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1、八年级下册数学期末压轴题专辑（含解析）1.如图，ON为AOB中的一条射线，点P在边OA上，PHOB于H，交ON于点Q，PMOB交ON于点M, MDOB于点D，QROB交MD于点R，连结PR交QM于点S。（1）求证：四边形PQRM为矩形；（2）若OP=PR，试探究AOB与BON的数量关系，并说明理由。（1）证明：PHOB，MDOB，PHMD，PMOB，QROB，PMQR，四边形PQRM是平行四边形，PHOB，PHO=90，PMOB，MPQ=PHO=90，四边形PQRM为矩形；（2）AOB=3BON理由如下：四边形PQRM为矩形，PS=SR=SQ=PR，SQR=SRQ，又OP=PR，OP=PS，P
2、OS=PSO，QROB，SQR=BON，在SQR中，PSO=SQR+SRQ=2SQR=2BON，POS=2BON，AOB=POS+BON=2BON+BON=3BON，即AOB=3BON2.如图，矩形OABC在平面直角坐标系内（O为坐标原点），点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标分别为（-2,2） ，点E是BC的中点，点H在OA上，且AH=，过点H且平行于y轴的HG与EB交于点G，现将矩形折叠，使顶点C落在HG上，并与HG上的点D重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点。（1）求CEF的度数和点D的坐标；（2）求折痕EF所在直线的函数表达式；（3）若点P在直线EF上，当PFD为等腰三角形时，试
3、问满足条件的点P有几个？请求出点P的坐标，并写出解答过程。（本题部分过程用了三角函数，可以用初二知识点沟通） （备用图）解：（1）E是BC的中点，EC=EB=1FCE与FDE关于直线EF对称，FCEFDE，ED=EC=1，FCE=FDE=90，DF=CFAH=，EG=EB-AH=1-=cosGED=，GED=60DEC=180-60=120DEF=CEFCEF=60在RtGED中，由勾股定理得：DG2=ED2-EG2=1-=DG= DH=AB-DG=2-=OH=OA-AH=2-= 故D（-，）（2）CEF60CF=ECtan60=OF=OC-CF=2-= F（0，），E（-1，2）设EF所在直
4、线的函数表达式为y=kx+b，由图象，得，解得：故EF所在直线的函数表达式为：y=-x+；（3）DF=CF=点P在直线EF上，当PFD为等腰三角形时，有以下三种情况：（a）P1F=DF=， 可令P1（t，-t+），则：P1F2=3由两点间的距离公式为：（t-0）2+（-t+-）2=3t2+3t2=3t2=，t1=-，t2= P1（-，+）； P3（，-+）（b） PD=DF=时，仍令P（t，-t+），注意D（-，），则：PD2=3（t+）2+（-t+-）2=3 t2+3t+3t2+3t+=34t2+6t=0t1=0，t2=-t1=0对应F点，此时不构成三角形，故舍去P4（-，）（c）当 PD=
5、PF仍令P（t，-t+），注意D（-，），F（0，），则：PD2=PF2（t+）2+（-t+-）2=（t-0）2+（-t+-）2，t2+3t+3t2+3t+=t2+3t26t+3=0t=-P4（-，）故满足条件的点P有4个分别是：（）、（）、（）xy1yPBOCA3.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B,直线y=kx+b（k0） 经过点C(1,0)且与线段AB交于点P,并把ABO分成两部分.(1)求ABO的面积.(2)若ABO被直线CP分成的两部分的面积相等,求点P的坐标和直线CP的函数表达式.解：(1)在直线中，令，得B(0，2)令，得A(3，0)、 (2)
6、点P在第一象限，解得而点P又在直线上，解得P()将点C(1，0)、P()，代入中，有直线CP的函数表达式为 4.如图,在RtABC中,已知A=90,AB=AC,G、F分别是AB、AC上两点，且GFBC，AF=2，BG=4.(1)求梯形BCFG的面积.(2)有一梯形DEFG与梯形BCFG重合,固定ABC,将梯形DEFG向右运动,直到点D与点C重合为止,如图.若某时段运动后形成的四边形BDGG中,DGBG,求运动路程BD的长,并求此时GB的值.设运动中BD的长度为x,试用含x的代数式表示出梯形DEFG与RtABC重合部分的面积.备用图AGFB(D)C(E)图AGFBDCE图解：（1）在RtABC中
7、，AB=AC，ABC=ACB=45又GFBC，AGF=AFG=45AG=AF=2，AB=AC=6S梯形GBCF=SABC-SAGF=（2）在运动过程中有DGBG且DG=BG，BDGG是平行四边形当DGBG时，BDGG是菱形BD=BG=4如图，当BDGG为菱形时，过点G作GMBC于点M在RtGDM中，GDM=45，DG=4，DM=GM且DM2+GM2=DG2DM=GM=，BM=连接GB在RtGBM中，当0x时，其重合部分为梯形，如图在RtAGF与RtABC中，过G点作GH垂直BC于点H，得GH=由，知BD=GG=x，DC=，S梯形=当x时，其重合部分为等腰直角三角形，如图斜边DC=，斜边上的高为
8、，5.如图,在平面直角坐标系xoy中,已知直线PA是一次函数y=x+m(m0)的图象,直线PB是一次函数y=-3xn（nm） 的图象,点P是两直线的交点,点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点。（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标和PAB的度数；（2）若四边形PQOB的面积是，且CQ:AO=1:2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。xAOBPQC解：（1）在直线y=x+m中，令y=0，得x=-m点A（-m，0）在直线y=-3x+n中，令y
9、=0，得点B（，0）由，得，点P（，）在直线y=x+m中，令x=0，得y=m，|-m|=|m|，即有AO=QO又AOQ=90，AOQ是等腰直角三角形，PAB=45度（2）CQ：AO=1：2，（n-m）：m=1：2，整理得3m=2n，n=m，=m，而S四边形PQOB=SPAB-SAOQ=（+m）（m）-mm=m2=，解得m=4，m0，m=4，n=m=6，P（）PA的函数表达式为y=x+4，PB的函数表达式为y=-3x+6（3）存在过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D1，过点A作BP的平行线交PM于点D2，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点D3PD1AB且BD1AP，
10、PABD1是平行四边形此时PD1=AB，易得；PD2AB且AD2BP，PBAD2是平行四边形此时PD2=AB，易得；BD3AP且AD3BP，此时BPAD3是平行四边形BD3AP且B（2，O），yBD3=x-2同理可得yAD3=-3x-12，得， 6.如图，在平面直角坐标系中，直线： 与直线相交于点A，点A的横坐标为3，直线交y轴于点B，且OA=OB。（1）试求直线的函数表达式；（2）若将直线沿着x轴向左平移3个单位，交y轴于点C，交直线于点D。试求BCD的面积。解：（1）根据题意，点A的横坐标为3，代入直线l1：中，得点A的纵坐标为4，即点A（3，4）；即OA=5，又|OA|=|OB|即OB=
11、10，且点B位于y轴上，即得B（0，-10）；将A、B两点坐标代入直线l2中，得4=3k+b；-10=b；解之得，k=，b=-10；即直线l2的解析式为y=x-10；（2）根据题意，设平移后的直线l1的解析式为y=x+m，代入（-3，0），可得：-4+m=0，解得：m=4，平移后的直线l1的直线方程为；即点C的坐标为（0，4）；联立线l2的直线方程，解得x=，y=，即点D（）；又点B（0，-10），如图所示：故BCD的面积S=14=7.正方形ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且A点的坐标是（1，0）。直线y= x - 经过点C，且与x轴交与点E，求
12、四边形AECD的面积；若直线经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分求直线的解析式，若直线经过点F且与直线y=3x平行,将中直线沿着y轴向上平移个单位交x轴于点,交直线于点,求的面积.解：（1）在y=x中，令y=4，即xx=4，解得：x=5，则B的坐标是（5，0）；令y=0，即x=0，解得：x=2，则E的坐标是（2，0）则OB=5，OE=2，BE=OB-OA=5-2=3，AE=AB-BE=4-3=1，四边形AECD=（AE+CD）AD=（4+1）4=10；（2）经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，则直线与CD的交点F，必有CF=AE=1，则F的坐标是（4，4）设直线的解析式是
13、y=kx+b，则，解得：则直线l的解析式是：y=2x-4；（3）直线l1经过点F（-，0）且与直线y=3x平行，设直线11的解析式是y1=kx+b，则：k=3，代入得：0=3（-）+b，解得：b=，y1=3x+，已知将（2）中直线l沿着y轴向上平移个单位，则所得的直线的解析式是y=2x-4+，即：y=2x-3，当y=0时，x=，M（，0），解方程组得：，即：N（-7，-19），SNMF=-（-）|-19|=答：NMF的面积是8.如图，已知的面积为3，且AB=AC，现将沿CA方向平移CA长度得到求四边形CEFB的面积；试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；若，求AC的长解：（1）由平移的性质得
14、AFBC，且AF=BC，EFAABC四边形AFBC为平行四边形SEFA=SBAF=SABC=3四边形EFBC的面积为9；（2）BEAF证明：由（1）知四边形AFBC为平行四边形BFAC，且BF=AC又AE=CA四边形EFBA为平行四边形又已知AB=ACAB=AE平行四边形EFBA为菱形BEAF；（3）如上图，作BDAC于DBEC=15，AE=ABEBA=BEC=15BAC=2BEC=30在RtBAD中，AB=2BD设BD=x，则AC=AB=2xSABC=3，且SABC=ACBD=2xx=x2x2=3x为正数x=AC=29.已知如图，直线与x轴相交于点A，与直线相交于点P求点P的坐标请判断的形状
15、并说明理由动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着OPA的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EFx轴于F，EBy轴于B设运动t秒时，矩形EBOF与OPA重叠部分的面积为S求： S与t之间的函数关系式试题分析：（1）由两直线相交可列出方程组，求出P点坐标；（2）将y=0代入y=x+4，可求出OA=4，作PDOA于D，则OD=2，PD=2，利用tanPOA=，可知POA=60，由OP=4可知POA是等边三角形；（3）当0t4时，在RtEOF中，EOF=60，OE=t，可以求出EF，OF，从而得到S；分情况讨论当0t4时，t=4时，当4t8时，S的值，最终求出最大值试题解析：
16、POA是等边三角形理由：将代入，即OA=4作PDOA于D，则OD=2，PD=2， tanPOA=，POA=60， OP=POA是等边三角形 ；(2) 当0t4时，如图1在RtEOF中，EOF=60，OE=tEF=t，OF=t S=OFEF=当4t8时，如图2设EB与OP相交于点C，易知：CE=PE=t4，AE=8t，AF=4t，EF=(8t)，OF=OAAF=4(4t)= t，S= (CE+OF)EF，= (t4+t)(8t)，=+4t8； 当0t4时，S=， t=4时，S最大=2当4t2，当t=时，S最大=FyOAxPEB10.如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=-2x+6
17、，动点P（x，0）在OB上运动（0xy2？ （2）设COB中位于直线m左侧部分的面积为s，求出s与x之间函数关系式 （3）当x为何值时，直线m平分COB的面积？ 分析：（1）由于C是直线OC、BC的交点，根据它们的解析式即可求出坐标，然后根据图象和交点坐标可以求出当x取何值时y1y2；（2）此小题有两种情况：当0x2，此时直线m左侧部分是PQO，由于P（x，0）在OB上运动，所以PQ，OP都可以用x表示，所以s与x之间函数关系式即可求出；当2x3，此时直线m左侧部分是四边形OPQC，可以先求出右边的PQB的面积，然后即可求出左边的面积，而PQO的面积可以和一样的方法求出；（3）利用（2）中的解
18、析式即可求出x为何值时，直线m平分COB的面积简解：（1）解方程组得C点坐标为（2，2）； 当x2时，y1y2（2）作CDx轴于点D，则D（2，0）s=x2（0x2）；s=-x2+6x-6（2x3）；（3）直线m平分AOB的面积，则点P只能在线段OD，即0x2又COB的面积等于3，故x2=3，解之得x=.11.已知正方形ABCD。（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BEGH；（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；（3）当点O在正方
19、形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n，m与AD、BC的延长线分别交于点E、F，n与AB、DC的延长线分别交于点G、H，试就该图对你的结论加以证明。解答：（1）证明：在图1中，过点A作GH的平行线，交DC于点H，交BE于点OABCD是正方形，D=90，HAD+AHD=90GHBE，AHGH，AHBEHAD+BEA=90BEA=AHD在BAE和ADH中，BAEADH（AAS），BE=AH=GH；（2）解：EF=GH，理由如下：过E作EMBC，过G作GNCD，EMF=GNH=90，又GHEF，EOG=GOF=90，MEF+EQG=90，NGH+EQG=90，MEF=NGH，又GN=EM，EMFGNH，EF=GH；（3）解：相等证明：在图3中，过点A作m的平行线交BC于点F，过点D作n的平行线交AB于点G则有EF=AF，GD=GH，由（1）可知，RtABFRtDAG，AF=DG从而可证明EF=GH- 16 - / 16