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1、大一上学期高数期末考试大一上学期高数期末考试一、一、单项选择题单项选择题(本大题有本大题有 4 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 16 分分)1.)(0),sin(cos)(xxxxxf.（A）(0)2f （B）(0)1f （C）(0)0f （D）()f x不可导不可导.2.133)(11)(3 xxxxxx .（A）()()xx与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）()()xx与是等价无穷小；是等价无穷小；（C）()x是比是比()x高阶的无穷小；高阶的无穷小；（D）()x是比是比()x高阶的高阶的无穷小无穷小.3.若若()()()02xF xtx f
2、t dt ，其中，其中()f x在区间上在区间上(1,1)二阶可导且二阶可导且()0fx，则（，则（）.（A）函数）函数()F x必在必在0 x 处取得极大值；处取得极大值；（B）函数）函数()F x必在必在0 x 处取得极小值；处取得极小值；（C）函数）函数()F x在在0 x 处没有极值，但点处没有极值，但点(0,(0)F为曲线为曲线()yF x的拐点；的拐点；（D）函数）函数()F x在在0 x 处没有极值，点处没有极值，点(0,(0)F也不是曲线也不是曲线()yF x的拐的拐点。点。4.)()(,)(2)()(10 xfdttfxxfxf （A）22x （B）222x（C）1x （D）
3、2x .二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分）5.xxxsin20)31(lim .6.,)(cos xfxx xxxxfdcos)(.7.lim(coscoscos)22221nnnnnn .8.21212211arcsin dxxxx .三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 5 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 40 分）分）9.设函数设函数()yy x由方程由方程sin()1xyexy 确定，求确定，求()y x以及以及(0)y.10.d)1(177xxxx QQ37428923611.1 32)(1020)
4、(dxxfxxxxxexfx12.设函数设函数)(xf连续，连续，10()()g xf xt dt，且，且0()limxf xAx，A为常数为常数.求求()g x并讨论并讨论()g x在在 0 x处的连续性处的连续性.13.求微分方程求微分方程2lnxyyxx 满足满足 1(1)9y的解的解.四、四、解答题（本大题解答题（本大题 1010 分）分）14.已知上半平面内一曲线已知上半平面内一曲线)0()(xxyy，过点，过点(,)01，且曲线上任一点，且曲线上任一点M xy(,)00处切线斜率数值上等于此曲线与处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、轴、y轴、直线轴、直线xx0所围成所围成面积的面积的
5、 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题五、解答题（本大题 1010 分）分）15.过坐标原点作曲线过坐标原点作曲线xyln 的切线，该切线与曲线的切线，该切线与曲线xyln 及及 x 轴围轴围成平面图形成平面图形 D.(1)求求 D 的面积的面积 A；(2)求求 D 绕直线绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有六、证明题（本大题有 2 2 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 8 8 分）分）16.设函数设函数)(xf在在0,1上连续且单调递减，证明对任意的上连续且单调递减，证明对任
6、意的,0 1q，100()()qf x d xqf x dx.17.设函数设函数)(xf在在 ,0上连续，且上连续，且0)(0 xdxf，0cos)(0 dxxxf.证明：在证明：在 ,0内至少存在两个不同的点内至少存在两个不同的点21,，使使.0)()(21 ff（提示：设（提示：设 xdxxfxF0)()(）解答解答 一、一、单项选择题单项选择题(本大题有本大题有 4 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 16 分分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分）5.6e.6.cxx 2)cos(21
7、.7.2.8.3.三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 5 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 40 分）分）9.解：方程两边求导解：方程两边求导 (1)cos()()0 xyeyxyxyy QQ374289236cos()()cos()xyxyeyxyy xexxy 0,0 xy ，(0)1y 10.解：解：767uxx dxdu 1(1)112()7(1)71ududuuuuu 1(ln|2ln|1|)7uuc 7712ln|ln|1|77xxC 11.解：解：1012330()2xf x dxxedxxx dx 01230()1(1)xxdexdx 00232cos(1sin
8、)xxxeedx 3214e 12.解：由解：由(0)0f，知，知(0)0g。100()()()xxt uf u dug xf xt dtx (0)x 02()()()(0)xxf xf u dug xxx 0200()()A(0)limlim22xxxf u duf xgxx 0200()()lim()lim22xxxxf xf u duAAg xAx ，()g x在在 0 x处连续。处连续。13.解：解：2lndyyxdxx 22(ln)dxdxxxyeexdxC 211ln39xxxCx 1(1),09yC，11ln39yxxx 四、四、解答题（本大题解答题（本大题 1010 分）分）1
9、4.解：由已知且解：由已知且02dxyyxy ，QQ374289236将此方程关于将此方程关于x求导得求导得yyy 2特征方程：特征方程：022 rr解出特征根：解出特征根：.2,121 rr其通解为其通解为xxeCeCy221 代入初始条件代入初始条件yy()()001，得，得31,3221 CC故所求曲线方程为：故所求曲线方程为：xxeey23132 五、解答题（本大题五、解答题（本大题 10 分）分）15.解：（解：（1）根据题意，先设切点为）根据题意，先设切点为)ln,(00 xx，切线方程：，切线方程：)(1ln000 xxxxy 由于切线过原点，解出由于切线过原点，解出ex 0，从
10、而切线方程为：，从而切线方程为：xey1 则平面图形面积则平面图形面积 10121)(edyeyeAy（2）三角形绕直线）三角形绕直线 x=e 一周所得圆锥体体积记为一周所得圆锥体体积记为 V1，则，则2131eV 曲线曲线xyln 与与 x 轴及直线轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线所围成的图形绕直线 x=e 一周所得旋转体体积一周所得旋转体体积为为 V2 1022)(dyeeVy D 绕直线绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积)3125(6221 eeVVV 六、证明题（本大题有六、证明题（本大题有 2 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 12 分）分
11、）16.证明：证明：100()()qf x d xqf x dx100()()()qqqf x d xqf x d xf x dx10(1)()()qqqf x d xqf x dx12120,1()()12(1)()(1)()0qqffqq fqq f故有：故有：100()()qf x d xqf x dx 证毕。证毕。17.证：构造辅助函数：证：构造辅助函数：xdttfxFx0,)()(0。其满足在。其满足在,0 上连续，在上连续，在),0(上可导。上可导。)()(xfxF ，且，且0)()0(FF由题设，有由题设，有 0000)(sincos)()(coscos)(0|dxxFxxxFxxdFxdxxf，QQ374289236有有 00sin)(xdxxF，由积分中值定理，存在，由积分中值定理，存在),0(，使，使0sin)(F即即0)(F综上可知综上可知),0(,0)()()0(FFF.在区间在区间,0 上分别应用罗尔上分别应用罗尔定理，知存在定理，知存在),0(1 和和),(2 ，使，使0)(1 F及及0)(2 F，即，即0)()(21 ff.QQ374289236