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1、天天向上独家原创 1/47 2022 年全国数学中考试题精选 50 题（8）二次函数及其应用 一、单选题 1.（2022 玉林）把二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象作关于 x 轴的对称变换，所得图象的解析式为 ya（x1）2+4a，若（m 1）a+b+c 0，则m 的最大值是（）A.4 B.0 C.2 D.6 2.（2022 铁岭）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，.正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4 3.（2022 盘锦）如图，四边形是边长为 1 的正方形，点 是射线上的动点（点 不与点，点 重合），点 在线段的延长线上，且，连接，将绕点 顺时针旋转
2、 90得到，连接.设，四边形的面积为，下列图象能正确反映出 与 的函数关系的是（）天天向上独家原创 2/47 A.B.C.D.4.（2022 阜新）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A.图象的开口向上 B.图象的顶点坐标是C.当时，y 随x 的增大而增大 D.图象与x 轴有唯一交点 5.（2022 丹东）如图，二次函数（）的图象与 轴交于，两点，与 轴交于点，点 坐标为，点 在与之间（不包括这两点），抛物线的顶点为，对称轴为直线，有以下结论：；若点，点是函数图象上的两点，则；可以是等腰直角三形.其中正确的有（）A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个 6.（2022
3、 镇江）点 P(m，n)在以 y 轴为对称轴的二次函数 yx2+ax+4的图象上.则 m n 的最大值等于（）A.B.4 C.D.7.（2022 绵阳）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为 10 米，孔顶离水面1.5 米；当水位下降，大孔水面宽度为14 米时，单个小孔的水面宽度为4 米，若大孔水面宽度为 20 米，则单个小孔的水面宽度为（）天天向上独家原创 3/47 A.4 米 B.5 米 C.2 米 D.7米 8.（2022 眉山）已知二次函数（为常数）的图象与 x 轴有交点，且当时，y 随 x 的增大而增大，则 a 的取值范围是（）
4、A.B.C.D.9.（2022 凉山州）二次函数的图象如图所示，有如下结论：；（m 为实数）其中符合题意结论的个数是（）A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个 10.（2022 威海）如图，抛物线交 x 轴于点 A，B，交 轴于点C若点 A 坐标为，对称轴为直线，则下列结论错误的是（）A.二次函数的最大值为 B.C.D.天天向上独家原创 4/47 11.（2022 东营）如图，已知抛物线的图象与 x 轴交于两点，其对称轴与 x 轴交于点 C 其中两点的横坐标分别为-1 和 1 下列说法错误的是（）A.B.C.D.当时，y 随x 的增大而减小 12.（2022 滨州）对称轴为直线 x1 的抛物
5、线（a、b、c 为常数，且 a 0）如图所示，小明同学得出了以下结论：abc 0，b2 4ac，4a2b c0，3ac0，ab m(am b)（m 为任意实数），当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，其中结论正确的个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6 13.（2022 昆明）如图，抛物线 yax2+bx+c（a 0）的对称轴为直线 x1，与 y 轴交于点 B（0，2），点 A（1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）天天向上独家原创 5/47 A.ab 0 B.一元二次方程 ax2+bx+c0 的正实数根在 2和 3 之间 C.a D.点 P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物
6、线上，当实数 t 时，y1y2 14.（2022 山西）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）A.B.C.D.15.（2022 呼和浩特）关于二次函数，下列说法错误的是（）A.若将图象向上平移 10 个单位，再向左平移 2 个单位后过点，则B.当时，y 有最小值C.对应的函数值比最小值大 7D.当时，图象与 x 轴有两个不同的交点 16.（2022 长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中
7、在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间 t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c 为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为()天天向上独家原创 6/47 A.3.50 分钟 B.4.05分钟 C.3.75分钟 D.4.25分钟 17.（2022 深圳）二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A.B.4ac-b20，对称轴在y 轴右边，即 b0，抛物线与轴的交点在 轴的下方，天天向上独家原创 29/47 ，故错误；对
8、称轴在 1 左侧，-b0，故错误；当 x=-2 时，y=4a-2b+c0，故正确；当 x=-1 时，抛物线过 x 轴，即 a-b+c=0，b=a+c，又 2a+b0，2a+a+c0，即 3a+c0，故正确；故答案为：B.【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c与 0 的关系，进而判断；根据对称轴1 求出 2a 与 b 的关系，进而判断；根据 x=2 时，y0 可判断；由 x=-1 和 2a 与 b 的关系可判断.22.【答案】B 【解析】【解答】二次函数的图象经过与两点，即方程的两个根是3 和 1，可以看成二次函数 y 的图象沿着 y 轴平移 m 个
9、单位,得到一个根 3，由 1 到 3 移动 2 个单位，可得另一个根为5.由于 0nm，可知方程的两根范围在5 3 和 13，由此判断 B 符合该范围.故答案为：B.【分析】由题意可得方程的两个根是3，1，方程在 y 的基础上加m，可以理解为二次函数的图象沿着 y 轴平移 m 个单位,由此判断加 m 后的两个根,即可判断选项.23.【答案】C 【解析】【解答】解：由图象可得：a0，c0，b2 4ac 0，1，b2a 0，b2 4ac ，故 A 选项不合题意，abc 0，故 B 选项不合题意，当 x1 时，y0，天天向上独家原创 30/47 ab+c 0，a+c 0，即 ac0，故 C 选项符合
10、题意，当 xm 时，yam2+bm+c ，当 x1 时，y 有最小值为 ab+c ，am2+bm+c ab+c ，am2+bm ab ，故 D 选项不合题意，故答案为：C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案 24.【答案】C 【解析】【解答】解：二次函数的图像经过，对称轴x=，即 x=，对称轴x=b，=b，化简得 c=b-1，该二次函数的图象与x 轴有公共点，=b=2，c=1，b+c=3，故答案为：C.【分析】根据二次函数的图像经过，可得到二次函数的对称轴 x=，又根据对称轴公式可得 x=b，由此可得到 b与 c 的数量关系，然后由该二次函数的图象与 x 轴有公共点列出不等式解
11、答即可 25.【答案】D 【解析】【解答】解：由图可知二次函数的图象的开向下，所以 a0,故 A 选项不符合题意；因为二次函数的解析式为，天天向上独家原创 31/47 所以图象的对称轴为直线，故 B 选项不符合题意；因为二次函数的对称轴为直线，A,B 两点是抛物线与 x 轴的交点，所以 A,B 两点到对称轴的距离相等，设 B 点坐标为（b,0）,则有 b-(-1)=(-1)-(-3),解得 b=1,所以 B 点坐标为（-1,0）.故 C 选项不符合题意；由图形可知当 x-1 时,y 随 x 的增大而增大，当-1x0.又 ，b0.，,x10.y1y2.天天向上独家原创 33/47 故答案为：B.
12、【分析】首先分析出 a,b,x1 的取值范围，然后用含有代数式表示 y1,y2，再作差法比较 y1,y2 的大小.30.【答案】D 【解析】【解答】抛物线开口向下，a0，b=-2a，b0，抛物线与y 轴的交点在正半轴，c0，abc0，不符合题意；由图像可得当 x=-1 时，y=a-b+can2+bn+c，即 a+bn(an+b)，(n 1)，符合题意；当 x=3 时，函数值小于 0，y=9a+3b+c0，b=-2a，即 a=，代入 9a+3b+c0得 9（）+3b+c0，+c0，-3b+2c0，即 2c3b，符合题意；故答案为：D【分析】由图像判断出 a0，c0，即可判断；根据 b=-2a 可
13、判断；根据当 x=-1 时函数值小于 0 可判断；根据当 x=1 时，y 有最大值，y=a+b+c，当 x=n 时，y=an2+bn+c即可判断；当 x=3 时，函数值小于0，y=9a+3b+c0，且 b=-2a，即 a=，代入 9a+3b+c0可判断 二、填空题 天天向上独家原创 34/47 31.【答案】且 k 1 【解析】【解答】解：抛物线与 x 轴有交点，又 ，k 的取值范围是且；故答案为：且.【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合，即可得到答案.32.【答案】【解析】【解答】解：在所列的 5 个数中任取一个数有 5 种等可能结果，其中使抛物线 y=ax2+bx+c的开口向上的有
14、3 种结果，使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的概率为，故答案为：.【分析】使抛物线 y=ax2+bx+c的开口向上的条件是 a0，据此从所列 5 个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得 33.【答案】【解析】【解答】解：由二次函数的图象开口向上可得 a0，对称轴在 y 轴的右侧，b0，ab 0，故不符合题意；由图象可知抛物线与 x 轴的交点为（1，0），与 y 轴的交点为（0，1），c1，a+b 10，故符合题意；a+b 10，a1b，b0，a10，a1，故符合题意；抛物线与y 轴的交点为（0，1），天天向上独家原创 35/47 抛物线为yax2+bx 1，抛物线与x 轴的交
15、点为（1，0），ax2+bx 10 的一个根为 1，根据根与系数的关系，另一个根为，故符合题意；故答案为【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点得出 c的值，然后根据抛物线与 x 轴交点的个数及 x1 时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断 34.【答案】【解析】【解答】解：根据表中 x 与 y 之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中(-1，0)、(0，3)、(1，4)三个点带入函数关系式，得：解得：，函数的表达式为：故答案为：【分析】根据表中 x 与 y 之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中的点(-1，0)、(0，3)、(1，4)、(3
16、，0)任取三个点带入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常数项即可求得答案 35.【答案】y=x2+3 【解析】【解答】抛物线 y=x2 向上平移 3 个单位得到 y=x2+3 故答案为：y=x2+3 【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解 36.【答案】4 【解析】【解答】A、B 的纵坐标一样,A、B 是对称的两点,对称轴,即,b=4 天天向上独家原创 36/47 抛物线顶点(2,3)满足题意 n 得最小值为 4,故答案为 4【分析】通过 A、B 两点得出对称轴,再根据对称轴公式算出 b,由此可得出二次函数表达式,从而算出最小值即可推出 n 的最小值 37.【答案】(2，5)【解析】【
17、解答】抛物线 y=(x 1)2 5 的顶点为（1，-5），关于y 轴对称的坐标为（-1，-5），再向右平移 3 个单位长度后的坐标为（2，-5），故答案为：(2，5)。【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据题意进行变换即可求解 38.【答案】（1,0）或（2,0）或（0,2）【解析】【解答】解：将关联数为代入函数得到：，关联数为的函数图象与 x 轴有两个整交点（m 为正整数），y=0，即，因式分解得，又关联数为的函数图象与 x 轴有两个整交点，即 m=1，与 x 轴交点即 y=0 解得 x=1 或 x=2，即坐标为或，与 y 轴交点即 x=0 解得 y=2，即坐标为，这个函数图象上整交点的坐标
18、为或或；故答案为：或或.【分析】将关联数为代入函数得到：，由题意将 y=0 和 x=0 代入即可.39.【答案】或 天天向上独家原创 37/47【解析】【解答】解：对，当 x=0 时，y=3，点B 坐标为（0，3），抛物线的对称轴是直线：，当 ABM=90 时，如图 1，过点 M 作 MFy 轴于点 F，则，1+2=90，2+3=90，1=3，又 MFB=BOA=90，BFM AOB，即，解得：BF=3，OF=6，点M 的坐标是（，6）；当 BAM=90 时，如图 2，过点 A 作 EHx 轴，过点 M 作 MH EH 于点 H，过点 B 作 BEEH 于点 E，则，同上面的方法可得 BAE
19、AMH，即，解得：AH=9，天天向上独家原创 38/47 点M 的坐标是（，9）；综上，点 M 的坐标是或.故答案为：或.【分析】先求出点 B 的坐标和抛物线的对称轴，然后分两种情况讨论：当ABM=90 时，如图 1，过点 M 作 MFy 轴于点 F，易证 BFM AOB，然后根据相似三角形的性质可求得 BF 的长，进而可得点 M 坐标；当 BAM=90 时，辅助线的作法如图 2，同样根据 BAE AMH 求出 AH 的长，继而可得点M 坐标.40.【答案】【解析】【解答】当时，将二次函数的图象先向右平移 m 个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象；当时，将二次函数的图象先向左
20、平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象 该函数的图象与函数的图象形状相同，结论正确 对于 当时，即该函数的图象一定经过点，结论正确 由二次函数的性质可知，当时，y 随 x 的增大而增大；当时，y 随 x 的增大而减小 则结论错误 的顶点坐标为 对于二次函数 当时，即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论正确 综上，所有正确的结论序号是 故答案为：.【分析】两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；求出当时，y 的值即可得；根据二次函数的增减性即可得；先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得.天天向上独家原创 39/47 三、综合题 41.【答
21、案】（1）（2）解：当时，元 答：零售商一次性批发 200 件，需要支付 18000 元（3）解：当时 ，抛物线开口向下 当时，随 的增大而增大 又 为 10 的正整数倍 时，最大，最大值是 3800 当时，随 的增大而减小 又 为 10 的正整数倍 时，最大，最大值是 3800 当时，随 的增大而增大 时，最大，最大值是 3600 当或时，最大，最大值是 3800【解析】【解答】解：（1）当 100 x 300 时，设 与 的函数关系式为 y=kx+b，(k 0)，将点（100，100），（300，80）代入 y=kx+b，(k 0)，解，得 故答案填：【分析】（1）将两点（100，100）
22、，（300，80）代入到一次函数解析式，利用待定系数法即可求解；（2）将 x=200 代入到（1）求出 y 的值，最后求得答案；（3）当时，求得y 的最大值，当求得y 的最大值，最后作答.天天向上独家原创 40/47 42.【答案】（1）解：设一次函数表达式为，将代入，得 解得.（2）解：根据题意，得，整理，得，解得（不合题意，舍去）.答：该超市要想获得 1000 元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为 30 元.（3）解：方法 1：设日销售利润为 w 元.，抛物线开口向下，又，当时，w 随 x 的增大而增大.当时，w 有最大值，（元）.答：当每千克樱桃的售价定为40 元时，可获得最大利润，最
23、大利润是1600 元.方法 2：设日销售利润为 w 元.，抛物线开口向下，对称轴为直线.当时，w 随着 x 的增大而增大，当时，w 有最大值，（元）.答：当每千克樱桃的售价定为40 元时，可获得最大利润，最大利润是1600 元.【解析】【分析】（1）任选表中的两组对应数值，用待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）销售利润=销售量每千克所获得的利润，得，解出方程；（3）构造，利用二次函数的最大值问题解决.天天向上独家原创 41/47 43.【答案】（1）y=-x+120（2）解：，抛物线开口向下，函数有最大值 当时，答：当销售单价是 75 元时，最大日利润是 2025 元.（3）解：当时，解得
24、，有两种情况 时，在对称轴左侧，w 随 x 的增大而增大，当时，时，在范围内，这种情况不成立，【解析】【解答】解：（1）设解析式为，将和代入，可得，解得，所以 y 与 x 的关系式为，所以答案为；【分析】（1）根据题中所给的表格中的数据，可以直接写出其关系式；（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；（3）根据题意，列出关系式，再分类讨论求最值，比较得到结果.44.【答案】（1）解：PD AB,AC=3,BC=4,CP=x,即.AD=.（2）解：.天天向上独家原创 42/47 对称轴为,二次函数开口向下,S 随 x 增大而减小时 x 的取值为 2 x4.【解析】【分析】(1
25、)由比例求出 CD 与 CP 的关系式,再求出 AD.(2)把 AD 当作底,CP 当作高,利用三角形面积公式求出 S 与 x 的函数表达式,再由条件求出范围即可.45.【答案】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，DCG=90，CF 平分 DCG，FCG=DCG=45，G=90，GCF=CFG=45，FG=CG，四边形ABCD 是正方形，EFAE，B=G=AEF=90，BAE+AEB=90，AEB+FEG=90，BAE=FEG，B=G=90，BAE GEF；（2）解：AB=BC=10，CE=2，BE=8，FG=CG，EG=CE+CG=2+FG，由（1）知，BAE GEF，FG=8，S ECF
26、=CE FG=2 8=8；（3）解：设 CE=x，则 BE=10-x，EG=CE+CG=x+FG，天天向上独家原创 43/47 由（1）知，BAE GEF，FG=10-x，S ECF=CE FG=x（10-x）=，当 x=5 时，S ECF 最大=，当EC=5 时，的面积最大.【解析】【分析】（1）先判断出 CG=FG，再利用同角的余角相等，判断出BAE=FEG，进而得出 ABE EGF，即可得出结论；（2）先求出 BE=8，进而表示出 EG=2+FG，由 BAE GEF，得出，求出 FG，最后用三角形面积公式即可得出结论；（3）同（2）的方法，即可得出 S ECF=，即可得出结论.46.【答
27、案】（1）解：抛物线yx2 2mx m2 2m 1 过点 B（3，5），把B（3，5）代入 yx2 2mx m2 2m 1，整理得，m2 4m 30，解得 m1 1，m2 3，当 m 1 时，yx2 2x2（x 1）21，其顶点 A 的坐标为（1，1）；当 m 3 时，yx2 6xm2 14（x 3）25，其顶点 A 的坐标为（3，5）；综上，顶点 A 的坐标为（1，1）或（3，5）；（2）解：yx2 2mx m2 2m 1（x m）22m 1，顶点A 的坐标为（m，2m 1），点A 的坐标记为（x，y），xm，y2x 1；（3）解：由（2）可知，抛物线的顶点在直线 y2x 1 上运动，且形状
28、不变，由（1）知，当 m 1 或 3 时，抛物线过 B（3，5），把 C（0，2）代入 yx2 2mx m2 2m 1，得 m2 2m 12，解得 m 1 或 3，所以当 m 1 或 3 时，抛物线经过点 C（0，2），天天向上独家原创 44/47 如图所示，当 m 3 或 3 时，抛物线与线段 BC 只有一个交点（即线段 CB 的端点），当 m 1 时，抛物线同时过点 B、C，不合题意，所以 m 的取值范围是 3 m 3 且 m 1【解析】【分析】（1）根据待定系数法求得解析式，然后把解析式化成顶点式即可求得；（2）化成顶点式，求得顶点坐标，即可得出 y 与 x 的函数表达式；（3）把 C（
29、0，2）代入 yx2 2mx m2 2m 1，求得 m 1 或 3，结合（1）根据图象即可求得 47.【答案】（1）解：由题意得：y=500-10（x-50）=1000-10 x，W=（x-40）（1000-10 x）=-10 x2+1400 x-40000；（2）解：由题意得：-10 x2+1400 x-40000=8000，解得：x1=60，x2=80，当 x=60 时，成本=40 500-10（60-50）=16000 10000 不符合要求，舍去，当 x=80 时，成本=40 500-10（80-50）=8000 10000 符合要求，销售价应定为每件80 元；（3）解：W=-10 x
30、2+1400 x-40000，当 x=70 时，W 取最大值 9000，故销售价定为每件 70 元时会获得最大利润 9000 元【解析】【分析】（1）根据题意一个月能售出 500 件，若销售单价每涨 1 元，每周销量就减少 10 件，可得 y=500-10（x-50），再利用一个月的销售量每件销售利润=一个月的销售利润列出一个月的销售利润为 W，写出 W 与 x 的函天天向上独家原创 45/47 数关系式；（2）令 W=8000，求出 x 的取值即可；（3）根据二次函数最值的求法求解即可 48.【答案】（1）解：对于抛物线 当时，解得或 点 A 在 x 轴的负半轴上，点 点是抛物线的最高点 抛
31、物线 的对称轴为，即 解得 把代入得：解得 则抛物线的解析式为 设点 B 的坐标为 则，解得或 答：抛物线的解析式为，点 B 的坐标为；（2）解：设点 C 的坐标为，则点 D 的坐标为 由题意得：整理得：由二次函数的性质可知，当时，CD 随 a 的增大而增大；当时，CD 随 a 的增大而减小 则当时，CD 取得最大值，最大值为 5，轴 边 CD 上的高为 则.天天向上独家原创 46/47【解析】【分析】（1）先求出点 A 的坐标，再根据“点 A 为抛物线的最高点”可求出b 的值，然后将点A代入可求出c 的值，从而可得抛物线的解析式，最后设点 B 的坐标为，代入可得一个关于 m、n 的方程组，求
32、解即可得；（2）设点 C 的坐标为，从而可得点 D 的坐标和 a 的取值范围，再利用二次函数的性质求出 CD 的最大值，然后根据三角形的面积公式即可得.49.【答案】（1）解：由题意得：y80+20 ，y40 x+880；（2）解：设每天的销售利润为 w 元，则有：w（40 x+880）（x16）40（x19）2+360，a400，二次函数图象开口向下，当x19 时，w 有最大值，最大值为 360 元.答：当销售单价为19 元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为 880 元.【解析】【分析】（1）销售单价为 x（元），销售单价每降低 0.5 元，则每天可多售出 20 瓶（销
33、售单价不低于成本价），则为降低了多少个 0.5 元，再乘以 20 即为多售出的瓶数，然后加上 80 即可得出每天的销售量 y；（2）设每天的销售利润为 w 元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出 w关于 x 的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案.50.【答案】（1）解：设 y 与 x 之间的函数表达式为（），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：，解得：，y 与 x 之间的函数表达式为；（2）解：由题意得：，整理得，解得，天天向上独家原创 47/47 答：为保证某天获得 600 元的销售利润，则该天的销售单价应定为 60 元/千克或 80 元/千克；（3）解：设当天的销售利润为 w 元，则：，20，当时，w 最大值=800.答：当销售单价定为 70 元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800 元.【解析】【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；（2）根据单件的利润乘以销售的数量=总利润可列出关于销售单价 x 的方程，然后解一元二次方程即可；（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可.