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1、大一上学期高数期末考试一、单项选择题 （本大题有4小题， 每小题4分, 共16分）1. .（A） (B)(C） （D)不可导.2. . （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小； (B）是等价无穷小; （C）是比高阶的无穷小; （D）是比高阶的无穷小. 3. 若,其中在区间上二阶可导且，则( ）。（A)函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值;（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。4.（A） （B)(C） (D)。二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 。6. .7. 。8. 。三、解答题（本大题有5小题,每小题8分，共40分
2、）9. 设函数由方程确定,求以及。10.11.12. 设函数连续,，且,为常数。 求并讨论在处的连续性。13. 求微分方程满足的解. 四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分)15. 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x 轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A；（2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V。六、证明题（本大题有2小题,每小题4分，共8分)16. 设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.17. 设函数在上连续，且，
3、.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设)解答 一、单项选择题(本大题有4小题， 每小题4分, 共16分）1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题,每小题4分，共16分)5. 。 6。7。 . 8。.三、解答题(本大题有5小题,每小题8分，共40分)9. 解：方程两边求导 ，10. 解：11. 解:12. 解:由，知。 ,在处连续.13. 解: ,四、 解答题（本大题10分)14. 解：由已知且， 将此方程关于求导得特征方程：解出特征根：其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为:五、解答题（本大题10分)15. 解：(1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积(2)三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1,则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分)16. 证明:故有： 证毕.17.证：构造辅助函数:。其满足在上连续，在上可导。，且由题设,有，有，由积分中值定理，存在，使即综上可知。在区间上分别应用罗尔定理，知存在和，使及,即.