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1、学习必备 欢迎下载 初中数学竞赛专题中位线 一、内容提要 1.三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。2.中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。3.运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。4.中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5.有
2、关线段中点的其他定理还有：直角三角形斜边中线等于斜边的一半 等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 对角线互相平分的四边形是平行四边形 线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。二、例题 例1.已知：ABC 中，分别以 AB、AC 为斜边作等腰直角三角形 ABM和 CAN，P 是 BC 的中点。求证：PMPN （1991 年泉州市初二数学双基赛题）证明：作 MEAB，NFAC，垂足 E，F ABM、CAN 是等腰直角三角形 AEEBME，AFFCNF，根据三角形中位线性质 PE21ACNF，PF21ABME PEAC，PFAB PEBBACPFC 即PE
3、MPFN PEMPFN PMPN ABCMNPEF学习必备 欢迎下载 例 2.已知ABC 中，AB10，AC7，AD 是角平分线，CMAD 于 M，且 N 是 BC 的中点。求 MN 的长。分析：N 是 BC 的中点，若 M 是另一边中点，则可运用中位线的性质求 MN 的长，根据轴称性质作出AMC 的全等三角形即可。辅助线是：延长 CM 交 AB 于 E（证明略）例 3.求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半。已知：梯形 ABCD 中，ABCD，M、N 分别是 AC、BD 的中点 求证：MNABCD，MN21（ABCD）分析一：M 是 AC 中点，构造一个三角形，使 N 为另一
4、边中点，以便运用中位线的性质。连结 CN 并延长交 AB 于 E（如图 1）证BNEDNC 可得 N 是 CE 的中点。（证明略）分析二：图 2 与图 1 思路一样。分析三：直接选择ABC，取 BC 中点 P 连结 MP 和 NP，证明 M，N，P三点在同一直线上，方法也是运用中位线的性质。例4.如图已知：ABC 中，AD 是角平分线，BECF，M、N 分别是BC 和 EF 的中点 求证：MNAD 证明一：连结 EC，取 EC 的中点 P，连结 PM、PN MPAB，MP21AB，NPAC，NP21AC BECF，MPNP 3=4=2MPN-180 MPNBAC180（两边分平行的两个角相等或
5、互补）1=2=2MPN-180，2=3 NPAC MNAD 4321ABCDEFMNP321NABCDEABCDEABCDMNMMNE7101 2ABCDMN度确定线段的和差倍关系运用中位线性质的关键是从出现的线段中点找在其他直线上截得的线段也相等经过三角形一边中点而平行于另一边的和底上的高顶角平分线互相重合对角线互相平分的四边形是平行四边形学习必备 欢迎下载 证明二：连结并延长 EM 到 G，使 MGME 连结 CG，FG 则 MNFG，MCG MBE CGBECF BBCG ABCG，BACFCG180 CAD21（180FCG）CFG21（180FCG）=CAD MNAD 例5.已知：A
6、BC 中，ABAC，AD 是高，CE 是角平分线，EFBC于 F，GECE 交 CB 的延长线于 G 求证：FD41CG 证明要点是：延长 GE 交 AC 于 H，可证 E 是 GH 的中点 过点 E 作 EMGC 交 HC 于 M，则 M 是 HC 的中点，EMGC，EM21GC 由矩形 EFDO 可得 FDEO21EM41GC 三、练习 1.已知 E、F、G、H 是四边形 ABCD 各边的中点 则四边形 EFGH 是形 当 ACBD 时，四边形 EFGH 是形 当 ACBD 时，四边形 EFGH 是形 当 AC 和 BD时，四边形 EFGH 是正方形形。2.求证：梯形两底中点连线小于两边和
7、的一半。3.已知 AD 是锐角三角形 ABC 的高，E，F，G 分别是边 BC，CA，AB 的中点，证明顺次连结 E，F，G，H 所成的四边形是等腰梯形。4.已知：经过ABC 顶点 A 任作一直线 a,过 B，C 两点作直线 a 的垂线段 BB，和 CC，设 M 是 BC 的中点，求证：MB，MC，5.如图已知ABC 中，ADBE，DMENBC 求证 BCDMEN MjABCGDEFNO21ABCGDEFHMABCDMENABCDEFGH度确定线段的和差倍关系运用中位线性质的关键是从出现的线段中点找在其他直线上截得的线段也相等经过三角形一边中点而平行于另一边的和底上的高顶角平分线互相重合对角线
8、互相平分的四边形是平行四边形学习必备 欢迎下载 6.如图已知：从平行四边形 ABCD 的各顶点向形外任一直线 a 作垂线段 AE，BF，CG，DH。求证 AECGBFDH 7.如图已知 D 是 AB 的中点，F 是 DE 的中点，求证 BC2CE 8.平行四边形 ABCD 中，M，N 分别是 BC、CD 的中点，求证 AC 平分 MN 9.已知ABC 中，D 是边 BC 上的任一点，M，N，P，Q 分别是 BC，AD，AC，MN 的中点，求证直线 PQ 平分 BD。10.等腰梯形 ABCD 中，ABCD，ADBC，点 O 是 AC 和 BD 的交点，AOB60，P，Q，R 分别是 AO，BC，
9、DO 的中点，求证PQR 是等边三角形。11.已知：ABC 中，AD 是高，AE 是中线，且 AD，AE 三等分BAC，求证：ABC 是 Rt。12.已知：在锐角三角形 ABC 中，高 AD 和中线 BE 相交于 O，BOD60，求证 ADBE 13.如图 已知：四边形 ABCD 中，ADBC，点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，MNEF 求证：DMN CNM 练习题参考答案 1.平行四边形菱形矩形相等且互相垂直 DABCFEMNR60OABCDPQS(9)ABCDMNPRAoBCDaGHED1FF(7)ABCED8ODABCMN度确定线段的和差倍关系运用中位线性质的关键是从出现的线段中点
10、找在其他直线上截得的线段也相等经过三角形一边中点而平行于另一边的和底上的高顶角平分线互相重合对角线互相平分的四边形是平行四边形学习必备 欢迎下载 2.取一条对角线的中点，利用三角形两边差小于第三边 3.DGEF21AB 4.过点 M 作 a 的垂线,必平分 B，C，5.ABC 的中位线也是梯形 BCD，D 中位线 6.同上，有公共中位线 7.取 BC 中点 G，连结 DG 8.连结 BD 交 AC 于 O，易证四边形 MCNO 是平行四边形 9.证四边形 MPNS 是平行四边形 10.COD 是等边三角形，CRDO，RQ21BC，11.作 EFAC，EFED21EC，C30，12.作 EFBC 于 F，AD，BE 都等于 2EF 13.过 AC 的中点 O 作 MN 的平行线，则 OEOF，度确定线段的和差倍关系运用中位线性质的关键是从出现的线段中点找在其他直线上截得的线段也相等经过三角形一边中点而平行于另一边的和底上的高顶角平分线互相重合对角线互相平分的四边形是平行四边形