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1、中 南 民 族 大 学06、07微 积 分（下）试 卷及 参 考 答 案06年A卷评I 5可卷II分 I|勺f x+=x2 y r/_i、已知.*，则/（x，y）=.+8 -i2、已知，则,J。x 2e Xdx-.re-2d x=J-oo3、函数y）=V+封+V y+1在-点取得极值，4、已 矢 口/（x,y）=x +（x +a r c t a n y）a r c t a n y|j r（l，O）=5、以=（G +G x）*（6。2为任意常数）为通解的微分方程是二、选择题（每小题3 分，共15 分）6 知1C。+8 a-公与L x l nd，x、均收敛，则常数。的取值范围是（）.一评分一阅卷人
2、(A)P1(B)P1(C)1P2 )24x/(x,y)=,2数 代是因为该函数(7x2+y2 丰 0 x2+v=o 在原点间断,).(A)在原点无定义(B)在原点二重极限不存在(C)在原点有二重极限，但无定义(D)在原点二重极限存在，但不等于函数值7,=|yjl-x2-y2dxdy I2=|x2-y2dxdyb x2+y2,2，3(C)I ,2 1 【3(D)2 dx15、计 算2E评阅人JJ(x2+y2)dxdy,16、计算二重积分卷，其中o 是由丁轴及圆周厂+一象限内的区域.=1所围成的在第一评分一评阅人17、解微分方程y=y+x评分 W人V (J-+1 -J /3-1)18、判别级数，I
3、 的敛散性.一评分.评阅人19、将函数3-x展开成x的幕级数，并求展开式成立的区间.20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R（万元）与电台广告费用X （万元）的及报纸广告费用（万元）之间的关系有如下的经验公式：R =15 +14 玉 +3 2%2 8 M 元 2 10 方求最优广告策略.四、证明题（每小题5 分，共10 分）一评分一.dz dz 1-x-F y=-21、设z=l n(x 3+W),证明：&-8 38 00 0022、若=与 自 都收敛，则 自 )收敛.06年B卷一、填空题(每小题3分，共15分)评分1、f(x-y,-)=x2-y2 设 x
4、，则 J(X一2、(!)=正已2 知 则3、设函数八x,y)=2x2+or+2+2 y在 点 取 得 极 值，则常数4、已知了(x，y)=x+y(x+J4+a r c t a n y)4|j t(l,0)=5、以丁=0+。26 3(。”。2为任意常数)为通解的微分方程是二、选择题(每小题3分，共15分)p+0 C _ 丫 re dx6、已知J。与NMx均收敛，则常数。的取值范围是().(A)，(B)，(C)一评分一3卷 1 )0 ,2 (C),1 0 v X求二重极限下。y一评分一评阅人z=arctan-x-+-y _d2z13、设 1 一 xy,求 SY.一评分一评阅人14、用拉格朗日乘数法
5、求/（x，y）=町在满足条件x+y=1下的极值.评阅人f dxf15、计算J。Jo.11评阅人ylx2+y2dxdy,16、计算二重积分。，其中。是由y轴及圆周厂+（了在第一象限内的区域.一1尸=1所围成的评阅人17、解微分方程孙”+了=.评阅人18、判别级数的敛散性.评分评阅人f（x）=1 9、将函数 一%展 开 成（X-3）的辱级数.评分iW人2 0、某工厂生产甲、乙两种产品，单位售价分别为40元和6 0元,若生产x单位甲产品，生产丁单位乙产品的总费用为2 x +3 0y +0（2 x 2 _ 2肛+3/+1 00,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.四、证明题（每小题5分
6、，共1 0分）一评分一2 1、设a =l n j l +y 2 +z 2 ,证明d2u d2u d2u dx2 dy2 dz2 _ x2+y2+z207年A卷一、填空题（每小题3分，共1 5分）嬖1、设2 =%+丁+/。y）,且当 =o时，z =Y,则2=,2、计算广义积分L 了二.3、设2 =4，则小1山）=4、微分方程/-5 7+6 y =x*具有 形式的特解.85、设中=4则二、选择题（每小题3分，共1 5分）评分l i m.v-06、尸 3 s i n(x2+j?2)2 2厂+的值为（).(A)3(B)0(C)2（D）不存在7、&）,%）和AG。，%）存在是函数/a，y）在点a。，为）
7、可微的（).（A）必要非充分的条件（C）充分且必要的条件（B）充分非必要的条件（D）即非充分又非必要的条件8、由曲面z =）4-低一己和z =0及柱面厂2+2 =11所围的体积是（).(A)Jo Jof -尸”(C)Jo Jo _42 d e f V 4-r2d r(B)Jo Jo2 Ir V 4-r2 d r(D)Jo 几9、y 3设二阶常系数非齐次线性方程=.4、微分方程_/6 y +9y=5（x+l）e 3 x具有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 形式的特解.y 3 +15、级 数 合9 的和为.二 选择题（每小题3分，共1 5分）3 s i n（x2+y2）h m-x-0 +
8、V26、）一。y的值为（）.评分(A)(B)3 (C)2 (D)不存在7、/（%、）和43外 在（知 为）存 在 且 连 续 是 函 数/（，了）在 点（/，为）可微的（）.（A）必要非充分的条件（B）充分非必要的条件（C）充分且必要的条件（D）即非充分又非必要的条件8、由曲面Z =j 4 _/_ y 2和z =0及柱面W +y 2=4所围的体积是（）.f d e r44-户 dr(A)J o J oJ 0 Jo4广 呵 力4-尸（B）。4 P d e一 户 d r（D）J o J od r(C)9、设二阶常系数非齐次微分方程v+p y +4 y =/（x）有三个特解乂=/,%=e%=”二则其
9、通解为（）.（A）C,（ex-e2t）+C2（e2jc-x2）C,x2+C2er+C,e2x（C）%+G e +C?e （口）x2+G（e*e-）+G（x2 e*）i o、无穷级数白 庐（为任意实数）（）.（A）无法判断（B）绝对收敛(C)收敛(D)发散三、计算题(每小题6分，共60分)一评分一一评分一评阅人r2-y/xy+4hm-A 0 XV11、求极限G。评分iW人0白12、求 由 在 区 间 2 上，曲线 =sm x与直线转体的体积.71X 2丁=所围图形绕无轴旋转的旋E评阅人dz dz13、求由e 一七=外所确定的隐函数z=z(%y)的偏导数&办.一评分一评阅人14、求函数%+萌的极值
10、.一评分一评阅人15、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R（万元）与电台广告费用与（万元）的及报纸广告费用（万元）之间的关系有如下的经验公式：R=15+14%+32%2-8%2-1 Ox；若提供的广告费用为15万元，求相应的最优广告策略.|j（2x+y）dcro，其中D是由旷=（及=2所围成的闭区域.评阅人一、4-2 f（x）4-x =0 rz、17、已知连续函数f（x）满足J。，求A .一评分一评阅人18、求微分方程（l+f）y-2取=o的通解.评分而人之(X-3)”1 9、求级数山1的收敛区间.评分评阅人 c o s(n-x)2 0、判定级数2 加 是
11、否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛.四、证明题(每小题5分，共1 0分)一评分一2 1、设级 数 步 收敛，证 明 疆&州也收敛.答案一、填空题(每小题3分，共1 5分)-y)1 21、1 +y ,2、6.3、y,T.4、1.5、尸6 V+y =()二 选择题(每小题3分，共1 5分)6、(C).7、(B).8、(A).9、(D).1()、(D).三 计算题(每小题6分，共6 0分)31 1、求由)=x 2,x =4,y =所围图形绕y轴旋转的旋转体的体积.22解：=炉 的 反 函 数 为x=V，y0。且犬=4时，=8。于是(3分)（6分）24V=J：（4 2 -y）2dy=
12、1 6 （8-0）-ydy a 18 73 -3 -=1 2 8 -TT-y1=1 2 8 万一二（8 3 0）-Jo5 1 2=-712 2l i m /J +y 1 2、求二重 极 限，次+V+I T.（/+r）（7%2+/+1+1）=h m-5 H-解：原 式x5-0 r2-I-V2+1 1=1 i idx2 4-y2+1 +1）=2X f O Yy-0d2z1 3、z =z（x,y）由 z +/=xy确定，求力.解：设 F（x,y,z）=z +-犯，则Fx=-yf F,=-x,Fz=+ezdz _ Fx _-y _ y bz _ F、_-x天 _葭 _+然 _ +*dyFl-hez（3
13、 分）（6 分）xT+71 /Z 2 dzx+e-y e ,dzdy _ 1 个孙dxdy dyyl+ez）（1 +ez）2 1 +e 二（1 +ez）2（3 分）（6 分）2 2 i i1 4、用拉格朗日乘数法求z =x +y +1 在条件+旷=1 下的极值.z x?+（1 x）+1 =2 f 2%+211x=X=令 z =4 x-2 =0,得 2,z =4 0,2为极小值点.（3 分）（11）2故 Z-2+V+1在 y =i 一X 下的极小值点为2 2，极小值为2（6 分）计 算 JI同l d y V e；d x -e-解：Ji 8 2（6 分）J f（x2+y2W-2 2 ,1 6、计算
14、二重积分常，其中。是由丁 轴 及 圆 周 厂+旷=1所围成的在第一象限内的区域.解:x2+y2)dxdy户可,办D=J O JO=O17、解微分方程y =y +E解：令，=y ,)=p ,方程化为p =p+x,于是p=e )d(jxeddx+G)=e(jxedx+CJ=cx(x+l)e i+G =(x+1)+C xy=J pdx=|-(x+1)+C j ex dx=-(x+1)2+Cex+C2(6分)(3分)(6分)V (J/+1 -J/1)1 8、判别级数a 的敛散性.J/+_ J/_ =2解：J 3+I+J 3_(3 分).J 3 +_ J 3_ nGl i m-=l i m .=-/=1
15、 L +因为 痴(6分)11 9、将 函 数 二 展 开 成x的基级数，并求展开式成立的区间.1 _ 1 1X5 口-=tx解：由于 3,已知 句,-1 X-3x3（6分）20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R（万元）与电台广告费用与（万元）的及报纸广告费用（万元）之间的关系有如下的经验公式：R=15+14xj+32x?8%2-2x；1求最优广告策略.解：公司利润为 L=R%15+13乙 +3%8xjj 2x IQxj4 =13-8工2 -4%=0,4%+8X2=13,令 4=3 1-际-20马=0,即82+20X2=31,3 5（xpx2）=（-,-
16、）=（0.75,1.25）得驻点-4 4，而A=L-：Vi.rV|=-49 ,D=AC-B2=80 640,所以最优广告策略为：电台广告费用0 75（万元），报纸广告费用125（万元）.（3分）（6分）四、证明题（每小题5分，共10分）21、设dz.dz dz 1-x-F y=-Z =ltl（x3+y3）,证明：QX-Qy 3证:QX 1 V+y3dz dzx-F y x*dx dydz|户x3+y3算一%打 一%X3+y3 X3+y3（3分）3 1二炉+V，3（6分）22、右。n=l 与/i=l.都收敛，则+总收敛.证：由于。*（+乙尸=+可+2 ,M 42（：+4）,（3分）00 00 0
17、0Ev /+硝并由题设知日 与 g 都收敛，则 g 收敛，（%+匕）2从 而 T 收 敛。（6分）07（A）卷参考答案（可能会有错误大家一定要自己核对）一、填空题（每小题3分，共1 5分）、设2 =*+丫+/（万一丫），且当y=0 时，Z =/,则7=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。（x2-2xy+2y+y2）r+ccd x 12、计 算 广 义 积 分,X3=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。（2）3、设 z =二 ,贝 蜀（U）=o（e（dx+dy）4、微 分 方 程y -5 y +6 y=x x具有 形 式 的 特 解,（2 +加.2*）5、设三 篇出-力。二、
18、选择题（每小题3分，共1 5分）l imA-01、)-03 s in(x2+y2)x2+y27 的值为(A )A.3 B.O C.2D.不存在2、力*0,笫）和A（x。，孔）存在是函数/（“，、）在点（%。，）可微的A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；(A )oC.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面Z =J 4 _%2 _ y 2 和z=0及柱面f+y2=所 围 的 体 积 是（DrB._ _ _ _ _ ._ _ _ _ _4-r2d r 4（rd4-户 d r；D.J o J oJ。ddrj J d 6 j V 4-r2d rC Jo Jo4、设二阶常系数非齐
19、次线性方程y +”+y=/a)有三个特解力=壬乃=/二 则 其 通 解 为 (C)。x+Cxex+C2ex,B.Q-r+C2e+C3e2,C.x+G(ex-eZx)+C2(x-ex),D.C,(ev-*)+c2(e2x-x)（一 1 尸5、无穷级数=i n，（0为任意实数）（D）A、收敛 B、绝对收敛 C、发散 D、无法判断三、计算题（每小题6 分，共6 0 分）l im.A=-1、求下列极限：，5+1T。im/=1 而町（所+1）解：？而 不 T?+D T （3 分）=+1 +1）=1 +1 =2K TO YD（6 分）2、求由丁=五与直线=1、=4、y二所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积。匕
20、=（五）2 次解：J i （4分）=7.5 4（6 分）dz dz3、求由e二二盯2 所确定的隐函数z=z（x,y）的偏导数私 8。解：方程两边对工求导得：7 a z dz E _ yz _ ze =yz+xy =-.=-dx Sr,有&e 一盯 x（z-l）.（3 分）方程两边对y求导得：z dz dz dz xz ze =x z+xy =-=-办 外，有办 e-x y y（z 1）.分）4、求 函 数/*，内=3 -4 +2孙-V 的极值.解：/U,y）=x3-4x2+2xy-y2 则A(X,y)=3x-S x+2y 于 人 x,y)=2x-2y，九.(乂)=6%一8 (x,y)=2 fv
21、y(x,y)=-2,3 x?-8x+2 y =0,*求驻点，解 方 程 组 2 y =，得(0,0)和(2,2)(2分)对(0,0)有 几(0，)=一8 0,久(0,0)=2,九(0,0)=-2,于是 A C =-1 2 0,Q,2)不是函数的极值点。(6分)5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料，销售收入R (万元)与电台广告费用占(万元)的及报纸广告费用(万元)之 间 的关系有如下的经验公式:/?=1 5 +1例+3 2-8M-2玉2-1 0月.若提供的广告费用为1.5万元求相应的最优广告策略.解：显然本题要求:在条件以不，)=为+%-1 5=下，求R的最大值.
22、令尸=1 5 +1 3工 +3 lx 2 8X|X?2%12 1 0篙+A(x)+x2 1.5)(3 分)解方程组F；=13-8X2-4%j+2 =0,v F=3 1 8内一2(a 2+丸=0,F；=x,+x2-1.5 =0,(5分)得:=0,w=1.5所以,若提供的广告费用为1 5万元，应 将L 5万元全部用在报纸广告费用是最优的广告策略.(6分)6、计算积分0 X ，其中。是由直线=乂=2”及尤=l,x =2所围成的闭区域;粉6y-X2;=by-dXuo解3-2=9-42分67、已知连续函数/)满足J。/)2如)+;且/=0,求/(x)。解：关系式两端关于x求导得：f(x)=2/(x)+2
23、 V G)+1 即/+五,3-一 三这是关于了(口的一阶线性微分方程，其通解为：(2分)f=(-A/X+c)=yJX泉 T又/(D=0,即c l=O,故c=l,n 2 ,2y +-y8、求解微分方程 i-y =o。所以y=p p-+-p-=0解：令=，则 于是原方程可化为：盯l-y华+P =（）_ Slhdy _ z n2即小l-y ,其通解为，=G e =C|（y-l）y =-故原方程通解为：G x +Q寺（2）9、求级数g V 的收敛区间。pcY-Rt=li m解:令/=工一2,累级数变形为占无，.石00）1当f =T 时，级数为=。V收敛；当,=1时，级 数 为 自 助 发散.%+il
24、i m 坤L1T8 yjn10、00故占五的收敛区间是4=一 U）,y（x-2 r那么g 砺 的收敛区间为4=工3）.（5分）（6 分）（3 分）（5分）（6 分）（3 分）（5分）（6 分）之 s i n（2。）判定级数=|n-是否收敛,如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。s i n（2 x）1解：因 为 加 11-产一 1X-由比值判别法知，T 加收敛（2分）1.(n +1)!l i m -=0I而),（4 分）8z从而由比较判别法知=lsin(2 x)nsin（2 x）收敛，所以级数修 川绝对收敛.（6分）四、证明题（每小题5分，共10分）8 81、设正项级数g 收敛，证明级数
25、g4:3“+%+1）证：2,而由已知 2 收敛，故由比较原则,2、设/。2一2),其中/()为可导函数，dz _ 2xyfr证明：因为ax f ,bz _ f +2yW旷 f21&,1 3z 2yf,f +2y2f 1 z所以 xSx ydy f2 y f y f y2也收敛。（3分）Z 也收敛。（5分）1 dz 1 dz z-1-=-7x dx y dy y（2分）（4分）（5分）z=2cos2(x-)z=022、设 2，证 明：dt dxdt0 7 年（B）卷参考答案（可能会有错误大家一定要自己核对）一、填空题（每小题3 分，共15分）I、设 2=工+丁+/（-为，且当x=0 时，z =V
26、,则 z =_。（x2-2 xy-b2x+y2）r-dr2、计算广义积分L x2=0（1）1 23、设z =l n（l+V）,贝/加2）=o（34、微 分 方 程V-6y+9 y=5（x+l）1具有 形式的特解.（加+京）3 +1 5乙 Q T5、级数，I ）的和为。（8）二、选择题（每小题3 分，共15分）l i m1 0y-4 03 s i n(x2+V)2 2%+y的值为A、0B、3(B)C、2D、不存在2、t a 历 和力（%）在（/，必）存在且连续是函数/a y）在点a。，%）可 微 的（B）A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件
27、。1 .2 2 2 2 A3、由曲面z =4 x -J 和z =0 及柱面厂+丁=4所 围 的 体 积 是（B）4 尸 呵 力 4-B.J o J o；d e -d rD.J o J o4、设二阶常系数非齐次微分方程）+py+qy=/（x）有 三 个 特 解y=/,%=/二 则 其 通 解 为（D）A C,ex-e2 x）+C2（e2x-x2）.B C,x2+C2ex+Cye2x.&x2+C,e +C2e2 x；、+Q（ex-e2 x）+C2（-er）5、无穷级数占（P为任意实数）（A）f d e f 八1 4 户 drA J o J of d f 74-r2d r J o J oA、无法判断
28、 B、绝对收敛三、计算题（每小题6 分，共6 0分）C、收敛D、发散.2-,孙 +4l i m-X V1、求下列极限：，句,。.2-dxy+A-4-(x y +4)l i m-=hm-.K 2,浅 孙 微 qQ+J孙+4)-1=l i m，2+g+4 2+24（3 分）（6 分）|U,J _.x =2、求 由 在 区 间 2 上，曲线y =s m x 与直线 2体积。y二 所围图形绕X轴旋转的旋转体的Vr=2s i n2 x d x解：J o1 2 714dz dz3、求由1 一移z=孙所确定的隐函数z =z（%y）的偏导数及 办。（4 分）（6 分）解：(_)令 F(x,y,z)=e Z-x
29、 y z-x ydF 9F _-=yz y-=-XZ X则S x ,价利用公式，得dz-xydz _ QX _ yz y _ y z+ydx 竺 ez-x y e2-xydz _ dy _-xz-x _ xz+xdy 竺 ez-xy ez-xy（二）在方程两边同时对x 求导，得dzdz&-yz-xy=y解出dz _ yz+ydx ez-xydz _ x z+x同理解 出 冷 片 一 孙（3 分）（6分）（3 分）（6分）4、求函数f（x，y）=/T 2 D+8 y3的极值。解：/1（x,y）=4 T 2 xy+8 y3,则f（x,y）=3/_ 12y /y（x,y）=24y2-12xf，f （
30、x,y）=6 x G（x,y）=-12%（x,y）=48.y,3 x2-12y =0,0,所以（，）点不是函数的极值点.（4分）对（2,1）有 以（24）=12,4V（2,1）=7 2,4/2,1）=4 8（于 是 8-AC=l 4TI 2 4 ,且 A =12 ,所 以 函 数 在（2）点 取 得 极 小值,/（2,1）=23-12X2X1 +8XP=_8 （6分）5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R （万元）与电台广告费用与（万元）的 及 报 纸 广 告 费 用 （万元）之 间 的 关 系有如下的经验公式：R =15+14现+3 2-8当9-2x；
31、-10 后若提供的广告费用为1.5万元求相应的最优广告策略.解：显然本题要求:在条件双不，/）=玉+/-15=下，求 R的最大值.令尸=15+13 芭 +3 l x,8%1%22x 110 石+为+一1.5）（3 分）解方程组工=1 3-8%-4斗+/1 =0,O O 1由比值判别法知皿加收敛（！）,yn COS（/2 X）从而由比较判别法知 T ！收敛,c o s（x）所以级数M 加 绝对收敛.四、证明题（每小题5分，共10分）%口 。）1、设 级 数 I 收敛，证明 T 也收敛。I -I-+T）证：由于 2 ，（2分）（4分）（6分）（3分）V2 Y “+-!_）而 乙 凡，2都收敛，故-2 n-收敛，由比较原则知一 收敛.。（5分）z=2cos2(x-)2+z=。2、设 2,证明：dt dxdt证明：因为=-2-2co s(x-)sin(x-)-(-)=sin(2x-r)d2z 八、d2Z d2Z c c 、cZr=-cos(2x-r)=2cos(2x-r)=-2 dt2，dxdt dtdx dt2，2%+所以初一dxdt（2 分）（4分）（5分）