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1、学习必备 欢迎下载 八年级下册数学期末压轴题专辑（含解析）1.如图，ON为AOB中的一条射线，点 P在边 OA上，PH OB于 H，交 ON于点 Q，PM OB交 ON于点 M,MD OB于点 D，QR OB交 MD于点 R，连结 PR交 QM于点 S。（1）求证：四边形 PQRM 为矩形；（2）若 OP=12PR，试探究AOB与BON的数量关系，并说明理由。（1）证明：PHOB，MDOB，PHMD，PMOB，QROB，PMQR，四边形PQRM 是平行四边形，PHOB，PHO=90，PMOB，MPQ=PHO=90，四边形PQRM 为矩形；（2）AOB=3BON理由如下：四边形 PQRM 为矩形
2、，PS=SR=SQ=12PR，SQR=SRQ，又OP=12PR，OP=PS，POS=PSO，QROB，SQR=BON，在SQR中，PSO=SQR+SRQ=2SQR=2BON，POS=2BON，AOB=POS+BON=2BON+BON=3BON，即AOB=3BON 2.如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系内（O为坐标原点），点 A在 x 轴上，点 C在 y 轴上，点 B的坐标分别为（-2,23），点 E是 BC的中点，点 H在 OA上，且 AH=12，过点 H且平行于 y 轴的 HG与 EB交于点 G，现将矩形折叠，使顶点 C落在 HG上，并与 HG上的点 D重合，折痕为 EF，点 F为折痕与
3、 y 轴的交点。（1）求CEF的度数和点 D的坐标；（2）求折痕 EF所在直线的函数表达式；（3）若点 P 在直线 EF上，当PFD为等腰三角形时，试问满足条件的点 P有几个？请求出点 P 的坐标，并写出解答过程。（本题部分过程用了三角函数，可以用初二知识点沟通）（备用图）解：（1）E是 BC的中点，EC=EB=1 FCE与FDE关于直线 EF对称，FCE FDE，ED=EC=1，FCE=FDE=90，DF=CF AH=12，EG=EB-AH=1-12=12 cos GED=12，GED=60 DEC=180-60=120 DEF=CEF CEF=60 在 RtGED中，由勾股定理得：DG2=
4、ED2-EG2=1-=DG=DH=AB-DG=2-=OH=OA-AH=2-12=故 D（-，）（2）CEF 60CF=ECtan60=学习必备 欢迎下载 x y 1y2yP B O C A OF=OC-CF=2-=F（0，），E（-1，2）设 EF所在直线的函数表达式为 y=kx+b，由图象，得 ，解得：故 EF所在直线的函数表达式为：y=-x+；（3）DF=CF=点 P在直线 EF上，当PFD为等腰三角形时，有以下三种情况：（a）P1F=DF=，可令 P1（t，-t+），则：P1F2=3 由两点间的距离公式为：（t-0）2+（-t+-）2=3t2+3t2=3t2=，t1=-，t2=P1（-，
5、+）；P3（，-+）（b）PD=DF=时，仍令 P（t，-t+），注意 D（-，），则：PD2=3（t+）2+（-t+-）2=3 t2+3t+3t2+3t+=34t2+6t=0t1=0，t2=-t1=0 对应 F点，此时不构成三角形，故舍去P4（-，）（c）当 PD=PF仍令 P（t，-t+），注意 D（-，），F（0，），则：PD2=PF2（t+）2+（-t+-）2=（t-0）2+（-t+-）2，t2+3t+3t2+3t+=t2+3t26t+3=0t=-12P4（-12，）故满足条件的点P有4个 分别是：（）、（）、（）3.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线12y=-x+23与x 轴、
6、y 轴分别交于点A和点B,直线y2=kx+b（k0）经过点 C(1,0)且与线段 AB交于点 P,并把ABO分成两部分.(1)求ABO的面积.(2)若ABO被直线 CP分成的两部分的面积相等,求点 P的坐标及直线 CP的函数表达式.解：(1)在直线中，令，得 B(0，2)令，得 A(3，0)四边形为矩形又在中即如图矩形在平面直角坐标系内为坐标原点点在轴点的坐标求折痕所在直线的函数表达式若点在直线上当为等腰三角形时故学习必备欢迎下载设所在直线的函数表达式为由图象得解得故所在直学习必备 欢迎下载 备用图、(2)点 P在第一象限，解得 而点 P又在直线上，解得P()将点 C(1，0)、P()，代入中
7、，有 直线 CP的函数表达式为 4.如图,在 RtABC中,已知A=90,AB=AC,G、F分别是 AB、AC上两点，且 GF BC，AF=2，BG=4.(1)求梯形 BCFG的面积.(2)有一梯形 DEFG 与梯形 BCFG重合,固定ABC,将梯形 DEFG 向右运动,直到点 D与点 C重合为止,如图.若某时段运动后形成的四边形 BDG/G中,DGBG/,求运动路程 BD的长,并求此时 G/B2的值.设运动中 BD的长度为 x,试用含 x 的代数式表示出梯形 DEFG 与 RtABC重合部分的面积.解：（1）在 RtABC 中，AB=AC，ABC=ACB=45 又GFBC，AGF=AFG=4
8、5 AG=AF=2，AB=AC=6 S梯形GBCF=SABC-SAGF=（2）在运动过程中有 DGBG 且 DG=BG，BDGG 是平行四边形 当 DGBG时，BDGG 是菱形 BD=BG=4 如图，当 BDGG 为菱形时，过点 G作 GMBC 于点 M 在 RtGDM 中，GDM=45，DG=4，DM=G M 且 DM2+GM2=DG2 DM=G M=，BM=连接 GB A G F B(D)C(E)图 A G F B D C E G F 图 四边形为矩形又在中即如图矩形在平面直角坐标系内为坐标原点点在轴点的坐标求折痕所在直线的函数表达式若点在直线上当为等腰三角形时故学习必备欢迎下载设所在直线
9、的函数表达式为由图象得解得故所在直学习必备 欢迎下载 在 RtGBM 中，当 0 x时，其重合部分为梯形，如图 在 RtAGF 与 RtABC 中，过 G 点作 GH 垂直 BC 于点 H，得 GH=由，知 BD=GG=x，DC=，S梯形=当x时，其重合部分为等腰直角三角形，如图 斜边 DC=，斜边上的高为，5.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知直线 PA 是一次函数 y=x+m(m0)的图象,直线 PB 是一次函数y=-3xn（nm）的图象,点 P是两直线的交点,点 A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点。（1）用 m、n 分别表示点 A、B、P的坐标及PAB的度数；（2）若四边形
10、 PQOB 的面积是112，且 CQ:AO=1:2，试求点 P的坐标，并求出直线 PA与 PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点 D，使以 A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）在直线 y=x+m 中，令 y=0，得 x=-m 点 A（-m，0）在直线 y=-3x+n中，令 y=0，得 点 B（，0）由，得，点 P（，）在直线 y=x+m 中，令 x=0，得 y=m，|-m|=|m|，即有 AO=QO 又AOQ=90，AOQ 是等腰直角三角形，PAB=45 度 （2）CQ：AO=1：2，（n-m）：m=1：2，整理得
11、 3m=2n，n=m，=m，而 S四边形PQOB=SPAB-SAOQ=12（+m）（m）-12mm=m2=，解得 m=4，x A O B P Q C 四边形为矩形又在中即如图矩形在平面直角坐标系内为坐标原点点在轴点的坐标求折痕所在直线的函数表达式若点在直线上当为等腰三角形时故学习必备欢迎下载设所在直线的函数表达式为由图象得解得故所在直学习必备 欢迎下载 m0，m=4，n=m=6，P（）PA 的函数表达式为 y=x+4，PB 的函数表达式为 y=-3x+6（3）存在 过点 P 作直线 PM 平行于 x 轴，过点 B 作 AP 的平行线交 PM 于点 D1，过点 A 作 BP 的平行线交 PM 于
12、点D2，过点 A、B 分别作 BP、AP 的平行线交于点 D3 PD1AB 且 BD1AP，PABD1是平行四边形此时 PD1=AB，易得；PD2AB 且 AD2BP，PBAD2是平行四边形此时 PD2=AB，易得；BD3AP 且 AD3BP，此时 BPAD3是平行四边形 BD3AP 且 B（2，O），yBD3=x-2同理可得 yAD3=-3x-12，得，6.如图，在平面直角坐标系中，直线1l：43yx与直线2:lykxb相交于点 A，点 A的横坐标为 3，直线2l交 y 轴于点 B，且OA=12OB。（1）试求直线2l的函数表达式；（2）若将直线1l沿着 x 轴向左平移 3 个单位，交 y
13、轴于点 C，交直线2l于点 D。试求BCD的面积。解：（1）根据题意，点 A 的横坐标为 3，代入直线 l1：中，得点 A 的纵坐标为 4，即点 A（3，4）；即 OA=5，又|OA|=12|OB|即 OB=10，且点 B 位于 y 轴上，即得 B（0，-10）；将 A、B 两点坐标代入直线 l2中，得 4=3k+b；-10=b；解之得，k=，b=-10；即直线 l2的解析式为 y=x-10；四边形为矩形又在中即如图矩形在平面直角坐标系内为坐标原点点在轴点的坐标求折痕所在直线的函数表达式若点在直线上当为等腰三角形时故学习必备欢迎下载设所在直线的函数表达式为由图象得解得故所在直学习必备 欢迎下载
14、 （2）根据题意，设平移后的直线 l1的解析式为 y=x+m，代入（-3，0），可得：-4+m=0，解得：m=4，平移后的直线 l1的直线方程为；即点 C 的坐标为（0，4）；联立线 l2的直线方程，解得 x=，y=，即点 D（）；又点 B（0，-10），如图所示：故BCD 的面积 S=1214=7.正方形 ABCD 的边长为 4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使 AB边落在 X轴的正半轴上，且 A点的坐标是（1，0）。直线 y=43 x-83经过点 C，且与 x 轴交与点 E，求四边形 AECD 的面积；若直线l经过点 E且将正方形 ABCD 分成面积相等的两部分求直线l的解析式，若直线1
15、l经过点F 023，且与直线y=3x 平行,将中直线l沿着y 轴向上平移32个单位交x 轴于点M,交直线1l于点N,求NMF的面积.解：（1）在 y=x中，令 y=4，即xx=4，四边形为矩形又在中即如图矩形在平面直角坐标系内为坐标原点点在轴点的坐标求折痕所在直线的函数表达式若点在直线上当为等腰三角形时故学习必备欢迎下载设所在直线的函数表达式为由图象得解得故所在直学习必备 欢迎下载 解得：x=5，则 B 的坐标是（5，0）；令 y=0，即x=0，解得：x=2，则 E 的坐标是（2，0）则 OB=5，OE=2，BE=OB-OA=5-2=3，AE=AB-BE=4-3=1，四边形 AECD=12（A
16、E+CD）AD=12（4+1）4=10；（2）经过点 E 且将正方形 ABCD 分成面积相等的两部分，则直线与 CD 的交点 F，必有 CF=AE=1，则 F的坐标是（4，4）设直线的解析式是 y=kx+b，则，解得：则直线 l 的解析式是：y=2x-4；（3）直线 l1经过点 F（-，0）且与直线 y=3x 平行，设直线 11的解析式是 y1=kx+b，则：k=3，代入得：0=3（-）+b，解得：b=，y1=3x+，已知将（2）中直线 l 沿着 y 轴向上平移个单位，则所得的直线的解析式是 y=2x-4+，即：y=2x-3，当 y=0 时，x=，M（，0），解方程组得：，即：N（-7，-19
17、），SNMF=12-（-）|-19|=四边形为矩形又在中即如图矩形在平面直角坐标系内为坐标原点点在轴点的坐标求折痕所在直线的函数表达式若点在直线上当为等腰三角形时故学习必备欢迎下载设所在直线的函数表达式为由图象得解得故所在直学习必备 欢迎下载 答：NMF 的面积是 8.如图，已知ABC的面积为 3，且 AB=AC，现将ABC沿 CA方向平移 CA长度得到EFA 求四边形 CEFB的面积；试判断 AF与 BE的位置关系，并说明理由；若15 BEC，求 AC的长 解：（1）由平移的性质得 AFBC，且 AF=BC，EFAABC 四边形 AFBC 为平行四边形 SEFA=SBAF=SABC=3 四边
18、形 EFBC 的面积为 9；（2）BEAF 证明：由（1）知四边形 AFBC 为平行四边形BFAC，且 BF=AC 又AE=CA四边形EFBA 为平行四边形又已知AB=AC AB=AE平行四边形EFBA 为菱形BEAF；（3）如上图，作 BDAC 于 DBEC=15，AE=ABEBA=BEC=15BAC=2BEC=30 在 RtBAD 中，AB=2BD 设 BD=x，则 AC=AB=2x SABC=3，且 SABC=12AC BD=12 2x x=x2x2=3x 为正数x=AC=2 9.已知如图，直线34 3yx 与 x 轴相交于点 A，与直线3yx相交于点 P 求点 P的坐标 请判断OPA的
19、形状并说明理由 动点 E从原点 O出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 OPA的路线向点 A匀速运动（E不与点 O、A重合），过点 E分别作 EFx轴于 F，EBy轴于 B设运动 t 秒时，矩形 EBOF与OPA重叠部分的面积为S求：S 与 t 之间的函数关系式 试题分析：（1）由两直线相交可列出方程组，求出 P 点坐标；（2）将 y=0 代入 y=x+4，可求出 OA=4，作 PDOA 于 D，则 OD=2，PD=2，利用 tanPOA=，可知POA=60，由 OP=4可知POA 是等边三角形；（3）当 0t4 时，在 RtEOF 中，EOF=60，OE=t，可以求出 EF，OF，从而得到 S
20、；分情况讨论当 0t4 时，t=4 时，当 4t8 时，S 的值，最终求出最大值 试题解析：POA 是等边三角形理由：将代入，即 OA=4 四边形为矩形又在中即如图矩形在平面直角坐标系内为坐标原点点在轴点的坐标求折痕所在直线的函数表达式若点在直线上当为等腰三角形时故学习必备欢迎下载设所在直线的函数表达式为由图象得解得故所在直学习必备 欢迎下载 作 PDOA 于 D，则 OD=2，PD=2，tanPOA=，POA=60，OP=POA 是等边三角形；(2)当 0t4 时，如图 1 在 RtEOF 中，EOF=60，OE=tEF=t，OF=12t S=12OFEF=当 4t8 时，如图 2 设 EB
21、 与 OP 相交于点 C，易知：CE=PE=t4，AE=8t，AF=412t，EF=(8t)，OF=OAAF=4(412t)=12t，S=12(CE+OF)EF，=12(t4+12t)(8t)，=+4t8；当 0t4 时，S=，t=4 时，S最大=23 当 4t2，当 t=时，S最大=F y O A x P E B 四边形为矩形又在中即如图矩形在平面直角坐标系内为坐标原点点在轴点的坐标求折痕所在直线的函数表达式若点在直线上当为等腰三角形时故学习必备欢迎下载设所在直线的函数表达式为由图象得解得故所在直学习必备 欢迎下载 10.如图，直线 OC、BC的函数关系式分别是 y1=x 和 y2=-2x+
22、6，动点 P（x，0）在 OB上运动（0 xy2？（2）设COB中位于直线 m左侧部分的面积为 s，求出 s 与 x 之间函数关系式 （3）当 x 为何值时，直线 m平分COB的面积？分析：（1）由于 C是直线 OC、BC的交点，根据它们的解析式即可求出坐标，然后根据图象和交点坐标可以求出当 x 取何值时 y1y2；（2）此小题有两种情况：当 0 x2，此时直线 m左侧部分是PQO，由于P（x，0）在 OB上运动，所以 PQ，OP都可以用 x 表示，所以 s 与 x 之间函数关系式即可求出；当 2x3，此时直线 m左侧部分是四边形 OPQC，可以先求出右边的PQB的面积，然后即可求出左边的面积
23、，而PQO的面积可以和一样的方法求出；（3）利用（2）中的解析式即可求出 x 为何值时，直线 m平分COB的面积 简解：（1）解方程组得 C点坐标为（2，2）；当 x2 时，y1y2（2）作 CDx轴于点 D，则 D（2，0）s=12x2（0 x2）；s=-x2+6x-6（2x3）；（3）直线 m平分AOB的面积，则点 P只能在线段 OD，即 0 x2 又COB的面积等于 3，故12x2=312，解之得 x=3.四边形为矩形又在中即如图矩形在平面直角坐标系内为坐标原点点在轴点的坐标求折痕所在直线的函数表达式若点在直线上当为等腰三角形时故学习必备欢迎下载设所在直线的函数表达式为由图象得解得故所在
24、直学习必备 欢迎下载 11.已知正方形 ABCD。（1）如图 1，E是 AD上一点，过 BE上一点 O作 BE的垂线，交 AB于点 G，交 CD于点 H，求证：BE GH；（2）如图 2，过正方形 ABCD 内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交 AD、BC于点 E、F，交 AB、CD于点 G、H，EF与 GH相等吗？请写出你的结论；（3）当点 O在正方形 ABCD 的边上或外部时，过点 O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图 3 所示，过正方形 ABCD 外一点 O作互相垂直的两条直线 m、n，m与 AD、BC的延长线分别交于点
25、E、F，n 与 AB、DC的延长线分别交于点 G、H，试就该图对你的结论加以证明。解答：（1）证明：在图 1 中，过点 A 作 GH 的平行线，交 DC 于点 H，交 BE 于点 O ABCD 是正方形，D=90，HAD+AHD=90 GHBE，AHGH，AHBEHAD+BEA=90BEA=AHD 在BAE 和ADH中，BAEADH（AAS），BE=AH=GH；（2）解：EF=GH，理由如下：过 E 作 EMBC，过 G 作 GNCD，EMF=GNH=90，又 GHEF，EOG=GOF=90，MEF+EQG=90，NGH+EQG=90，MEF=NGH，又 GN=EM，EMFGNH，EF=GH；（3）解：相等 证明：在图 3 中，过点 A 作 m 的平行线交 BC 于点 F，过点 D 作 n 的平行线交 AB 于点 G 则有 EF=AF，GD=GH，由（1）可知，RtABFRtDAG，AF=DG 从而可证明 EF=GH 四边形为矩形又在中即如图矩形在平面直角坐标系内为坐标原点点在轴点的坐标求折痕所在直线的函数表达式若点在直线上当为等腰三角形时故学习必备欢迎下载设所在直线的函数表达式为由图象得解得故所在直