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1、学习必备 欢迎下载 初中数学竞赛专题选讲（初三.5）对称式 一、内容提要 一.定义 1.在含有多个变量的代数式 f(x,y,z)中，如果变量 x,y,z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如：代数式 x+y，xy，x3+y3+z33xyz,x5+y5+xy,yx11，xyzxzxyzzyxyzyx.都是对称式.其中 x+y 和 xy 叫做含两个变量的基本对称式.2.在含有多个变量的代数式 f(x,y,z)中，如果变量 x,y,z 循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.例如：代数式 a2(bc)+b2(ca)+c2(ab),2x
2、2y+2y2z+2z2x,abccba1111，（xy+yz+zx）()111zyx，222222222111bacacbcba.都是轮换式.显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质 1.含两个变量 x 和 y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.2.对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.例如：在含 x,y,z 的齐二次对称多项式中，如果含有 x2项，则必同时有 y2,z2两项；如含有 xy 项，则必同时有 yz,zx 两项，且它们的系数，都分别相等.故可以表示为：m(x2+y2+z2)+n(xy
3、+yz+zx)其中 m,n 是常数.3.轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.学习必备 欢迎下载 例如：轮换式 a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)中，有因式 ab 一项,必有同型式 bc 和 ca 两项.4.两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.例如：x+y,xy 都是对称式，x+yxy，（x+y）xy，xyyx 等也都是对称式.xy+yz+zx 和zyx111都是轮换式，zyx111xy+yz+z，（zyx111）（xy+yz+z）.也都是轮换式.二、例题 例 1.计算：（xy+yz+z
4、x）()111zyxxyz()111222zyx.分析：（xy+yz+zx）()111zyx是关于 x,y,z 的轮换式，由性质 2，在乘法展开时，只要用 xy 分别乘以x1，y1，z1连同它的同型式一齐写下.解：原式（zxyyzxxyz）（z+xy）+(y+z+x)(zxyyzxxyz)2x+2y+2z.例2.已知：a+b+c=0,abc0.求代数式 222222222111bacacbcba的值 分析：这是含 a,b,c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式.解：2221cba222)(1babaab21，222222222111bacacbcbaab21bc2
5、1ca21 abcbac20.例3.计算：（a+b+c）3 的基本对称式在含有多个变量的代数式中如果变量循环变换后代数式的用相同变量的基本对称式来表示这将在下一讲介绍对称式中如果含有某它们的系数都分别相等故可以表示为其中是常数轮换式中如果含有某种学习必备 欢迎下载 分析：展开式是含字母 a,b,c 的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.例4.解：设（a+b+c）3m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc.（m,n,p 是待定系数）令 a=1,b=0,c=0.比较左右两边系数得 m=1；令 a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得
6、 2m+2n=8；令 a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.解方程组27638221pnmnmm 得631pnm（a+b+c）3a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc.例5.因式分解：a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)；（x+y+z）5（y+zx）5（z+xy）5（x+yz）5.解：当 a=b 时，a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)0.有因式 ab 及其同型式 bc,ca.原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（ab）(bc)(ca)，可得 一次齐次的轮换式 a+b+c.用待定系数法：得 a3(bc)+b
7、3(ca)+c3(ab)m(a+b+c)（ab）(bc)(ca)比较左右两边 a3b 的系数，得 m=1.a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)(a+b+c)（ab）(bc)(ca).x=0 时，（x+y+z）5（y+zx）5（z+xy）5（x+yz）50 有因式 x，以及它的同型式 y 和 z.原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式 xyz，其商是二次齐次轮换式.用待定系数法：可设（x+y+z）5（y+zx）5（z+xy）5（x+yz）5 xyzm(x+y+z)+n(xy+yz+zx).令 x=1,y=1,z=1.比较左右两边系数，得 80=m+n；的基本对称式在含有多个变量的代数式中如果变
8、量循环变换后代数式的用相同变量的基本对称式来表示这将在下一讲介绍对称式中如果含有某它们的系数都分别相等故可以表示为其中是常数轮换式中如果含有某种学习必备 欢迎下载 令 x=1,y=1,z=2.比较左右两边系数，得 480=6m+n.解方程组480680nmnm 得080nm.（x+y+z）5（y+zx）5（z+xy）5（x+yz）580 xyz(x+y+z).三、练习 1.已知含字母 x,y,z 的轮换式的三项 x3+x2y2xy2,试接着写完全代数式 2.已知有含字母 a,b,c,d 的八项轮换式的前二项是 a3b(ab)，试接着写完全代数式_.3.利用对称式性质做乘法，直接写出结果：（x2
9、y+y2z+z2x）（xy2+yz2+zx2）.（x+y+z）（x2+y2+z2xyyzzx）.4.计算：（x+y）5.5.求（x+y）(y+z)(z+x)+xyz 除以 x+y+z 所得的商.6.因式分解：ab(ab)+bc(bc)+ca(ca)；(x+y+z)3(x3+y3+z3)；（ab+bc+ca）(a+b+c)abc；a(bc)3+b(ca)3+c(ab)3.7.已知：abccba1111.求证：a,b,c 三者中，至少有两个是互为相反数.8.计算：bcacabaa22cababcbb22abcbcacc22.9.已知：S21（a+b+c）.求证：16)(416)(416)(4222
10、222222222222bacacacbcbcbaba 3S（Sa）(Sb)(Sc).的基本对称式在含有多个变量的代数式中如果变量循环变换后代数式的用相同变量的基本对称式来表示这将在下一讲介绍对称式中如果含有某它们的系数都分别相等故可以表示为其中是常数轮换式中如果含有某种学习必备 欢迎下载 10.若 x,y 满足等式 x=1+y1和 y=1+x1且 xy0，那么 y 的值是（）（A）x1.（B）1x.（C）x.（D）1+x.参考答案 1.y3+z3+y2z+z2x2y2z2z2x 2.b3c+c3d+d3a(bc)(cd)(da)3.x3+y3+z33xyz 4.设(x+y)5=a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3),a=1,b=5,c=10.5.设原式（x+y+z）a(x2+y2+z2)+b(xy+yz+zx),a=0,b=1.6 .当 a=b 时，原式0，原式m(a+b)(b+c)(c+a)m=1 7.由已知等式去分母后，使右边为 0，因式分解 8.1 9.一个分式化为 S（Sa）(Sb)(Sc)10.选 C 的基本对称式在含有多个变量的代数式中如果变量循环变换后代数式的用相同变量的基本对称式来表示这将在下一讲介绍对称式中如果含有某它们的系数都分别相等故可以表示为其中是常数轮换式中如果含有某种