2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第20讲 数列中的存在性问题（解析版）.pdf

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1、第20讲数列中的存在性问题参考答案与试题解析一.选 择 题（共 2 小题）1.（2021永州月考）在数列 “中，an=n+y 则|q-1 +1W-/1 +1%-%1=（n）A.25 B.32 C.6 2 D.7 2【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列；数学运算【分 析】令 f（x）=x +，x e l ,+00）,可 得 函 数 的 单 调 性，进 而 去 掉X14 -%|+1%-q I H-F|a24%I 的绝对值符号，即可得出结论【解答】解：令/（x）=x +吏，x e l ,+00）,X则 f（x）在 1,5）上单调递减，在（5,田）上单调递增，q-%+a2 c

2、iy 14-F|。24%51=（4-%）+（%一生）1-h（4 一。5 ）一（5 1 4 ）一.一（%4 一。2 5 ）=ax-a5-a5+a2525=l +25-2x（5 +y）+25 +l=32,故选：B.2.（2021龙岩期末）已知数列 “的通项公式为。“=,前”项和为S,若实数；I满n（n+2）足（-1）几3+（-1）任“对任意正整数恒成立，则实数/1的取值范围是（）A.-Z,23 4B.-2c.-233 44 3D.-2zl124 3【专题】35：转化思想；4C：分类法；5 5：点列、递归数列与数学归纳法【分析】求 出%=-=-（-）,运用裂项相消求和，可得前”项和为S“，判断可（+

3、2）2 n n+2得 S“为递增数列，求得最值，讨论”为奇数和偶数，由恒成立问题解法，求得；I 的范围，即可得到所求范围.【解答】解:n(n+2)养-b.+-)“2 324 35 n-n+n n+21八 1 1 1 3 lz 1 1、=(1 H-)=-(-1-),2 2 n+2 4 2 屋+1 n+2可得 S,为递增数列，且有E取得最小值g；且 s 1,.，当n为偶数时，(-1)葭 3+(-1)向S对任意正整数n恒成立，即为2 3 _ 33 =乙Q，可得4,2 4当n为奇数时，(-1)2 3+(-l)n+lS对任意正整数n恒成立，即为-4 3+S,、对任意正整数n恒成立，由 3+S“.3+S

4、=3+-=,1 3 3可得 1 2,即 人J 2 3 3由解得 W z,2.3 4故选：A.二.填 空 题(共 1小题)3.已知等差数列 4 的首项为。，公差为b,等比数列 2 的首项为6,公比为，其中。，都是大于1的正整数，且“，b2 a3,对 于 任 意 的,总存在帆 N*,使得。切+3=”成 立,则 =2,an=.【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算【分析】先利用4，4 v q，以及。，人都是大于1的正整数求出。=2,再利 用%+3=2求出满足条件的b的值即可求出等差数列 “的通项公式.【解答】解：,仇/，:.a b 以及 b a a+2 bb(a-2

5、)aa 3,a，都 是大于1的正整数，.67 2 又因为 am+3=勿 n a+(2 1)力 +3=6 anl又4 =2,b(m-r)+5=b-2-,则力-/+1)=5 .又b.3,由数的整除性，得b是5的约数.市 攵2”1-机 +1=1,h=5,an=a+b(n 1)=2+5(-1)=5/2-3.故答案为：2；5-3.三.解 答 题(共19小题)4(2021天津模拟)设 风 是公差不为0的等差数列,4=1,4是死和 s的等比中项，数列电 的前项和为S,且满足3b-25,=2(e N*).(1)求 ,和 2 的通项公式；(2)对任意的正整数，设第数，求数列%的前2”+1项和.也,，”为偶数【专

6、题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算【分析】(1)直接利用等差数列的性质的应用和递推关系式的应用求出数列的通项公式；(2)利 用(1)的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和.【解答】解：(1)设 等 差 数 列 的 公 差 为d，因为卬=1,4是。2和4的等比中项，所以即(1+31)2=(l +d)(l +7 d),解得 d =i 或 d =o.又因为d*O,所以d =l.所以 a,=1 +(1)x 1=.因为 3。-2 s“=2(w M),所以，当”.2 时，3勿 _1-2 5,1=2,所以3(2-b _1)-2(S-S _,)=0,所

7、以3(b-%)一次=0，即4=3(/1.2).%当”=1 时,3bt-2 St=2,又因为S i =伉，所以6=2 ,所以数列 包 是以2为首项、3为公比的等比数列.所以,=/V/I=2X3 T.(2)因为c,=.n+2(为奇数)2 x 3 -，为偶数故 数 列 c 的 前 2 +1 项 和 为-=(3+5 +7 +2 +3)+2(3 1+3、3 5 +3 个=3卢 9+曙2 =/+4 +=5.(2 0 2 1春 南 京 月 考)已 知 数 列 数 列 4 的前项和且S“，4=1,且2 a Mi”=4 s“-3(3).(1)求 出的值，并证明：a“+2 -4=2；(2)求数列 q 的通项公式；

8、(3)求品1a的值.【专题】计算题；转化思想；综合法：转化法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算【分析】令 =1,可求得生的值，由2 az i.=4 5“-3，可得2%q,+2 =4 S“+|-3 ,两式相减即可得4+2 4=2：(2)山(I)可知数列 q 的奇数项和偶数项均成等差数列，利用等差数列通项公式分别求奇数项和偶数项的表达式，最后写出分段函数形式即可；(3)利用等差数列前项和公式，分别求出前10 0 项中奇数项和偶数项的和，即可求解.【解答】解：(1)令 =1，得2 4 a 2=4 q-3,又q =1,所以生二3,由题可得，2 a,a,M =4 S,-3,2”,用4+2=4 S,用

9、 一 3,-得，2 a“+i(a+2-a)=4a+,因为 a“x 0,所以 an+2-an=2 .(2)由(1)可知：数列a,4，a,02k.公差为2,首项为1,所以=1 +2(%1)=2%1,即为奇数时，an=n;数列出，4,4，出*，为等差数列，公差为2,首项为:，所 以%=g +2 伏-1)=2 4-/即为偶数时，a=n-,为奇数综上所述，an=3 乎M甲粉.n-一，九为偶数2(3 )1 1 (2)“J 大 1 1 SQ Q=4 +叼 +4 +G o o=(4 +4 3 +/+一+4 9 9)+(2 +。4 +4+.+()()1 5 9 19 7=(1+3 +5 +9 9)+(+)2 2

10、 2 250(1+99)5 0(2+2 2=2500+2475=4975.6.(2021 徐州三模)已知数列%是各项均不为0 的等差数列，5,为其前”项和，且满足d=S，T，令4=1，数列 2 的前项和为，(1)求数列 4 的通项公式及数列 2 的前n项和为7；(2)是否存在正整数机，n(m0,从而：-+,又/n e N,且 1,2 2所以?=2，此时”=12.故可知：当且仅当m=2,=12 使数列 7；中的7；,Tm,7；成等比数列.7.已知数列 “是各项均不为0的等差数列，公差为d,S 为前”项和，且 满 足 5 2,1,n e N*,数列 ,满足,=-，,为 数列 2 的前”项和.(1)

11、求数列()的通项公式a,和数列 6,的前0 项和T；(2)若对任意的“eN,不等式4 7；8(-1)-10 恒成立，求实数4的取值范围.【专题】3 2：分类讨论；3 5：转化思想：4 9：综合法；5 4：等差数列与等比数列；6 5：数学运算【分析】(1)先利用等差数列的前项和公式及性质求得凡，然后求得或，再利用裂项相消法求得数列也,的前项和；(2)先对分 奇数、偶数两种情况分别求出使不等式/,8(-1)-1 0 恒成立的人的取值范围，再求其交集即可.【解答】解：a；=S2 _,nwN*,a：=(2f 2,i)=(2 _8“,an 0 0 ,=2 -1 ,b,”=1 =1 =1 (z 1 1 )

12、、,an all+l(2/t-1)(2?+1)2 2/1-1 2 n+.-,7；-)=-(i-)=；“213 3 5 2 n-l 2 n +l 2 2 +l 2 n +l(2)2 7；8 x(-1)-1 0 恒成立，2.8 x(-1)-1 0 恒成立，2 +l当为奇数时，有/1-1 8(2 +3 恒成立，解得：2-1 8(2 +-)=-5 4：n1当为偶数时，有；1-2(2+1)恒成立，解得：几-2(2 +1)=-5 ；n2综合知：A-5 4,4 的取值范围为(-0 0,-5 4).8.(2 0 2 1 广陵区校级期中)已知%为等差数列，前项和为S (),2 是首项为2的等比数列，且公比大于0

13、,4+2=1 2,b3=a4-2 at,5,=1 1 4.(1)求 q 和他的通项公式；(2)求数列 生也.T 的前项和(e N*)；(3)设c,=l o g，d“i，匕为数列(且亡 的前项和，求不超过8 3 9 的最大整数.I e*J【专题】3 4：方程思想；4 H：作差法；5 4：等差数列与等比数列；6 5：数学运算【分析】(1)设等差数列 4 的公差为d,等比数列 仇 的公比为 0,运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差、公比，进而得到所求通项公式；(2)求得生也“T=(3-1)X4 ,运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和；(3)求得A“

14、T=2I,c =l o g,22-1=2 n-l.也-=1 +1 x(!.-),运用数列的c“c“+i 2 2 n-2 w +l裂项相消求和，化简可得所求和与，计算可得所求最大值.【解答】解：(1)设等差数列 ,的公差为d,等比数列也,的公比为q,g0,由4+4 =1 2,得自(q +q。)=1 2 ,而4=2,：.q2+q 6=0 .由 g 0 ,解得 q=2 .hn=2.由仄=q 2 q ,可得3 d -q =8，由品=1 1 4,可得q+5 4=1 6，联立，解得4=1,d=3,由此可得a“=3-2.数列 a,的通项公式为an=3 n-2,数列 2 的通项公式为bn=2.(2)设数列&也

15、的前”项和为由 02n=6 n -2,邑_ =2 x 4T ,有 a2 llb2 n_t=(3 -1)x 4,7；,=2 x4+5 x42+8 x43+.+(3 n-l)x4,47；,=2 x 42+5 x 43+8 x 44+.+(3 n-4)x4n+(3 n-l)x4,+l,上 述 两 式 相 减，得-3 T =2 x4+3 x42+3 x4,+.+3 x4,l-(3 n-l)x41=1 2 x(1-4 )-4-(3 n-l)x4OT 1=-(3H-2)X4W1-81-4得T.=即 7x4向+|.数列 他 也 的前项和为即产*4向+|.(3)由(1)知：=22-,贝 i jc1 t=l o

16、 g222 n-=2 n-l.4/4/4/,1 ,1 1 1 、-=-=1 H=1 +X (-),c；+i (2 -1)(2 +1)4 2 -1 (2 -1)(2 +1)-2 2 -1 2 +1c 1 l、r 1 ,I l、r 1/1 1 n=n+-（；-）+C1+-（-）+-+1 +-（-）=n+-，2 1 3 2 3 5 2 2 n-2 n +1 2 +l=2 0 1 9 +型 2 2 0 1 9，如9 40 3 9不超过1 9 的最大整数为2 0 2 1.9.（2 0 2 1 春宜昌月考）已知数列”的前”项和为S“，且数列 满足2+2 2 2+|+2=0（N*），且&=1 1，前 9 项

17、和为 1 5 3.（1）求数列 4 ,的通项公式；（2）设C L .二：（2/f 数列 c,J的前项和为1,求及使不等式7；击对一切n都成立的最小正整数k的值；（3）设/（）=?（=T，k N）问是否存在“蚱%使得/（加+1 5）=5/（租）成立？若存bn（=2/,N ）在，求出机的值；若不存在，请说明理由.【专题】综合题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）由数列的前项和结合为=5“-5,1（.2）求得数列 4 的通项公式，再由d+2-改 用+d=0,可得也 为等差数列，由已知求出公差，代入等差数列的通项公式得答案；a（2）把数列伍 ,的通项公式代入c=-，然后利用裂项相消法求

18、和，（2%-1 1）（次-1）可得使不等式 20 14 7；,而7；-，故 A.10 0 7,.幺加=10 0 7；、J +5,(=2/-l,/e N)(3)/()=,3n+2,(n=2 l,l&N ).当机为奇数时，“+15为偶数.此时 f(tn+15)=3(/M+15)+2=3m+4 7,5/(?n)=5(m+5)=5m+25,/.3 m+4 7=5/77+25,m=11.当机为偶数时，7+15为奇数.此时/(w +15)=n z +15+5=/n +20 ,5/(加)=5(3 7+2)=15?+10 .,./n +20 =15/n+10-m =iN*(舍去).综上，存在唯一正整 数%=1

19、 1,使得了（加+15）=5/（加）成立.10.（20 14 荷泽一模）已知数列 4 是等差数列，数列 “是等比数列，且对任意的e N*,都有 q p +a2b2+a3b3+.+anbn=n*2n+3.（I）若 的首项为4,公比为2,求数列%+2 的前项和S.；（II）若 q=4 +4,试探究：数列 a 中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它/2）项的和？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由.【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列【分析】（I）再写一式，两式相减，可得数列的通项，即可求数列 ,+,的前项和S.；（II）因为q=4 +4,anb =（n +l）.2,+2,所以2=

20、2 ,假设数列 4 中第1 项可以表示为该数列中其它r,r w N,兀.2）项2 i，b,r,（/r2 V 0）的和，可得根据等比数列的求和公式，可 得 从 而 可 得 结 论.【解答】解：（I ）因 为 姐+生包+2 3+”也=2/3，所以当.2 时，+a、b、+a3b 3 +l）-2n+2，两式相减，得。也=小23-（一1）2-2=（/2+1）22,而当=1时,01b =16,适合上式，从而。也=（+1）22,（3 分）又因为 2 是首项为4,公比为2 的等比数列，即怯=2角,所以4 =2+2,（4 分）从而数列 q +4 的前项和 S,=a +2 2）+4（1 二2）=+“2 +3 一

21、4；.（6 分）2 1 2（II）因为a=4+4,anbn=（n+l）2n+2,所以2=2,（8 分）假 设 数 列 2 中第攵项可以表示为该数列中其它，r*N ,r.2）项 当，想，（%t2.tr）的和，即4=/+耳，从而2=2。+2%易知k 4 +l,（*）（9 分）又 2*=。+2”,2+2?+.+2=2（12，）=2,1-l 2,-t l,1-2所以 0+1,此与（*）矛盾，从而这样的项不存在.（12分）11.（2021岳阳县模拟）在数列 “中，己知4=2,4计 勺=2%-“+（N*）.（1）证明：数列,-1）为等比数列；（2）是否存在正整数皿、”、k,且根 变形为-1=Y-1=-1）

22、，即4,+1”e 2 a“2 2 a可证明结论.（2）由（1）可得：-L-l=-（）可得：假设存在正整数机、k m n k）满足题意，则%“=%+%,可得=，_+J ,整理化简，利用数的奇偶性进而m*2-1 T -1 2-1得出结论.【解答】（1）证明：由得明 产 乌 二，从而 L =f=q _ +；，+1 2”2 a 2为等比数列;(2)解：由(1)可得：1 =()，可得：a=-.an 2 2n-l假设存在正整数m、n,左(机满足题意，则2a“=4“+a*,H n2-2n T 2*即-=-1 ；-,2-1 2W-1 2*-1即 2+|(2m-1)(2*-1)=2(2 -1)(2*-1)+2*

23、(2-1)(2-1)两边同除以 2M 得,2B-ra+1(2m-l)(2*-1)=(2-1)(2 -1)+2(2-1)(2*-1)(*)由，得，k-rn,.2,n-m +1.2；所以(2-1)(2*-1)为奇数，而 2 f l (2-1)(2*-1),2E(2-1)(2-1)均为偶数,故(*)式不能成立；即不存在正整数机、k,且利 左，使得%,、%、4成等差数列.12.(20 21 重庆模拟)已知数列 凡 的前项和为5“,且 6,2S“，勺成等差数列.(1)求。“；(2)是否存在?e N*,使得4%+a2a3+.+anall+l 6a,“对 任 意 成 立？若存在，求机的所有取值；否则，请说明

24、理由.【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理：数学运算【分析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；(2)利 用(1)的结论，进一步利用数列的前w 项和公式和恒成立问题的应用求出m 的值.【解答】解：(1)数列 4 的前,项和为S“，且 6,2 S,%成等差数列.故 4s“=6+a”，当 =1 时，解得q=2 ,当”.2 时，4S,i =6+a,i ，得：=(常数)，*3所以数列 七 是以2为首项，-1为公比的等比数列；所以 a“=2 x(-g)T.(2)由(1)得：=4x(-g)2 T,所以(-1)x(1-)弓 生+%+。必+=4

25、x(-g y+(_，,+(_g)2 =4 x-j 2 x(_g)1,1 9所以3(1 -2 )v (-)w-2对任意的 N恒成立.8 9“3由于 1 一 L 1 且 f+0 0 时，1-,所以（J y T 2,故加为偶数,3 8当帆=2时成立，当机.4 时，（$-2 故%=2.1 3.（2 0 2 1 黄浦区校级月考）己知各项均为不为零的数列%满足4=1，前项的和为S”,S2 S2且-=n2,n e N*,.2,数列 0 满 足=a“+a+i ,i w N*.4(1 )求出，4 ；(2)求 S”(eN*);（3）设有穷数列也 C：,氏=1,2,，的前项和为T,是否存在m w N*,使得T“,=

26、2 0 2 0成立？若存在，请求出m 的值：若不存在，请说明理由.【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算【分析】（1）由数列的递推式可得S“+=2,结合q=1 ,依次求得生，见的值;（2）由 S“+S _|=（几.2）,得 S“+S”=5+1）2 ,两 式 作 差 可 得+a”+=2 +1,结合等差数列的通项公式和前项和求S.；（3）运用组合数公式的性质求得忒；,：=C：，再由二项式系数的性质可得=（+1 2 -1 .即可判断存在性.【解答】解：(1)由 S 1二S%.=2,n wN*,n.2,a p/曰(S”s“)(S”+S .)2可得 j-=rr,凡由 4=s-s

27、_,可得邑+S“_|=n2,由q=l,可得&+S 1=4,即+2 4=4,解得电=2;由$3 +昆=9，即6+2$2=9，解得%=3；(2)由 S,+S 2=2(”.2),得 S同+S=(+1)2,两式作差可得：S+l-S,I=2n+1(/?.2).即 an+an+l=2n+l(n.2)，又4+1+4+2=2+3(?.2),两式相减可得all+2-an=2(/?.2),可得数列 4 中奇数项和偶数均为公差为2的等差数列，且 4=1 ,%=3，可得甩=，5“=-；(3)由 g；=%-=n 2二 =,k.(n-k).(A:-1)!(-*)!7；=(2+1)C,+(4+1)C；+.+(2+1)C：=

28、2(C：+2C；+.+仁)+(C：+C；+C：；)=2(C：L +%+.+Q;)+2-1 =2 2T+2-1=(+1)2-1,由于为正整数，可 得+为奇数，即骞为奇数，故不存在me N*,使得7；=2020成立.14.(2021 九龙坡区期中)设等差数列 q 的前”项和为S“，已知见+4 =10，%。=180.数列 满足伉=q，bn+l-b=(I)求数列 ,和 2 的通项公式；(H)是否存在正整数机，(加 工 )，使得b,女成等差数列？若存在，求出团，的值；若不存在，请说明理由.【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算【分析】(1)直接利用等

29、差数列的性质和叠加法的应用求出数列的通过项公式；(II)利用存在性问题的应用求出结果.【解答】解：(I)设公差为d的等差数列%的前及项和为S“，已知+a4=10,所以2%=10，解得%=5,由于见&=1 8 0.则$6=36所以 6x(；+4)=3 6,解得4 =7,故 d=2,所以。=2九 一1.数 歹 贴 储 足 ii =1(1_!_)(2 -1)(2 +1)一尸2-1 2/?+1所以 一 6=L(-),.,b,-b.=-(1-),“t 2 2 n-3 2 n-1 2 3所有项的和为24=J(1 -1 +!-1 +H-),2 3 3 5 2-3 2-1整理得勿=2土 2,(首项符合通项)，

30、2 n-l所以a=3/t-22/2 1（II）假设存在这样的正整数机和 使得a,b,2成等差数列,所以劭“=a+包,_ 3n-2 2 n-l4由于a=,一 33 1,31-，%=-2 4 一 2 6 2 4/n-2所以3+（3 一3 2)=2()4/1 2-2 4m 2整理得 _ =上+_!_,2 机 一 1 6 4 一 2化简得：2 机=7-,n +l当 +l=3 时，即=2,m =2（舍去），当+1=9，即=8,m =3,符合题意，故存在这样的正整数2 =3 和=8,使得打，心,包成等差数列.1 5.（2 0 2 1 鼓楼区校级模拟）已知 是各项均为正数的无穷数列，且满足4=。，%-4=1

31、 以%+%）.（1）若=1,4=6，求。的值；（2）设数列 满足我=4 川-4,其前”项的和为S,.求证：屹“是等差数列；若对于任意的we N*,都存在meN*,使得S“=,成立.求证：,（2 -1）展【专题】综合题；方程思想：综合法；等差数列与等比数列：不等式的解法及应用；数学运算【分析】（1）由条件分别令 =2,n=l,解方程可得a 的值；（2）由题意可得d.0,分别考虑d =0,d 0,结合等差数列的定义和作差法，化简整理即可；运用等差数列的求和公式，结合构造数列法，运用数列的单调性，即可得证.【解答】解：(1)因为a“+i -a”=J-+%4=6，所以令”=2,得 -%=M+4,即 6

32、 -%=+%(4 6),平方整理得(4-1 0)&-3)=0 .因 为 6 ,所以。2 =3，同理令 =1 ,得 4 -q=J 4 2 +，即 3-4 =j 3 +4(q 3),平方整理得(4 -l)(a,-7)=0.因为4 0,所 以%+i -4 0，从而+1-,-i 0，因此一。“)一(%+)=因为包=a“+a”,所以 b-b,i=d.综上，,是公差为d的等差数列.因为 仇 是公差为d的等差数列，所以S,=也+若.因为对于任意的“eN*,都存在z n e”,使得5“=牝，所以有 nb+.，；D d=4+(m-l)d 整理得(?-l)d =(-1)4 +“。；Dd.i .若 d =0，则4=

33、0,结论成立.i i .若d 0,(/M-1)=(M-1)+-.d 2当九=1 时，7 7 7 =1 ；当.2 时,今必为整数，即伪=口.因为。+1-。”0，所以”.0，d 0,所以Z e N.,从而 Sn=nbx+(：D 4-nd k+要证黑,(2 -1)4 .下证。+必0d(2 -W，即证灵 曰,，(2 -一 1)Z ,2 2从而只要证 曲 二D“2 -”-1,2因此要证2 e-2一“_2.0.记 f(n)=2向-2 一 一 2 ,则/(+1)-/()=2 2 -(+1).记 g(n)=2 -(+1),则 g(n+1)-g(n)=2 -1 0 ,所以 g()=2 -(+l).g (1)=0

34、A f f i f(n+1)-f.0 ,所以/5)=2 +i 2 一 九 一2.7 (1)=0.1 6.(2 0 2 1思明区校级期中)在数列 4中，前”项和为S“，且,=普工.记7；为等比数列 2的前”项和，且8+=20,=3 0.(I )求数列 4和 2的通项公式；(H)记 +&+-+%=“，是否存在机，使得若存在，求出所有满瓦 b2 b 足题意的“，若不存在，请说明理由.【专题】3 4：方程思想；4 9：综合法；5 4：等差数列与等比数列；6 5：数学运算【分析】(I )运用数列的递推式：=1时，4=工；.2时，Si，化简可得 4的通项公式；等比数列 的公比设为q,运用等比数列的通项公式

35、和求和公式，解方程可得首项和公比，进而得到 b 的通项公式；(I I )求得点=”(J ，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，可得所求和由不等式的性质和解方程可判断存在机，【解答】解：(I )s=(7。可得 =1时，q=E =1 ；.2时，a,=S,-S”(+l)_(wT)=,对=1 也成立，则数列%的通项公式为%=;等比数列 的公比设为4，由仇+2=20,乙=3 0,可得q w l,则。a +4 q 3=2 0,与。=3 0 .1-g解得伪=g =2 ,即2 =2 ；（H）养畛贝 IJ”=1.+3,+”(4)2 4 8 2U =1，+2+3-+rt -),+12 4 8 1 6

36、 2相减可得；/=；+；+（+（；）_ 吗 严坊,)1严1-1 22可 得%=2_(”+2).(J =1 1 使得，n-2bm,2 成等差数列.【解答】解：(1)设公差为“，则W d=d-d，由性质得-3 d(q +4)=d(a4+a3),因为X 0 ,所以4+%=0，即 2q +5 4 =0 ,又由 4=5 得 4+5 4 =5 ,解得 4=-5,4 =2,所以 q 的通项公式为q=2-7.(5 分)(2)cn=6 n +1.(1 0 分)（3）假设存在正整数根、，使得&，dm,成等差数列,所以3 +网二U=2 x 网二U,化简得：2机=1 3 .（1 3 分）3 2 n-7 2 m-7 n

37、-2当 2=-1,即=1 时，m =符合题意；当 2=1,即=3 时，m =2 符合题意当 一2=3,即=5 时，tn=5（舍去）；当 2=9,即=1 1 时，7 7 7 =6 ,符合题意.所以存在正整数m=1 1，=1;n =2,=3；m =6,n=使得4,鬣，勿成等差数列.（1 6 分）1 8.（20 21 徐州期中）已知数列 2 各项均为正数，4=1,4=3,且 勺+a+3=%+4+2对任意 w N*恒成立.（1）若 用=4，求 出的值；（2）若%=5,（i ）求证：数列 4 是等差数列；（i i ）在数列 6 中，对任意 N*,总存在 m，ke N*,（其中 机 左），使4，%构成等比

38、数列，求出符合条件的组（孙左）.【专题】证明题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）令数列也 为b =an+i-an,则4+2=，从而b2 n+i=2,b2 n=l,由此能求出a5.（2）由=5,得到川=2,由此能证明数列%是等差数列.（证）由 a；=4%,各（2加-1=（2-1）（22=1）,假设一奇数使得：2 m-l=p（2 n-l）f 则2 k l=p2（2 n-1）2/n1 由此能求出结果.【解答】解：（1）.数列 4 各项均为正数，4=1,%=3,且 4 +/+3 =4+i对任意neN”恒成立.令数列 为勿=川-/，,a+a+3=a+i+4+2，2+2=W，*e 2n+

39、l=2、b2 n =1 G=q +&+d =4+2+1 =7.证 明:(2)(i).也=5,.,也“=%+1=2,=2-数列 4 是等差数列.解：()”二=a 4，.(2 机-l f=(2-1)(2 1),假设一奇数使得：2加-1 =p(2-l),则 2Z-I=p 2(2-1)2，-1 ,;k m，:.p-p,综合，得：可构造一组解为(加，&)=(+；,p 2+-),p=2i+,i w N*.19.(2021通州区期中)己知数列 “的前项和SwM)满足S=2a1,数列 2 满足=2+log2an(I)求数列 “和数列 ,的通项公式；(I I)令c,旦,若,V -2-1对于一切的正整数恒成立，求

40、实数x 的取值范围；（H I）数列/中是否存在a,“,a“，4（“/&,且/%,%w N*）,使 a“,，an,a*成等差数列？若存在，求出机，n,k 的值；若不存在，请说明理由.【专题】1 1：计算题；3 5：转化思想；4 9：综合法；5 4：等差数列与等比数列【分析】（I）利用已知条件通过4=S“-S“T，说明数列 4 是首项为1，公比为2 的等比数列.求出通项公式，然后求解的通项公式.（0）求出c.=%,判断数列的单调性，结合,2-2-1 对于一切的正整数恒成立，得到求解即可.（I II）假 设 存 在 a”,a“，见（m七 成 等 差 数 列,推 出2.2-=2-+2k-.说明是与条件

41、矛盾，得到结论.【解答】解：（I ）根据题意,数列 4 满足S“=2a“一1,当=1 时，4 =S|=1 .（1 分）当.2 时，a=Sn-5 _,=1,a“=2 a“-2 a,i，即%=.（2 分）所以数列 6 是首项为I,公比为2 的等比数列.（3 分）所以 a“二 2 T,GN*；（4 分）又由已知=2+l o g?a，得=2+l o g 2 2 T =+1 .（5 分）（H ）依题意得%=4=*=（+1）（-）-,n w N*._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （6 分）2 2因 为 C.“一%=（+吗 一（+1）夕1 =（g）T（

42、等 一”一1）=一 始 T 0（7分）所以当 =1 时，Q,取得最大值q=2.（8分）因为%,X2-2X-1对于一切的正整数n恒成立，所以 2,f-2 x -1.（9 分）解得X,-1 或 x.3 ,所以实数x的取值范围是*1 内，-1 或 3）；（1 0 分）（H I）假设存在“,。“，4（?”匕 机,，&w N*）,使金，a”,a*成等差数列,则 2%=am+4 ,即 2.2 -=2-+2*。（1 1 分）两边同时除以2 7 ,得 2 皿|=1 +2.（1 2 分）因为2 一，向为偶数，1 +2 小 皿 为奇数，这与矛盾.（1 3 分）所以不存在“,4（，%,机,”），使4“，an,a*成

43、 等 差 数 列.（1 4分）2 0.（2 0 2 1 钦州三模）数列%中，q=l,=aa,l+l,n e N ,数列 仇 的前 项和 为 小 且“不（1）求数列”的通项公式;（2）是否存在机，e N,使得7；=-!-,若存在，求出所有满足题意的m ,，若不存在,am请说明理由.【专题】3 5：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列【分析】（1）对等式两边同除以“,臼用，结合等差数列的定义和通项公式可得所求通项;（2）运用数列的求和方法：错位相减法，可得7；,再山方程思想，“得，”的值.【解答】解：（1）,:4a,=a“a”+i，n&N*,1=1,4数列同 是 等 差微列，公差为1,

44、首项为1.=1 +（7 2 -1）=H ,可得;n（2）由题意，易得勿=2n 2”1 2 3 n=5+齐+无+了m uJ21T=lF +22r +F3 +-+Fnr，两式相减 得;7 L=g+:+g+/一 黄14=1-1 -n-2 2 +i所以（=2-展由于7；1,且1 OS =(2 a+l)(a +2),n w N*.(I )求数列 q 的通项;(II)是否存在机，k e N*,使得2(q“+q,)=4 成立？若存在，写出一组符合条件的机，n,%的值；若不存在，请说明理由.【专题】3 4：方程思想；4 R：转化法；54：等差数列与等比数列【分析】(I)由己知可得：1 0%=(2 4+1)(4

45、+2),得 2“；5 q+2 =0,a,1,解得 q,因为 1 0 S“=(2 q,+l)(a,+2),.2 时,1 OS=(2%+1)(%+2).相减利用数列的单调性、等差数列的通项公式即可得出.(H )满足条件的正整数?，n,人不存在，分析如下：假设存在 加，n,k eN”,使得2(6!,+an)=ak 成立，则5%一 1 +5 -1 =；(5左-1).利用通项公式代入得出矛盾即可.【解答】解：(I)由已知可得：1 0 q =(2 q +1)(1 ,解得 q =2 ,因为IOS”=(2/+1)(4+2)2时，1 0 S“w=(2%+1)(%+2).故 1 0 a+1=l()(S,t+l-S

46、)=(2 a+l+1)(.+2)(2 4+1)(4+2),整理，得(j +a)2(+l-a)-5=0.因为“是递增数列，目=2,故q+i+a,产。，则数列“是以2为首项，|为公差的等差数列.(II)满足条件的正整数m,n,人 不存在，证明如下：假设存在m,n,女 w N*,使得2(+a“)=%成立，贝!1 5n l1 +5”-1=(5 左 一 1).整理，W 2 m+2 n k=,5显然，左边为整数，所以式不成立.故满足条件的正整数机，k 不存在.2 2.(2 0 2 1 春陆川县校级月考)已知数列 七 的前项和为S,点(,土)在直线y =x +4上.数 列 2 满足心2-劝 用+d=(N),

47、且1=8,前 1 1 项和为1 54.(1)求数列%、2 的通项公式；(2)设)=)是否存在加eM,使得f(m +9)=3 f(成立？若存在，b,5=2 l,lwN ).求出2 的值；若不存在，请说明理由.【专题】3 5：转化思想；4 9：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】(1)将点(,)代入直线y =%+4 上，求得S =1+4，当 =1 时，4=3=5,n当几.2 时，。*=2 +3.由 即&2-%么 为 等 差 数 列，11电+4)=15 4.2=8,即可求得公差d,即可求得他,的通项公式；2(2)由题意可知，当m为奇数时，加+9 为偶数，3/(附=6,”+9,求得m =在N*,舍

48、去，同理当m为偶数时，帆+9 为奇数，求得利=至把N (舍去)，故不存在正整数 力,使得7/(优+9)=3/(成 立.【解答】解：(1)由题意，得&=+4,即S“=2+4”.n故当.2 时，a,=S“-S,i=/+4-(-l)2-4(-l)=2 +3 .注意到”=1 时，4=5=5,而当=1 时，+4 =5,an=2 +3(e N).又包+2 也+1+2=0，即 2+2 -%=%-2(*)，.为等差数列，于是1叱+城=1 54.2 0 8而 a =8 ,故 4 =2 0 ,d=-=3 ,/.bn=b4+3(/7 4)=3 n 4 ,即2=%+3(-4)=3 一 4().(6 分)e .、j 2 +3(=2/-l,/N“)(2)f(n)=,，3n-4(n=2 lJ e N )当加为奇数时，利+9 为偶数.此时 f(m+9)=3(m +9)4 =3m+2 3 ,3f(/n)=6m +91 4/.3 m+2 3 =+9,tn=一色 N (舍去)3当m为偶数时，机+9 为奇数.此时，f(m +9)=2(m+9)+3=2m+21,3/(/w)=9/n-12,所以 2n?+21=9/%12,tn=隹 N”(舍去).7综上，不存在正整数相，使得/(6+9)=3/(帆)成立.(12分)