4 2(X-4+3)2=4

16、-2(X-1)2./(X)=4-2(X-1)2,X G 1,2(/)设 x e 0,1,则 x+2 e 2,3./(x+2)=4 2(x+2 3产=4-2(x-l)2而/Xx)以 2为 周 期，f(x+2)=f(x)./(x)=4-2(无 一 1)2,x e0,1 综 合(/),可 知/(X)=4-2(X 1)2,X G O,2,它 表 示 以 直 线 x=l为 对 称 轴，顶 点 在(1,4),且 开 口 向 下 的 抛 物 线 的 一 段，(见 下 图)/.矩 形 48CD关 于 直 线 x=1对 称 ia4(1-Z,0),则 6(1+3 0),其 中 0W Y 1/.矩 形 4 8 c

17、o的 面 积 S=1 AB6 cl=2.(4-2/)=4r(2-J)52=2(2-产-3=8-2/2.(2-/2)(2-/2)8-2/+(2-？+(2 厂)=8x4当 且 仅 当 2/=2-/，即/=当 时，S2取 最 大 值，从 而$取 最 大 值，且 s的 最 大 值 为 苧。.当 f=，即 A点 坐 标 为(1-日,0)时，矩 形 A8CD的 面 积 最 大 值 为 萼 例 7.解 方 程 J31gx-2-31gx+4=0分 析 I：这 是 一 个 对 数 方 程 与 无 理 方 程 的 组 合 式 方 程，从 其 特 征 看，可 将 Igx换 元 后 变 为 一 个 比 较 简 单 的

18、 无 理 方 程。(注 意：换 元 法 在 解 某 些 复 杂 的 方 程，不 等 式 中 发 挥 着 无 与 比 拟 的 作 用，应 充 分 利 用 它 解 题)解：设 Igx=/,则 原 方 程 可 化 为 J 3 r-2=3,-4年 233r2-3 r+2=0n f=23/-2 0它 等 价 于 1 3/-4 2 0 n 即 lgx=2,.x=100(因 方 程 变 形 中 的 同 解 性，故 可 不 必 检 验)二 原 方 程 的 解 为 x=100。分 析 II：本 题 在 解 法 上，亦 可 对 根 式 部 分 作 整 体 换 元，解 法 如 下:设 J3 1 g x-2=3 则

19、原 方 程 可 化 为 f-J+2=0解 得 f=-1或/=2注 意 到 J3 1 g x-2 2 0,B P/0,故 f=-l应 舍 去，取 f=2即 J31gx-2=2 n 3 1 g x-2=4=lg x=2=x=100原 方 程 的 解 为 x=100.例 8.某 蔬 菜 基 地 种 植 西 红 柿，由 历 年 市 场 行 情 得 知，从 二 月 一 日 起 的 300天 内，西 红 柿 的 市 场 售 价 与 上 市 时 间 的 关 系 用 图 一 的 一 条 折 线 表 示，西 红 柿 的 种 植 成 本 与 上 市 时 间 的 关 系 用 图 二 的 抛 物 线 表 示。(I)写

20、 出 图 一 表 示 的 市 场 售 价 与 时 间 的 函 数 关 系 式 P=f(t)；写 出 图 二 表 示 的 种 植 成 本 与 时 间 的 函 数 关 系 式 Q=g(t)；(II)认 定 市 场 售 价 减 去 种 植 成 本 为 纯 收 益，问 何 时 上 市 的 西 红 柿 纯 收 益 最 大？(注：市 场 售 价 和 种 植 成 本 的 单 位：元/100公 斤，时 间 单 位：天)分 析：(I)由 给 定 的 函 数 图 象 求 函 数 解 析 式，即 由 形 到 数，需 要 认 真 观 察，分 析 函 数 图 象，要 注 意 图 象 中 的 特 殊 点,如 最 高 点，

21、最 低 点，与 坐 标 轴 的 交 点，以 及 图 象 的 类 型，是 直 线，还 是 抛 物 线，还 是 指 数 曲 线，从 而 预 先 确 定 相 应 的 函 数 解 析 式 的 形 式，再 利 用 特 殊 点 坐 标，待 定 函 数 解 析 式 中 的 字 母 常 数。(II)欲 求 纯 收 益 的 最 值，首 先 应 建 立 起 纯 收 益 的 函 数 表 达 式，再 利 用 函 数 的 最 值，求 出 纯 收 益 的 最 大 值。解：(I)由 图 一，可 得 市 场 售 价 P 与 时 间 t 的 函 数 关 系 式 为-300-z,(0 r 200)P-f=2f-300,(200

22、t 300)由 图 二，可 得 种 植 成 本 Q 与 时 间 t 的 函 数 关 系 式 为 1,2=(g(r)=(r-150)2+100,0 r 300()设 第 七 天 西 红 柿 纯 收 益 为，依 题 意 有 g)=/)-g 即/(/)=1 2-11 175+一，+-，200 2 21,2-17t 1025+200 2 2(0r 200)(200 t 300)当 f=50时，力 在 0,200 上 取 最 大 值 100；当 1=300时,g)在 200,300 上 取 最 大 值 875可 见,h(t)在 0,300 上 取 最 大 值 为 100,此 时 t=50,即 从 2 月 1 日 起 的 第 50天 时，上 市 的 西 红 柿 纯 收 益 最 大。