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1、学习必备 欢迎下载 充分与必要条件（2）（教学设计）1.2.2 充要条件 教学目标：知识与技能目标：（）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件,必要而不充分条件,既不充分也不必要条件的定义（）正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.（）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神 教学重点与难点 重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题 难点：正确区分
2、充要条件 教学过程：一、复习回顾：1、命题：若 p，则 q(1)若 pq，且 q p.则 P 是 q 的充分不必要条件(2)若 p q，且 qp.则 p 是 q 的必要不充分条件(3)若 pq，且 qp.则 p 是 q 的充要条件，q 也是 p 的充要条件(4)若 p q，且 q p.则 p 是 q 的既不充分与不必要条件 备注：只能“已知（条件）”是“结论”的什么条件。二、创设情境，新课引入：问题 1：探讨下列生活中名言名句的逻辑关系 （1）水滴石穿 （2）骄兵必败 （3）有志者事竞成 （4）头发长，见识短 （5）名师出高徒 （6）放下屠刀，立地成佛 （7）兔子尾巴长不了 （8）不到长城非好
3、汉 （9）春回大地，万物复苏 （10）海内存知己 （11）蜡炬成灰泪始干 （12）玉不琢，不成器 说明：由于生活语言不可能象数学命题一样准确，因此学生不同观点的碰撞在所难免，作为教师，只要学生的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是只要学生能“学会数学地思维”，教师可以根据自己班级的情况选讲其中的部分 在数学中有很多可逆的命题，如（1）若 a 是无理数，则 a+5 是无理数；（2）若 ab,则 a+cb+c;（3）若一元二次方程 ax2+bx+c=0有两个不等的实根，则判别式0 这些可逆的命题，反映在逻辑关系上就是命题的条件具有充
4、要性。本节课我们主要来研究命题中既充分又必要的条件问题。三、师生互动，新课讲解 问题 2：指出下列命题中，p 是 q 的什么条件，q 是 p 的什么条件：（1）p：x2，q：x1；（2）p：x1,q：x2；（3）p：x0,y0，q：x+y2x1，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件.（2）x1x2，但 x2x1，p 是 q 的必要条件，q 是 p 的充分条件.（3）x0,y0 x+y0，x+y0,y0，p 不是 q 的充分条件，p 也不是 q 的必要条件；q 不是 p 的充分条件，q 也不是 p 的必要条件.学习必备 欢迎下载（4）x=0，y=0 x2+y2=0，p 是 q 的充分条
5、件，q 是 p 的必要条件；又 x2+y2=0 x=0，y=0，q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件.在问题中，p 既是 q 的充分条件，p 又是 q 的必要条件，此时，我们统说，p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件.下面我们用数学语言来表述这个概念.1相关的概念 如果既有 pq，又有 qp，就记作 pq。我们就说，p 和 q 互为的充要条件。说明：符号“”叫做等价符号.“pq”表示“pq 且 pq”；也表示“p 等价于 q”.“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.2.充要条件的判断方法 四种“条件”的情况反映了命题的条件与结
6、论之间的因果关系，所以在判断时应该：确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；确定条件是结论的什么条件.、充要性包含：充分性 pq，必要性 qp 这两个方面，缺一不可。例 1（课本 P11 例 3）：下列各题中，哪些 p 是 q 的充要条件？（）p:b 0,q:函数 f(x)ax2bxc 是偶函数；（）p:x 0,y 0,q:xy 0；（）p:a b,q:a+c b+c；（）p:x 5,q:x 10（）p:a b,q:a2 b2 分析：要判断 p 是 q 的充要条件，就要看 p 能否推出 q，并且看 q 能否推出 p 解：命题（）和（）中，p
7、q，且 qp，即 p q，故 p 是 q 的充要条件；命题（）中，pq,但 q p，故 p 不是 q 的充要条件；命题（）中，pq，但 qp，故 p 不是 q 的充要条件；命题（）中，pq，且 qp，故 p 不是 q 的充要条件；例 2：两条不重合的直线 l1、l2(共同前提)l1与 l2的斜率分别为 k1、k2，且 k1=k2是 l1l2的什么条件？（答：充分不必要条件）延伸：如何改变命题的条件(或结论)，使命题的条件是结论的充要条件呢？把命题的结论改为“l1l2，且 l1、l2都有斜率”即可 例 3：若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的什么条件？分
8、析：命题的充分必要性具有传递性MNPQ 显然M是Q的充分不必要条件 例 4（课本 P11 例 4）：已知：O的半径为 r，圆心 O到直线 l 的距离为 d求证：dr 是直线 l 与O相切的充要条件 分析：设 p：dr，q：直线 l 与O相切 要证 p 是 q 的充要条件，只需要分别证明充分性（pq）和必要性（qp）即可 证明过程略（见课本 P11）课堂练习（课本 P12 练习）例 5:求证实系数一元二次方程20 xpxq 有两个异号根的充要条件是0.q 解析：首先要区分清楚“必要性”、“充分性”各应证明的命题，分清这里的条件和结论各是什么。证明：（1）先证充分性 0.q 方程20 xpxq 的
9、240pq 方程20 xpxq 有两个不相等的实根，设其为12xx，。120 xxq 不充分也不必要条件通过学习使学生明白对条件的判定应该归结为判断谨的学习态度培养积极进取的精神教学重点与难点重点正确区分充要条是的充要条件若且则是的既不充分与不必要条件备注只能已知条件是结学习必备 欢迎下载 方程20 xpxq 有两个异号实根（2）再证必要性 方程20 xpxq 有两个异号实根，设其为12xx，120 xx 12xxq 0q 由（1）（2）原命题得证。评析 注意，证明充分必要条件，实际上需要证明原命题和逆命题都成立.它亦等价于证明：(1)原命题和否命题都成立；(2)逆否命题和逆命题都成立；(3)
10、逆否命题和否命题都成立.这种等价转换的思想，就能使思路更广阔，方法更灵活，复杂问题简单化.四、课堂小结，巩固反思：1、命题：若 p，则 q(1)若 pq，且 q p.则 P 是 q 的充分不必要条件(2)若 p q，且 qp.则 p 是 q 的必要不充分条件(3)若 pq，且 qp.则 p 是 q 的充要条件，q 也是 p 的充要条件(4)若 p q，且 q p.则 p 是 q 的既不充分与不必要条件 五、布置作业：A组：1、（课本 P12习题 1.2 A 组 NO：3）2、（课本 P12习题 1.2 A 组 NO：4）3“xy0”是“x+y=x+y”的(A)A.充分不必要条件 B.必要不充分
11、条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4“AB=A”是 A=B的(B).A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5抛物线 y=ax2+bx+c (a0)的对称轴为 x=2的充要条件是_;（答：4a+b=0）6若 a、b 都是实数，从0ab；0ab；0ab；0ab；220ab；220ab中选出使 a、b都不为 0 的充分条件是 B组：1、（课本 P12习题 1.2 B 组 NO：1）2、（课本 P12习题 1.2 B 组 NO：2）不充分也不必要条件通过学习使学生明白对条件的判定应该归结为判断谨的学习态度培养积极进取的精神教学重点与难点重点正确
12、区分充要条是的充要条件若且则是的既不充分与不必要条件备注只能已知条件是结学习必备 欢迎下载 3判断下列各题中条件是结论的什么条件：(1)条件 Aax2+ax+10 的解集为 R，结论 B0a4；(2)条件 pAB，结论 qAB=B.解：(1)=a2-4a0，即 0a4 当 0a4 时，ax2+ax+10 恒成立.故 BA.而当 a=0 时，ax2+ax+10 恒成立，AB.故 A为 B的必要不充分条件.(2)ABAB=B，而当 A=B时，AB=B，即 qp，p 为 q 的充分不必要条件.4已知全集 R，A=xx-36，B=xxa,a N+.当 a 为何值时.A是 B的充分而不必要条件；A是 B
13、的必要而不充分条件；A是 B的充要条件.C组：1、设 A=x-2xa，B=yy=2x+3,x A，M=ZZ=x2,x A.求使 MB的充要条件是什么?解：A=x-2xa,M=ZZ=x2,x A.B=yy=2x+3,x A=y-1y2a+3.当-2a0 时，M=Za2Z4.当 0a2 时，M=Z0Z4.当 a2 时，M=Z0Za2.当-2a2 时，MB42a+3，即12a2；当 a2 时，MBa22a+3，即 2a3.综上可知，所求的充要条件为12a3.2、试寻求关于 x 的方程 x2+mx+n=0有两个小于 1 的正根的一个充要条件.解 法1：关 于x的 方 程x2+mx+n=0 有 两 个 小 于1的 正 根方 程 在(0，1)内 有 实 根0)1(0)0(1200ffm01002042nmnmnm011002042nmnmnm.解法 2：方程在(0，1)内有实根0)1)(1(0)1()1(00021212121xxxxxxxx01002042nmnmnm011002042nmnmnm.不充分也不必要条件通过学习使学生明白对条件的判定应该归结为判断谨的学习态度培养积极进取的精神教学重点与难点重点正确区分充要条是的充要条件若且则是的既不充分与不必要条件备注只能已知条件是结