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1、学习必备 欢迎下载 初中数学竞赛专题选讲（初三.7）待定系数法 一、内容提要 1.多项式恒等的定义：设 f(x)和 g(x)是含相同变量 x 的两个多项式，f(x)g(x)表示这两个多项式恒等.就是说 x 在取值范围内，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的.符号“”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式.例如：（x+3）2=x2+6x+9,5x26x+1=(5x 1)(x1),x339x70=(x+2)(x+5)(x 7).都是恒等式.根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值.例如：已知：恒等式 ax2+bx+c=2(x+1)(x 2).求：a+b+c；ab+c.解：以 x=1，代
2、入等式的左右两边，得 a+b+c4.以 x=1，代入等式的左右两边，得 ab+c0.2.恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即 如果 a0 xn+a1xn1+an1x+an=b0 xn+b1xn1+bn1x+bn 那么 a0=b0，a1=b1，an1=bn1，an=bn.上例中又解：ax2+bx+c=2x22x4.a=2,b=2,c=4.a+b+c4，ab+c0.3.待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.二、例题 例1.已知：23)2)(3(22xCxBxAxxxxx 求：A，B，C 的值.解：去分母，得 x
3、2x+2=A(x 3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x3).根据恒等式定义（选择 x 的适当值，可直接求出 A，B，C 的值），学习必备 欢迎下载 当 x=0 时，26A.A31.当 x=3 时，815B.B158.当 x=2 时，810C.C54.本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于 x 的二次三项式，然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.（见下例）.例2.把多项式 x3x2+2x+2 表示为关于 x1 的降幂排列形式.解：用待定系数法：设 x3x2+2x+2=a(x 1)3+b(x1)2+c(x1)+d 把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），得 x3x
4、2+2x+2=ax33ax2+3axa +bx22bx+b +cxc +d 用恒等式的性质，比较同类项系数，得2223131dcbacbabaa 解这个方程组，得4321dcba x3x2+2x+2=(x 1)3+2(x1)2+3(x1)+4.本题也可用换元法：设 x1=y,那么 x=y+1.把左边关于 x 的多项式化为关于 y 的多项式，最后再把 y 换成 x 1.例3.已知：4x4+ax3+13x2+bx+1 是完全平方式.求：a 和 b 的值.解：设 4x4+ax3+13x2+bx+1（2x2+mx1）2（设待定的系数，要尽可能少.）右边展开，合并同类项，得 4x4+ax3+13x2+b
5、x+14x4+4mx3+(m24)x22mx+1.比较左右两边同类项系数，得 于也可以用等号表示恒等式例如都是恒等式根据恒等式定义可求恒等式果那么上例中又解待定系数法就是先假设结论为一个含有待定系数的代本题也可以把等号右边的代数式整理成为关于的二次三项式然后用恒等学习必备 欢迎下载 方程组mbmma213442；或mbmma213442.解得172174 172174612612babababa或或或.例4.推导一元三次方程根与系数的关系.解：设方程 ax3+bx2+cx+d=0(a0)的三个根分别为 x1,x2,x3.原方程化为 x3+02adxacxab.x1,x2,x3是方程的三个根.x
6、3+adxacxab2(xx1)(xx2)(xx3).把右边展开，合并同类项，得 x3+adxacxab2=x3(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)xx1x2x3.比较左右同类项的系数，得 一元三次方程根与系数的关系是：x1+x2+x3=ab，x1x2+x1x3+x2x3ac，x1x2x3ad.例5.已知：x3+px+q 能被（xa）2 整除.求证：4p3+27q2=0.证明：设 x3+px+q（xa）2（x+b）.x3+px+q=x3+(b2a)x2+(a22ab)x+a2b.qbapabaab22202 由得 b=2a，代入和得 3223aqap 4p3+27q24（
7、3a2）3+27(2a3)2=4（27a6）+27（4a6）=0.（证毕）.例6.已知：f(x)=x2+bx+c 是 g(x)=x4+6x225 的因式，也是 q(x)=3x4+4x2+28x+5 的因式.求：f(1)的值.解：g(x),q(x)都能被 f(x)整除,它们的和、差、倍也能被 f(x)整除.于也可以用等号表示恒等式例如都是恒等式根据恒等式定义可求恒等式果那么上例中又解待定系数法就是先假设结论为一个含有待定系数的代本题也可以把等号右边的代数式整理成为关于的二次三项式然后用恒等学习必备 欢迎下载 为了消去四次项，设 g(x)q(x)kf(x),(k 为正整数).即 14x228x+7
8、0k(x2+bx+c)14（x22x+5）k(x2+bx+c)k=14,b=2,c=5.即 f(x)=x22x+5.f(1)=4.例7.用待定系数法，求（x+y）5 的展开式 解：展开式是五次齐次对称式，可设（x+y）5a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3)(a,b,c 是待定系数.)当 x=1,y=0 时，得 a=1；当 x=1,y=1 时，得 2a+2b+2c=32，即 a+b+c=16 当 x=1,y=2 时，得 31a14b+4c=1.得方程组141431161cbacbaa 解方程组，得1051cba（x+y）5x5+5x4y+10 x3y2+10 x2y3
9、+5xy4+y5.三、练习 51 1.已知4286322xbxaxxx.求 a,b 的值.2.已知：2)1(1)2()1(534222xCxBxAxxxx.求：A，B，C 的值.3.已知：x46x3+13x212x+4 是完全平方式.求：这个代数式的算术平方根.4.已知：ax3+bx2+cx+d 能被 x2+p 整除.求证：ad=bc.5.已知：x39x2+25x+13=a(x+1)(x 2)(x3)=b(x1)(x2)(x3)=c(x1)(x+1)(x 3)=d(x1)(x+1)(x 2).求：a+b+c+d 的值.于也可以用等号表示恒等式例如都是恒等式根据恒等式定义可求恒等式果那么上例中又
10、解待定系数法就是先假设结论为一个含有待定系数的代本题也可以把等号右边的代数式整理成为关于的二次三项式然后用恒等学习必备 欢迎下载 6.试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）.7.用 x2 的各次幂表示 3x310 x2+13.8.k 取什么值时，kx22xyy2+3x5y+2 能分解为两个一次因式.9.分解因式：x2+3xy+2y24x+5y+3；x4+1987x2+1986x+1987.10.求下列展开式：(x+y)6；(a+b+c)3.11.多项式 x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz 因式分解的结果是()(A)(x+y)(y z)(x z).(B)(x
11、+y)(y+z)(xz).(C)(x y)(y z)(x+z).(D)(x y)(y+z)(x+z).12.已知(a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1,若 S=(x1)4+4(x1)3+6(x1)2+4x3.则 S 等于()(A)(x2)4.(B)(x1)4.(C)x4 .(D)(x+1)4.13 已知：4310252323xxxcbxxax的值是恒为常数求：a,b,c 的值.参考答案 1.a=27,b=211 2.A=1,B=2,C=3 3.(x23x+2)4.由(x2+p)(ax+pd)5.1 7.3(x2)3+8(x2)24(x2)3 8.先整理为关于 x 的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法。9.(x+y+1)(x+2y+3)(x2+x+1)(x2x+1987)10.x6+6x5y+15x4y2+20 x3y3+15x2y4+6xy5+y6.x3+y3+z3+3(x2y+y2z+z2x+x2z+y2x+z2y)+6xyz.11.(A)12.(C)13.a=1,b=1.5,c=2.于也可以用等号表示恒等式例如都是恒等式根据恒等式定义可求恒等式果那么上例中又解待定系数法就是先假设结论为一个含有待定系数的代本题也可以把等号右边的代数式整理成为关于的二次三项式然后用恒等