2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第18讲 奇偶数列问题（解析版）.pdf

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1、第18讲奇偶数列问题一、单选题1.(2021.陕西西安中学高三月考(理)数列 4 满足4=1,也,川=(+1)4+(+1),若“co号，且数列出 的前”项和为S ，则 S”=()A.64 B.80 C.-64 D.-80【答案】C【分析】由已知可得2 吟-4=1,即数列1%是等差数列，由此求出4 =cos，分别令n+n I n J 3 =1,2,3,11可求出5【详解】数列%满足4=1，叫用=(n+l)a,+/?(+1),则 也=%+1,n+n可得数列 个 是首项为1、公差为1 的等差数列,即有合 ,即为rIll,2 乃 2 2/71贝 ij bn=an cos=nr cos,贝 Ij=-(1

2、2+22+42+52+72+82+102+ll2)+(32+62+92)蓟+22-32-32+42+52-62-62+72+82-92-92+102+U2)x(5+23+41+59)=-64.2故选：C.2.(2021 全国模拟预 测)已知数列%满 足 卬+出=0,“,心+(_ 1)型。“=2,则数列%的前 2020项的和为()A.0 B.1010 C.2020 D.2024【答案】C【分析】根据对的分类讨论，令 =1,2,3,4 可 得%+4=4,%+4=0,进行归纳可得规律4*-3+4*-2=0 再进行求和即可得解.【详解】由4+2+（T）k a”=2q +4=（）,令=1,2,3,4 ,

3、a t 2+(-l)2 a=2可得“3-4 =2,a4-a2=2,两式相加可得+4=4,%+q =2 ,6 +&=2 ,两式相加以+%=。，%-4=2,4=2 =%+4=4 ,进行推论归纳可得。“一3 +。“-2 =。，4*-i+=4,k e N*,所以数列 4的前2 0 2 0项的和 为 等x 4 =2 0 2 0 .故选：C.7 7 7 r3.(2 0 2 0全国高三专题练习(文)数列 的通项公式为a”=c os卷，其前项和为S”,则S 2 0 2 1等 于()A.-1 0 1 0 B.2 0 1 8 C.5 0 5 D.1 0 1 0【答案】D【分析】an=nc os ,可得 02 1

4、1T =Q k-l)c os =0 ,ke,N ,a*=2kcosk兀=2k(-V)”.即可得出2 2$2021=。2+。4+2020，进而可得结果【详解】/an=7 2 c os ,c八 (2左 一1)乃 *二.明=(2 Z-l)c os-=0,k w N.a2k=2k coskr=2k(-Y)k.则 12021=%+a4+2O2O=2 (2-l)+(4 -3)+.+(1 0 1 0-1 0 0 9)=1 0 1 0,故选：D.【点睛】本题考杳了三角函数的周期性、数列求和，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题.二、填空题4.(2022江苏高三专题练习)设5”为数列 q 的前“项和，

5、S,+：e N*),则数列 S,的前7项和为.【答案】一 鉴256【分析】由数列的递推式：=1时，求得外,2 2 时，见=S“-S”一,讨论为偶数或奇数，求得见，进而求得5“，即可求解【详解】,斗 +:(-1)%.，=时，S)+=at,即 q+/=q,aA-,由已知 5,=(T)Z-g，当 2 2 时，a“=S“-S“T=(-1)%-1尸 a,-+击=(-1)%+(-1)的 +/(*),(*)式中为偶数时，a,=a“+%+,*=T，此时-1 为奇数，2/n为奇数时即”=2左 19 e N*)时，=一 击；(*)式中 为奇数时，4=-4 一。“一|+，2a-=-a,即a,i=-2 x(-击)+卷

6、=击，此时 一 1为偶数，为偶数即 =2 k(k w N)时，4=J ,由 S,=(-l)U-g,得为奇数时，s“=击-”为偶数时，S.=-/=0,.数列 的前7 项和为(l_l)+(1_l)+(_)+(_L._L4 2 16 8 64 32 256 1281111854 16 64 256 256QC故答案为：一噌njT5.（2021 全国 高三专题练习（理）已知数列 凡 的通项公式为=（+1）与11千（2）,其前”项和为5，贝!&=【答案】-36【分析】由Ck 钦-3十 4衣-2+&I+。必=16&+6,故8=c+0,进而计算即可.【详解】(4女 一 3)乃Q=4*-3+4*-2+4*-i

7、+4k=(4 左-3)(4%-2)-sin+(4Z-2)(42-1八)-si.n-(4-Z-2)乃+(.4攵.-.1八)一42-si.n-(-42-1)乃 +4Ak(4t攵 +l八)-si n 4k7T=(4k-3)(4 -2)X1 +(4%-2)(4/-1)x 0+(44-1)4/x(-1)+4k(4k+1)XO=-16Z+6,Ss=q+Q=16 x(1+2)+6 x 2=-3 6.故答案为：-36【点睛】本题考查数列的求和，解题的关键在于注意到Q+颊=-16%+6,进而将问题转化为求$8=4+。2得问题，考查运算求解能力，是中档题.6.（2021 新疆克拉玛依市第一中学高二月考）已知数列

8、4 的前项和为5.，4=1,且对任意的“e N”，都有.na2=|og2+“则$61=t +2=一”“+ig2 n【答案】5【分析】根据已知的递推公式，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】a2n=l0g2；+”.n+22,.+1=-+1 02-n,n,+2 i +22 n+2+,=log2+log2=log2 3 4 32$6i=4+(%+4)+(%+%)+(。60+%)=l+log2 5+log2+log2M=1 +log.3 4 32 一 2-3,五 尸+喧16=5.故答案为：57.（2 0 2 0 上海静安 高 一 期末）数列 4 的通项为=小si n拳则 前 10 项的和4+%+%

9、+4。=【答案】5【分析】利用si n引 e V）的周期性求解即可.【详解】si n肾的周期二三-4,当 =1,2,3,4时si n号 的值为 1,0,-1,0,贝 U 前 10 项的和 4+/+,+%（）=1 +。-3 +0 +5+0 7+0 +9 +0 =5,故答案为：5【点睛】本题考查利用数列的周期性求和，属于基础题.8.（2 0 2 1 湖北黄石二中高二期末）已知数列。“满足4=2,生=3 且a+2-a=1 +（-1）e N ,则该数列的前9项之和为.【答案】3 4【分析】当“为奇数时，。“+2-。=0，可得q=%=%=%=。9 =2,当为偶数时，4+2-%=2,利用等差数列的通项公式

10、及前项和公式即可得出.【详解】-a”=1+（T）,eN*,.当 n 为奇数时，。“+2 -a”=0 6 Z|C l-Q,C l y C l q=2 ,当为偶数时，a,*2-4=2,则数列 出“是以见=3 为首项，2的等差数列，（4x 3 、=3 4.故答案为:3 4【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式，分类讨论、分组求和的方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.9.(2 0 2 0.全国高三专题练习(文)已知数列 q 满足=则 4 前 48项之和为.【答案】1176【分析】先写出前几项与的关系，观察找规律发现相邻奇数项的和为2,偶数项中，每隔一项构成公差为8 的等差数列，由

11、等差数列的求和公式计算即可得到所求值，代入求解%前 48项之和即可.【详解】由 +(-1)4=2 一 1,则出=1 +4，q =3%=2 q,%=5+/=7 a 1，%=?一%=%,。6=9 +。5=9 +，=U-6 =2-4,%=13 +%=15-6 ,.可知相邻奇数项的和为2,偶数项中，每隔一项构成公差为8 的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可得到所求值.因(q+%)+(区+/)+,+(g 5+7)=2 12 =2 4,%+%+%+&+16 +趣=(生+4 +4。+%)+(%+%+8)，而出+。6 +4()+a 的=(l+4)+(9+q)+(89+q)540+12 q,+%+a4g=(

12、7-4)+(15 7)+(9 5 q)=6 12-2 q,所以数列 ,前 48 项之和为2 4+(540+12 4)+(6 12 T 2 a J =1176.故答案为：1176.【点睛】本题主要考查了数列求和的问题.属于中档题.10.(2 0 2 0 全国高考真题(文)数列伍“满足a,+2 +(T)4,=3-l,前 16 项和为540,则【答案】7【分析】对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用片表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立q 方程，求解即可得出结论.【详解】4+2 +（T）%=3 -l,当及为奇数时，%+2=。“+3-1；当为偶数时，/+

13、2 +%=3-1.设数列 的前项和为S”，56 =6 +。2 +。3 +4+。1 6=%+/+%+。1 5 +(。2 +。4)+(4+6)=%+(q+2)+(%+10)+(q+2 4)+(6+44)+(6 +70)+(q+10 2)+(4-140)+(5+17+2 9 +41)=86+3 9 2 +9 2 =8a,4-484=540 ,%=7.故答案为：7.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力,属于较难题.11.(2 0 18安徽池州高三期末(理)已知 数 列 满 足 q=-g,a“M=%a”+b”,且1 +(-1)2 .则 数 列 的 前

14、2 项和邑“取得最大值时，n=.2【答案】8.【解析】7由题知当为奇 数 时，包=-2,当为偶数时，=3 .又 她=6 汹+，可得=：.当“=2%时，有仁川 怎=2*+口”+生 出即3 a”+i =-2 a”+3 (1),当“=2%一 1时，有=打 见1+砥-1，即 一 2勺=3 由 可 得 心 一 ,则 他 J%.一 都是等差数3。(T)1歹$2 =(q+%+为+%-1)+(2+。4+%)=4+-5+2+I=-4+:2.则 当”=8时，取 最 大 值.故 本 题 填 8.12 312.(2 0 2 1河南郑州高二期中(文)数列 为 的前项和5,=2 -1 ,GN”.设b =q+(-1)an,

15、则数列低 的前2 项和耳=.答案=4-1)3【分析】2 n=2k ke N”项和转换可得%=2*，故 勿=c c,按照奇数项、偶数项分组求和，即得0,n-2k-1,K e N解【详解】由题意，a“=S,f,2 2S,7?=12-,n21,二 1:也=a“+(-l)a=2a/t,n=2k,k e N*0,n=2k-l,k E N2,n=2k,kwN G,n=2k-l,keN T2n=(4+%+.+b 2n7)+(4+d +打”)c2 c4 3 4 .2 A H 4(1 4)4(4-1)=22+24+.+2-M=4+4-+.+4n=-=-1-4 3故答案为：4(-1)313.(2020江西鹰潭一中

16、高三期中(文)数列 ,满足：a =(-lf)(2 n-l)2,则 4 的前2n 项和 S2=.【答案】-8n2【分析】先 求/“1+%,=8-(1-2)，再利用并项求和，即可得答案；【详解】出2 +%=2-(2-1)-记 _ 2.2 -铲=(4“_ 3)2 _(4-1)2=(8w-4).(-2)=8.(l-2 n),$2=(|+%)+(4+4)+(4”-|+%”)=8-(l-2)+(l-2x2)+.+(l-2xw)=8 n 2x-=8n,故答案为：-8 214.(2018浙江台州高一期中)已知数列%的前项和S“=22,乂.求数列 4 的通项 公 式 为.设=2%+(-1)%，求数列低 的前2“

17、项和l=.【答案】a=4n 2 16n2+4【分析】根据S=2/r(e N*)写式了 5+1=2(”+炉，两式子相减整理得4 =4-2,再验证相=1时是否成立，即可写出通项公式.由已知可行也=2x(4-2)+(-l)(4-2),运用分组求和即可得到答案.【详 解】.S,=2 2(”M)，.S,用=2(+l)2，由 -可 得：。用=4+2,即=4-2,乂 当”=1 时，有S 1=2 x/=l=q=1 满足=4-2 ,/.an=4n-2 -由己知可得：%=2x(4-2)+(-i r(4 -2),Tn=bt+b2+b3+-+b2n=al+3/+%+34+3“=(q+/+%,i)+3+%+%,)“8-

18、4)(8+4),?=-i-L+3x-i-L=1 6/+4，2 2所以 J-2；T=16n2+4 .【点睛】本题考查已知数列前”项和 为S”与。“的关系求通 项，注 意 验 证 =1是否满足，考查分组求和，属于中档题.15.(2021全国高三专题 练 习(理)在 数 列 4 中，4=lq+1=3 a“2T(e N),记cn=3-2x(-1)Aa,若对任意的eN*,c向c“恒成 立，则 实 数4的取值范围为.3【答 案】-1z(-2广,4恒 成 立，讨论的奇偶即可求出.【详解】.-=0,.-A-=0,即 勺=2一,2 2 2 2 q,=3-2 x(-1)2 2=3-(-2)Z,又对任意的 e。”恒

19、成 立，即 3+|-(-2)+/1 3-(一2)2,即3T(_2)T亘成立，当 为奇数 时，恒 成 立，此 时(-|)的 最 小 值 为1，则 九 的最大值为-3 BP2-13,3综 上，2 1.3故答案为：-7V尤 (-2)T%恒 成 立，再利用数列的单调性求出最值.16.(2020江西省修水县英才高级中学高二月考(理)已知数列 为 的 前”项 和 为$“，若7 7 4-1 1 7%=婴，不 等 式(T)U S“+号 对 一 切 eN恒成立，则实数力的取值范围为【答 案】5 1525T【分 析】先用错位相减法求和，再结 合”的奇偶数即可求解参数范围.【详 解】1 _ 3 5 7,2n+l25

20、-=F+F+F+1 3 2 2,2 2n+l2 =2+F +F+L+乎 由(-D *+券 得(-叱 5-(2+5)出+篇则(T)M 5 1 一 出当 为 奇 数 时，有 一义 -|当”为偶数 时，有所以衣 卷综 1/的取值范围为故答案为:【点睛】关键点点睛：结合错位相减法求和，并讨论是奇数勺偶数判断4 的取值范围是关键.17.（20 20.河北.石家庄二中模拟预测（文）已知数列 4 的前去项和为 模,对任意E,=(-l)Z +/+2-6 且(%-p)(q-P)0 恒成立，则实数。的取值范围是一【答案】卜常)【分析】由 S”+2-6 ,可得=-q+；-4,解得 q,当 22 时，-S Sn_t,

21、化为：1+(-1严%=-最+2,对”分类讨论，利用数列的单调性、不等式的性质即可得出.【详解】.S,=(-l)Z,+2-6,1 7.,.q=-4+5-4,解得q=一“当“2 2 时，凡=5,5,1=(-1)4+/+2-6-(-1 严%+击+2(-1)-6，化为：1+(-1 严 口 =(-1)&T-+2,、当 n=2k(左0N*)时，=-2+/,即 =-2+,4 2 A l=-2+当，=2Z 1 (k w N*)时，化为 2%=%_ 三+2,a2k-2=-2C a2 k-1 +C2 1 ，a2 k=-2C 。C 1 右 12&+1+2 =6-,-p)(-p)V o恒成立,=|H =2(k Q N

22、*)时，(一。2人+1)(一。2人)0，-2C +71 6/-产1，当=2%1 （k w N*）时,（夕一出人）（夕一%人-1）V。，c 1 ,1-2+产 6-产 7 23.pa,J 的前 n 项和.【答案】-1：（一 2）-（【分析】（1）由已知S“=j+f,令 =1,求 出 鬻|再令 2 2,a“=S -S w 求出等比数列的公比，由 丝=4,即可求解；q（2）由（1）求出 4 通项公式，可得数列（cos,m）-%为等比数列，根据等比数列的前项和公式，即可得出结论.【详解】（1）令 =I,则由 S“=a“+f 可得耳=&2+,，当“22 时，由 S“=%+，可得 S,i=a“+f,两式相减

23、,可得4=凡*|一4，即4用=2%,依题意，q 为等比数列，故生=2=1 t =-1；（2）由（1）可知 4 为首项等于I,公比等于2 的等比数列，故q,=2，故（cos 兀）y 为首项等于T ,公比等于-2 的等比数列，故 a“=（T）（-2）。故 7；=1 1 1 =入 _ 2）-1“1-（-2）3V 7 3故答案为：一 1 1（一 2）1 9.（20 21 浙江高二课时练习）数列 4 的通项公式为a“=（-l）”小c o s -l,其前20 20项的和为.【答案】-1 0 1 0【分析】根据通项公式依次计算数列的各项，利用（-1）和余弦函数的周期性，得数列的奇数项都是-1,偶数项依次2

24、项 2 项的和为0,由此可计算前20 20 项的和.【详解】an=(-1),-n-co s-1,ax=-co s-1 =-1,a2=2co s-l=-3 ,37rSjr%=-3 co s-l=-1,a4=4 co s2万-1 =3 ,a5=-5 co sj-l=-l%=6 co s3 乃一1 =7 ,t z7=7 co s 1 =1,为=8 co s4 乃一1 =7 ,由上可知，数列%的奇数项为-1,偶数项%+%=0,综+4 8=0，故答案为：-1 0 1 0.【点睛】数列求和的常用方法：设数列 ,是等差数列，依 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和：（2）错位相

25、减法:数列 仇 的前项和应用错位相减法；（3）裂项相消法：数歹i j 一 （k 为常数，a.x O）的前 项和用裂项相消法；anan+k（4）分 组（并项）求和法：数列。为+/“用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满 足%+为_,.=A（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和.20.（20 21 河南孟津县第一高级中学高三月考（文）记等差数列 4 的前 项和为$“，若（C OS （%乃）,为 奇数:%=1 8,=1 6 5 也=.（间,为偶数?，则+么+%广【答案】-1 0 1 1【分析】先求得4,然后求得2，由此求得正确结论.【详解】依 题 意

26、 I s恁：=4+34d 5=1”o,=故，=3,故“=3 ,当为奇数时，2=co s（3九 乃）二 一1 ；当为偶数时，a=sin（3勿r）=。,故 匕1 +匕2+匕3 T-匕2 0 21 =-1 1 1 .故答案为：-1 0 1 13%+1吗 为奇数21.（20 21 贵州威宁 高 一 期末）已知正整数数列 4满足以 尸 a 3甲 涮 则 当4=82,a1 岗时，“2 0 21 +%0 22+&23 =-【答案】7【分析】根据递推式求出数列的前几项，归纳出数列 ）从第二项起是周期数列，从而可得结论.【详解】由题总 4=4 ,%=2,%=1,“5=4,6=2,%=1,，数 列 从 第 二 项

27、 起 是 周 期 数 列，周期为3,所以“2 0 21 =“2+3 x 6 7 3 =%=4，20 22=4+6 7 3 x 3 =4=2,4 0 23 =4+6 7 3*3 =%=1，所以“2 0 2 1 +20 22+20 23 =1 +2+4 =7故答案为：7.22.（20 21甘肃 静宁县第一中学高一月考（理）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用斯表示解下（n 9,个圆环所需的最少移动次数，数列 m满足2a-1 为偶数 1 =1,且以=。M 1 V外和，则解下”（为奇数）个环所需的最少移动次数

28、为 2 a,-+2,”为奇数（用含的式子表示）【答案】2小（1W/W 9,为奇数）【分析】可得为奇数时4=44_2,即数列 4的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，即可求解.【详解】当 为奇数时，”-1为偶数，-2为奇数，贝ij an=2a,i+2 =2（2 a.2-l）+2=4 a_2,故数列 4的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列,”+1,.=1 x4 =2,-1（1 W W9,为奇数），故解下（”为奇数）个环所需的最少移动次数为2 i（1 W W 9,为奇数）.故答案为：2 i（1 W W9,为奇数）.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出数列 为 的奇数项形成以1 为首项

29、，4为公比的等比数列.3 al i+1,为奇数2 3.（2 0 2 1 全国高三专题练习（文）已知正整数数列%满足a田。为偶数，则当a=8 时，/（Bl=-【答案】4【分析】根据递推式求出数列的前几项，归纳出数列他“从第二项起是周期数列，从而可得结论.【详解】由题意。2=4,=2,4=1,%=4,6=2,%=1，数列他“从第二项起是周期数列，周期为3,所以 a2021=2+3x673=%=4 .故答案为:4.三、解答题2 4.（2 0 2 1 全国高二课时练习）已知 ,中，川+（-1）&=2 -1,求既的值.【答案】3 6【分析】先求出当 为 奇 数 时 中 项 与 项 的 关 系，再求出为偶

30、 数 时 中 项 与 项 的 关 系，即可求出前8 项和.【详解】解：当为奇数时，a”+i -a”=2n-,勺+2+/+1 =2（+D-l =2 +l ,以上两式相减可得：a+2+a=2 ,4 +3 =+%=2 ;当 为偶数时，%+|+。”=2”1，%-%=2（+l）T =2 +l ,以上两式相加可得：a+2+an=4n,a2+q =4 x2 =8,%+%=4 x 6 =2 4 ,Sg=。+。2+。3+。4+。5+。6+。7+。8=(%+3+5+7)+(。2+4+6+。8)=(2 +2)+(8+2 4)=3 6$8的值为3 6.2 5.（2 0 2 1.江苏.海安高级中学高三月考）已知数列 4

31、 的前项和为5“，且S =2 ,为奇数:，为偶数？（1）求 a,的通项公式;（2）设求数列 篮 的前2 0 项和4.【答案】（1）%=+1,为奇数？2-,为 偶 数?2）60【分析】（1）已知S,求凡,利用a“=S.,n =1 c 、。进行求解;S02 2(2)由第一问求出的何 的通项公式和题干中的条件求得T20.【详解】解：(1)当=1 时，q=国=2当为奇数,且 心 3 时,a“=S“-S“T=2-(-l)=+l,显然”=1 满足;当 为偶数时，a=S-Sn_t=n-2(n-l)=2-n。+1,为奇数，阴为偶数(2)3（%e N*）时，a2k 0：又A e N*,%j=-l 6（1）时，a

32、n 6（e N*）时，S S+l；因此=4时，5“取得最大值，且$4=10.【点睛】关键点点睛：在递推关系中见前面的系数出现型如（-1）的形式时，需要分奇偶来分别写出递推关系，从而求得通项或前项和，并借助单调性求得最值.27.（2021全国高三专题练习）设数列 4 是公差大于零的等差数列，已知4 =3,=4+24.（1）求数列 4 的通项公式；（2）设数列 2 卜满足2 =|Sin黑，求伪+4+%21.|_c o s a/（为偶数）【答案】（1）4=3；（2）1010.【分析】（1）设等差数列 q 的公差为d,由4 =3,a；=a4+2 4,即可求得答案；,s i n凡 万（为奇数）（2）因为

33、=/小便将、，求出当为奇数时，包=（），当鹿为偶数时，4=1,可c o s q 5为偶数）得 2 是以2 为周期的周期数列，即可求得答案.【详解】解：（1）设等差数列%的公差为d,丁=4+24（q+4=（4 +3d）+24,又 ,4 =3,（3+d）2=（3+3d）+24解得d =-6 或d =3,J 0,*-d =3,。“=3+3（-1）=3 n.,/=卜吊4,%（为奇数）=c o s c r（为偶数）当为奇数时,2=s i n34 =s i n万=0,当 n 为偶数时，bn=C O S3T WT=c o s O =1,故 他 是以2 为周期的周期数列，且4+仇=1,.伪+伪+%2 1 =1

34、010（4+a）+伪=1010+0=1010.28.（2020四川成都七中高一月考）已知数列/满足4=1,且=2%+2 （几.2,且nw N ）,（1）求证：数列/是等差数列；（2）设2=（-5（M,+（2”+l）2）,求数列 2 的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）-l-（-l）n+,（2n+l）.【分析】（1）由递推关系两边同除以2，可得祟-爵=1，即可证明；（2）由（1）求出%，代入。，利用相加相消求和即可.【详 解】,.4 =2%+2管亨+12 数列娱=2-图 为 等 差数夕1 J(2)由知 祟2=(2-l)2Tb=(-1)(3(2-l)2-+(2+1)2)+(2 +呜),=(一1

35、)(2_ 呜)-(一 1严(2 +1)(|)为 方 便 设/()=(1)(2-1)(I)，则 仇=/()-/(+1)A +b2+L+hn=/(D-f +/(2)-/(3)+/(“)一/(“+1)=/(l)-/(n+l)=-1 严(2+1)(|)【点 睛】本题主要考查了数列的递推关系，等差数列的定义、通项公式，数列的求和，考查了推理运算能力，属于中档题.29.(2021 重庆 西南大学附中高三月考)已知各项都为正数的数列%满 足q =4,-(4A -1 K+I-4 =0 .(1)求 J的通项公式；(2)若 数 列 他,满 足 么=a+(2”-5)c o s 兀(e N*),求 数 列 出 的 前

36、2项和.42N+,4【答 案】(1)%=4；(2)S,=+2n-.3 3【分析】(1)根据题设条件化简得到4M=4%,得到 4 为首项为4,公比为4 的等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解；(2)根据题意得到包=a.+(2-5)cosar=，4+5-2,=2k+l,N 八人，仙c u c,、,*，结合等比数列的4+2/7-5,n=2k,neN求和公式和分组求和，即可求解.【详解】(1)由 吮-(4。“-1)。“+1-4 4=0,可得(a“+|-4a“)(a“+l)=0,因为各项都为正数的数列%,可 得%+1。，所以,M=4a“，即 詈=4,所以%为首项为q=4,公比为q=4 的等比数列，

37、所以数列 4 的 通 项 公 式 为=4 4 一 =4”.(2)由题意，可得,=a“+(2”-5)cosrat=“，4+2n-5,n=2k,nE N则 也 的前2 项和为S2=4+5-2x1+42+2X2-5+4,+5-2x3+4+2x2”一 5=4+42+.+42+2(2-1)+(4 3)+.-+(2 葭-2+l)4(1-4)-42,+1-4=-+2=-+2 .1-4 3 330.(20 21江苏高二单元测试)已知数列 叫 满足4=1,。向=，5 可+，为数4-21 为偶数(1 )求出，。3；(2)设包=%”-2,求证：数列 2 是等比数列，并求其通项公式；(3)已知可，求证：一 +一+-1

38、.2 q j C 2c3%【答案】35(1)a2=,4=-22(2)证明见解析，bn=-(3)证明见解析【分析】(1)直接利用递推公式求牝，3；（2）利用定义法证明 勿 为等比数列，再求出通项公式;（3）先求出。=,用裂项相消法求和后直接证明.（1）因为数列 4 满足4=1,%=,/+小 为奇数,an-2,为偶数一 1 3 3 5所以 2=5 +=3，3=a2x2=4=.(2)%=%“+2-2=；02Kl+(2 +1)-2=g a2n+1+(2 -1)=；(%-4)+(2 -1)=；%-1 =g(%-2)=g 2.：4=%-2 =数列 hn的各项均不为0,M =g，即数列 是 首 项 为 公

39、比 为：的等比数歹U,(3)由（2）知%=lo g/J=k）gd=.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+-=F +V-?+，+7=1一 一+-+-=1 。，则 a+a,i 0,所 以%-a,-=2,所以数列 4“是首项为1，公差为2 的等差数列，/.an=l+(-l)x 2=2n-l,S=+_1)-2,：.a=2n-l,S=n2；(2)2&2 0“2 +4-怎)解：年=M+1 +M+5 4S,-S,i =2-1,为偶数=J?+2-册，为奇数即我=J+2-册，为奇数2-1,为偶数所以 =4 +匕2 T-卜 4 =(4 +优 +匕 5 +”7)+(优 +4 +”6+4)=6-1+石-G

40、+近-6 +必将+(3+7+1 1 +1 5)=3 8,即数列 a 的前8 项和1=3 8.3 3.(20 2L 全国高三期中)已知 ,为等比数列，勾+生=4,记数列也 满足仇=l o g 3 a 用，且%-4 =1.(1)求 4 和 也 的通项公式;(2-勖,)%为奇数(2)对任意的正整数”，设c“=b b+2 ，求%的前2 项的和$2”.。也，为偶数【答案】4=3”。b.=n；(2)52=94-L-|.I 3 2 2 +l J 3 2【分析】(1)设等比数列%的公比为q,分析可知9 0,根据已知条件可求得q的值，金额可求得4 的值，利用等比数列的通项公式可求得等比数列 ,的通项公式，在利用

41、对数的运算性质可求得数列 也 的通项公式；a“-1 OH+1(2)分析可得出c“=-n-+-2拉 为奇数，利用裂项相消法可求得奇数项的和，利用错位“3 T,为偶数相减法可求得偶数项的和，由此化简可得邑”的表达式.【详解】(1)设 等 比 数 歹 的 公 比 为 9,对任意的e N*，则=l o g 3 4+i，贝 J%,。，所以，q0,因为=l o g3 a+2-l o g3 an+l=l o g3吐=1,可得q =脸=3,%+i 4向因为 4+a?=q +q q =4q =4,则 4”【分析】(I)结合己知条件判断也“是等比数列，由此求得数列%的通项公式.(II)结合等差数列的定义证得 5

42、为等差数列.(III)结合分组求和法、错位相减法求得弓,.【详解】(I )依题意5“=2%-2,当 =1 时，q =2“-2,q =2,当 心 2 时，S“_ =2%-2,an=Stt-S“_ i =2an-2%9an=2%,所以数列 4 是首项为2,公比为2 的等比数列，所以4=2”.(II)仇=；4=1,nbll+l-(+1)/?,-rr+n,故 细-组=1,所 以 是 首 项为a=1公差为1的等差数列，n+n n)1且Z =/?.n（III）c+c=。一瓦22（2 22“T（2-1）22,1 2,1 2 4 4 2=2飞I）*t.所以=3x4+7x4i+（4 l）4 i,47；/1=3X

43、4,+7X42+.+（4H-1）-4-37；,=3+42+43+4n-（4-1）-416（1-4 ,、一 34“=3+-_ 4 一，-（4“一力4”，J=T +16（1 4T）（4-1）4 _-9 +16-44+（12 一 3）4I -9397+（-7 4 936.（2021.四川新者/高一期末）已知等差数列%中，4=2,6=3（为一生）,数列低 满足4=2,bn+l=2bn.（1）求 q ,低 的通项公式；（2）记5,为数列 4 的前 项和，试比较与2S,M的大小；_（34+?（4-2）,为偶数？（3）任意”e N,%=b，求数列，,的前2 项和.吐，”为奇数【答案】（1）a =n-2,优=

44、2；（2）答案见解析；（3）3 一 且 芋？+=9 18X4 T 4【分析】（I）利用等差数列的通项公式求出首项和公差，即可求”“的通项公式，利用等比数列的定义即可求 色 的通项公式；（2）利 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 和 求 和 公 式 求 出”与2s向关于的表达式，作差后分类讨论得到an+i-a与2S+1的大小关系；（3）先求出q,利用错位相减法求得奇数项的和，利用裂项相消求和法求得偶数项的和,进而得到前2 项的和.【详解】（1）由题意可得：4 +3d=2i3解得:%=-1d =故q=-l+(n-l)x l=n-2因为数列 2 满足&=2,加=沟,所以 2 是首项为2,公比为

45、2的等比数列,所以2=2 2T=2,(2)由(1)知：n+i-=(-2)(n-l)=n2-3M+2,Sn=(-1 +H-2)=4H-3)所以M+l(n+l)(n-2)222所以 2 s向=(n+l)(n-2)=n2-n-2,所以 2s川=-2 +4,所以当 2时，an+l-a2Sn+i,当=2时，+1 =2St l,当“2 3 时，an+l-an 2Sn+,；H(3)当 为奇数时，cn=当 为偶数时，q(3 一4)(-4)_ 一3 2+16n-16 _ n2-4n2+16几 一16rrTn2 4 216 +16 n2 iv-4n+4 n2(n-2)22”2-2 2 22对于任意正整数，有Z 4

46、-l =J +。3+一 +021*=|2 n-l,V _ 1N 0 2*T =+,一 +-4=1 乙2 -3 2 n-l,a 1?一得=2+2+2 2 n-1 4 1 2H-1Q2n-2n+l1 2 22n+,1 4TT1 34 4 I 2 n-l 5 8+6-33 3 42 2-4 6 6-4所以k=l10 6 +59 18X4T以及E%=令+。4+。2“r=l22 02 42 22 62 42 82 622 2 2。+2 2 +2 +2 2$工了(2 -2)十 d-222-O-2-1-4-/-=-n-2-2 4 4 T山“寻 S /1。6 +5 n2因 此 中 嗔%=7一7+广，所以，数列

47、 4的前2及项和为卜会Xy 1 U X 4 4【点睛】方法点睛：数列求和的方法倒序相加法：如果一个数列%的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和：分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如4=（T）“）类型，可采用两项合并求解.