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1、大一上学期高数期末考试（一）大一上学期高数期末考试（一）一、单项选择题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)1.一、单项选择题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)1.设 f(x)cos x(x sin x),则 在x 0处 有()设 f(x)cos x(x sin x),则 在x 0处 有().（A）.（A）f(0)2f(0)2（B）（B）f(0)1f(0)1（C）（C）f(0)0f(0)0（D）（D）f(x)f(x)不可导.不可导.2.2.设设(x)1 x1 x，(x)1 x1 x，(x)3 3(x)3 33 3x，则当x 1时（）x，则当x 1时（）.（A）.
2、（A）(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）(x)与(x)是等价无穷小；（C）是等价无穷小；（C）(x)是比是比(x)高阶的无穷小；（D）高阶的无穷小；（D）(x)是比是比(x)高阶的无穷小.高阶的无穷小.x x3.3.若若F F(x x)0 0(2t x2t x)f f(t t)dt dt，其中，其中f(x)f(x)在区间上在区间上(1,1)二阶可导且二阶可导且f f(x)(x)0 0，则（）.（A）函数，则（）.（A）函数F(x)必在必在x 0处取得极大值；（B）函数处取得极大值；（B）函数F(x)必在必在x 0处取得极小值；（C）函数处
3、取得极小值；（C）函数F(x)在在x 0处没有极值，但点处没有极值，但点(0,F(0)为曲线为曲线y F(x)的拐点；（D）函数的拐点；（D）函数F(x)在在x 0处没有极值，点处没有极值，点(0,F(0)也不是曲线也不是曲线y F(x)的拐点。的拐点。4.4.设 f(x)是连续函数，且f(x)x 2设 f(x)是连续函数，且f(x)x 2 1010f(t)dt,则 f(x)(f(t)dt,则 f(x)(x x2 2x x2 2（A）（A）2 2（B）（B）2 22 2（C）（C）x1x1（D）（D）x2x2.二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）二、填空题（本大题有
4、4 小题，每小题 4 分，共 16 分）2 2limlimsin xsin x5.5.x 0 x 0(1 3 x)(1 3 x).cos xcos x6.6.已知x是 f(x)的一个原函数,则已知x是 f(x)的一个原函数,则 f(x)cos xxd x f(x)cos xxd x.2 2 2 2n n 1 17.7.n nlim n n(cosn n cos2 22 2 n n cosn n).122122 x arcsin x 1x arcsin x 11212dx dx 8.8.1 x1 x2 2 .三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9.三、解答题（本大题有
5、5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9.设函数设函数y y y(x)y(x)由方程由方程e ex yx ysin(xy)1sin(xy)1确定，求确定，求y y(x)(x)以及以及y y(0)(0).1/5)1 1 x x7 7求求 d dx x.7 7x x(1 1 x x)10.10.x x 1 1 xexe，x x 0 0设设 f f(x x)求求 f f(x x)dxdx 3 32 2 2 2 x x x x，0 0 x x 1 1 11.11.1 10 012.12.设函数设函数f f(x x)连续，连续，且，且x x0 0求求g g(x x)并讨论并讨论g g(x x)在在x
6、x 0 0处的连续性处的连续性.g g(x x)f f(xt xt)dt dtlimlimf f(x x)A Ax x，A A为常数为常数.13.13.求微分方程求微分方程xyxy 2 2y y x x lnln x x满足满足y y(1)(1)1 19 9的解的解.四、四、解答题（本大题解答题（本大题 1010 分）分）14.14.已知上半平面内一曲线已知上半平面内一曲线y y y y(x x)(x x 0 0)，过点，过点(0,1)，且曲线上任一点，且曲线上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、轴、y轴、直线轴、直线x x0所围成所围成面积的面
7、积的 2 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题五、解答题（本大题 1010 分）分）15.15.过坐标原点作曲线过坐标原点作曲线y y lnln x x的切线，该切线与曲线的切线，该切线与曲线y y lnln x x及及 x x 轴围轴围成平面图形成平面图形 D.D.(1)(1)求求 D D 的面积的面积 A A；(2)(2)求求 D D 绕直线绕直线 x x=e e 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积 V V.六、证明题（本大题有六、证明题（本大题有 2 2 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 8 8 分）分）16
8、.16.设设函函数数f f(x x)在在0,1上上连连续续且且单单调调递递减减，证证明明对对任任意意的的q q0 0,1 1，q q1f f(x x)d d x x q qf f(x x)dxdx00.17.17.设设 函函 数数f f(x x)在在 0 0,上上 连连 续续，且且 0 0f f(x x)d d x x 0 0，0 0f f(x x)coscos x x dxdx 0 0.证明：在证明：在 0 0,内至少存在两个不同的点内至少存在两个不同的点 1 1,2 2，x x使使f f(1 1)f f(2 2)0 0.（提示：设（提示：设F F(x x)f f(x x)dxdx0 0）2
9、/5解答解答一、单项选择题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）一、单项选择题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）1 cos x1 cos x2 2()c()c6 6e e3 35.6.5.6.2x2x.7.7.2 2.8.三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9.解：方程两边求导.8.三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9.解：方程
10、两边求导x yx ye(1 y)cos(xy)(xy y)0e(1 y)cos(xy)(xy y)0e ex yx y ycos(xy)y(x)ycos(xy)y(x)x yx ye xcos(xy)e xcos(xy)x 0,y 0 x 0,y 0，y(0)1y(0)17 77x7x6 6dx dudx du10.解：10.解：u xu x 1(1 u)1121(1 u)112原式 du du ()du7u(1 u)7uu1()du7u(1 u)7uu11(ln|u|2ln|u1|)c712ln|x1(ln|u|2ln|u1|)c712ln|x7 7|ln|1 x|ln|1 x7 7|C77
11、|C7711.解：11.解：1313f(x)dx f(x)dx xedx xedx 30 x1030 x102x x2x x2 2dxdx xd(e)xd(e)330 00 x100 x101(x1)1(x1)2 2dxdx02xx02xx xee xee33 2 2(令x 1 sinx 1 sin)coscos d d 12.解：由12.解：由f(0)0f(0)0，知，知g(0)0g(0)0。x1xtx1xt u u 42e42e3 311g(x)g(x)f(xt)dtf(xt)dt 0 0 x xf(u)duf(u)du0 0 x x(x 0)(x 0)g(x)xf(x)g(x)xf(x)
12、f(u)duxf(u)duxx02x02(x 0)g(0)lim(x 0)g(0)lim0 x00 x0 f(u)duxf(u)dux2 2 lim limx0 x0f(x)A2x2f(x)A2x23/5xx0 xx0lim g(x)limlim g(x)limx0 x0 xf(x)xf(x)f(u)duxf(u)dux0202 AAA22 AAA22，g g(x)(x)在在x x 0 0处连续。处连续。dy2y ln xdxxdy2y ln xdxx13.解：13.解：dxdxdxdxxxxxy e(y e(eln xdxC)eln xdxC)222211xln xxCx11xln xxCx
13、22939311111y(1)1y(1),C,C 0 0y xln xx39y xln xx399 9，四、解答题（本大题 10 分），四、解答题（本大题 10 分）14.解：由已知且，将此方程关于14.解：由已知且，将此方程关于x求导得求导得y 2y yy 2y y0 0y 2y 2 yd x yyd x yx x2 2特征方程：特征方程：r r 2 0r r 2 0 x2x x2xy C e C ey C e C e1212其通解为解出特征根：其通解为解出特征根：r r1 1 1,r 1,r2 2 2.2.代入初始条件代入初始条件y(0)y(0)1，得，得21y e21y exxee2x2
14、x3333故所求曲线方程为：五、解答题（本大题 10 分）故所求曲线方程为：五、解答题（本大题 10 分）C C1 121,C21,C2 2333315.解：（1）根 据 题 意，先 设 切 点 为15.解：（1）根 据 题 意，先 设 切 点 为(x(x0 0,ln x,ln x0 0)，切 线 方 程：，切 线 方 程：1y ln x1y ln x0 0(x x(x x0 0)x)x0 0由于切线过原点，解出由于切线过原点，解出x x0 0 e e，从而切线方程为：，从而切线方程为：1 1y 1xey 1xe则平面图形面积则平面图形面积A A (e(ey y ey)dy ey)dy 0 0
15、1e 121e 12（2）三角形绕直线 x=e 一周所得圆锥体体积记为 V（2）三角形绕直线 x=e 一周所得圆锥体体积记为 V1 1，则曲线，则曲线y ln xy ln x与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 一周所得旋转体体积为 V与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 一周所得旋转体体积为 V2 21 1V V1 111 e e2 23 3V V2 2 (e e(e ey y)2 2dydy0 06 6D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 12 分）D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明
16、题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 12 分）V VV V1 1VV2 2 (5e(5e2 212e 3)12e 3)4/5q1qq116.证明：16.证明：0qf(x)d xqf(x)dxf(x)d xq(f(x)d xf(x)dx)000q1q(1q)f(x)d xqf(x)dx010,q2q,1q(1 q)f(1)q(1 q)f(2)1f(1)f(2)故有：故有：q q0f f(x x)d xd x q qf f(x x)dxdx00证毕。证毕。x x17.17.0 0证：构造辅助函数：。其满足在证：构造辅助函数：。其满足在0,0,上连续，在上连续，在(0,(0,)上可导。上可导
17、。F(x)f(x)F(x)f(x)，且，且F(0)F(F(0)F()0)0F(x)F(x)f(t)dt,0 x f(t)dt,0 x 由题设，有由题设，有 0 0 f(x)cos xdx f(x)cos xdx cos xdF(x)F(x)cos xcos xdF(x)F(x)cos x|sin x F(x)dxsin x F(x)dx00000000，有，有0 0，由积分中值定理，存在，由积分中值定理，存在(0,(0,)，使，使F(F()sin)sin 0 0即即F(F()0)0综上可知综上可知F(0)F(F(0)F()F()F()0,)0,(0,(0,).在区间.在区间0,0,上分别应用罗
18、尔定理，知存在上分别应用罗尔定理，知存在 1 1(0,(0,)和和 2 2(,)，使，使F(F(1 1)0)0及及F(F(2 2)0)0，即，即f(f(1 1)f()f(2 2)0)0.F(x)sin xdx 0F(x)sin xdx 05/5第一学期期末高等数学试卷第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题(本大题共 16 小题，总计 80 分)1、(本小题 5 分)2、(本小题 5 分)一、解答下列各题(本大题共 16 小题，总计 80 分)1、(本小题 5 分)2、(本小题 5 分)x312x 16求极限lim3x22x 9x212x 4xdx.22(1 x)1x求3、(本小题 5 分)3
19、、(本小题 5 分)x求极限 limarctan xarcsin4、(本小题 5 分)4、(本小题 5 分)求5、(本小题 5 分)5、(本小题 5 分)xdx.1 xd求dxx201t2dt6、(本小题 5 分)7、(本小题 5 分)6、(本小题 5 分)7、(本小题 5 分)求cot6xcsc4xd x.求218、(本小题 5 分)8、(本小题 5 分)11cosdx2xx9、(本小题 5 分)9、(本小题 5 分)30t2dyx e cost设确定了函数y y(x),求2tdxy esint求x 1 xdx10、(本小题 5 分)10、(本小题 5 分)求函数y 4 2x x2的单调区间
20、11、(本小题 5 分)11、(本小题 5 分)Ysin xdx8 sin2x12、(本小题 5 分)12、(本小题 5 分)求13、(本小题 5 分)13、(本小题 5 分)20设x(t)ekt(3cost 4sint)，求dx设函数y y(x)由方程y2 ln y2 x6所确定,求14、(本小题 5 分)15、(本小题 5 分)14、(本小题 5 分)15、(本小题 5 分)dydx求函数y 2ex ex的极值16、(本小题 5 分)16、(本小题 5 分)(x 1)2(2x 1)2(3x 1)2(10 x 1)2求极限 limx(10 x 1)(11x 1)求二、解答下列各题(本大题共
21、2 小题，总计 14 分)1、(本小题 7 分)二、解答下列各题(本大题共 2 小题，总计 14 分)1、(本小题 7 分)cos2xdx.1sinxcosx2、(本小题 7 分)2、(本小题 7 分)某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.x2x3求由曲线y 和y 所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28设f(x)x(x 1)(x 2)(x 3),证明f(x)0有且仅有三个实根.三、解答下列各题(本 大 题 6 分)三、解答下列各题(本 大 题 6 分)一学期期末高数考试(答案)一学
22、期期末高数考试(答案)一、解答下列各题(本大题共 16 小题，总计 77 分)1、(本小题 3 分)2、(本小题 3 分)一、解答下列各题(本大题共 16 小题，总计 77 分)1、(本小题 3 分)2、(本小题 3 分)3x212解:原式 lim2x26x 18x 126x limx212x 18 23、(本小题 3 分)3、(本小题 3 分)x(1 x2)2d x21d(1 x)2(1 x2)211 c.22 1 x因为 arctan x 2而 limarcsinx故 limarctan xarcsinx4、(本小题 3 分)4、(本小题 3 分)1 0 x1 0 x5、(本小题 3 分)
23、5、(本小题 3 分)x1 xdx1 x1 dx1 xdx dx1 x x ln1 x c.d求dxx201t2dt6、(本小题 4 分)6、(本小题 4 分)6原式 2x 1 x44cot xcsc xd x cot x(1 cot x)d(cot x)627、(本小题 4 分)7、(本小题 4 分)11 cot7x cot9x c.7911cosdx2xx211原式 1cosd()xx求 18、(本小题 4 分)8、(本小题 4 分)211 sinx21t2dyx e cost设确定了函数y y(x),求2tdxy esint2tdye(2sint cost)解：tdxe(cost2 2t
24、sint2)9、(本小题 4 分)9、(本小题 4 分)30et(2sint cost)(cost2 2tsint2)求x 1 xdx令 1 x u原式 2(u4 u2)du1210、(本小题 5 分)10、(本小题 5 分)uu2)15311615 2(求函数y 4 2x x2的单调区间53解：函数定义域(,)y 2 2x 2(1 x)当x 1，y 0,1当x 1，y 0函数单调增区间为11、(本小题 5 分)11、(本小题 5 分)1,当x 1，y 0函数的单调减区间为求20sin xdx8 sin2x原式 20d cosx9 cos2x12、(本小题 6 分)12、(本小题 6 分)13
25、cosx2 ln63cosx01ln26设x(t)ekt(3cost 4sint)，求dx解：dx x(t)dt13、(本小题 6 分)13、(本小题 6 分)ekt(43k)cost(4k 3)sintdt设函数y y(x)由方程y2 ln y2 x6所确定,求2yy 2y 6x5ydydx14、(本小题 6 分)14、(本小题 6 分)3yx5y 2y 1求函数y 2ex ex的极值解：定义域(，),且连续1y 2ex(e2x)211驻点：x ln22由于y 2ex ex 011故函数有极小值,y(ln)2 22215、(本小题 8 分)16、(本小题 10 分)15、(本小题 8 分)1
26、6、(本小题 10 分)(x 1)2(2x 1)2(3x 1)2(10 x 1)2求极限 limx(10 x 1)(11x 1)1111(1)2(2)2(3)2(10)2xxxx原式 limx11(10)(11)xx1011 216101172解:cos2xcos2xdx dx1sin xcosx11sin2x2二、解答下列各题(本大题共 2 小题，总计 13 分)1、(本小题 5 分)二、解答下列各题(本大题共 2 小题，总计 13 分)1、(本小题 5 分)d(1sin2x 1)211sin2x21 ln1sin2x c2某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围
27、沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.设晒谷场宽为x,则长为L 2x 512米,新砌石条围沿的总长为x2、(本小题 8 分)2、(本小题 8 分)512(x 0)x512L 2 2唯一驻点x 16x1024L 3 0即x 16为极小值点x512故晒谷场宽为16米,长为 32米时,可使新砌石条围沿16所用材料最省x2x3求由曲线y 和y 所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28x2x3解:,8x2 2x3x1 0,x1 4.28244 x4xx32x62Vx()()dx()dx0028464三、解答下列各题(本 大 题 10 分)三、解答下列各题(本
28、大 题 10 分)1 1117(x5x)4 564 7011512 44()5735设f(x)x(x 1)(x 2)(x 3),证明f(x)0有且仅有三个实根.证明:f(x)在(,)连续,可导,从而在0,3;连续,可导.4又f(0)f(1)f(2)f(3)0则分别在0,1,1,2,2,3上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在1(0,1),2(1,2),3(2,3)使f(1)f(2)f(3)0即f(x)0至少有三个实根,又f(x)0,是三次方程,它至多有三个实根,由上述f(x)有且仅有三个实根一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分）2x1、lim(
29、13x)x0 _.。xx 0e2、当 k=1时，f(x)在x 0处连续2x kx 03、设y x ln x,则dx _dyx/x+1y=x+14、曲线y e x在点（0，1）处的切线方程是x5、若f(x)dx sin2x C，C为常数，则f(x)2cos2x。xx二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）1、若函数f(x)，则lim f(x)（D）x0A、0B、1C、1D、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为（B）A.ln1x 2(x 0)D.2(x 0)B.ln x(x 1)C.cosx(x 2)xx 43、满足方程f(x)0的x是函数
30、y f(x)的（C）A极大值点B极小值点C驻点D间断点4、下列无穷积分收敛的是（B）A、0sin xdxB、e2xdxC、0011dxdxD、0 xx5、设空间三点的坐标分别为M（1，1，1）、A（2，2，1）、B（2，1，2）。则AMB=AA、B、C、D、342三、计算题（每小题 7 分，本题共 56 分）三、计算题（每小题 7 分，本题共 56 分）1、求极限limx04 x 2。sin2x高等数学（上）试题及答案高等数学（上）试题及答案2、求极限lim(x011x)xe 1tedt12cosx3、求极限limx0 x24、设y e5ln(x 1 x2)，求yx ln(1t2)d2y5、设
31、f y(x)由已知，求2dxy arctant6、求不定积分7、求不定积分12sin(x2x3)dxxecos xdx11 ex8、设f(x)11 x四、应用题（本题 7 分四、应用题（本题 7 分）x 0，求x 020f(x 1)dx求曲线y x与x y所围成图形的面积 A 以及 A 饶y轴旋转所产生的旋转体的体积。五、证明题（本题 7 分）五、证明题（本题 7 分）若f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)f(1)0，f()1，证明：在(0,1)内至少有一点，使f()1。2212参考答案参考答案一。填空题（每小题 3 分，本题共 15 分一。填空题（每小题 3 分，本题共 1
32、5 分）1、e2、k=1 3、6x4、y 15、f(x)2cos2x1 x二单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分二单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分）1、D?2、B?3、C?4、B 5、A三计算题（本题共 56 分，每小题 7 分）三计算题（本题共 56 分，每小题 7 分）1.解：limx0 x12x14 x 2 limlimx0sin2xsin2x(4 x 2)2x0sin2x(4 x 2)811ex1 xex1ex12.解：lim(x)lim lim limxxxxxxx0 xx0 x0 x02e 1x(e 1)e 1 xee e xecosx23、解：limtedt1
33、x0 x21sin xecos limx02x(111 x22x 12e11 x24、解：y x 1 x2)1dy1t215、解：2tdx2t1t2d yddy()dx2dt dx2dxdt122t1t2 32t4t21t6、解：1212212sin(3)dx sin(3)d(3)cos(3)Cx2x2x32xxxe cosxdx cosxde7、解：excosx exsinxdx excos x sin xdex excosx exsin x excosxdx ex(sin x cos x)C8、解：20f(x 1)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx1101011dxdx01 x
34、11 ex0ex1(1)dx ln(1 x)x011 e01 ln(1 e)x01 ln21 ln(1 e1)ln(1 e)四应用题（本题 7 分四应用题（本题 7 分）22解：曲线y x与x y的交点为（1，1），于是曲线y x与x y所围成图形的面积 A 为22212 112A(x x)dx x2x 03330A 绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为：13 y2y5324V(y)y dy 50102011五、证明题（本题 7 分）五、证明题（本题 7 分）证明：设F(x)f(x)x，显然F(x)在,1上连续，在(,1)内可导，且F()1212121 0，F(1)1 0.212由零点定理知存在x1,1，使F(x1)0.由F(0)0，在0,x1上应用罗尔定理知，至少存在一点(0,x1)(0,1)，使F()f()1 0，即f()1