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1、大一上学期高数期末考试大一上学期高数期末考试一、一、单项选择题单项选择题（本大题有（本大题有 4 4 小题，小题，每小题每小题 4 4 分分,共共 1616 分）分）1.1.设设 f f(x x)coscos x x(x x sinsin x x),),则则 在在x x 0 0处处 有有().（A A）f f (0)(0)2 2（B B）f f (0)(0)1 1（C C）f f (0)(0)0 0（D)D)f f(x x)不可导。不可导。2.2.设设(x x)1 1 x x1 1 x x，(x x)3 3 3 33 3x x，则当，则当x x 1 1时（时（）。（A)A)(x)与(x)是同阶
2、无穷小，是同阶无穷小，但不是等价无穷小；但不是等价无穷小；（B B）(x)与(x)是是等价无穷小等价无穷小;（C)C)(x)是比是比(x)高阶的无穷小；高阶的无穷小；（D D）(x)是比是比(x)高阶的无高阶的无穷小穷小.3.3.若若F F(x x)x x0 0(2 2t t x x)f f(t t)dt dt，其其中中f f(x x)在在区区间间上上(1,1)二二阶阶可可导导且且f f(x x)0 0，则（，则（）。（A A）函数）函数F(x)必在必在x 0处取得极大值；处取得极大值；（B B）函数）函数F(x)必在必在x 0处取得极小值；处取得极小值；（C C）函数）函数F(x)在在x 0
3、处没有极值，但点处没有极值，但点(0,F(0)为曲线为曲线y F(x)的拐点的拐点;（D)D)函数函数F(x)在在x 0处没有极值，处没有极值，点点(0,F(0)也不是曲线也不是曲线y F(x)的拐点。的拐点。1 14.4.设设 f f(x x)是连续函数，且是连续函数，且f f(x x)x x 2 2 0 0f f(t t)dt dt,则则 f f(x x)(x x2 2x x2 2（A A）2 2（B)B)2 2 2 2（C C）x x 1 1（D D）x x 2 2。二、填空题二、填空题(本大题有本大题有 4 4 小题小题,每小题每小题 4 4 分，共分，共 1616 分）分）2 25.
4、5.limlim(1 1 3 3 x x)sinsin x xx x 0 0.6.6.已知已知coscos x xx x是是 f f(x x)的一个原函数的一个原函数,则则 f f(x x)coscosx xx xd d x x 。7.7.n nlim n n(cos2 2 n n cos2 22 2 n n 1 1n n cos2 2n n).1 12 2 x x2 2arcsinarcsin x x 1 18.8.1 11 1 x x2 2dxdx 2 2。三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 5 5 小题，每小题小题，每小题 8 8 分，共分，共 4040 分分)9.9.设函数设函数
5、y y y y(x x)由方程由方程e ex x y y sin(sin(xyxy)1 1确定，求确定，求y y(x x)以及以及y y(0)(0)。1 1 x x7 7求求10.10.x x(1 1 x x7 7)d dx x.)x x xexe，x x 0 01 1 设设 f f(x x)求求 f f(x x)dxdx 3 32 2 2 2 x x x x，0 0 x x 1 1 11.11.1 10 012.12.设函数设函数f f(x x)连续连续,，且且x x0 0g g(x x)并讨论并讨论g g(x x)在在x x 0 0处的连续性。处的连续性。g g(x x)f f(xt xt
6、)dt dtlimlimf f(x x)A Ax x，A A为常数。为常数。求求1 1y y(1)(1)xyxy 2 2y y x x lnln x x9 9的解的解.13.13.求微分方程求微分方程满足满足四、四、解答题（本大题解答题（本大题 1010 分分)14.14.已知上半平面内一曲线已知上半平面内一曲线y y y y(x x)(x x 0 0),过点过点(0,1)，且曲线上任一点，且曲线上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、轴、y轴、直线轴、直线x x0所围成所围成面积的面积的 2 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程。倍与该点纵坐标之
7、和，求此曲线方程。五、解答题（本大题五、解答题（本大题 1010 分）分）15.15.过坐标原点作曲线过坐标原点作曲线y y lnln x x的切线，该切线与曲线的切线，该切线与曲线y y lnln x x及及 x x 轴围轴围成平面图形成平面图形 D.D.(1)(1)求求D D的面积的面积 A A；（2)2)求求D D绕直线绕直线 x x=e e 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积 V V。六、证明题（本大题有六、证明题（本大题有 2 2 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 8 8 分）分）16.16.设设 函函 数数f f(x x)在在0,1上上 连连 续续 且且
8、 单单 调调 递递 减减,证证 明明 对对 任任 意意 的的q q0 0,1 1，q q1f f(x x)d d x x q qf f(x x)dxdx00。17.17.设函数设函数f f(x x)在在 0 0,上连续，上连续，且且0 0 x x f f(x x)d d x x 0 0，0 0 f f(x x)coscos x x dxdx 0 0.证明：在证明：在 0 0,内至少存在两个不同的点内至少存在两个不同的点 1 1,2 2,使使f f(1 1)f f(2 2)0 0.(提提F F(x x)示：设示：设 f f(x x)dxdx0 0）解答解答一、一、单项选择题单项选择题(本大题有本
9、大题有 4 4 小题，小题，每小题每小题 4 4 分分,共共 1616 分分)1 1、D D2 2、A A3 3、C C4 4、C C二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分）分）1 1 coscos x x2 2()c c6 6e e3 35.5.6.6.2 2x x.7.7.2 2。8 8。三、解答题三、解答题(本大题有本大题有 5 5 小题小题,每小题每小题 8 8 分分,共共 4040 分分)9.9.解：方程两边求导解：方程两边求导x x y ye e(1(1 y y)cos(cos(xyxy)()(xyxy y y
10、)0 0.e ex x y y y ycos(cos(xyxy)y y(x x)x x y ye e x xcos(cos(xyxy)x x 0,0,y y 0 0，y y(0)(0)1 17 77 7x x6 6dxdx dudu10.10.解：解：u u x x 1 1(1(1 u u)1 11 12 2原式 dudu ()dudu7 7u u(1(1 u u)7 7u uu u 1 11 1(ln(ln|u u|2ln2ln|u u 1|)1|)c c7 71 12 2 lnln|x x7 7|lnln|1|1 x x7 7|C C7 77 711.11.解解:1 1 3 3f f(x
11、x)dxdx xexedxdx 3 30 0 x x1 1 3 30 00 0 x x1 10 02 2x x x x2 2dxdx xdxd(e e)0 01 1(x x 1)1)2 2dxdx0 0 2 2 x x x x xexe e e 3 3 2 2(令x x 1 1 sinsin)coscos d d 12.12.解：由解：由f f(0)(0)0 0，知，知g g(0)(0)0 0。x x1 1xt xt u u 4 4 2 2e e3 3 1 1g g(x x)f f(xt xt)dt dt 0 0 x xf f(u u)dudu0 0 x x(x x 0)0)g g(x x)x
12、fxf(x x)f f(u u)dudux xx x0 02 2(x x 0)0)g g(0)(0)limlim0 0 x x0 0 f f(u u)dudux x2 2 limlimx x0 0 x xf f(x x)A A 2 2x x2 2 A A A AA A 2 22 2，g g(x x)在在x x 0 0处连续。处连续。limlim g g(x x)limlimx x0 0 x x0 0 xfxf(x x)f f(u u)dudux x0 02 2dydy2 2 y y lnln x x13.13.解：解：dxdxx xdxdxdxdxy y e e x x(e e x xlnln
13、 xdxxdx C C)2 22 21 11 1x xlnln x x x x CxCx 2 29 93 31 11 11 1y y(1)(1),C C 0 0y y x xlnln x x x x3 39 99 9，四、四、解答题（本大题解答题（本大题 1010 分）分）14.14.解：由已知且解：由已知且,将此方程关于将此方程关于x求导得求导得y y 2 2y y y y 0 0y y 2 2 y yd d x x y yx x2 2特征方程特征方程:r r r r 2 2 0 0解出特征根：解出特征根：r r1 1 1 1,r r2 2 2 2.x x2 2x xy y C C e e
14、C C e e1 12 2其通解为其通解为代入初始条件代入初始条件y(0)y(0)1，得，得2 21 1y y e e x x e e2 2x x3 33 3故所求曲线方程为：故所求曲线方程为：C C1 1 2 21 1,C C2 2 3 33 3五、解答题（本大题五、解答题（本大题 1010 分）分）1 1y y lnln x x0 0(x x x x0 0)x x(x x,lnln x x)0 0，0 015.15.解：解：（1 1）根据题意，根据题意，先设切点为先设切点为0 0切线方程：切线方程：1 1y y x xx x e ee e由于切线过原点，解出由于切线过原点，解出0 0，从而
15、切线方程为：，从而切线方程为：1 1则平面图形面积则平面图形面积A A (e ey y eyey)dydy 0 01 1e e 1 12 2（2 2）三角形绕直线）三角形绕直线 x x=e e 一周所得圆锥体体积记为一周所得圆锥体体积记为 V V1 1，则，则曲线曲线y y lnln x x与与 x x 轴及直线轴及直线 x x=e e 所围成的图形绕直线所围成的图形绕直线 x x=e e 一周所得旋转体体积一周所得旋转体体积为为 V V2 21 1V V1 1 1 1 e e2 23 3V V2 2 (e e e ey y)2 2dydy0 0D D 绕直线绕直线 x x=e e 旋转一周所
16、得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积六、证明题六、证明题(本大题有本大题有 2 2 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1212 分分)q1qqV V V V1 1 V V2 2 6 6(5 5e e2 2 1212e e 3 3)116.16.证明证明:0qf(x)d xqf(x)dxf(x)d xq(f(x)d xf(x)dx)000q1q(1q)f(x)d xqf(x)dx010,q2q,1q(1 q)f(1)q(1 q)f(2)1f(1)f(2)故有：故有：q q0f f(x x)d d x x q qf f(x x)dxdx00证毕。证毕。x x17.17.F F(x
17、x)f f(t t)dt dt,0 0 x x 0 0证：证：构造辅助函数：构造辅助函数：。其满足在其满足在 0 0,上连续，上连续，在在(0 0,)上可导。上可导。F F(x x)f f(x x)，且，且F F(0 0)F F()0 0由题设，有由题设，有 0 0 f f(x x)coscos xdxxdx coscos xdFxdF(x x)F F(x x)coscos x x|sinsin x x F F(x x)dxdx0 00 00 00 0 ，有有0 0，由积分中值定理，存在，由积分中值定理，存在 (0 0,)，使，使F F()sinsin 0 0即即F F()0 0综上可知综上可知F F(0 0)F F()F F()0 0,(0 0,).在区间在区间 0 0,上分别应用罗上分别应用罗尔定理尔定理,知存在知存在 1 1(0 0,)和和 2 2(,)，使使F F(1 1)0 0及及F F(2 2)0 0，即即f f(1 1)f f(2 2)0 0.F F(x x)sinsin xdxxdx 0 0