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1、1.1.2 充分条件和必要条件（1）教案 教学目标：1理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；2结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法；3培养学生的辩证思维能力 教学重点及难点：1充分条件、必要条件的判断；2理解充分条件、必要条件的判断方法 讲授新课：一、复习引入 同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于说明你是她的孩子那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题充分条件与必要条件
2、 1命题：可以判断真假的语句，可写成：若 p 则 q 2四种命题及相互关系：二、学生活动 问题 1：前面讨论了“若 p 则 q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？（1）若 xy，则 x2y2（2）若 ab=0，则 a=0（3）若 x21，则 x1（4）若 x1 或 x2，则 x23x20 推断符号“”的含义 “若 p 则 q”为真，是指由 p 经过推理可以得出 q，也就是说，如果 p 成立，那么 q 一定成立，记作 pq，或者 qp；如果由 p 推不出 q，命题为假，记作 pq.简单地说，“若 p 则 q”为真，记作 pq（或 qp）；“若 p 则
3、q”为假，记作 pq（或 qp）.命题(1)、(4)为真，是由 p 经过推理可以得出 q，即如果 p 成立，那么 q 一定成立，此时可记作“pq”，命题(2)、（3）为假，是由 p 经过推理得不出 q，即如果 p 成立，推不出q 成立，此时可记作“pq.”说明：“pq”表示“若 p 则 q”为真，可以解释为：如果具备了条件 p，就是以保证 q成立，即表示“p 蕴含 q”。三、建构数学 一般地，如果已知 pq，那么就说：p 是 q 的充分条件；q 是 p 的必要条件；如果已知 pq，且 qp，那么就说：p 是 q 的充分且必要条件，简记充要条件；如果已知 pq，那么就说：p 不是 q 的充分条件
4、；q 不是 p 的必要条件；充分”即够了,”必要”的意思是不可少.回答上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系.命题(1)中因 xy x2y2，所以“xy”是“x2y2”的充分条件，“x2y2”是“xy”的必要条件；x2y2xy，所以“x2y2”不是“xy”的充分条件，“xy”不是“x2y2”的必要条件；“命题(2)中因 a=0 ab=0，所以“a=0”是“ab=0”的充分条件.“ab=0”是“a=0”的必要条件.ab=0 a=0，所以“ab=0”不是“a=0”的充分条件，“a=0”不是“ab=02”的必要条件；命题(3)中，因“x1x21”，所以“x1”是 x21 的充分条件，“x21”
5、是“x1”的必要条件.x21 x1，所以“x21”不是“x1”的充分条件，“x1”不是“x21”的必要条件.命题 4)中，因 x1 或 x2 x23x20，所以“x1 或 x2”是“x23x20”的充要分条件.由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1)充分不必要条件，即 pq，而 q p.(2)必要不充分条件，即：p q，而 qp.(3)既充分又必要条件，即 pq，又有 qp.或)(qp (4)既不充分又不必要条件，即 p q，又有 q p.四、数学运用 例 1 填表 p q qp(真假)pq(真假)p是q的什么条件 y 是有理数 y 是
6、实数 真 假 充分不必要 x5 x3 真 假 充分不必要 m，n 全是奇数 m+n是偶数 真 假 充分不必要 ba ab 真 假 充分不必要 BxAx 且 BAx 真 真 充分必要 0ab 0a 假 真 必要不充分 021 yx x=1 且 y=2 假 真 必要不充分 断方法讲授新课一复习引入同学们当某一天你和你的妈妈在街上遇到老的妈妈就足于说明你是她的孩子那么这在数学中是一层什么样的关系呢真假判断请同学们判断下列命题的真假并说明条件和结论有什么关系若 集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.给定两个条件 p,q，要判断 p 是 q 的什么条件，也可考虑集合：A=x|x 满足条件 p,B=x|x
7、 满足条件 q qp,相当于BA,pq,相当于BA,qp 相当于BA 例 3.已知 px2-8x-200，qx2-2x+1-a20。若 p 是 q 的充分而不必要条件，求正实数 a的取值范围.解 2.pA=xx-2，或 x10，qB=xx1-a，或 x1+a，a0 如图，依题意，pq，但 q 不能推出 p，说明 AB，则有.101,21,0aaa 解得 0a3.五、本节回顾 本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.（1）若 pq（或若qp），则 p 是 q 的充分条件；若 qp（或若pq），则 p是 q 的必要条件.2）判断充分、必要条件的
8、基本步骤：认清条件和结论；考察 p q 和 q p 的真假。3）判别技巧：可先简化命题；否定一个命题只要举出一个反例即可；将命题转化为等价的逆否命题后再判断。六、课后练习 1用“充分”或“必要”填空，并说明理由：“a 和 b 都是偶数”是“a+b 也是偶数”的 充分 条件；对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（其中 a,b,c都不为 0）来说，“b2-4ac0”是“这个方程有两个正根”的 充分 条件；“x3”是“|x|3”的 必要 条件；“个位数字是 5 的自然数”是“这个自然数能被 5 整除”的 充分 条件；“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的 必要 条件；断方法讲授新课一复习引
9、入同学们当某一天你和你的妈妈在街上遇到老的妈妈就足于说明你是她的孩子那么这在数学中是一层什么样的关系呢真假判断请同学们判断下列命题的真假并说明条件和结论有什么关系若2设命题甲为：0 x5，命题乙为|x2|3，那么甲是乙的（A）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知真命题“abcd”和“abef”，则“cd”是“ef”的_充分 _条件 444是22的什么条件?并说明理由.解：22 44但反之却不一定成立。例如取=1,=5,显然满足44 但不满足22所以44是22的必要但不充分条件.5、设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分非必要条件，那
10、么丙是甲的(A )（A）充分非必要条件，（B）必要非充分条件，（C）充分且必要条件，（D）既不充分也不必要条件 7设 p 是 q 的充分不必要条件，则 p是q的 必要不充分 条件 七、课外作业 课时训练 第 2 课时 断方法讲授新课一复习引入同学们当某一天你和你的妈妈在街上遇到老的妈妈就足于说明你是她的孩子那么这在数学中是一层什么样的关系呢真假判断请同学们判断下列命题的真假并说明条件和结论有什么关系若1.1.2 充分条件和必要条件（2）教案 教学目标：1进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；2掌握判断命题的条件的充要性的方法；教学重点、难点：理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要
11、性判断 教学过程：一、复习回顾 一般地，如果已知pq，那么我们就说 p 是 q 成立的充分条件，q 是 p 的必要条件 二、活动尝试 在数学中有很多可逆的命题，如（1）若 a 是无理数，则 a+5 是无理数；（2）若 ab,则 a+cb+c;（3）若一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不等的实根，则判别式0 这些可逆的命题，反映在逻辑关系上就是命题的条件具有充要性。本节课我们主要来研究命题中既充分又必要的条件问题。三、问题情境：指出下列命题中，p 是 q 的什么条件，q 是 p 的什么条件：（1）p：x2，q：x1；（2）p：x1,q：x2；（3）p：x0,y0，q：x+y2x1，p 是
12、 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件.（2）x1x2，但 x2x1，p 是 q 的必要条件，q 是 p 的充分条件.（3）x0,y0 x+y0，x+y0,y0，p 不是 q 的充分条件，p 也不是 q 的必要条件；q 不是 p 的充分条件，q 也不是 p 的必要条件.（4）x=0，y=0 x2+y2=0，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；又 x2+y2=0 x=0，y=0，q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件.在问题中，p 既是 q 的充分条件，p 又是 q 的必要条件，此时，我们统说，p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件.下面我们用数学语言来表述这个概念.四、
13、建构数学 1相关的概念 如果既有 pq，又有 qp，就记作 pq。我们就说，p 和 q 互为的充要条。说明：符号“”叫做等价符号.“pq”表示“pq 且 pq”；也表示“p 等价于 q”.“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.2.充要条件的判断方法 四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；确定条件是结论的什么条件.、充要性包含：充分性 pq，必要性 qp 这两个方面，缺一不可。五、数学运用 1要注意转换命题判定，培
14、养思维的灵活性 断方法讲授新课一复习引入同学们当某一天你和你的妈妈在街上遇到老的妈妈就足于说明你是她的孩子那么这在数学中是一层什么样的关系呢真假判断请同学们判断下列命题的真假并说明条件和结论有什么关系若2要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性 例 1：(1)两条不重合的直线 l1、l2(共同前提)l1与 l2的斜率分别为 k1、k2，且 k1=k2是 l1l2的什么条件？解：l1与 l2的斜率分别为 k1、k2，且 k1=k2是 l1l2的充分不必要条件 延伸：如何改变命题的条件(或结论)，使命题的条件是结论的充要条件呢？两条不重合的直线 l1、l2(共同前提)l1与 l2的斜率分别为 k1
15、、k2，且 k1=k2是 l1l2 且斜率存在的什么条件？(2)若 M 是 N 的充分不必要条件，N 是 P 的充要条件，Q 是 P 的必要不充分条件，则M 是 Q 的什么条件？解：QPNM QQM,即 M M 是 Q 的充分不必要条件 3充要性的求解是一种等价的转化 例 2：求关于 x 的一元二次不等式21axax 于一切实数 x 都成立的充要条件 分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化 由题可知等价于000004040aaaaaa 或或 4充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么*例 3:求证实系数一元二次方程20 xpxq 有两个异号根的充要条件是0.
16、q 解析：首先要区分清楚“必要性”、“充分性”各应证明的命题，分清这里的条件和结论各是什么。证明：（1）先证充分性 0.q 方程20 xpxq 的240pq 方程20 xpxq 有两个不相等的实根，设其为12xx，。120 xxq 方程20 xpxq 有两个异号实根（2）再证必要性 方程20 xpxq 有两个异号实根，设其为12xx，120 xx 12xxq 0q 由（1）（2）原命题得证。断方法讲授新课一复习引入同学们当某一天你和你的妈妈在街上遇到老的妈妈就足于说明你是她的孩子那么这在数学中是一层什么样的关系呢真假判断请同学们判断下列命题的真假并说明条件和结论有什么关系若评析 注意，证明充分
17、必要条件，实际上需要证明原命题和逆命题都成立.它亦等价于证明：六、回顾与小结 本节课的主要内容是“充要条件”的判定方法，即如果 pq 且 qp，则 p 是 q 的充要条件.七、课后练习 1“xy0”是“x+y=x+y”的(A )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2“AB=A”是 A=B的(B ).A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3在下列电路图中，闭合开关 A是灯泡 B亮的什么条件：如图(1)所示，开关 A闭合是灯泡 B亮的 充分不必要条件；如图(2)所示，开关 A闭合是灯泡 B亮的 必要不充分条件
18、；如图(3)所示，开关 A闭合是灯泡 B亮的 充要 条件；如图(4)所示，开关 A 闭合是灯泡 B 亮的 既不充分又不必要条件；4抛物线y=ax2+bx+c (a 0)的对称轴为x=2的充要条件是 4a+b=0_;5判断下列各题中条件是结论的什么条件：(1)条件 Aax2+ax+10 的解集为 R，结论 B0a4；(2)条件 pAB，结论 qAB=B.解：(1)=a2-4a0，即 0a4 当 0a4 时，ax2+ax+10 恒成立.故 BA.而当 a=0 时，ax2+ax+10 恒成立，AB.故 A为 B的必要不充分条件.(2)ABAB=B，而当 A=B时，AB=B，即 qp，p 为 q 的充
19、分不必要条件.6：证明：对于 x、yR，0 xy 是220 xy的必要不充分条件 分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件 必要性：对于 x、yR，如果220 xy 则0 x，0y 即0 xy 故0 xy 是220 xy的必要条件 不充分性：对于 x、yR，如果0 xy，如0 x，1y，此时220 xy 故0 xy 是220 xy的不充分条件 综上所述：对于 x、yR，0 xy 是220 xy的必要不充分条件 断方法讲授新课一复习引入同学们当某一天你和你的妈妈在街上遇到老的妈妈就足于说明你是她的孩子那么这在数学中是一层什么样的关系呢真假判断请同学们判断下列命题的真假并说明条件和结论有什么关系若