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1、初中数学函数专题复习初中数学函数专题复习专题一专题一一次函数和反比例函数一次函数和反比例函数一、一次函数及其基本性质一、一次函数及其基本性质1 1、正比例函数、正比例函数形如y kxk 0的函数称为正比例函数，正比例函数，其中k称为函数的比例系数。比例系数。（1）当k0时，直线y=kx经过第一、三象限第一、三象限，从左向右上升，即随着随着x x的增大的增大y y也增大也增大；（2）当k0,b0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；y随x的增大而增大；（2）当k0,b0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；y随x的增大而增大；（3）当k0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；y随x的增大而
2、减小；（4）当k0,b0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；y随x的增大而减小。例题例题 1 1：在一次函数y(m3)xm-1x3 中，符合x0，则m的值为。随堂练习随堂练习：已知自变量为x的函数 y=mx+2-m是正比例函数，则m=_，该函数的解析式为_。例题例题 2 2：已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是（）A、2 B、1 C、0 D、2随堂练习随堂练习：1、直线y=x1 的图像经过象限是（）A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限 C、第二、三、四象限 D、第一、三、四象限2、一次函数y=6x1 的图象不经过（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D
3、、第四象限例题例题 3 3：已知一次函数y mx n 2的图像如图所示，则m、n的取值范围是（）A、m0，n2 B、m0，n2 C、m0，n2 D、m0，n2随堂练习随堂练习：已知关于x的一次函数y mx n的图象如图所示，则|n m|m2可化简为。例题例题 4 4：已知一次函数y=kx+b的图像经过二四象限，如果函数上有点x1,y1,x2,y2，如果满足y1 y2，那么x1x2。3 3、待定系数法求解函数的解析式、待定系数法求解函数的解析式（1）一次函数的形式可以化成一个二元一次方程，函数图像上的点满足函数的解析式，亦即满足二元一次方程。（2）两点确定一条直线，因此要确定一次函数的图像，我们
4、必须寻找一次函数图像上的两个点，列方程组，解方程，最终求出参数k、b。例题例题 5 5：已知：一次函数y kxb的图象经过M(0，2)，(1，3)两点。（1）求k、b的值；（2）若一次函数y kxb的图象与x轴的交点为A（a，0），求a的值。随堂练习随堂练习：1、直线y kx1一定经过点（）。A、(1，0)B、(1，k)C、(0，k)D、(0，1)2、若点（m，n）在函数y=2x+1 的图象上，则 2mn的值是（）A、2 B、-2 C、1 D、-13、一次函数y 2x4的图象与y轴的交点坐标是（）A、（0，4）B、（4，0）C、（2，0）D、（0，2）4、已知一次函数y kx bk 0图象过点
5、(0,2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式。4 4、一次函数与方程、不等式结合、一次函数与方程、不等式结合（1）一次函数中的比较大小问题，主要考察（2）一次函数的交点问题：求解两个一次函数的交点，只需通过将两个一次函数联立，之后通过解答一个二元一次方程组即可。例题例题 1 1：已知一次函数y axb的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于 x 的不等式a(x1)b 0的解集为（）A、x-1 C、x1 D、x1 时,y的取值范围是()A、y=1 B、1y4例题例题 2 2：在同一平面直角坐标系中，若一次函数y x3与y 3x5图象交于点M，则点M的坐标（
6、）A、（-1，4）B、（-1，2）C、（2，-1）D、（2，1）随堂练习：随堂练习：如图，一次函数 y=k1x+b1的图象 l1与 y=k2x+b2的图象 l2相交y k1x b1,于点 P,则方程组的解是（）y k x b22x 2,x 3,x 2,x 2A、B、C、D、y 3y 3y 2y 31例题例题 3 3：如图，直线y=kx+b经过 A（3,1）和 B（6,0）两点，则不等式 0kx+bx的解3集为_。随堂练习：随堂练习：如图，已知函数y3xb和yax3 的图象交于点P(2，5)，则根据图象可得不等式 3xbax3 的解集是。5 5、一次函数的基本应用问题、一次函数的基本应用问题例题
7、例题1 1：如图,正方形ABCD的边长为a,动点P从点A出发,沿折线AB一DCA的路径运动,回到点A时运动停止.设点P运动的路程长为x，AP长为y,则y关于x的函数图象大致是()随堂练习：随堂练习：如图 3，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5,4），AD=2.若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA AD DC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点时停止，它们运动的速度都是每秒 1 个单位长度。设E运动秒x时，EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为（）例题例题 2 2：某景区的旅游线路如图 1 所示，其中A为入口，B，C，D为风景
8、点，E为三岔路的交汇点，图 1 中所给数据为相应两点间的路程（单位：km）甲游客以一定的速度沿线路“ADCEA”步行游览，在每个景点逗留的时间相同，当他回到A处时，共用去 3h 甲步行的路程s（km）与游览时间t（h）之间的部分函数图象如图 2 所示（1）求甲在每个景点逗留的时间，并补全图象；（2）求C，E两点间的路程；（3）乙游客与甲同时从A处出发，打算游完三个景点后回到A处，两人相约先到者在A处等候，等候时间不超过 10 分钟如果乙的步行速度为 3km/h，在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实现请说明理由。随堂练习：随堂练习：煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭
9、运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划。某煤矿现有 1000 吨煤炭要全部运往A、B两厂，通过了解获得A、B两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/t km”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用）：厂别运费（元/t km）路程（km）需求量（t）A0.45200不超过 600B150不超过 800（1）写出总运费y（元）与运往厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含a的代数式表示）例题例题 3 3：如图，直线y=kx-6 经过点A（4，0），直线y=-3x+3 与x轴交于点B，
10、且两直线交于点C。（1）求k的值；（2）求ABC的面积。随堂练习：随堂练习：如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(0，b)(b0)P是直线AB上的一个动点，作PCx轴，垂足为C记点P关于y轴的对称点为P（点P不在 y 轴上），连结PP，PA，PC设点P的横坐标为a（1）当b3 时，求直线AB的解析式；若点 P的坐标是(-1，m)，求m的值；（2）若点P在第一象限，记直线AB与PC的交点为D 当PD：DC=1：3 时，求a的值；（3）是否同时存在a，b，使PCA为等腰直角三角形若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由。.二、反比例函数及
11、其基本性质二、反比例函数及其基本性质1 1、反比例函数的基本形式、反比例函数的基本形式kk（k为常数，k o）的函数称为反比例函数。y 还可以写成xx一般地，形如y y kx12 2、反比例函数中比例系数、反比例函数中比例系数k的几何意义的几何意义（1）过反比例函数图像上一点，向x轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k的绝对值的一半。k（k0）的图像交于 A、B 两点，过 Ax（2）正比例函数y=k1x（k10）与反比例函数y=点作 ACx轴，垂足是 C，三角形 ABC 的面积设为S，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k1无关。（3）正比例函数y=k1x（
12、k10）与反比例函数y=k（k0）的图像交于 A、B 两点，过 Ax点作 ACx 轴，过 B 点作 BCy 轴，两线的交点是 C，三角形 ABC 的面积设为 S，则S=2|k|，与正比例函数的比例系数k1无关。例题例题 1 1：点P是x轴正半轴上的一个动点，过P作x轴的垂线交双曲线y 1于点Q，连续xOQ，当点P沿x轴正方向运动时，RtQOP的面积（）A、逐渐增大 B、逐渐减小 C、保持不变 D、无法确定kx例题例题2 2：如图，双曲线y(k 0)与O在第一象限内交于P、Q 两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点 P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为。随堂练习：随堂练习：1、
13、如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比k22k 1例函数y 的图象上。若点 A 的坐标为（2，2），则k的值为xA、1B、3C、4D、1 或322、如图所示，在反比例函数y(x 0)的图象上有点P1,P2,P3,P4，它们的横坐标依次为x1，2，3，4，分别过些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,S4，则S1 S2 S3。kx3、如图,直线l和双曲线y(k 0)交于 A、B 亮点,P 是线段 AB 上的点（不与 A、B 重合）,过点 A、B、P 分别向x轴作垂线,垂足分别是 C、D、E,连接 OA、OB、OP
14、,设AOC面积是S1、BOD面积是S2、POE面积是S3、则（）A、S1S2S3 B、S1S2S3 C、S1=S2S3 D、S1=S20的图象交于点A（4，2）x随堂练习：随堂练习：如图，直线y=2x6 与反比例函数y=交于点B（1）求k的值及点B的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得AC=AB若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由2例题例题 3 3：已知一次函数y1=x1 和反比例函数y2=的图象在平面直角坐标系中交于 A、B 两x点，当y1y2时，x的取值范围是()A、x2 B、1x0 C、x2，1x0 D、x2，x0随堂练习：随堂练习：1、如图，反比例函数y1=和正比例函数y2=
15、k2x的图象交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，k1x若 k2x，则x的取值范围是k1xA、-1x0 B、-1x1 C、x-1 或 0 x1 D、-1x0 或x12、点 A（x1,y1）,B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函数y=的大小关系是（）.-3的图象上，若x1x20 x3,则y1,y2,y3xA、y3y1y2B、y1y2y3C、y3y2y1 D、y2y10 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a0 时，开口向上；当a0 时x的取值范围。例题例题 4 4：关于x的二次函数y=x22mx+m2和一次函数y=mx+n（m0），在同一坐标系中的
16、大致图象正确的是（）随堂练习：随堂练习：1、二次函数y a(xm)2n的图象如图，则一次函数y mxn的图象经过（）A、第一、二、三象限B、第一、二、四象限C、第二、三、四象限D、第一、三、四象限2、函数y=ax1 与y=ax2bx1（a0）的图象可能是（）y1y1y1y1oAxoBxoCxox3 3、二次函数的增减性及其最值、二次函数的增减性及其最值（1）开口向上的二次函数，在对称轴左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴右侧，y随4acb2着x的增大而增大；在对称轴处取到最小值，越靠近对称轴，函数值越小。4a（2）开口向下的二次函数，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随4ac
17、b2着x的增大而减小；在对称轴处取到最大值，越靠近对称轴，函数值越大。4a例题例题 1 1：二次函数y ax2bxc的图象如图 2 所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A、y1 y2 B、y1 y2C C、y1 y2 D、不能确定例题例题 2 2：设A(2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y (x1)2 m上的三点，则y1,y2,y3的大小关系为（）A、y1 y2 y3 B、y1 y3 y2 C、y3 y2 y1 D、y2 y1 y3随堂练习：随堂练习：已知二次函数yx7x12215，若自变量2x分别取x1，x2，x3，且 0 x
18、1x2x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是()A、y1y2y3B、y1y2y3C、y2y3y1D、y2y3y14 4、二次函数中三大参数的和函数图像的关系、二次函数中三大参数的和函数图像的关系（1）a决定开口方向及开口大小，这与y ax2中的a完全一样。（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线x b,故：2abab 0时，对称轴为y轴；0(即a、b同号)时，对称轴在y轴左侧；b 0(即aa、b异号)时,对称轴在y轴右侧。（3）c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置。当x 0时，y c，抛物线y ax2 bx c与y轴有且只
19、有一个交点(0，c)：c 0，抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴。以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立；如抛物线的对称轴在y轴右侧，则b 0。a例题例题 1 1：已知二次函数y ax2bxc（a 0）的图象如图 4 所示，有下列四个结论：b 0c 0b24ac 0abc 0，其中正确的个数有（）A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个例题例题2 2：已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：；abc0；8a+c0；9a+3b+c0。其中，正确结论的个数是()。A、1 B、2 C、3 D、4随堂练习：随堂练习：1、已知二次函数(其中，)，关于这个二次函数的图象有如
20、下说法：图象的开口一定向上；图象的顶点一定在第四象限；图象与 x 轴的交点至少有一个在 y 轴的右侧。以上说法正确的有()A、0 个B、1 个 C、2 个 D、3 个12、已知二次函数y ax2bx c(a 0)的图象如图所示对称轴为x 。下列结论中，正2确的是（）A、abc0 B、a+b=0 C、2b+c0 D、4a十c2b3、已知二次函数的图象如图所示，则下列 5 个代数式：ac，a+b+c，4a-2b+c，2a+b，2a-b 中，其值大于 0 的个数为()A、2B、3C、4D、55 5、二次函数和不等式、方程的结合、二次函数和不等式、方程的结合（1 1）二次函数的零点的个数以及求解：二次
21、函数的零点的个数以及求解：通过判断=b24ac的正负可以得到二次函数零点的个数，注意，前提是需要注意一个函数是否为二次函数，需要判断二次项次数是否为零，其中x1、2b。2a（2 2）二次函数和不等式的结合：）二次函数和不等式的结合：在x轴上方，则函数大于零；在x轴下方，则函数小于零；在直线上方，说明ax2bxc kxm；在直线下方，则说明ax2bxc kxm。例题例题 1 1：如图，已知抛物线y1=2x22，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2.若y1y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2。例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1y2
22、，此时M=0。下列判断：当x0 时，y1y2；当x0 时，M值越小；1x值越大，222使得M大于 2 的x值不存在；使得M=1 的x值是或 .其中正确的是 ()A、B、C、D、yy1例题例题 2 2：二次函数y ax2bx的图象如图，若一元二次方程ax2bxm 0有实数根，则m的最大值为（）A、-3 B、3 C、-5 D、9例题例题 3 3：设二次函数y x2bx c，当x 1时，总有y 0；当1 x 3时，总有y 0。那么c的取值范围是A、c 3B、c 3C、1 c 3D、c 3随堂练习：随堂练习：21、如图是二次函数y ax bx c的部分图象，由图象可知不等式ax2bx c 0的解集是A
23、、1 x 5 B、x 5 C、x1且x 5D、x 1或x 52、如图所示是二次函数y ax2bxc图象的一部分，其对称轴为直线x1，若其与x轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式ax2bxc 0的解集是。3、对于二次函数零点，则二次函数，我们把使函数值等于 0 的实数x叫做这个函数的(m为实数)的零点的个数是()A、1B、2C、0 D、不能确定二、二次函数的基本应用二、二次函数的基本应用1 1、二次函数求解最值问题、二次函数求解最值问题例题例题 1 1：某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件 20 元，并且每周（7 天）涨价 2 元，从第 6
24、 周开始，保持每件 30 元的稳定价格销售，直到 11 周结束，该童装不再销售。（1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系；（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为1z (x 8)212，1x11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件8获得利润最大并求最大利润为多少随堂练习：随堂练习：1、新星电子科技公司积极应对 2008 年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线。由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况
25、每月最后一天结算 1 次）公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y 5x2205x1230的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为 4，10，12（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前 12 个月中，第几个月该公司所获得的利润最多最多利润是多少万元2
26、、某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润最大的月利润是多少元（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元2 2、二次函数中的面积问题、二次函数中的面积问题例题例题 1 1：某居民小区要在一块一边靠墙(墙长
27、15m)的空地上修建一个矩形花园 ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为 40m 的栅栏围成若设花园的宽为x(m)，花园的面积为y(m2)（1）求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少随堂练习：随堂练习：如图所示，在一个直角MBN 的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（）245m B、6m C、15m D、m421212A、例题例题2 2：如图，O的半径为2，C1是函数y=
28、x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面积是。35例题例题 3 3：如图，直线y x6分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线y x与AB交于44点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D点E从点A出发，以每秒 1 个单位的速度沿x轴向左运动过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）点E的运动时间为t（秒）（1）求点C的坐标；（2）当0t 5时，求S与t之间的函数关系式；（3）求（2）中S的最大值；9（4）当t 0时，直接写出点4，在正方形PQMN内部时t的取值范围2随堂练习：
29、随堂练习：1、如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒 2cm 的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒 1cm 的速度匀速运动设运动时间为x秒，PBQ的面积为y（cm2）.（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求PBQ的面积的最大值.12x平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），21它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为22、如图，把抛物线y=_3、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标
30、为（3，）（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使SPOA=2SAOB；14、如图，已知直线y x1交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形2C的抛物线与直线另一个交点为EABCD，过点A，D，（1）请直接写出点C,D的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C,E两点间的抛物线弧所扫过的面积。3 3、涵洞桥梁隧道问题、涵洞桥梁
31、隧道问题例题例题1 1：如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米.现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少随堂练习：随堂练习：1、如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED16 米，AE8 米，抛物线的顶点C到ED距离是 11 米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴y轴建立平
32、面直角坐标系，（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的 40 小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系。1(t19)28（0t40）且当水面到顶点 C 的距离不大于 5 米时，需禁止船只通行，128h=请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行2、一座拱桥的轮廓是抛物线型（如左图所示），拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为 5m。（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如右图所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽 2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽 2m、高 3
33、m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计)）请说明你的理由。4 4、二次函数和圆相结合、二次函数和圆相结合例题例题 1 1：如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为 1 的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点。抛物线y ax2bxc与y轴交于点D，与直线y x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C。（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长；（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由。随堂练习：随堂练习：如图，已知二次函数y (x m)2 k m2的图象与x轴相交于两个不
34、同的点A(x1，0)、B(x2，0)，与y轴的交点为C设ABC的外接圆的圆心为点P。（1）求P与y轴的另一个交点 D 的坐标；（2）如果AB恰好为P的直径，且ABC的面积等于5，求m和k的值。三、二次函数中的运动性问题三、二次函数中的运动性问题1 1、动点问题、动点问题注意动的点以及其所构成的位置关系。一般而言会有两个到三个点运动。此时需要我们注意这几个点之间的关系以及各个点之间的运动的不同。例题例题 1 1：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB 的面积为S.
35、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。随堂练习：随堂练习：如图，抛物线y x2 2x 3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D。（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF/DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m。用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形设BCF的面积为S，求S与m的函数关
36、系。例题例题 2 2：已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图 1 所示，点A的坐标为(4,0)，点C2的坐标为(0，2)，直线y x与边BC相交于点D3（1）求点D的坐标；（2）抛物线y ax2 bx c经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由随堂练习：随堂练习：已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12)两点，且对称轴为直线x4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B。（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线 y2x上是否存在点D，使四
37、边形OPBD为等腰梯形若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN/x轴，交PB于点N 将PMN沿直线MN对折，得到P1MN。在动点M的运动过程中，设P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式。例题例题 3 3：如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，3)，对称轴是直线x1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点
38、，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限当线段PQ 3AB时，求tanCED的值；当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形4时，请直接写出点P的坐标33随堂练习：随堂练习：如图，抛物线y x2x 3与 x 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），84与y轴交于点C。（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线 l 过点E（4，0），M 为直线l上一动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l解析式。例题例题 4 4：已知抛物线yax2bxc(a0)经过点B(12
39、，0)和C(0，6)，对称轴为x2（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且ADAC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x1 上是否存在点M，使MPQ为等腰三角形若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由。yP OAQCDB x随堂练习：随堂练习：如图，已知抛物线y ax2 bx 3（a0）与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C（1）
40、求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标。例题例题 5 5：如图，已知ABC的三个顶点坐标分别为 A(4,0),B(1,0),C(2,6)（1）求经过A、B、C三点抛物线的解析式；（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与ABC相似吗请说明理由。y yC CD D
41、F FE EC Cy yG GD DF FE EA AO OB Bx xA AO OB Bx x随堂练习：随堂练习：如图，抛物线y ax2bx ca 0的顶点坐标为2,1，并且与y轴交于点C0,3，与x轴交于两点A，B。（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连结AC、AD,求ACD的面积；（3）点E位直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F.问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。2 2、折叠、旋转、平移问题、折叠、旋转、平移问题例题例题 1 1：已知：如图，抛物线y a(x 1)
42、2 c与x轴交于点A（13，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P（1，3）处。（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级 5 班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为 W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比5 1（约2等于 0.618）。请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少（参考数据：5 2.236，6 2.449，结果可保留根号）。随堂练习：随堂练习：二
43、次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象所示，若ax2+bx+c=k（k0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A、k-3C、k3例题例题 2 2：正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE 1，抛物线y ax2bx4过A、D、F三点（1）求抛物线的解析式；（2）Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N，若S四边形AFQM3SFQN，则判断四边形AFQM的形状；2（3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得APPH且AP PH，若存在，
44、请给予严格证明，若不存在，请说明理由。随堂练习：随堂练习：1、定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点。（1）如图 1，若F1：y x2，经过变换后，得到F2：y x2bx，点C的坐标为(2，0)，则b的值等于_；四边形ABCD为（）A、平行四边形B、矩形C、菱形 D、正方形（2）如图 2，若F1：y ax2c，经过变换后，点B的坐标为(2，c1)，求ABD的面积；127（3）如图 3，若F1：y x2x，经过变换后，AC 2 3，点P是直线AC上的动333点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离
45、之和的最小值。2、如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（1，0），点B在抛物线y ax2ax2上（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）抛物线的关系式为；（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求DBC的面积；（4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转 90，到达ABC的位置请判断点B、C是否在（2）中的抛物线上，并说明理由专题三专题三锐角三角函数以及解直角三角形锐角三角函数以及解直角三角形1 1、锐角三角函数的基本定义及其计算、锐角三角函数的基本定义及其计算（1 1）适用范围：）适用范围：直角三角形（2 2）基本形式：）
46、基本形式：在直角三角形ABC中，其中角C为直角，那么有aba,cos A,tan A ccbbabsin B,cos B,tan B ccasin A（3 3）两个基本计算公式：）两个基本计算公式：sin2Acos2A 1,sin2Bcos2B 1，sin Asin B tan A,tan Bcos AcosB（4 4）特殊的角的三角函数：）特殊的角的三角函数：30456090正弦（sin）1余弦（cos）0正切（tan）1不存在例题例题 1 1：如图，已知在 RtABC中，C90，BC1，AC=2，则 tanA的值为12552 55A、2B、C、D、随堂练习：随堂练习：1、在RtABC中，C
47、=90，把A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作cotA=下列关系式中不成立的是（）b则aA、tanAcotA=1 B、sinA=tanAcosA C、cosA=cotAsinA D、tan2A+cot2A=12、如图，在ABC中，C=90，AB13，BC5，则 sinA的值是（）5131213512135 A、B、C、D、3、如图,在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D。若AC=5,BC=2,则sinACD的值为()A、52 552 B、C、D、3523例题2：如图，点E(0，4)，O(0，0)，C(5，0)在A上，BE是A上的一条弦，则tanOBE=随堂练习：随堂练习：如图，直径为
48、 10 的A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧A优弧上一点,则OBC的余弦值为()。A、3134 B、C、D、22452 2、锐角三角函数的基本应用、锐角三角函数的基本应用（1）视角问题：注意分清仰角、俯角的问题（2）方位问题：确定方位的话尽量画出基本的方位坐标图（3）建筑问题和影长问题：坡脚指的是正切值。例题例题 1 1：如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2 米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为 45、木瓜B的仰角为 30.求C处到树干DO的距离CO.（结果精确到 1 米）（参考数据：
49、3 1.73,2 1.41）随堂练习：随堂练习：1、如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两建筑物的高。某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高，用自制测角仪在B处测得D点的仰角为，在A处测得D点的仰角为。已知甲、乙两建筑物之间的距离BC为m。请你通过计算用含、m的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度。2、如图，在塔AB前得平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为 30，从C点向塔底B走100 米到达D点，测出看塔顶的仰角为 45，则塔AB的高为（）1003 11003 1A、50 3米B、100 3米C、米 D、米例题例题 2 2：新闻链接，据【侨报网讯】外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退。2
50、013 年 5 月 18 日，某国 3 艘 5 条刚刚完成黄岩岛护渔任务的“310”船人船未歇立即往北纬 11 度 22 分、东经 110 度 45 分附近海域护渔，保护 100 多名渔民免受财产损失和人身伤害某国发现目前最先进的船正疾速驰救，立即掉头离去。DAB解决问题C第16题图O如图，已知“中国渔政 310”船（A）接到陆地指挥中心（B）命令时，（C）位于陆地指挥中心正南方向，位于“310”船西南方向，“310”船位于陆地指挥中心南偏东 60方向，AB=140 6海里，“中国渔政 310”船最大航速 20 海里/时。根以上信息，3请你求出“中国渔政 310”船赶往出事地点需要多少时间。随