《2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第17讲 绝对值数列问题（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第17讲 绝对值数列问题（解析版）.pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第17讲绝对值数列问题一、单选题1.(2021江西九江高二期中(理)若数列 4 满足 2 2 +1)2-6 06 7 ,由鼻2 2为偶数可确定上磔+1|=7 7 时取最小值，代入可得结果【详解】由 X+1|=|/t +2|得:x；+2xk=,+4x j +3,犬2022+2%2022=工2021+4工2021+3，021+2 0 2 1 =工2020+-2020+3,.，x；+2X3=X；+4X2+3,x；+2X2=x；+4%+3,x；+2xt=片+4x0+3=3,累加得 当22+2%0 2 2 =2(X +%2 H-)+3x 2022,二.卜 +-20211 =2|(2022+1)6 06
2、71 ,氏+1|=匕_ 1+2|,%=0,当人为奇数时，为奇数；女为偶数时，为偶数;则-2022为偶数，当|022+1 =7 7 时,|X j +X2-+-+芍局 取得最小值6 9 .当数列%满足Z=M&4 75）,X*=76（k 2 7 6 且 k 为偶数）,%=-7 9 （#2 7 6 且&为 奇数）时，符合条件.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系求解含绝对值的数列的和的问题，解题关键是能够通过累加法得到所求的和与数列中的项之间的关系，将问题转化为含绝对值的二次函数的最值的求解问题.3.（2021 四川省绵阳第一中学高三开学考试）已知数列 q 的通项公式4,=22-13
3、”，则14-4 I+1%I+1%a I _1 F|t?l 01=（）A.9 9 B.100 C.101 D.102【答案】C【分析】判断出数列 凡 的单调性和对称性，由此求得所求表达式的值.【详解】13由于4=22-13，对应的二次函数y =2f _ 13x 的开口向上，对称轴为兀=二.所以数列 4 ,当1443（n e N*）时，递减，当2 4 e N）时，递增，且根据对称性可知生 /，则9=（）.A.-49 5 0 B.-48 5 1 C.48 5 1 D.49 5 0【答案】D【分析】由数列%-为递增数列，得到（%+）+（%“一%1）0,进而得 出%HL%,0,又由数列%“为递减数列，得
4、到（2“+2 一%+I ）+（%,川 一6）0，得到。2“+2-0，得出当为奇数且2 3时，=2,当为偶数时，-.,=-n2,即可求解.【详解】因为数列%-为递增数列，所 以%-%用，即%（），则（%+1-%）+（%-由题意|%M-=（2+1）2 （2 n）2=1%,-6,1 1，（Till rb J（“2”+l 一 出“）+卜仇-出”|），”.产则由 I I I 得%用一。2”。，n w N，11a2/出1出 一%A ll因为数列%“为递减数列，所以%,%,+2,即知+2-出“（），则（%+2-川）+（%1 -6）。，由题意得,|%“+2%M =（2+2）2 （2+l）2=E+%|,由，(0
5、2+2-02+1)+(2+1 2 )|“3+1 2”|可得。2+2 -。2+1 ，.：al0an at2.aloo故|q-%|+|%一%|+|%-%|=（4-。2）+（2 -%）+（4 9 -ai 0）+（ai l _ 4 1 0）+（42.41）+（4（）0 一 9 9）=%2al（）4-tz1（M）=101 2x20+101=162故选：B【点睛】本题考查了不等式和数列综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题6.（2021.全国高二课时练习）已知血 是首项为32的等比数列，S“是其前项和，且=石,则数列 降 川 前 10项和为A.58 B.56 C.50 D.45【答案
6、】A【分析】由q 是首项为32的等比数歹1 5“是其前项和，且 兴=荒，利用等比数列前项和公式求出4,进而可得%=32（；严=2 7 3 厕|log2a|=|7-2 ,从而求数列|1。氏勺|前 10 项和【详解】S 65.%是首项为32的等比数列,5“是其前项和，且 寸=%，所以公比不为1,32（1-力_q _ 65 32（1-7）64,l-q:.a=32-)n-=27-2n,|log2aH7-2M|.数歹M|log24,|前 10 项 和 为5+3+1 +1 +3+5+7+9+11+13=58.故选：A【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前”项和公式的应用，考查对数的运算,考查运算能力7.(
7、2022浙江高三专题练习)已知数列卬=|2-,则 数 列q 的 前 项 和$,=2,+1-2 2-2n+18,(25,eN*)【分 析】首先讨论数歹乂2-4 的正负项，再以零点分解，求 数 列%的前项和S”【详解】设 数 列2-4 的 前 项 和 为4=2(：；)_4X41+H)=2向-2/_ 2-2，当2-4 =0,n w N ，解 得：=4,当 1 4时，2-4n 0,当 时，S“=-7；=-2“+2 2 +2+2,当 上5 时，S.=7；-2 n=2 向 一2 2-2 -2 +20=2 -2 2-2 +18,=卜2“+2/+2 +2,(14 4 4”N)W|1 ,-l2+l-2 n2-2
8、n+1 8,(n 5,n e/V),故答案为：Sn -2的+2/+2 +2,(1 4 4 4,”e N*)2“-21-2”+18,(2 5,e N)【点 睛】关键点点睛：本题考查含绝对值数列的前项和，本题的关键是判断数列正负项，从而分段讨 论S,与7“的关系.8.(2021上海.高一期末)设数列“是 首 项 为0的递增数列，函数(x)=|sin L(x-4“)|,x 凤,”,用满 足：对于任意的实数m e 0,1),力(x)=m总有两个不同的根，则 仅“的通项公 式 是。,=2【分 析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可 得 用-%=”万，再利用“累加 法和等差数列的前n项
9、和公式，即可求解.【详解】由题意，因为 4=0,当=1 时,/j(x)=|s i n x|,x e 0,a2,又因为对任意的实数，e 0，D，/(%)=，总有两个不同的根，所以生=，所以力(x)=s i n x,x e 0,;r,a2=，X又 fl(x)=1 s i n-(x-a2)=ls i n-(x-)|=COS-,XG肛a3,对任意的实数相 1),工。)=切总有两个不同的根，所 以%=3%,1 1 x又力(x)=|s i n(x-%)|=|s i n 5(x-3)|=c o s-,XG3,6 74,对任意的实数机可。，1),力*)=6总有两个不同的根，所以包=6 4，由此可 得%+1-4
10、=加,所以 4 1=q +(%4)1-卜-ar i-i)=1+4 H-n V)7r=,所以4=也 声.故答案为她 产.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及诱导公式，数列的递推关系式和“累加”方法等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题2 39.(20 21浙江模拟预测)已知正项数列 ,满 足=“一-4-2 =0 (e N,).n-n(1)求数列“的通项公式；(2)令%=|s i n詈-卞，记 瓦 的前项和为S“，求邑.【答案】(1)an=In(2)1 0 9 1-+337 5/34【分析】(1)由已知方程可得见=2/1或 结 合 正 项 数 列 即
11、 可 确 定 凡 的通项公式；(2)利用正弦型函数的性质判断 的周期，并求出一个周期内的项，最后根据周期求S2.(1)与 a/-二/-2=0 =(an+1)(2)=0 ,4=2月 或 q=g%为正项数列,an=2n(n N*)；(2),.T i a.3,.nn 3,bn=4 s i n -H s m-n 1 2 4 6 4 2 是周期为12的周期数列，z.7 i 3,_.1 3,1 ,.2K 3,7 3 3,x/3 36 4 2 4 4 2 6 4 2 4 2 4._.3n 3 3.1 .4兀 3/=|s i n -=|1-I =b4=s m -.6 4 4 4 4 6 4 _3 V 3 _3
12、-2_4 _ V_4Z),=|s i n -|=|-|=-,=|s i n -|=|0-|=-,5 6 4 2 4 4 6 6 4 4 4,.7?t 3.1 3,5 ,.8兀 3,G 3,6 3Z?7 =|s i n-|=|-|=-,=|s i n -|=-|=+-，6 4 2 4 4 6 4 2 4 2 4,.9 n 3.,3,7 ,.IOK 3,6 3,G 3V|s l n_ _ _|=|_l _|=_,o=l s n -I =|-I=T+-f t.l s i n -|=|-1-|=-,/j2=|sin-|=|0-|=-,1 1 6 4 2 4 4 1 2 6 4 4 4.-20 21=1
13、 2x 1 6 8 +5S20 21 =1 6 8 x(4 +%+/2)+(4 +2+么 +4 +%)=l6 8 x(l +_ 2 +.+2)+(l +_ 2 +l +_ 2 +l)=1 6 8 x(+2x/3)+(-)4 2 4 4 4 24 4 24 4 2 4=1 0 9 1-+337 /3.410.(2021.重庆.高三月考)已知数列 q,的前项和号二川+彳川彳6/?),且=6,正项等比数列 满足：=4，b2+b3=a2+a4.(1)求数列/和他,的通项公式；(2)若c.=|2-2 0 2 1|,求数列。的前项和T”.【答案】(1)a=2n,b“=2；(2)Tn-2,+1+202bj+
14、2,(n ll)【分析】利用公式a“=S“-S,i，2,求出的,再结合%=6即可求出；I 的值，再利用公式4=；-即可求出数列/的通项；根据已知条件列出方程，可求出数列他,的M 一3.1，之 2首项4和公比私 再根据等比数列的通项公式求解即可；20 21-2,(n 0),则4=4=2 也+4=%+/=2 伍+/)=12,所以d+q 6 =0,解得4=2 或乌=一3(舍)，所以2 二2.,2021-2,(7?ll)所以当 410 时,=202b l-(。+22+2)=2021 一 =2021-2.+2,当“N i l时，T=-(2021n-2,+l+2)+2Tl0=-202In+2,+l-2+4
15、0420-212+4=2n+l-202I n+40422-212,I-2 1+2021+2,(4 10)l!|J T 2),+-2021n +40422-2l2,(n 11),11.(2021江苏省通州高级中学高二学业考试)记数列 斯 的前项和为S”已知a i =l,Sn+1=4 an+1.设 d=4+1 -2a”.(1)证明：数列恰“为等比数列；(2)设 c“=|5-1001，T 为数列 a 的前项和，求 T i o.【答案】(I)证明见解析；(2)19 9 4.【分析】(1)通 过*+|=4斯+1写出式子的前一项，两式相减再变形即可求得d的前后两项的关系；(2)通 过(I)先求出&,然后对
16、 进行分类讨论，最后求出结果.【详解】(1)由 +1=4斯+1 得 S =4a“i+1(ri2,GN),两式相减得 an+4 a,i-a i(n 2),所以 a,i+-2ati=2(即 一2m-i),所以佗2时，”也詈=2叫2加)=2,b“_ i 凡一 an-2an_x又 0 =1,S2=41 +1,所以 42=4,2-2=2=。1和，所以数列 瓦 为首项与公比均为为2的等比数列.、,100-2z,n6所以 Tio=6OO (2,+22+.+26)+27+28+29+210-400=200-20一2)+27+28+29+2101-2=200+2+28+29+2=1994.12.(2021.江苏
17、.苏州新草桥中学高二月考)已知等差数列“中，公差d=2,的是和明的等比中项；(1)求数列“的通项公式；(2)设4求数列 的前 项和人【答案】(1)2n.(2)T.-+21/2,.2n 21?+220,.，(心12)【分析】(1)由题设条件，结合等差数列的通项公式，得到(q+2)2=q(q+6),求得4=2,即可求得数列 q 的通项公式；(2)由(1)知。“=2，求得=|11-|,通过去绝对值符号可知当411时，当“212时，bn=n-U,利用等差数列前项和公式进而计算可得结论.即可求解.【详解】(1 )的是。1和4的等比中项，所以4；=。必4，即(4+d)2=q(q+3d),又由d=2,即(+
18、2)2=4 (%+6),整理得q=2,所以数列%的通项公式为4=2.(2)由(1)知4 =2,w N*，当“SU-(S”-S“)=2SLS,-n2+2n n2-2In+220=110-=-2 2综上得：*二 n+2b?/2,(E l)7 22-21/7 +220/；，(心 12)【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求解，等比中项公式的应用，以及含绝对值的数列求和问题，着重考查推理与运算能力.属于中档题.13.（2021全国高二课时练习）已知数列 4 的前”项和为5“=14-/.（1）求数列%的通项公式；（2）求数列|。,|的前“项和7”.【答案】（I）。,=15-2,(2)(=I4n-n2
19、,n 8,H e N+【分析】Si,H 1 ，、（1）利用c、求解数列 0,J的通项公式；（2）由（1）由a,；0 得 4 当，然后分和“2 8 两种情况对Z,化简求解即可【详解】解：（1）当=1 时，E=1 4-1 =1 3,即4=13,当N2 时，=5,-=14/i-n2-14（/7-l）-（/7-l）2 =15-2n,=1 时，满足上式，所以“=15 -2/（2）由“*0 得 而 eN*,所以当 时，0,当“2 8时，a0,当 1 V 7 时，Tn=|al|+|a,|+-+|a|=6（1+a2+-+an=S =I4 n-n,当“2 8时,北=闻+同+同+同+同=q +-c i q （4
20、-卜 a“）=S7-（S-S7）=2S7-S=2-14+9 8，14 n-n2,l n 8,e A+【点睛】此题考查。“S”的关系，考查数列求和的方法，考查分类思想，属于基础题14.（2021 天津高三专题练习）已知有穷数列%共有2后项（整数A*4）,首项4 =2,设该数列的前 项和为S ，且a向=（a l）S,+2（=l,2,3、2 A I）,其中常数a l.（I ）求证：数列 ,为等比数列；（H）若。=2 /，数列出 满足 2=陛2。）5=1,2,3,2 A）,求3 3 3b-+么一万+砥一的 和（用女表不）.【答案】（I ）证明见解析；（H ）.2k-7【分析】（I ）利用。，与S“关系
21、，分别在”=1和2 42 1两种情况卜证得 也”，由此得到结论；（I I）由（I ）得到a,解不等式 4可去掉绝对值符号.将所求式子整理为（一2+41+8J 3+4+d-3）-9,结合等差数列求和公式可求得结果.【详解】(I )证明：当”=1 时，2 =(-1)x2 +2 =2 a ；：.-=a.当 2 4 4 2 k-l 时，a“+|=(a-l)S +2 ，an=(a-l)S,M+2 .(2),一得：+i-an=(a-l)n ,整理可得：-=；an综上可知：数列 也 为首项为2,公比为。51）的等比数歹(II)由(I)得：an=2an-4%-an=2 产+2+()=2 a =2 药,则”I唯
22、(q q)Jnnn(n-l)n+-2k-1=1+j2 k-l令2反即昌当可解得：心 心|，可得当 =1 2 3,3 时，h3 3n g；I.3|,3,3 p-2+Z，2-2+-+/?2 k-n.公+9-3=-2&7 2k 7【点睛】本题考查利用。,与 S”证明数列为等比数列、含绝对值的数列求和问题；解决含绝对值的数列的求和问题的关键是能够结合通项公式去掉绝对值符号，将问题转化为普通数列求和的问题.15.（2021.江苏.姜堰中学高二月考）已知数列an 的前项和为S,且 s“=2 4-2,数列出为等差数列4=3 q,b4=a5-2.（1）求q,也 的通项公式;（2）记%=4-仇，求数列 院|的前
23、项和乙【答案】（1）%=2：2=8 -2；（2）Tn4/+2 +2-2 叫 演 5 2向-4 2-2 +94,5【分析】（1）直接根据%,可 得 。“为等比数列，进而可得 为 的通项公式，根据，一 3”，2等差数列的概念即可得他,的通项公式;（2）根 据（1）中的结果可得当V 5 时，q,0,分为两种情况求数列 同 的前项和，即可.【详解】(1)当 =1 时，4=5|=2 4-2,得4=2；当 2 2 时，5.!=2an,t-2,由 a“=S -S7”,得%=2%.故 4 为等比数列，其公比为2,所以q,=2.由 =2 ,=3/,得 4 =6 ,打=%-2 =3 0,因为他,为等差数列，所以其
24、公差1 =8,所以=8-2.(2)因为 =2-8 +2,所以当“4 5 时，c 0.所以当“V 5 时，Tn=bx-ax+b2-a2+bn-al l=4 n2+2n+2-2+l.当 Z?5 时，T“=(fy a、+b?-a”-卜 aj+(a$t-F a”一 “)=2*4 -2 +9 4 .故数列 同 的前项和（=4/+2”+2-2%,52”-4 2 _ 2+9 4,5【点睛】本题主要考查了由q=0。求数列的通项公式，等差数列、等比数列中基本量的5-S.,n 2计算，分类讨论思想在数列求和中的应用，属于中档题.1 6.（2 02 1 海南嘉积中学高三月考）己知5,是数列 4 的前项和，且 5“=
25、2-9.（1）求;（2）求数列|%|的前项和为九【答案】（1）a=2n-10,”e N*;（2）一：九 一 9 +4 0,2 6【分析】（1）由S“=2-9，可得q=-8,时，由递推公式可得4,=2-1 0,wN*;（2）进行分类讨论，当I V 艘 M 5 时,an 0,即有方=-S“=9-2,当“2 6时，T“=S-S5-S5,故可求解数列|%|的前 项和为T.【详解】（1）由 Sn=n2-9 n,可得 q =S =-8 ,2 2 时，a =S-S _,=2-9 n-（w-l）2+9 n-9 =2 n-1 0,对 =1 也成立，可得4=2”-1 0,e N*;(2)当 1 4 4 5 时，0
26、,T=S-S5-S5=n2-9n+4 0,Q,.9 n-n2,l 6【点睛】本题考查数列的通项及求和，根据条件可判断利用递推公式求通项，注意验证=1 是否满足，数列求和利用分类讨论思想分段求和即可，属于中等题.1 7.(2 0 2 1 上海松江二 模)无穷数列%、电 、%满足：,an+i=b-cn,b,=c,-an,C+1=1 an -bn I(记4=ma x a“也,C“(ma x q,&c,J 表示 3 个实数 a,、b.、c,中的最大数).若 q=8,仇=4,c,=2,求数列 4 的前w 项和5“；(2)若q=-l,=1,ci=x,当xeR时，求满足条件4=4的x的取值范围；(3)证明：
27、对于任意正整数4、a、必存在正整数左，使得。川=4,bM=hk,cM=ck.【答案】(1)5“=2 +1 2,4；(2)1；(3)详见解析.【分析】(I)计算数列的前几项，可得所求；(2)计算第2、3 项可得所求范围：(3)先证明若为、&、Q亿2 2)中至少有一个为0,则另两个数相等，再证明若4、Q(kN 2)中都不为0,则4 M 4【详解】(1)由题可得,4 =4 =8;a2=b q=2 ,Z?2=a1-j=6 ,c2=%一 4=4&=b2=6 ；%=a-0 2 =2,A =。2-。2 =2,。3=a-4 =4,4 =0 3=4;“4=4-q =2,d=%C3=2,c4 =4-4=0,4 4
28、 =%=2 ；，可得”,=2 也=2,%=0,4,=2 (2 4).,.当 4 4 时,S“=8 +W(-2)=-n2+9 当 之 5 时,S =2 0+2(n-4)=2H+1 2$_ J-2 +9/2,7?5x+,x 1(2)由题,%=上一1|也=|X+1|,G=2,，&=1 X,x 4 -1|X+1|,0 X15X-3a3=|x-l|-2|=|x-l|-2|,c3=|x-l|-|x+l|d3=2,-3 x -1 或1 x 3|x-l|,-l x 3则若满足条件&=4,则x T1（3）证明：若4、4、q（Z N 2）中至少有一个为0,则另两数相等，设见=0,假设可得a则a=LT-%T|=|4
29、T-&=G,与仇 K C.矛盾，即=/,则=0 =%,+|=%|=c,此时必存在正整数鼠使得4+1 =akbM=bt,ct+l=Ck.若应、bk、ck（Z N 2）中都不为 0,则 九 ,设&=4,则%+|=h-q|m a x 4，q%,瓦八=|%-G 卜%,%=|%一|%.%=由 4+1,唠,4=4,此时4fc 一定严格递减下去，直至存在正整数加，使得4“+|=d,此时，4、4、/（左 2 2）中有一个为0,由可得命题成立.则对于任意正整数4、4、j,必 存 在 正 整 数 使得4”=4，bM=bk,/”=/.【点睛】本题考查数列的前项求和,考查分段函数，考查数列单调性的应用,考查归纳思想，
30、题目难度较大1 8.（2 0 2（上海市市北中学高三期中）已知以为首项的数列 “满足：1。用 1=1%+”（N ）.（1）当 4=-：时，且 一 140,写出 的、的；（2）若数列|勺|（l n 1 0,w e N*）是公差为-1 的等差数列，求生的取值范围;（3）记 5.为 q 的前项和,当4=（）时，给定常数机（，4,e N*）,求黑1 的最小值.【答案】（1）2=-|,3=-1；（2）（-o o,-9 J;（3）当m 为奇数时，S）,-最小值为一笠2；当加为偶数时，最小值为一3.【分析】（1）根据条件 卬=-；时，且及1/1=4 +1 1 即可求出（2）由条件可得 =1 0 时|蜀-9,
31、再分析出a,的正负即可求解（3）根据条件得到/=1，/=2或0,%=3,1,归纳，求和即可求出结论.【详解】(1)当4=-g 时，且/.0 l +q,1,I。2 1 T q+=!，；,%=一!，同理可得：=(2).-!|(l n 1 0,n e N,)是公差为 1 的等差数列，.同=同一(-1)鹿)，二同 n-,”=1 0 时，闻.9,.也/=|%+(“)，.-.an+l =(|al|-n),正号不成立，.1 4“=一同+-L,04,-9,(3)当4=0时,an+=(an+l),a2=1,%=2 或0,a4=3,1 ,V/J-1所以，阳为奇数，(Sg)mm=0T +0 7-1 +0 =一 ,，为偶数，(5 g)而.=0+1-2+3-(加-2)=-【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，分类讨论的方法，绝对值的应用,考查了推理能力与计算能力，属于难题.