《2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第19讲 数列的取整问题（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第19讲 数列的取整问题（解析版）.pdf（39页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第19讲数列的取整问题一、单选题1.（2021全国高三专题练习）设 正 项 数 列 的 前 项 和 S“满足+1），记国 表示不超过x 的最大整数，4=急+L若数列他,的前项和为北，则使得Z?2（）20成立的 n 的最小值为（）A.1179 B.1178C.2019 D.2020【答案】A【分析】-4 一 2一先通过项和转化，得到4-%=2（心 2）,继而可得则=升 万+1,分段ne1,5 0 5 ,ns506,1010,1,1515研究 的 取值，再求和即可【详解】S”=；（。“+1）一，令 =1，得4a=（+1）2，解得4=1.S”T=；（%+1 丫 ,n2,由-可得 =S-S_,=+1）
2、2-；（%+T，整理得（4 41-2）（q+0 1）=。根据 4,0 可知 4,-%=2（2）,则数列（）是首项为1,公差为2 的等差数列，=l+2（w-l）=2n-l,wN.当 el,505时,4-2s2018,b“=l；当“506,1010时，2020 4-2 4038.b=2,当时，4040 4/?-2 2020成立的n 的最小值为1010+169=1179.故选：A.2.(2022全国高三专题练习)设印表示不超过x 的最大整数，如 -3.14=-4,3.14=3.已知数列 如 满 足：。1=1,”+1=+l(n N)则 b 1 H-1-=()_a a2 3 2 02 0_A.1 B.2
3、 C.3 D.4【答 案】A【分 析】首先利用累加法求得数列 的通项公式，再 利 用 裂 项 相 消 法 求 数 列 的 前 项 的和,结合新定义即可求解.【详 解】由 小+1 =+1 得 cin-cin-j=n(n 2).又 0 =1,所以 an(an-an-1)+(an“一小-2)+(2-i)+a i=+(-1)+(-2)+.+2+1 =D ,故 选：A3.(2 0 2 1江西省吉水县第二中学高一期 中)高 斯 函 数 国，也称为取整函数，即 因 表示不超 过 工的最大整数.如：2.3 =2,-1.5 =-2.已知正项数列 q 的前项和为5，且满足1 (1 )11 1 一=T%+一，则 三
4、 +丁 +丁 =()，I an 7 口 6 4 .A.1 3 B.1 4 C.1 5 D.1 6【答 案】B【分析】首项利用数列a.与S,的关系，求 得S,2-5.,2=1，再求得数列 S,的通项公式，并利用放缩法求 得 +=+.+-的 范围,2%d6 4利用定义求的值.3|、2、6 4_【详 解】,得 S +S.T1S,1整理为S：-S“，=l，当 =1 时，5 -Si +=4，且4。，解得：4=S=1,2 粒 4所以数列 S“是 以 1 为首项，1 为公差的等差数列，则 S,2=1 +(,-1)X 1 =，所以 S“=Jn,ns N*,当心 2 时，=击*=2(GG),所以-1-1-F-/
5、6 4-l =1 5112 2Sn n 2yn /n+y/n 厂 21 =2(J-+1 -4n!n+l 7=2(7 6 4-1)=1 4,2 (V 5-1)+(G-码+(/_ 司 +(而 /7)一 一 1111y 1 1 1所以 1 4 7 +丁+7+丁 1 5 ,那么=1 4.3 64 S$2 白64故选：B4.(2 0 2 1 江西南 昌市八一中学高一月考)对于实数x,可表示不超过x 的最大整数.已知数列 叫 的通项公式%=五+：+五，前项和为S,则 Sj+S2+L+S5 0b().A.1 5 5 B.1 6 7 C.1 7 3 D.1 7 9【答案】C【分析】先对巴有理化，而后用裂项求和
6、法求出S“，再对的取值进行分类，得到S“的大致范围,从而确定 S的值，最后再求 Sj+S+L +S5 0.【详解】S 二 q+心+%+=(垃_1)+便_+(_+(71-6)=J +1 1当=l,2 H、j,V 2-l V/?+l-l V 4-1，7/1 +1-1 1 =0；当=3,4,5,6,7 时，/一1,+1一1 囱一 1 ,f x/n+l-l =l ；11 w=8,9,1 0,.,1 4 I b j ,/9 1 /n+1 /T 6 1 +1-1 =2 ；当 =1 5,1 6,1 7,.,2 3 时，V 1 6-l V w+l -1 V 2 5-1，J +l-1 =3 ；当以=2 4,2
7、5,2 6,.,3 4 时，7 2 5-1 7 3 6-1，J +l-l =4；当 =3 5,3 6,3 7,.,4 7 时，7 3 6 -1 n+-1 /4 9 -1，J +l -1 =5 ；当九 二4 8,4 9,5 0 时，7 4 9-1 V/2 +l -1 /6 4-l，V n+1 -1 =6.所以 Sj +q i+L+国 =2 x0+5 x1 +7 x2+9 x3+1 1 x4+1 3 x5 +3 x6 =1 7 3.故选：C.5.（2 0 2 1.河南.高二月考（理）定义函数 力=引，其中国表示不超过x的最大整数，例如，一 1=一2,=3 =3,当xe 0,矶eN）时，/（x）的
8、值 域 为 记 集 合4中元素的个数为。“，数 列 的前项和为5“，则邑=（）2 02 1 n 、4 04 0 c 2 02 1A.-B.2 C.-D.-1010 2 02 1 1011【答案】D【分析】根据题意，归纳出数列 4 的通项公式，结合裂项相消法即可求解.【详解】当 =1 时，x e 0,l）,x =0,x x =0,所 以 的 取 值 为 0,所以A=。，所以4=1;当=2 时.x e 0,2）,若 x e 0,l）时，x x =0,故x x =0,若x e l,2）时，x =l,x x =x,故x x =l,所以4=0,1 ,所以见=1 +1；当=3时，x e o,3）,若x w
9、 0,l）时，x x =（）,故x x =0；若x e l,2）时.xx =x,故%闻=1；若x e 2,3）时，x x =2 x e 4,6）,故x x =4,5,所以4=0,1,4,5 ,所以为=1+1 +2；当”=4时，x e 0,4）,若x e o,i）时x x =0,故中=0；若x e l,2）时，x x =x,故x x =l；若x e 2,3）时，x x =2 x e 4,6）,故x x =4,5,若xe3,4)时.XX =3X G9,12),故=9,10,11,所以 4 =1,4,5,9,10,11.所以 4 =1+1 +2+3：以此类推，可以归纳，得 凡，1 +2+(口 +,所
10、 以*=高2 22所 以S.=4 1 1 1 1 1I 2 2 3 n n+1-+-F1x2 2x3(+1)2 T2+n1所 以S,=幽=也2022 1011故 选D.6.(2021 四川射洪模拟预测(文)定义函数f(x)=x ,其 中 国 表 示 不 超 过x的最大整数，例 如：口.3=1,-1.5=-2,2=2.当xe0,时,A x)的值域为4.记 集 合42020 中 元 素 的 个 数 为 明 贝%E的 值 为()4040A.-2021八 2019B.-20212019 2020c 2019D.-1010【答 案】D【分 析】先根据条件分析出当x e 0,)时，集 合4中的元素个数为a
11、,进而可得朋=2,再结合裂项相消法进行求和可得结果.【详 解】因为可=,0,xe0,l)l,xel,2)2,X G2,3),所以 xx=0,凡+|+见 0，+i 9=1，.数列%是首项为L 公差为1 的等差数列，./“=，几+1 _12,=1n J 11,?.2_ (1+)(+1)2 _(+1)2 _ H+1 一-2-2Sn n(l+n)T.5 +1)2.bn=L-2-s-.-.=2+1 +1 1 =2+2020=20222020 个故选D.【点睛】本题考查数列的前项和.属于中档题.根据题意判断出数列 4 是等差数列是解本题的关键.10.(2021全国高三专题练习(文)已知数列也 满足q=1,
12、+,n G N其中国表示不超过实数X的最大整数，则下列说法正确的是()A.存在“c N*,使得B.卜,-g 是等差数列C.%020的个位数是4 D.%021的个位数是3【答案】C【分析】-a”2 2/2_ 1而得出0,5a+a-l 4+/-2 5an+an ，根据条件结合取整数的定义，可3/T 2-2-4,-2-an 2 L 2 所以数列 为递增数列，故4 =1 .所以有a“-1=亚-2勺+1 ,_；1 1由此可得4+i=2=3%-1,得a“*=3%一 孑，又4一弓=孑，乙 乙 乙）乙 乙故数列1 4-3 是以3为首项，3为公比的等比数列，因此4,-；=；x 3 i,所以=；（3 小+1），因
13、此A,B错.3。的个位数为1,3,的个位数为3,3?的个位数为9,3,的个位数为7,的个位数为1,3,的个位数为3,不难发现3”-的个位数的周期为4.由于20 20 能被4整除，20 21被 4除 余 1,因此4。2。的个位数 为?=4 ,出必的个位数为（=1，因此C对，D 错，故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查新定义取整数和求数列的通项公式，解答本题的关键是利用取整数的性S .2 1质，对数列的通项进行放缩由a ,5i z+a-l +2 2 5”,+%.得出3a-1 -5-采用分离常数的方法可求得S,的最小值，由恒成立的思想可确定，由此得到r的最大值.【详解】由题意得：./(X)=也+了-
14、3 a/-4*2,x=1 是 f (x)的极值点，:广=4a+t-3-n+2=0,-a+l=3(a+l-a ),又%-4=3-1 =2,数列。向-右 是以2 为首项，3 为公比的等比数列，.0 a,=2 3 T,又=2-32,an-an_2=2-3-3.a3-a2=2x3,a2-at=2x3,1I _ 1 I=陶=I。&3=，：还 而旬=7 一 商，2020 2020 2020 、“1 1 1 1 1、2020+=2020 x 1 +-+-=-,bxb2-b力3-2Al+i-I 2 2 3 n n+)zi+l.2 四 吗 2020一 些;+i L +1 _i i 2020 2020/-,.*.
15、1010,/.(S)=1010,+l 2 +l n+n S“2 t 对恒成立，Y(S,L W 0 1 0,则实数f 的最大值为1010.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与导数、数列的综合应用问题，解题关键是能够采用构造法、累加法求得数列的通项公式，进而确定求和方法为裂项相消法，从而求得S,的形式.12.（2021全国高三专题 练 习（理）已知函数/0）=8 三（足 N+）,其中x表示不超过x 的最大整数,如-2.1=-3,-3=-3,2.5=2.定义a,是函数f（x）的值域中的元素个数，数列“的前”项和为S“，数列对 eN+均成立，则最小正整数机的/=1匕 1U值 为（）A.17 B
16、.18 C.19 D.20【答案】D【分析】先根据取整函数的定义确定了（X）的值域中的元素个数，从而得到数列 凡 的通项公式及前项和为“，然后利用裂项相消法求2 不，最后可得正整数心的最小值.i=l【详解】由已知得 x =，则已幻=心,又+故才幻 (+1),.,2 2 W T 厂 .-n(n+)故。=+-=(N+),Sn=1 +2 +3 +=-”，1 2 1、一-=2(-)Sz i(i +l)i i +1 i ii i i i故 Z 不=2 (;一 7)+(彳-)+(-7)=2(1-),7 7 S.1 2 2 3 n 7 7 +1 +1im故 2(1-)2 0 x (1-),+1 1 0 n
17、+1则满足条件的最小正整数机的值为2 0 ,故选：D.【点睛】(1)新定义问题，准确理解含义是求解的关键；(2)数列求和的常用方法汇总：公式法；错位相减法：裂项相消法：分组求和法.1 3.(2 0 2 1.浙江高三专题练 习)如果x =x +x ,田 e Z,0%/5,a5-a4=6-旧=6+痘,当 n为偶数时4+-4 =6-石所以2019故选D【点睛】本题考查了数列的综合，解得%，%，%，%的值和分析观察是解题的关键，属于较难题.二、多选题14.（2021重庆南开中学高三月考）已知数列%满足4=1,4向c2 15a“十5一 万2其中 x 表示不超过实数 x 的最大整数，则下列说法正确的是（)
18、A.存在n N*,使得c in V 2B.4 T是等比数列C.的个位数是5D.的个位数是1【答案】B D【分析】根据取整函数的性质可得数列 ,为递增数列，根据整数的性质可得。,向=3见-1,从而可求数列 4 的通项，从而可判断AB的正误，利用二项式定理可判断C的正误，从而可判断 D 的正误.所以数列（为递增数列,=2凡+会 4,V 14=5.故当2 2 时，an a2 2.又当“2 2 时，（氏一2）2 斤!故%5二 2，一1 三G”2:,1%一522 9=-4a 0 即 _ 2。即3 2 ）,3 +%+“+i+4-2+1 _ R即；一 D 4+i+1整理得（4+2-4+J 一（4向 -4）=
19、2,所以 为“-4 从第二项起是等差数列，且公差为2，%-%=6,所以及2 2 时，an+l-an=6+（-2）x2=2+2,S-q =6-2 =4 也符合上式,所以。=2 +2.当“N 2时,a-%=2 n,所以 4 =(4 一 4-)+(q-1 _ 4-2)+.+(/-4)+4=27?+2(n 1)H-k 2x 2+2=；2 =(+1),4=2 也符合上式，所以4“=(+1).所以或=(+1)277 4-1n1+n所以当 =1时，4=2；当2 2 时，a=L所以 4=2+（-1）=+1,所以（020=2021.故答案为：202116.（2021重庆西南大学附中高三开学考试）设数列/满足4=
20、2,%=6,4 =1 2,数S-S 4-1列 4 前项和为s“，且 丁 :二二3（eN 且2 2）.若K 表示不超过x 的最大整3“+1 一 “十 数，=答，数列也 的前项和为I,则与必的值为.【答案】2023【分析】根据递推公式，可知血-4 从第2 项起是等差数歹U，可得-%=2 +2,再根据累加法，可 得q,=（+l）,由此可得当22时，bn=1,又=2,由此即可求an%出 2022.【详 解】当 2 2时,S.+2-S,i+lS+l=3,“+2+%+1勺+1 +1=3,.-.an+2-2an+i+a=2,4+2 -”+1 (+1 一 ”)=2，。,用一q 从 第2项起是等差数列.又 4=
21、2,6=6,生=1 2,.,.(a3-a,)-(2-al)=2,.an+i-a =4+2(-l)=2 n +2,当 此2时,=2 +2(-1)+L +2 x 2 +2 =2 xn(n+)/、=(+1)，5+1)2 r t +1/.-=-(2 2 ),4 n+1当22时，h=L =an L 又.4=止-=2,422 32?0 2 32T2O22=+=2 +2 0 2 1 =2 0 2 3.1_“2 L。2022.故答案为：2 0 2 3.【点 睛】本题主要考查了数列的递推公式、等差数列的概念，以及累加法在求通项公式中的应用，属于中档题.1 7.（2 0 2 1江西省石城中学高一月考（文）已 知
22、正 项 数 列 的 前 项 和 为S“，且满足/r-+，则 丁=+1TT-（其 中 3 表少不超过X的最大an7 3 2 +3 +X%+9 _整 数）.【答案】2【分析】首先根据为=5“-S,i，代入整理可得5“2_S“/=I,从而得到数列 S.2 是 以|为首项，|为公差的等差数列，求得数列 S,的通项，再通过裂项相消求和法结合题中的定义即可求解.【详解】解：由S,=?（见+，2（an）1 （1、当”=1 时，|=Sj =-a,+,所以4=1 或-1 （舍去），2 1（A （、当“2 2 时，S=-a“+=-，2 1 a j 2 1整理得：5 2-5.12=1）所以数列 S 是 以 1 为首
23、项，1 为公差的等差数列，所以5=，又因为 0,所以S.=，nr i i|_ r i iS2+5|S3+S2 5 10+S9 _ V 2 4-1 5/3 +V 2 -0 +/9 _=V 2-1 4-/3-V 2 +.+V i O-=/i O-l,因为2 瓦 l v 3,所以 加 一 1 =2,故答案为：2.1 8.（2 0 2 1 江西省铜鼓中学高一月考（理）已知正项数列 4 的前项和为S，且C 1/1、1 1 1S”=5（“+一）,则不超过不+不+的最大整数是.，an 2 2025【答案】8 8【分析】由 5,=+，），可得=1 时，S,=l（Sl+y）,S,0,解得 S1,”.2 时，a“
24、=S,-S,i，代入可得：S,=：（+.L）,化为：S;-5,t,=l，利用等差数列的通项公式即可，一 一12 2 2得 出 加 利 用 五 E 正 而而,(心 时,右边成立)可得：2(附一而 0,解得5=1.Z an Z J1.2 时，=5-S,1,代入可得：S=(5-S,.1+J ),2 3 一 3“一 i化为：S：-S 3=l,可得数列 S；为等差数列，首项为I,公差为1,/.=+n l=n,解得S“=G .2 2 2-j=/-7 云-f=/-1 ,(2 时，右边成 V.)VH+vw+l 23”ln+Jn-lgp 2(4 +1 _ 薪)2(,2026-1)88,32、2025,I-1 +
25、-1+2(5/2025 1)89B 邑 S2025所以 8 8 +/+:+，我们经常从无穷”=i 1 2 J级数的部分和（+*+入手.已知正项数列 叫 的前”项和为5“，且满足（其中因 表示不超过X的最大整数）.【答案】1 8【分析】结合题意和。“和 5”的关系，得到数列 0 是 以 1 为首项，1 为公差的等差数列，求得S“=，又由当 1 时，得至*进而求得1 8 V s 0,所以4=4=1,当 22 时，由 a“=S“-S,_ 1,所以 2S“=S“-S“_ 1 +c）,七 一 3 一 1所以 5“+S i =,即 S：-S,；.,=1 ,，一，一|可得数列 S：是 以 1 为首项，1 为
26、公差的等差数列，所以s；=.又当=1 时，S：=l符合上式，所以S；=（N*）.因为4 0,所以S“。，所以s,=册，山 1 1 1 n il 2 1 2与 时 6 +品+g&+所以 2(，+1 -)-y=2（师-闹）+（而 5-网+（a-1）卜 2（侗_1）1 8,5/1 00-）+（799-）+-+（7 2-1）+1 =2（7 1 00-1）+1 =1 9,即 1 8 V s 333、7 3 3:也=；,则 S|5=15xg=5,故答案为：5.【点睛】本题主要考查了等比数列中基本量的计算，二项式定理的应用，对新定义的理解是解题的关键，属于中档题.四、双空题23.（2021北京师大附中高一月
27、考）定义函数/。）=国 划 ,其中国 表示不超过x 的最大整数，例如：口.3=1,-1.5=-2,2=2.当xe0,）（eN*）时，数/的值域为4 /（|）=.（2）集合4。中 元 素 的 个 数 为.【答案】10 46【分析】根 据 定 义 求 出 佃：（2）先由题意求出卜 ,再求如，接着求出 小 口中包含的元素个数，即可求得4.【详解】-7-2一一7-27=-x3=102 司 表示不超过x 的最大整数,0,xe0,l)1,X G1,2)当 x e 0,n)(neN*)时，x=*n-l,xe7?-l,n)O,XG 0,1)X,XG 1,2)在各区间内的元素个数为1,1,2,3,L,-所以A,
28、中的元素个数为4。中的元素个数为1+=46.故答案为：10;4624.（2021福建三明一中模拟预测）黎曼猜想由数学家波恩哈德 黎曼于1859年提出，是至81 1 1今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数4（）=-=G+区+市+，我们经常从无穷级数的部分和（+*+入手.已知正项数列%的前项和为S“，且满足s”=,则S=_，+/+一 一=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.（其中x表示“4 L 500 J不超过x 的最大整数）【答案】G 18.【分析】S,n=1 ,、/、首先利用为=；。、，求数列 S“的通项公式；利用数列 S,的通项公式，放缩为M 7,1，2 22（而i-），=01
29、 4=S=1.当 22 时，an=Snn-l 代入 S1=:（+!）,J 2szi=S -S _|+-,2 an 3“f _ S+s _=I,即S：-S：T=1,3”1 s：是 以 1为首项，1为公差的等差数列，又当=1 时，s；=l 符合上式，因此S；=(e N*).：a.0,：.S”Q,；,S“=&.(以下用 到 场 的常用放缩技巧)111 2 1 2当 1 时 4+G访 2 (阿 _ /5)+(闹 _呵+(夜 _ 川=2(闹-1)8,S -l)+l =2(7 1 0 0-1)+1 =1 9,即 1 8 V s 1，所 以 勺 以心。=1 6,q1 5即4/一 1 5/-4 =0,解得/=
30、4,所以M,，所 以 一 根据题意得,时，/(x)=x =n-l,所以2=1.(2)因为。“+2=2 -，所以 S-I +2 +2”T+1+2+=江+1 =2+1-1.1-2 2 22 7.(2 0 2 1 福建高三月 考)等差数列 4 中，/+%=4,%+%=6.(1)求 q 的通项公式；(2)设包=&,求数列%的 前 1 0 项和,其中国 表示不超过x的最大整数，如 0,9 =0,2.6 =2.【答案】(1)(2)2 4.【分析】(1)根据等差数列的通项公式及已知条件求首项和公差，即可求得勺；(2)由(1)求得5，再分别求出数列 ,的 前 1 0 项，即可求和.【详解】(1)设数列%的公差
31、为4，因为 3 +=4 ,%+%=6 ,(2a,+5 d=4 a =1所 以,二八，A-解得L 2，2 a+1 0 =6 d=-5所以 为 的通项公式为a=l +(n-l)x|=2乎:,.2+3(2)由(1)知：=一 一，所以当 =1,2,3 时，144生 2,此时a=1;当”=4,5 时，223,止 匕 时=2；当 =6,7,8时，3 4,此时勿=3；当 =9,10时，4 -0.(1)求。的值(2)若对任意的x 0,%o),有/(x)4 日2恒成立，求实数Z 的最小值；2(3)记5,=2 丁7-3 2 +1),国为不超过的最大整数，求助的值.i=l 2L11r,0,n=1【答案】(1)1；(
32、2)9S“=2 l,n 2【分析】(1)首先求函数的导数，利用导数求得函数的单调性与极值点，根据最小值列式求。的值；(2)GWO时，/(1)0 不成立，当 k 0 时，构造函数g(x)=f(x)-丘2 =x-ln(x+l)-H 2,求导数，分k z g 和0欠；两种情况，根据不等式g(x)4O 恒成立，求实数女的范围，进而可得实数4 的最小值；(3)当 =1 时，W=2 ln 3 0,l),Sj=O,当 二2 时，=/=1 2/-1 7 2 1 1 (2、X-l n(2 n +l)=5 ,取Z=彳，/(x)0),从而得到 了目 二 =j 2.1 1 2 2 Zf 1 72(2T；(2 I)(-
33、2，ie N*),可得 S 0 可得 0 岳 1 S?国 S“-a),x+a x+a由 F(x)。，得%1 。；由/(x)v。，彳”a v x v l a；所以/(x)在(-a,1-Q)单调递减，(1-a,单调递增，八幻质=1-4)=1一。=。，所以。=L(2)当ZVO时，取冗=1,有 l)=l T n 2 0,故2 4 0 不合题意;当左 0 时，令 g(x)=f(x)-k x2=x-ln(x+l)-fc2,g 3 =l-L _ 2-T 2-(2 k),令 g(x)=O,可得玉=0,x,=-1,2k当kN；时，40，所以X0,-KO),g(x)40恒成立,因此g(x)在0,+)上单调递减，从
34、而对任意的xw 0,+oo),总有g(x)4 g(0)=0,即对任意的xw0,48),有/(x)V 2 成立，故z g 符合题意；当0女0,2 2k对于g(x)0,因此g(x)在(0,蜉 J 内单调递增,从而当与 时，g(Xo)2g(O)=。,即有f(为)4 叱 不 成立，故0kg不合题意.综上所述：*,所以上的最小值为3；(3)当”=1 时，5,=2-ln 3 G(0,l),S=0,由(2)知，取 k=g,得/(x)4；x2(xN0),从而 f(-1 4 U =2,i e N),(2 i-U 2 2 i-1)-I)?(2z-3)(2/-l)v 所以 S“=/(-=f(2)+/(-2-l n
35、3 +之-f 1 1=2-ln3+y-=2-ln3+l-0,所以(。在(0,1)上单调递增，/i(r)/2(0)=0,所以母 单调递增，即0BS2 Vs3 l,所以 0 v S i 1 v S 2 V s 3 V V 2 ,所 以同1 九0,/2 百=1【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法(1)分离参数法若不等式乂/1 0(%0(/1 是实参数)恒成立，将对 转 化 为 让 g(x)或A )恒成立，进而转化为22 g(x)1 r a x或2Mg(x)1 n h i(x e ),求 g(x)的最值即可.(2)数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位
36、置关系(相对于x 轴)求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.(3)主参换位法把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一 般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.2 9.(2 0 2 1 广东南海高三开学考试)已知数列%的前 项 和，=及/，令 =喈 ,其中国表示不超过x的最大整数，0.9 =0,l ogg=l.求;(2)求心；(3)求数歹U 论,的前3 -1 (m e N*)项之和.a 也-.,(2m 3)3 +3【答案】(1)an=n.(2)仇 0 0=4；(3)_-.2【分析】
37、(I)根据。,与S”的关系即可求出数列 a,的通项公式；(2)由(1)求得数列他,的通项，再根据定义即可求得答案；(3)当3*4 4 3 -1,小e N*时,bn=m-,且在数列出 中有3 -3 =个机 1 ,设c1n=2(帆-1)-3 1,数列 的前m项的和为S,“，求数列 ,的前T-(m e N*)项之和即为求数列%,的前，项的和5,利用错位相减法即可求得答案.【详解】解：(I)当 n =1 时，4 =S =1,%、cu +”c c (+!)n(n-l)“1 2 2 时，an=S -S,.1 =-=n,当”=1 时，等式也成立，所以4,=：(2)bn=lo g,a=lo g3 n,则 bl
38、0 0=lo g31 0 0,因为4 lo g 3 1 0 0 所以S,2 3尸+3,所以数列低 的前3 -1 仙 e M)项之和为 -3；3 +33 0.(2 0 2 1 .全国高二课时练习)已知各项均为正数的无穷数列 q 的前项和为S“，且 4 =1,S,+=(+1)5 +(+1)5 N).(1)求数列 4 的通项公式；(2)记表示不超过x 的最大整数，如0.9 9 =0,3.0 1 =3.令=疯,求 数 列 2 的前5 1 项和A.【答案】(1)a=2 n-l(n e N*)；(2)3 2 0.【分析】(I)由 S,m=(+1)5“+(+1)得 当=2+1,进 而 可 知 数 列 是 等
39、 差 数 列，从而可求出S“=”2,最后利用 与S 的关系求4 即可；(2)分情况讨论取不同值时，2=向=，罚 的值，然后求和即可【详解】（1）因为九S T=5+1）S“+5 +1）,所 以*=出 +1,又R=4=I,则数列 是以1 为首项，1 为公差的等差数列，因此彳 =，即5“=.当2 2 时，an=Sn-Sn_x=2n-,又4 =1 符合上式，故/=2 7（N）.（2）由（1）知a=疯 =W 2 i j当”e l,2 时，d=h/2 -l=l；当”e 3,4 时，2=W2“-1 =2：当”日5,6,7,8 时，2=W2，L1 =3：当”e 9,1 0,1 1,1 2 时，bn=/2 n-
40、l=4;当 w 1 3/4,1 5,1 6,1 7,1 8 时，bn=y/2l=5；当 6 1 9,2 0,2 1,2 2,2 3,2 4 时，bn=j2n-=61当日2 5,2 6,.,3 1,3 2 时，=W 2-1 =7；w 3 3,3 4,3 7,4 0 H 寸，hn=|-1 =8 :当 e 4 1,4 2,4 9,5 0 时，bn=9 :当”=5 1 时，bn=y/2n-=0.所以数列 的前5 1 项和弓=2 x1 +2 x2 +4 x3 +4 x4 +6 x5 +6 x6 +8 x7 +8 x8 +1 0 x9+1 x1 0 =3 2 0.3 1.（2 0 2 1 浙江模拟预测）已
41、知数列卜川满足&=；,2 a,用+可=3,数列也 满足仇=1,曲+（+】）=2+（1）数列 4“,色 的通项公式；（2）若 c,=（b+l-bn）an,求使同+同+同+同 4 2 0 2 1 成立（图 表示不超过V的最大整数）的最大整数的值.【答案】（1）。”=1 +（一；），2=2;（2）最大值为4 4.【分析】（1）由题得数歹式。,-1 是等比数列，即求出数列 4 的通项；由题得 生 是一个 以?=1 为n1首项，以 1 为公差的等差数列，即得数列他,的通项公式；n=1(2)先求出c“=6,2 n,2 +1,=2,n=2k+1,n=2k+2伏eN*),再求出九=1,cl+c2+c2+-+c
42、=2 3+一 ，2n=2k,(k e N*)即得解.1n2,=2 k+1/+32【详解】解：(I)由2%+i+a“=3得=所以数列 4-1 是等比数列，公比为解得%=1 +1由泌”+1 -(+1)2=2+,得 端-4=1 ,+1 n所以 3 是一个以4=1为首项，以1为公差的等差数歹I J,n 1所以组=1 +(1)x1 =，n解得a=/.(2)由c =(%+M)4得c.=(2+l)1 +=2 +1 +深(一1),记 4,二 ,d“d”=2 +3 2 +1 _ 1 -2 2n+l T2向0,3 5所以 4 为单调递减且4=,d2=4*1，所以%=,1,6,2H,2n+1,n=2，gn=2k+,
43、n=2k+21,因此。+m +卜2 +C,J2 3n+一,22 3 1n+n 2 2 =1,n=2k,(kw N),n=2k+3当”=2%时，2 +5 4 2 0 2 1 的的最大值为4 4；3 1当 =2 左+1 时，/+二-4 2 0 2 1 的”的最大值为4 3：2 2故匕+j +忆 +仁 4 2 0 2 1 的”的最大值为4 4.【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两点,1,n=1其一：求出r I 6,n =2,c“=2n,n=2k+,2 n +l,n=2k+2(Z e M),其二:1,i 3求出卜i +L +c2+&=/+5，n=1,n=2k,(k s N).n=2k+3 2.（2 0
44、 2 1.全国高三专题 练 习（理）高斯函数中用国表示不超过x的最大整数，对应的 x =x-x 为X的小数部分,已知数列。“的前”项和为I 介,数列瓦满足或=”.己知函2数 、”三 在 4,y）上单调递减.（1）若数列c=b,其前项为S“，求Sw.（2）若数列4=他（即4,为我的小数部分），求4 1 的最大值.2 5【答案】（I）3；（2）d .3 2【分析】（1）由数列勺的前项和为一/可求出其通项公式4，从而得到数列4的通项公式2 ,再根据函数“力=（的单调性可知，当“24时，0m=l,即可得到当2 5 时，%=也 =0,然后分别求出C”J，C 3，C 4，即可求出 几；r12（2）由 可知
45、，与 2 5 时，%=电 =0,所以4=，由单调性可知此时最大为4,再分别求出4，出,以，“4,即可得到4,的最大值.【详解】（1）当拉=1 时，q=；，当 22 时，。=1 一一（1 一/）=，当=1 时也满足，所以=(|(*),即2=.r2A2.函数”人 忘 在 4,+8)上单调递减，.当“2 4 时，0 2用 2 4 a=会=1 .当“N5时，c“=0,9=同=22=中32=1,42F=1.2S。=C +。2 4-FC jQ =0+1+1 +1 +0+0+0+0+0+0=3.42(2)由(1)可知当2 4 时，02+1么 乂 q=；也适合上式，所以a“N).(2)bn=ga=1 g,当九
46、=1 时，一 l lg q 0；当九=2,3,4,.,19时,0lgan l；当 n=20,21,22,199 时，1K 1g%v 2；当 n=200,201,202,1999 时，2 W 1g%3；当 二 2000,2001,.,2020时，3lg 0,有 疯+卮 0，所 以 厄-卮=1(2 2),所以数列 6 是 以 何=府=1为首项，公差为1 的等差数列；=l+(n-l)x l=H,则 5“=/,当2 2 时，an=ys+yjSn_t=n+n l=2n l,乂q=l 满足上式,所以 为 的通项公式为=2 -1 ；（2）-（2-1）2-4/t2-4n+l 1 +二4 4吟+一，上，1 1
47、5当九=1时，=1 7 所 以 对 任 意 的 都 有 二 十 二+-7 2 时，-1-+.H-=2-r-J，b.h2%2 a n相减可得：r=F-=2,3 时,a2 _ 1 +_ 2 0 3 _ 1 +2r f _ 32q2-F,d0.解得：d-,q=2,./.an=+n-l=n,bn=2,1._ bl _ 2-1 _ _ J _ _ _ _ _ _ _ _ _(2)，一(-%)(%-/)一(2-n)(2+l-n-l)2H+I-(n+1)_ 1 1 1 1 1 1/.0 =-;-1-z-;-F.H-:-;-T“2-1 22-2 22-2 23-3 2-2n+-(n+l)=1-!-2+|-(/
48、1 +1),1 20 20金 1-2,+|-(/?+1)20 21化为：2n+1-(n+l)2./U)=2 1 n2-l 0,x 2./U)在2,+oo)上单调递增，而f (9)=21 0-1 0=1 0 1 4,/1 0)-20 3 7,最大整数。=9,使得与 瑞20 203 6.(20 21 全国高三专题练 习)在 +%=1 4；S4=2 8；6是为与的等比中项,三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知 4,为公差不为零的等差数列，其前项和为5,但 为等比数列，其前”项和7；=2+44 为常数，%=,（1）求数列 ,，勿 的通项公式；（2）令c.=lga.,其中可表示不
49、超过x 的最大整数，求C 1+C 2+C 3+&）的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【分析】若选（1）先求打也，可得必进而得b,=2 T,由基本量运算可得,=2-1；（2）由 C|=。2=。3=。4=。5=O,C6=c7=.=C50=1 ,C51=%=。00=2 可得解.若选（1）先求4 也，可得q,进而得=2 T,由基本量运算可得。“=4-3；（2）由C|=。2=0 3 =0,。4=%=。25=1,。26=027=._ =Q）O =2 可得解.若选（1）先求4 也，可得2=2”T,故4=向=1不妨设 4 的公差为。.则1 +24+1 +44=14,解得d
50、=2,所以4=2 -1（2）由 =l g,则 q=q =。3=1 =。5=，G=。7=G o =1c5=C 52=q0G=2,所以 q+C 2+。3+,+仇00=1x45+2x50=145.若选 ：（1）由已知a=一工=2也=笃一4=4,q=-=2,通项优=%优-2=2x 2 =2 T故4=6=1.不妨设%的公差为d，则4x1+4号x3xd=28,解得d=4,所以q =4/i-3.（2）由 c“=/ga“,则弓=c?=?3=。9 =c$j.=Gs=1，26=27=Goo=2,所 以+，2+。3+G（x）=1 x 22+2x 7 5 =1 7 2.若选 ：（1）由已知=5-7；=2,4=7；-4