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1、中 南 民 族 大 学06、07微 积 分（下）试 卷及 参 考 答 案06年A卷因因、已知 x+x）-x y，贝 i /（x,y）=.2、已知，则.正J-0 03、函数/，y）=/+9+V y+1 在-点取得极值.4、已知/（x,y）=X +（x +ar c t an y）ar c t an y ,则.f；（l,0）=5、以y =（G+C 2 X）eM（G，a 为任意常数）为通解的微分方程是二、选择题（每小题3 分，共1 5分）砰分嬖fee dxe(-p)xdx,I,p-i 叫“z与x l n，x均收敛，则常数P的取值范围是().(A)P (B)P 1(C)P 2f(x,y)=-7数4x/+
2、广0,是因为该函数(x2+y2()/+)2=0 在原点间断,).(A)在原点无定义(B)在原点二重极限不存在(C)在原点有二重极限，但无定义(D)在原点二重极限存在，但不等于函数值A=JJ y ji-x2-ydxdy/2=JJ 1-x2-y2dxdy8、若/+,“*+，七 2 ,I3=JJ y jl-x2-y2dxdy2.+./“，则下列关系式成立的是().(A)人 右 ，3(C)A A ，3(B)，2 ，3(D)A 4 ，39、方 程-6)+9y =5(x +l)e3(具有特解(A)y=a x +b(B)y=(ax+b)e3x(C)y=x2+bx)eix(D)y =(ar +云 2)/*).
3、1 0、c o c of(T)工设 =l收敛，则 =l(A)绝对收敛(B)条件收敛).(C)发散(D)不定三、计算题(每小题6分，共60 分)评分评分评阅人3ii求由y=,x=4,y=所围图形绕 轴旋转的旋转体的体积.评分评阅人x2+y212、求二重极限limx f 0,y-0-yjx2 4-y2+1-1评分评阅人13、z=z(x,y)由 z+e1=xy确定，求私办一评分一评阅人271114、用拉格朗日乘数法求z=r+l在条件x+y=l下的极值.评 分评阅人15、计算一评分一评阅人Jf(x2+y-)dxdy 216、计算二重积分。，其中是由)轴及圆周厂+一象限内的区域.1所围成的在第一评分一评
4、阅人17、解微分方程y=y+x评阅人评分E +1 -1)18、判别级数，I 的敛散性.评分评阅人19、将函数3-x展开成%的基级数，并求展开式成立的区间.2 0、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R （万元）与电台广告费用为（万元）的及报纸广告费用*2（万元）之间的关系有如下的经验公式：7?=1 5+1 4%1 +32X2-8xtx2-2X-IOX,求最优广告策略.四、证明题（每小题5分，共1 0分）评分2 1、设Z =l n(/+y 3),证明:&1X-F V-=dx dy 30022、若 卒8CC与 亚 都 收敛,则？)2收敛.答案一、填空题(每小题3
5、分，共15分)(1-。1 21、1 +y.2、&.3、(一亍？.4、1.5、产 6 y*y =0二、选择题(每小题3分，共15分)6、(C).7、(B).8、(A).9、(D).10、(D).三、计算题(每小题6分，共60分)311、求由y=x2,x=4,y=所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.3 2解：二炉的反函数为x=v，y 。且=4 时，y=8。于是(3分)(6分)=%(4?-)2dy=16(8-0)-f ydy 3 18 73-3-=128万-%.尹7=128-(83-0)=-7112、解:求二重极限=limx-0原 式,T。limD-0+y 2J +J +U2+y2)(7x2+y2+
6、l+l)x2+y2+l-l=lim(-Jx2+y2+1+1)=2y-0(3分)(6分)13、z=z(x,y)由 Z+/=D 确定，求&解:设 F(x，y，z)=z+/一 町,则Fx=-y Fy=-x =+/dz _ Fx _-y _ y dz _ Fy _-x _%dx F _ 1 +e l+ez dy F.l+ez 1 +e”、/、l+e-yc”一3 z _ d(y _ dydxdy dyl-ez)(l+ez)2(3分)(6分)1ezxyl+/(l+y14、用拉格朗日乘数法求2=/+寸+1在条件x+y=i下的极值.解.z=x2+(1-x)2+1 =2x2-2x+21 1x=x=令Z，=4x-
7、2=O,得 2,z=4o,2为极小值点.(3分)(1 1)2故2=厂+)+1在)=1 一*下的极小值点为2 2，极小值为2俗分)(ydyeydx1 5、计算看 yri,v -3 1 -/=L dy ,edx=-e e2解：J2 卜 8 2(6 分)f(x2+y2)dxdy 2 21 6、计算二重积 分。，其中。是由y 轴及圆周*+y =i 所围成的在第一象限内的区域.f f(x2+y2)dxdy解：。(6 分)1 7、解微分方程y =y+解：令 P=)=P，方程化为p=p+x,于是p-e d x+G)=e*(jxexdx+C()=e-(x+1)*+C,=-(x+l)+G,y=j pd x=j
8、-(x+1)+Cte dx=(x+1)2+Cte+C2(3 分)(6 分)(+1 -1)1 8、判别级数=|的敛散性.J/+1 -J/-1 =/.2/=解：Vn3+1+Vn3-1 (3 分)Vn3+1 -vn3-1 nVn,li m-=li m-=-/=1“f -8 v3+1+m _ i因为 痴(6 分)1 9、将函数3-x 展开成x 的幕级数，并求展开式成立的区间.解:1 1 1-.-1 003T 3 X 上士由于 3 ,已知 l-x,=o -K x =击 力D 4 “=0 D=0 J 3 x 3（3 分）（6 分）2 0、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售
9、收入R（万元）与电台广告费用内（万元）的及报纸广告费用尤2（万元）之间的关系有如下的经验公式：R=1 5 +1 4X1 +32X2-8X,X2-2X,2-1 0 x；求最优广告策略.解：公司利润为L=R 一 一=1 5 +1 3%+3 1-2 犬；4 =1 3 -8 工 2-4%=0,（4xt+8X2=1 3,令 I=3 1 8 芭 一 20X2=0,即 8%,+20X2=3 1,3 5（x,x2）=（-,-）=（0.7 5,1.2 5）得驻点-4 4，而（3 分）A=L：=4 0,所以最优广告策略为：电台广告费用6 7 5（万元），报纸广告费用L2 5（万元）.俗分）四、2 1、证：证明题（
10、每小题5 分，共1 0 分）11 dz dz 1-x-F y=-设Z=l n Q 3+y 3）,证明：QX Qy 3dz _ 一/dz _ q p%d x r，dy-rV +y3 /+y3dz dz 算一 户x +y=x ：-r+y-rdx dy-!J I 1）x3+y3 x3+y3（3 分）（6 分）00 00 Q0EX （”“+乙）22 2、若用 与 I 都收敛，则 T 收敛.证：由于 0 W+匕，-=+V：+4 2（”；+匕；），OO CO QOI X Z2叱 记）并 由 题 设 知 =|与 =|都 收 敛，则 =1 收敛,(3 分)oo从而z T(“+匕收敛。(6 分)06年 B卷一、
11、填空题（每小题3 分，共1 5 分）评分1、f(x-y,-)=x2-y2设 x2、(!)=已2 知,则吼,则/（%，y）=3、设函数/（x，y）=2/+a x+孙?+2 y 在点（1,-1）取得极值，则常数a=4、已知于(X,y)=x+y(x+j 4+a rc ta n y)，则=5、以y=c+G/（C，C2为任意常数）为通解的微分方程是二、选择题（每小题3 分，共1 5 分）评分dx6、已知1 ”与 x l M x均收敛，则常数。的取值范围是().(A)(B)p 0(C)”1 (D)Z2 (C)7i 0 x+V6、旬 的值为().(A)3(B)(C)2（D）不存在7、/式/，%）和/（。，九
12、）存在是函数,但 历 在点（“。，九）可微的（）.（A）必要非充分的条件（B）充分非必要的条件（C）充分且必要的条件（D）即非充分又非必要的条件8、由曲面z=-一），2 和z=0及柱面/+）2=1 所围的体积是（）.de 774-r2 dr(A)Jo Jo de fV V d rJ o Jo4 R d。f1V 4-rdr(B)Jo Jo4 2d f r-/4-r2 dr(D)Jo Jo9、设二阶常系数非齐次线性方程）+p）+q y=/（x）有三个特解月=、，为=,%=片 二 则 其 通 解 为（）.（A）x+G e+G eC （B）Cxx+C2ex+C3ew X（C）x+G（e-）+G（x-e
13、）G（，-e?）-工）co10、无穷级数T(A)收敛(C)发散(1产np(P为任意实数)(B)绝对收敛(D)无法判断).三、计算题(每小题6分，共60分)评分一评分一评阅人xyhm f11、求极限？而 口 一1评分评阅人12、求由 =爪 与 直 线 工=1、x=4、y=所围图形绕X轴旋转的旋转体的体积.评分ww人14、求函数/（X，y）=-4/+2肛-y2的极值.一评分一评阅人15、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R（万元）与电台广告费用再（万元）的及报纸广告费用龙2（万元）之间的关系有如下的经验公式：R=15+14%+32X2-8%,%2-2x,2-1
14、0 x；若提供的广告费用为15万元，求相应的最优广告策略.一评分一评阅人16、计算积分ox，其中。是由直线y=x,y=2x及x=l,x=2所围成的闭区域一评分.评阅人17、已知连续函数/（X）满足=2(x)+x,且/=0,求/(X)评分ifW18、求解微分方程y2+-i-y尸=0.E评阅人V（-2 T19、求级数I 的收敛区间.一评分一评阅人名 sin（2x）20、判定级数占 ！是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛.评四、证明题（每小题5 分，共1 0 分）分Z*EWK+I2 1、设正项级数=i 收敛，证明级数=i 也收敛.2 2、设一 V）,其中/（）为可导函数，证明1 d
15、z 1&z-1-=x dx y dy y07（A）卷参考答案（可能会有错误大家一定要自己核对）-、填空题（每小题3分，共15分）1、设2=1+卜+/。一）0,且当y=0时，z=，贝 叱=_。/x2-2xy+2y+y2）dx 12、计算广义积分/=o（2）3、设 z=巴 则 九）=。（e（dx+dy）4、微分方程）-5 y +6 y =/具有 形式的特解.（。/+汝）/）1 uft-2”EM=4 E5、设 T ,则 T二、选择题（每小题3分，共15分）1XO (1)limX T()1、A.33sin(x2+y 2)2 2+的值为B.0(A)C.2D.不存在2、力。，。）和 4 a。，打）存在是函
16、数/a，y）在点a。，为）可 微 的（A）。A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面z=）4_J2 _。2 和z=o 及柱面/+V =1 所 围 的 体 积 是（D）。p2产I d0A.JoC、dO-drJo Jo4 d“j 4-，drB Jo Jo _4 P d e r -r2 drD.Jo Jo4、%设二阶常系数非齐次线性方程y +p y +=/（x）有三个特解x%=则其通解为A x +C)c +C e.(C)。B.C x+G (e -)+C*2(A T X).D.C|X+C*2+.G(e -x)5、A、无穷级数收敛O C=1
17、(1产n,（P 为任意实数）B、绝对收敛 C、发散（D）D,无法判断三、计算题（每小题6分，共60分）lim/孙1、求下列极限：？,孙+1一1。町（E+D解：？衍一 1?+D T （3分）=lim（y +1 +1）=1+1=2.（6分）2、求由）二瓜与直线=1、=4、y=所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积。解：V=7T f（yfx）2dxx 1 （4分）=7.5万（6分）&dz3、求由片=xyz所确定的隐函数z=z（x,y）的偏导数私 。解：方程两边对x 求导得：,dz dz 3 z y z ze =yz+xy 7Tdx S x,有&e-xy x（z-l）（3分）方程两边对y求导得：,dz d
18、z dz xz ze=x z +xy =-=-5y ，有 夕一孙 y（z -i）（6分）4、求函数/（居 切=/_4 1+2.一 丫2的极值。解：f（x,y）=xy-4x2+2xy-y 则fx（x,y）=3/-8x +2 y ,力（x,y）=2 x -2 y ,fw（x,y）=6 x 8,4，（x,y）=2,fyy（x,y）=-2,3 f-8x +2 y =0,V求驻点，解方程组 2 x 2 y =，得（0,0）和（2,2）（2分）对（0,0）有 九（0,0）=-80,4（0,0）=2 4（0,0）=-2于是82 A C =T 2 0,（2,2）不是函数的极值点。（6分）5、某公司可通过电台及
19、报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R （万元）与电台广告费用为（万元）的 及 报 纸 广 告 费 用 乙（万元）之 间 的 关 系有如下的经验公式：R =1 5 +1 4须+3 2-8x/2 -2 6 7 0后若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.解：显然本题要求:在条件以网，）=占+尤2 -L5 =F,求R的最大值.令 尸=1 5 +1 3玉 +3 l x?-2 x；-1 0 x；+“X +1.5）（3分）解方程组；=1 3 8 3一4网+/1 =0,F：=3 1-8-2 0 x 2+2 =0,F；=X,+X2-1,5 =0,（5分）得：X|=,超=L5所以
20、,若提供的广告费用为1 5万元，应 将1 5万元全部用在报纸广告费用是最优的广告策略.（6分）6、计算积分o ，其中是由直线丫=广=2 及x =l,x =2所围成的闭区域；解：D.（4分）（6分）7、已知连续函数/（X）满足且/（1）=0,求/（X）。解：关系式两端关于x求导得：f(x)=2/(x)+2 (x)+1 即/)*三 x)=一三这 是关于/(X)的一阶线性微分方程，其通解为：f(x)=e-f 2 x(Jf(-1)ejf 2 x+c)j=(S+c)=-1_ 7 X y/Xz./n _ n/二-J=一 又/=u,即。_1 =0,故c =l,所以 v xn 2 ,2y+-y8、求解微分方程
21、 i-y =o on dp dp 2 2y=P-T P4-+-p-=0解：令y=p,则 冲，于是原方程可化为：dy i-y立+2p=()心 2即办i y ,其通解为2=牛 =q(y i)光 Jg)2 T T W =cd xdx 即(y T)y =?故原方程通解为：J X +C2V(-2 T-3厂9、求级数=1 V 的收敛区间。V3 fl Rn 。1f=l i m =l i m尸一=1解：令t =x 2,累级数变形为,i防T,fi -v n8 1,（-1）”贵当t =T时,级数为=。收敛;0 0 1当t =l时,级数为 T 发散.故的收敛区间是（、-2）那么-I 的收敛区间为4=3）（2分）（5
22、分）（6分）（3分）（5分）（6分）（3分）（5分）（6分）s i n（2 -x）1 0、判定级数鹏 n 是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。s i n(2 x)2)x+y2/A.“、L/的值为().(A)0(B)3(C)2(D)不存在7、y)和y)在(,先)存 在 且 连 续 是 函 数y)在 点(/，打)可微的).(A)必要非充分的条件(B)充分非必要的条件(C)充分且必要的条件(D)即非充分乂非必要的条件8、由曲面z =也一1-)，22 2和z=o及柱面”+y4所围的体积是().f d e f r4-r2dr(A)J。J oJo Jo4 2d r v 4-r2d r(
23、B)J o J o4 pd。V 4-r2d r(D)白(C)9、设二阶常系数非齐次微分方程)+P)+=(x)有三个特解=/，为=e2二则其通解为().(A)(C)G(e，/.)+G(/x _x 2)x2+Ce +C2e2x(B)(D)C/2 +C2ex+C,e2 xx2+C,(ex-e2x)+C2(x2-e)CO1 0、无穷级数 T(A)无法判断(C)收敛(-1尸(，为任意实数)(B)绝对收敛(D)发散).三、计算题（每小题6分，共60分）评分评分评阅人2 J 孙+4lim-x f XV11、求极限1 评分评阅人0,-12、求 由 在 区 间 2 上，曲线y=sinx与直线转体的体积.兀x=2
24、=0 所围图形绕x 轴旋转的旋评分评阅人dz dz1 3、求由e 一x=肛所确定的隐函数z =z(x,y)的偏导数力 力.一评分.评阅人1 4、求函数/(x，y)=/_ 1 2 盯+8/的极值.评分评阅人15、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入 R（万元）与电台广告费用占（万元）的及报纸广告费用它（万元）之间的关系有如下的经验公式：R=15+14犬 +3 2.-8%|X2 2X 1 Ox；若提供的广告费用为1 5万元，求相应的最优广告策略.f(2x+y)Jcr ，其中。是由y=x,及 y=2 所围成的闭区域.评分评阅人1 7、f(t)dt+2/(x)4-x
25、 =0、已知连续函数/(x)满足J。，求/(X).一评分评阅人1 8、求微分方程(1 +/”-2町，=的通解.一评分一评阅人U-3)n19、求级数品的收敛区间.一评分一评阅人yCOS(n-X)20、判定级数与加是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛.四、证明题（每小题5分，共10分）评分 屋%（%0）21、设级数 日 收敛，证明 T 也收敛.Z=2COS2(X-)2 4 +=022、设 2，证明：dr dxdt07年（B）卷参考答案（可能会有错误大家一定要自己核对）-、填空题（每小题3分，共15分）1、设2=%+、+/。一只，且当.0时，z=）:贝=_ _ _ _ _ _ _
26、_ _ _ _ _ _。（x2-2xy+2x+y2）2、计算广义积分3、设Z =l n（l +/+y 2）,则 岗L 2）=o（3JV+3Jy）4、微分方程）-6 y +9y =5。+1短、具有 形式的特解.（*+.）/）.3+1 55、级数，I 9”的和为 o （8 ）二、选择题（每小题3 分，共1 5 分）1、A、03sin(x2+y2)x2+y的值为B、3C、2D、不存在(B)2、（x,y）和力（x,y）在（%,凡）存在且连续是函数/（X,y）在点（见，儿）可 微 的（B）A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。F.2 2 2 23、
27、由曲面z =4一厂y 一和z =o 及柱面厂+y =4所 围 的 体 积 是（B）d ef r V 4-r2d rA J o J o d e一一d r)J o4d6r j 4-B J o J o .n 2 I _4 Rd。V4-r d rD.J o J。4、设二阶常系数非齐次微分方程y +p y+q）=/（x）有三个特解必=*,乃=靖,2 x为=e ,则其通解为（D）A C|（c?-）+C,（?x）B C X+C,0 ,所以(，0)点不是函数的极值点.对(2,1)有 九(2,1)=1 2,%(2,1)=-12,/,(2,1)=48（3分）（6分）（3分）（6分）（2分）（4 分）于 是I 一A
28、C=144-12x48 ,所 以 函 数 在（21）点 取 得 极 小值/(2,l)=23-12x2xl+8xl3=-8 (6分)5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费用X（万元）的及报纸广告费用“2（万元）之 间 的 关 系有如下的经验公式：R=15+1钠+32%-以 也-2x；-104.若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.解：显然本题要求：在条件。(再，/)=匹+-L5=下，求R的最大值.令F=15+13犬 +3 lx2 8内12 2汇-1 +A(Xj+x2 1.5)解方程组=13 8X2-41+4=0,F=31
29、8玉一2042+4=0，F=X +%2 L5 0,得.2=0 x?=1.5（3分）（5分）所以,若提供的广告费用为15万元，应将L5万元全部用在报纸广告费用是最优的广告策（6分）fj(2x+y)da y=y=l6、计 算 二 重 积 分。，其中。是由 x及yjJ(2x+y)/T=j dy(2x+y)dx解：。y4(2户1/心=(6分)7、已知连续函数/一（X）、满足fJ f（t）dt+2f（x）+x=0，求/r（X）x。解：关系式两端关于x求导得:/(x)+2/V)+l=0B,J/，U)+2/(X)=-2这是关于/J)的一阶线性微分方程，其通解为:fM =e-jf2-(jr(-1 )ej隹2+
30、c)XX=-e 2(e2-kc)=-l+ce 2_x又/（0）=0,即0=T+C,故c=l,所以/（X）=e 2 18、求微分方程（1+/）_ 2H =0的通解。解 这是一个不明显含有未知函数y的方程2所围成的闭区域;(4分)（2分）（5分）（6分）作 变 换 令 方 P,则 学 噎 于 是 原 方 程 降 阶 为（）%一 2小。（3分）dp 2 x d x,分离变量 P 1 +/,积分得 l n|/?|=l n(l +.r )+l n|C,|_ X-./2、=C.(1+X-)即 p =G(l +x)，从而 dx再积分一次得原方程的通解X3G (1+刀)+0 2y=33）9、求级数g 的收敛区
31、间。&解:（5分）（6分）（3分）a=lim令1=-3,募级数变形为 一 8 un+l当,=一1时,级数为rt=0 7 n收敛;8 1当1 时，级 数 为 自 新 发 散故 6的收敛区间是/,=T，1）,y（X-3）M那么=的收敛区间为4 =2,4）.10、（5分）（6分）COS（H X）判定级数g n-是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛:c o s（n -x）oo 1由比值判别法知a ！收敛G ！），汽 c os（/i x）f c os（n x）从而由比较判别法知g n-收敛，所以级数I 疝 绝对收敛.四、证明题（每小题5 分，共10 分）酊”。）1、设级数”T 收敛，证明T 也收敛。（2 分）（4 分）（6 分）证：由 于 学 吟 +中（3分）而都收敛，故收敛，由比较原则知Z?收敛.。（5分）Z=2COS2(X-)2总+三=02、设 2 ,证明：dt dxdt。证明：因为&C c /八 /，、/1、./C =-2-2 c os(x )sin(x )()=sin(2x-1)dt 2 2 2（2 分）2所以前d2 z=-c os(2 x-r)肃+嬴=0d2z d2z。d2z-=-=2 c os(2 x-r)=-2-dxdt dtdx-dt（4分）（5分）