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1、学习必备欢迎下载初中数学竞赛专题培训第十四讲中位线及其应用中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此， 它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用例 1 如图 2-53 所示 ABC 中， AD BC于 D，E，F，ABC的面积分析由条件知， EF ，EG分别是三角形ABD和三角形 ABC的中位线利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出ABC的高 AD及底边 BC的长解 由已知， E，F 分别是 AB，BD的中点，所以，EF是 ABD的一条中位线，所以由条件 AD+EF=12( 厘米 ) 得EF=4(厘米) ，从而 AD=8( 厘米 ) ，由于
2、 E，G分别是 AB，AC的中点，所以EG是ABC的一条中位线，所以BC=2EG=2 6=12(厘米 )，显然， AD是 BC上的高，所以例 2 如图 2 -54 所示 ABC中， B， C 的平分线 BE ，CF相交于 O ，AG BE于 G ，AH CF于 H(1) 求证： GH BC ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载(2) 若 AB=9厘米， AC=14厘米， BC=18厘米，求GH 分析若延长 AG ，设延长线交BC于 M 由角平分线的对称性可以证明ABG MBG ，从而 G是 AM的中点
3、；同样，延长AH交 BC于 N，H是 AN的中点，从而GH就是 AMN 的中位线，所以GH BC ，进而，利用ABC 的三边长可求出GH的长度(1) 证 分别延长 AG ，AH交 BC于 M ，N，在 ABM 中，由已知， BG平分 ABM ，BG AM ，所以ABG MBG(ASA) 从而， G是 AM的中点同理可证ACH NCH(ASA) ，从而， H是 AN的中点所以GH是 AMN 的中位线，从而，HG MN ，即HG BC (2) 解 由(1) 知， ABG MBG 及 ACH NCH ，所以AB=BM=9 厘米， AC=CN=14 厘米又 BC=18厘米，所以BN=BC -CN=18
4、 -14=4(厘米 ) ，MC=BC -BM=18 -9=9( 厘米 ) 从而MN=18 -4-9=5( 厘米 ) ，说明 (1) 在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一( 即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”(2) “等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边”同学们不妨自己证明(3) 从本题的证明过程中，我们得到启发：若将条件“B， C的平分线”改为
5、“B(或 C)及 C(或 B)的外角平分线” ( 如图 2-55所示 ) ，或改为“ B， C的外角平分线”(如图 2-56 所示 ) ，其余条件不变，那么，结论GH BC仍然成立同学们也不妨试证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载例 3 如图 2-57 所示 P是矩形 ABCD内的一点，四边形BCPQ 是平行四边形， A，B，C，D分别是 AP，PB，BQ ，QA的中点求证：AC=BD分析由于 A， B， C， D分别是四边形APBQ 的四条边 AP，PB，BQ ，QA的中点，有经验的同学知道ABCD
6、 是平行四边形，AC与 BD则是它的对角线，从而四边形ABCD应该是矩形利用ABCD 是矩形的条件，不难证明这一点证 连接 AB， BC， CD， DA，这四条线段依次是APB ， BPQ ， AQB ， APQ 的中位线从而AB AB ，B C PQ ，CD AB ，D A PQ ，所以， ABCD是平行四边形由于ABCD 是矩形， PCBQ 是平行四边形，所以ABBC ，BC PQ 从而ABPQ ，所以 A B BC，所以四边形ABCD是矩形，所以AC=BD 说明在解题过程中，人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验
7、，对寻求思路起了不小的作用因此注意归纳总结，积累经验，对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的例 4 如图 2-58 所示在四边形ABCD 中， CD AB，E，F 分别是 AC ，BD的中点求证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载分析在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线，为此，取AD中点证 取 AD中点 G，连接 EG ，FG ，在 ACD中， EG是它的中位线 ( 已知 E是 AC的中点 ) ，所以同理，由 F，G分别是 BD和 AD的中点，从而， FG是 ABD
8、的中位线，所以在 EFG中，EFEG -FG 由，例 5 如图 2-59 所示梯形 ABCD 中， ABCD ，E为 BC的中点， AD=DC+AB求证： DE AE 分析本题等价于证明AED是直角三角形，其中AED=90 在 E 点( 即直角三角形的直角顶点) 是梯形一腰中点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线，若能证明， 该中位线是直角三角形AED的斜边( 即梯形另一腰 ) 的一半，则问题获解证 取梯形另一腰AD的中点 F，连接 EF ，则 EF是梯形 ABCD 的中位线，所以因为 AD=AB+CD，所以从而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
9、- -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载1=2， 3=4，所以 2+3=1+4=90( ADE的内角和等于180)从而AED= 2+3=90，所以 DEAE例 6 如图 2-60 所示 ABC 外一条直线l ，D，E，F 分别是三边的中点，AA1，FF1，DD1，EE1都垂直 l 于 A1，F1，D1，E1求证：AA1+EE1=FF1+DD1分析显然 ADEF 是平行四边形，对角线的交点O平分这两条对角线，OO1恰是两个梯形的公共中位线利用中位线定理可证证 连接 EF，EA，ED 由中位线定理知，EFAD ，DE AF，所以 ADEF 是平行四边形，它的对角线AE ，DF互相平分，设它们交
10、于O，作OO1l 于 O1，则 OO1是梯形 AA1E1E及 FF1D1D的公共中位线，所以即 AA1+EE1=FF1+DD1练习十四1 已知 ABC中， D为 AB的中点， E 为 AC上一点， AE=2CE ，CD ，BE交于 O点， OE=2厘米求 BO的长2已知 ABC中， BD ，CE分别是 ABC ， ACB的平分线， AH BD于 H，AFCE于 F若 AB=14厘米， AC=8厘米， BC=18厘米，求 FH的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载3已知在 ABC中，ABAC ，AD B
11、C于 D，E，F，G分别是 AB，BC ，AC的中点求证：BFE= EGD 4如图 2-61 所示在四边形ABCD 中， AD=BC ，E，F 分别是 CD ，AB的中点，延长AD ，BC ，分别交 FE的延长线于H，G求证： AHF=BGF 5在 ABC中，AH BC于 H，D，E，F 分别是 BC ，CA ，AB的中点 ( 如图 2-62 所示 ) 求证： DEF= HFE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载6如图 2-63 所示 D，E分别在 AB，AC上， BD=CE ，BE，CD的中点分别是M ，N，直线 MN分别交 AB，AC于 P，Q 求证： AP=AQ 7已知在四边形ABCD 中，AD BC ，E ，F 分别是 AB，CD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页