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1、微积分（下）试卷及参考答案1、已知，则_。2、已知,则_.3、函数在点取得极值.4、已知，则_.5、以（为任意常数）为通解的微分方程是_。6知与均收敛，则常数的取值范围是（c).(A)(B）(C)（D）7数在原点间断,是因为该函数（b）.(A）在原点无定义(B)在原点二重极限不存在(C)在原点有二重极限，但无定义（D)在原点二重极限存在，但不等于函数值8、若,，则下列关系式成立的是（a）。（A）（B)（C）（D)9、方程具有特解（d).（A)（B)(C)（D)10、设收敛，则(d）。(A）绝对收敛(B）条件收敛(C）发散（D）不定一、填空题（每小题3分,共15分)1、。2、。3、。4、1。5、
2、.11、求由,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.解:的函数为.且时，。于是12、求二重极限。解：原式（3分）(6分）13、由确定，求。解:设，则,，(3分)（6分）14、用拉格朗日乘数法求在条件下的极值.解：令,得,，为极小值点.(3分)故在下的极小值点为,极小值为(6分）15、计算。解：(6分)6、计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域.解：(6分）17、解微分方程.解：令，,方程化为,于是(3分）第 1 页 共 6 页微积分（下）试卷及参考答案(6分)18、判别级数的敛散性.解：（3分)因为19、将函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间。解：由于,已知，(3分）那么，.（
3、6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料，销售收入(万元)与电台广告费用（万元）的及报纸广告费用(万元）之间的关系有如下的经验公式:，求最优广告策略解：公司利润为令即得驻点,而（3分），,，所以最优广告策略为:电台广告费用(万元）,报纸广告费用(万元).(6分）四、证明题(每小题5分，共10分）21、设，证明：.证：22、若与都收敛，则收敛.证：由于，（3分）并由题设知与都收敛，则收敛，从而收敛。(6分)1、设，则_。2、已知，则_.3、设函数在点取得极值,则常数4、已知，则_5、以（为任意常数）为通解的微分方程是_。6、已知与均收敛,则常数的取值范围是（).（
4、A)（B）(C）（D）7、对于函数，点（).（A）不是驻点（B）是驻点而非极值点(C)是极大值点（D)是极小值8、已知,其中为,则()。(A）(B）（C）（D）9、方程具有特解（）.第 2 页 共 6 页微积分（下）试卷及参考答案(A)(B）(C)（D)10、级数收敛,则级数（)。（A)条件收敛(B）绝对收敛（C）发散(D)敛散性不定11、求，所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限.13、设,求.14、用拉格朗日乘数法求在满足条件下的极值。15、计算.16、计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域。17、解微分方程.18、判别级数的敛散性。19、将函数展开成的幂级数。
5、20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产单位甲产品，生产单位乙产品的总费用为,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.21、设，证明.22、若与都收敛,则收敛。（可能会有错误大家一定要自己核对）一、填空题（每小题3分,共15分）1、设,且当时，则。（）2、计算广义积分=。（）3、设，则.（)4、微分方程具有形式的特解.（）5、设,则_。（1）二、选择题(每小题3分，共15分)1、的值为（A)A.3B。0C.2D.不存在2、和存在是函数在点可微的（A）.A。必要非充分的条件;B。充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件.3、由曲面
6、和及柱面所围的体积是（D)。A。;B。；C、；D。4、设二阶常系数非齐次线性方程有三个特解，则其通解为（C）。A。；B。；C。;D。5、无穷级数(为任意实数）(D)A、收敛B、绝对收敛C、发散D、无法判断三、计算题（每小题6分，共60分）1、求下列极限：。第 3 页 共 6 页微积分（下）试卷及参考答案解：（3分）（6分）2、求由与直线、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.解：（4分）(6分）3、求由所确定的隐函数的偏导数。解：方程两边对求导得:,有（3分）方程两边对求导得：,有（6分)4、求函数的极值。解：，则，,求驻点，解方程组得和.（2分）对有，于是，所以是函数的极大值点，且(4分)对有,，
7、于是，不是函数的极值点.6、计算积分，其中是由直线及所围成的闭区域;解：。（4分）（6分）7、已知连续函数满足，且，求。解：关系式两端关于求导得：即(2分）这是关于的一阶线性微分方程,其通解为:=（5分)又，即，故，所以（6分）8、求解微分方程=0.解:令，则,于是原方程可化为：（3分）即，其通解为（5分）即故原方程通解为：（6分）9、求级数的收敛区间。解:令，幂级数变形为,.（3分）当时,级数为收敛；当时，级数为发散。故的收敛区间是，(5分)那么的收敛区间为。（6分）10、判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。解：因为(2分）由比值判别法知收敛（)，（4分）从而由比
8、较判别法知收敛，所以级数绝对收敛。（6分）四、证明题(每小题5分，共10分）1、设正项级数收敛，证明级数也收敛.证：，(3分）而由已知收敛,故由比较原则,也收敛。（5分)第 4 页 共 6 页微积分（下）试卷及参考答案2、设,其中为可导函数，证明.证明：因为,（2分)（4分）所以。(5分）一、填空题(每小题3分,共15分）1、设，且当时，则。（）2、计算广义积分=。（）3、设，则。(）4、微分方程具有形式的特解.（）5、级数的和为.(）二、选择题（每小题3分，共15分)1、的值为(B）A、0B、3C、2D、不存在2、和在存在且连续是函数在点可微的（B）A。必要非充分的条件；B。充分非必要的条件
9、；C。充分且必要的条件；D。即非充分又非必要的条件。3、由曲面和及柱面所围的体积是（B）A。；B.；C、；D。4、设二阶常系数非齐次微分方程有三个特解，则其通解为（D）A、；B、；C、；D、5、无穷级数(为任意实数）（A）A、无法判断B、绝对收敛C、收敛D、发散三、计算题(每小题6分,共60分）1、求下列极限：。解：(3分）（6分）2、求由在区间上，曲线与直线、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。解：(4分）（6分）3、求由所确定的隐函数的偏导数。解:(一）令则，利用公式，得（3分）（6分)（二）在方程两边同时对x求导，得解出,（3分）同理解出（6分）4、求函数的极值。解：,则，,，第 5 页 共
10、 6 页微积分（下）试卷及参考答案求驻点，解方程组得和。（2分）对有，,，于是，所以点不是函数的极值点。（4分）对有,，于是，且,所以函数在点取得极小值,（6分）（5分）6、计算二重积分，其中是由及所围成的闭区域；解:（4分）（6分）7、已知连续函数满足，求。解:关系式两端关于求导得：即（2分）这是关于的一阶线性微分方程，其通解为：（5分）又，即，故，所以（6分）8、求微分方程的通解。解这是一个不明显含有未知函数的方程作变换令，则，于是原方程降阶为（3分）,分离变量,积分得即，从而(5分)再积分一次得原方程的通解 y（6分）9、求级数的收敛区间。解：令，幂级数变形为，.(3分）当时,级数为收敛;当时，级数为发散。故的收敛区间是，（5分）那么的收敛区间为.（6分）10、判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛:解：因为(2分)由比值判别法知收敛（),（4分）从而由比较判别法知收敛，所以级数绝对收敛.（6分)四、证明题(每小题5分，共10分）1、设级数收敛，证明也收敛.证:由于，（3分）而，都收敛，故收敛，由比较原则知收敛。（5分）2、设,证明:.证明：因为，（2分），（4分)所以（5分）第 6 页 共 6 页