《2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第26讲 数列与导数的交汇问题（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第26讲 数列与导数的交汇问题（解析版）.pdf（36页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 26讲数列与导数的交汇问题参考答案与试题解析一.解 答 题(共 27小题)1.(2 0 2 1 全国模拟)函数/()=&0),曲线y =/(x)在点(1 ,f1 +Xy 轴上的截距为【.(1)求 4；(2)讨论g(x)=x(f(x)2 的单调性;(3)设 4=1,an+l=f(an),证明：2W212 l n an-I n i 0)的导数为广(x)=工，1 +x(X+1/(I)处的切线在曲线y =f(x)在点(1 ,7 (1)处的切线斜率为匕色,4切点为(1,等)，切线方程为y-等=9(-1),/、1 小 1 1、一 r乙 曰 1 1 4 +1 1 八代入(0,)可得-=(0-1),2 2
2、 2 4解得 =7；(2)g(X)=M/。)=(害)2 =x3+1 4 x2+4 9%*+1)2,zg(x、)=-(-x-+-7)；(x 2-厂-+-3-，当 x 0 口n寸.，g(”x)、0八，(x+l)3可得g(x)在(0,”)递增;(3)要证2 2|2/町,-/7|不,4+1 =/(“)此时 7=-1 ,7 V 7只要证 加 五 历 件 片，即 为 立%+17J+I即毋 3 7 户，此时由(2)知 4/八=g a)g(i)=1 出;若%/(/)=疗，此 时 与 1笔,V7 V7只要证历编/(立)；，即为冬 (且)；，V7 4 V7 a即4 4 7 将，此时 为 不，由(2)知a,”,；1
3、 =g(q,)g(J7)=7；若a“=出,不等式显然成立.综上可得 ln r-1冬 I，(n.A,n e N*)成立，V7 2 V7则 他/k 9也 君=击 以 7.由11 历 7 1/e 2=l,可得|历 牛|白，2 2 5/7 2则12及 4 一妨71 0,a0)f 曲线 y=/(x)在点(1,/(1)处的切线在y 轴上的截距为/3-Z.(1)求a；(2)讨论函数 g(x)=f(x)-2x(x 0)h(x)=/(x)一 一(x 0)的单调性；2x+l7 5 2+i 1(3)设 4=w，an+l=f(an),求证：-2 0),2 +41 2求导得“()=-+-r 0 2 +a (2 +4因此
4、 (a)为增函数：故。=1 是唯一解.2 x(2)由(1)可 知,g(x)=l n(2 x4-1)-2 x(x0),h(x)=l n(2 x4-1)-(x 0)2 x +lO Ar因 为 g(x)=-2 =-0)为减函数.因为(x)=-2 x +l2 4 x(2/+1 产 一(2 x +l 0,所以 h(x)=/(%)-(x 0)为增函数.1 +2%2(3)证明：由 q=m，an+i=f(an)=l n(2 an 4-1)5-2 +i 1 2 易得4 0.-2 a 0 时，g(x)g(0)=0,EP f(x)2 x.令%=%(几 2)，得 fh)2%，即 at l 2 a,t.2n因此，当儿.
5、2 时，an 2 ann i,22ann L?.2,iai =5.5 _ 2Z,+1 1所以 2成立.2 4下面证明：-2 0 时,A(x)/i(O)=O,即/u)a2 丫 o.2 x +l7M因此 +12 x即-2 -(-2).f 3 2 x令 =(.2),得-2 ：(-2),B P -2 /M/3 lne=,2所以-2 0,/11.8所以工一20.a2所以，当心.3时,-1-2c -1(/-1-2、)、-2%-2).(-2)0 所 以,当.2时,二2 0成立.4综上所述，当.2时,5-2向2J-2 0,所以 L-2 L%a“2下面用数学归纳法证明：几.2时:a .n 22当 n=2 时，a
6、2=/(/1)=ln(2a+1)=ln(2x+1)=.而 4 =/疝.8 g /H1.8 ln2 o 1.8 f2 o 1.82 2 o 3.24 2,因为3.2 4 2,所以%；.可见=2,不等式成立.假设当 2)时不等式成立，即为；.当 =Z+1 时，%=ak+=fak)=ln(2ak+1).因为/。)=加(2%+1)是增函数，所以4+i=ln(2ak+1)ln(2xg+1)=ln2 要证只需证明加2 g.iT ij 妨2 In2 In叵 2 0。2?(V2)2 4 2,2因为4 2,所以历2 g.所 以%+i；.可见，7 1 =k+1时不等式成立.由可知，当几.2时，为 L成立.“23.
7、(2021 武侯区校级模拟)已知/1(=a sin x,g(x)=Inx,其中 e R(y=g x)与 y=g(x)关于直线y=x对称)(1)若函数G(x)=/(1-x)+g(x)在区间(0,1)上递增，求。的取值范围；1(2)证明：V sin ln2,(1+幻2(3)设/(x)=gT(x)-如2-2。+1)+6(根 0恒成立，求满足条件的最小整数匕的值.【解答】解：(I)由 题 意:G(x)=asin(l-x)+Inx,G/(x)=a cos(l-x)0恒成立,X则1恒 成 立.又丫=!单调递减，,4,1xcos(l-x)xcos(l-x)(2)由(1)知，当a=l时,G(x)=sin(l%
8、)+/犹在(0,1)单调增sin(l-x)+Inx G(1)=0.sin(l-x)/?(0 x 1)x1/.sin(1+4(1+Ie)?k2+2kf s i n U 0即：F(x)m i“0 又 F(x)=ex-2/nr-2,F(x)=ex-2m,*/m 0,.尸(x),单调增，又9(0)v0,F (1)0则必然存在x0(0,l),使得然(为)=0,尸。)在(-8,为)单减，(不，+oo)单增，/.F(x).F(x0)=e-叫：-2%)+。一 20,泊-2则 b -e拓 +mx+2x0 4-2,又 e-2/nr0-2=0 tn=-b -e +/J)+2毛+2=(-1)+x0+2又加v 0,贝l
9、j/w(),历2)b (-l)e+2,XQ e(0,历2)恒成立令，僦x)=6 一 l)e*+x+2,x e(0,ln2)贝 1 J m/(x)=g(x-l)e*+1 mx)=g xex 0,.M x)在xe(0,/2)单调递增又加/(0)=，02mx)0/.?n(x)在 x e(0,加2)单调递增,mx)2/2 又6 为整数.最小整数b 的值为:2.4.(2021泉州校级模拟)已知函数/(x)=x-阮r-a ,g(x)=x+L (/nx严，awR.x(1)若/(x).O 在定义域内恒成立，求的取值范围；(I I)当a 取(I)中的最大值时，求函数g(x)的最小值：(III)证明不等式1 ln
10、-一(eN+).白(2+1)(2*+2)2+1【解答】解：()/(x)的定义域是(0,转)，f(x)=l-=x x当 X(O,1)时，/(x)0,/(X)递增 而(X)=/=l-a依题意得，1 -a.O，a,1 ,故。的取值范围(-as,1(4 分)(1【)当 a=时，g(x)=x+-(ln x)2,g(x)的 定 义域是(0,X、1 1 1 X1-2 xln x-”)g(x)=1 -2lnx=-彳-,x x xrh(x)=x2-2xlnx-1 ,hr(x)=2(x-ln x-l)，由(I)知，(x)的最小值 是 (1)=0,.”(%).(),力(x)递增，又(1)=OxG(0,1)HJhr(
11、x)0,gr(x)0,g(x)0,g(x)递增,g加 (x)=g=2；.(9 分)(III)证 明：由 (II)得，x l 时，g(x)g(l),x H-2,Qx 尸),/-x 广 lux,Xy/x!x令 x=-.l(k e N),2*4-1则出+2”人 +1,2+2 Hn 1丫2+1+2 2-1 J(2 )(2*+2)2+1nzk=J+1)+2)ln -+ln2+122+2+.+/,-2-+-2-=ln,(z 22 2(2+1)2-(-2-+-l)-)、=I,n22+l 2+l 2+1 22+l 2+l2-12+1(14 分)5.设函数 g(x)=x-(Inx)-,(x 0)x(1)求函数g
12、(x)的最小值;证明不等式：:与-(%).2*(2*+1)2+1，缶 役比、初 /、1 1 21nx x2-1 -2xlnx【解答】解：(1)g(x)=l-7-=-；-(x 0).X X X令/(x)=x2-1 -Ixlnx，f(x)=2x-21nx-2,令 w(x)=2x 2lnx-2，m 7、o 2 2(x 1)W u u(x)=2 =-,X X当%1时,uf(x)0,函数(x)单调递增；当O v x v l时，ur(x)1 时，f(x)0,E P gr(x)0 函数 g(x)单调递增；当O v x v l时,/(x)1时，可得6=Inx,lxG N*)mila+1 I 2k 2k+l-2
13、k 1 ,2&+1人 Wk 反丁 历F 衣 港 有 5S 1 ,2+1与 Ji2 12*+1=)12j+/*22+4-In2+l2/(2+1)(手 包，一(2+1)下面用数学归纳法证明：嗡曲a舄71 4-1 2 7,+,4当=1时，左边=：=,右边=；-=2 2 21+1 3左边右边成立.假设当=M&eN*)时成立，即G D C。?二1)客成立.2竽 石1则当乂+1时，左边=+D +?1产+1寸+1),乙.空 火(&+I)2&1 OK+I2-与 人 用 ，.(2川+1)2 2 旬+22=2|(2 1 +2),2 1+1 2 +2二.当=左+1时不等式成立.：2不等式(2申哈；，心+。芸成立.,
14、(21+l)(22+l).(2n+l)i n-：z-2.22.22+,*I n-(w N2+1),1.不等式：y业+1)I n2用2+1(wN*)成立.6.(2021淄博模拟)已知函数/(x)=f 一 2工 前 ,函数g(x)=x+幺一(加:了，其中金氏，/x是 g(x)的一个极值点，且 g(Xo)=2.(1)讨论/(幻的单调性；(2)求实数为和。的值；1 1(3)证明 /(2+l)(”M1).句4一 _ 1 2【解答】解：(1)函数/(x)的定义域(0,”)，/(X)=2X-2/MX-2,令 x)=2 x-2/n r-2,则(x)=一D ,x由(x)=0 可得 x=l,当 X(0,l)时，h
15、(x)0,(x)单调递增，故当x=l 时，函数取得极小值也是最小值(1)=0,所以 (x).O 即所以/(x)在(0,”)上单调递增;(2)g(x)的定义域(0,招),g，(x)=l-=3竺，X X由题意可得，g，5)=0即x02-2%咻-a =0，由 g($)=2 可得 x02-x0(/n x0)2 一2%+a =。，联立消去a可得，2%-(1 曲0)2 -2/n x()-2 =0,令r(x)=2x-(W-2仇X-2 ,则 f(x)=2-=2(1 x1),X X X由(1)知-伍x-1.(),故 x).0,故“X)在(0,+a)上单调递增，又f (1)=0,故方程有唯一的解与=1,代入可得a
16、 =l,所以毛=1 ,a =1,(3)证明：由(1)/(幻=二一2%加:在(0,”)上单调递增,+L i g/、1/1、i u x x2-2 xbv c 1 f(x)1 ,故当 x l 时，f(x)f(1)=1,g (x)=-=-：0 ,x x所以g(x)在a”)上单调递增，因此当x l时，g(x)g (1)=2,即 x +工一(%:了 2,X故(/x )2 (Z/?x)2,yx-，取“=竺 里，k w N*,可得 j”军 I n Qk+1)/(2 1一1),2 k-V 2)1-1 V 2 +l故(T e x t r a n sl a t ion foil e d)，1 i所以 /力(2 +1
17、)(e N ).念 巧-1 27.(2 0 2 1 揭阳一 模)己知函数f(x)=u x,g(x)=/n x,其中a w A.(1)若函数尸(x)=/(x)-g(x),当a=l时,求 函 数F(x)的极值；(2)若函数G(x)=/(si n(x-l)-g(x)在区间(0,1)上为减函数，求。的取值范围;(3)证明：Vsi n 0)令尸(x)=0 得 x =I,当x w(O,l)时尸(x)0 ,即函数F(x)在(0,1)单调递减，在。收)单调递增，函数尸(x)在x =l处有极小值，F(x)极 小=1 -/1 =1 .(2)解法I：-.-函数G(x)=/(si n(x-l)-g(x)=asi n(
18、x一 1)一扇在区间(0,1)上为减函数G(x)=ac os(x-1)-O ffi (0,1)上恒成立o a-在(0,1)上恒成立，x x c os(x-l)设 H(x)=-1-.x c os(x -1)(11,_-(c os(x-1)-x si n(x-1)_ x si n(x-1)-c os(x-1)X CO S(x-l)XT c os*(x-l)当 x w(0,l)时，si n(x-l)0.H x)H(1)=1,a,1.解法2:函数G(x)=/(si n(x-1)-g(x)=asi n(x 1)一%:在区间(0,1)上为减函数对 Vx (0,1),G(x)=ac os(x-l)-,0(*
19、)恒成立，XX G (0,1),CO S(X-1)0 t当&0时，(*)式显然成立；当 a 0 时，(*)式 u L.x c os(x -1)在(0,1)上恒成立，a设-X)=JCOS(X-1),易知必外在(0/)上单调递增，/.h(x)0 G(1 )=0 ,=si n*-)l n x=si n(l-x)/n-,(*).对VZeN*有 上 e(O,l),k+1在(*)式中令 x=得 sin(l )=sin ,A+l k+k+l k si.n1 F s.i n 1 F.+sin-1-In7zc.+In,3 F.+In.-n-+-=/z,?(2*3 4.-z?-+-l)x =In.n+.1),2
20、3 n+2 n 23 1即 sin-0)x(1)当 a=2时，求(x)=/(x)+g(x)的最小值；(2)若 (x)=/(x)+g(x),在(0,”)上有两个不同的零点，求。的取值范围；(3)证明：2阳 、(加)k 2 2【解答】解：(1)“=2 时，/i(x)=/nx+2,则 (x)=2 ,所以 ox2 时，(x)2X x时,h!(x)0；所以，力(x)的最小值是(2)=/?2+1 .(2)h(x)=lnx+,则 H(x)=X 所以xw(0,a)时，(x)0；X X所以，x=a 时，(x)取最小值/?(a)=Ina+1；7z(x)在(0,+oo)有两个不同的零点，:.lna+-(ln+ln2
21、+/H3+.+Inn)2 3 n 2 27由(1)知：x 0 时，Inx+.In2+1,当且仅当 x=2 时 取“=x-Inx H.；历2+12x2A 1j_ 仇 2+1x 2-ln12 2+12济2+122-ln 221 加 2 +1-3 2-l n 321 历2 +1 1 ,-I n nn 2 2以匕各式相加得：!/(!).9.已知函数 f(x)=/n r,g(x)=3 _ 4,(a 为常数)2 x(1)若 方 程 可 在区间i“上有解求实数。的取值范围,(2)当4=1时，证明不等式g(x)v/(x)V X-2在 4,+8)上恒成立;(3)证明：(T ex t ran sl at i on
22、 fai l ed),(n e N)(参考数据：/2 0.6 93)【解答】解：(1),.(x)=/n r,g(x)=-,2 x 方程/，3=g(x)可化为2 x即 a=/+2x.23令则 *)=3f+2.23由(幻=一3工2+/=0得，x=,或工=一 也(舍去).2 2当x e 0,1 时、厅(幻=-3/+|0.(x)单调递增.当 时，(犬)=一3/+|1 时，/J(X)e,.2 2 2方程e2f M=g(x)在区间g ,1 上有解等价于(2)。=1时，不等式g(x).x 2令 r(x)=bix+.x则/(x)=L (.X X当X G4,+00)时，r(无)单调递增.1 3(%)“”=(4)
23、=/n4+-.当 JW4,+8)时，g(x)v/(x)恒成立.f(x)v x-2可化为ln x x 2，即。2X-X -2.令 k(x)=Inxx.X当X 4,+oo)时，A(无)单调递减./.k(nKlx=k(4)=/n 4-4 -2 .当i c 4,+8)时，f(x)v x-2恒成立.，当a=l时,证明不等式8(/*)X一2在4,+00)(3)/(x)=Inx,/.2/(2&+1)-/仅+1)于(k)=2ln(2k+1)-ln(k+V)-lnk,(2Z+1)2 +1)上恒成立.=/(-2伏+1)+4),3 1由(2)可知，-f (x)2 x3211k*+1)+4/(-女伙+1)+4)1Z(
24、A+1)+4-2 ,即 k(k +T)/(+4)._L+2,2 4 M t+1)+1 -k +l)k k+15 1 -1 八 1 1 c-F-f(-F 4)-F 2，4 1 6-%+1)+4 网 k+1)k k +(Tex translation failed),*/n w N ,(Tex translation failed).1 0.(2 0 2 1 天津校级二 模)已知函数f(x)=/n x,g(x)=3 4 5 为实常数)2 x(1)当4=1 时，求函数(x)=/(x)-g(x)在X4,+O O)上的最小值；(2)若 方 程e”“)=g(x)(其 中e=2.7 1 8 2 8.)在 区
25、 间 己，1 上 有 解，求 实 数。的取值范围；C 1 (3)证 明：+点 2/(2 4+1)-/(幻一/(2 +1)2几 +1,河(参考数据：加2 ao.6931)1 Q【解答】解：(1)当4=1 时，(p(x)=/(x)-(x)=/n x +-，x 2则(pr(x)=-A-=-7-，X x x 在区间(0,1 上，夕(x),o，在区间 1,+oo),(x).O,.9(x)在区间(0,1 上单调递减，在区间 1,+8)上单调递增.在xw 4,+0 0)匕 当x =4时，以 的最小值为 (4)=/4-.(4分)4(2).方程e2 =g(x)在区间 L 1 上有解2即加=3,在区间己，1 上有
26、解2 x 2即。=一V在区间g,1 上有解A 3 1令xw,1 ,2 2(x)=-1 -3 x2,.在区间 g,孝 上，(x).0,在区间 半，1 上，h x)0 ,/z(x)在区间 g,上单调递增，在区间,1 上单调递减,又 力(1)0,4.-./z u 4)2 xp 4公+4左+1X v-Z(k+1)4,以%+1)一%,5-4左2+4%+1 -屋(2 4+15 1-+-4 4(2 2+1)(2%+3)4 8为+人 4 8 3 5 5 7)+*二4 8 3 2 +3 ，-)2攵 +1 2 k+31 /1、5 1-n-(-)=/?+8 3 5 4 6 035 1 12 n+1 2+35 1构造
27、函数F(x)=/n x-x +2(x.4),则 尸&)=上 三X当 x.4 时，F x)0 .在 4,+oo）上单调递减,即尸(顼，/(4)=/n 4-2 =2(Z n 2-l)4时，I n xx2 .4 3+Z+L-L-2,4=仍Z(4+1)k 2 +1即 4 2+，-一A k Z +l1):c ik 2 1 7+1-g(x)-a-g(x)(a e R).若 f(x)有两个极值点片,x2；记过点 A(4,f )B(x?,/(马)的直线斜率为Z.问：是否存在a,使得无=2-a?若存在，求出a 的值;若不存在，请说明理由.(3)求 证:y(ne/V)e-l【解答】解(1)-.-g(x)=l n
28、x,其导函数为g),反函数为gT(x),令 h(x)=g-(x)-x -1 =e*.-x -1,/.hf(x)=e*-1 ,令 h x)=-1 =0 ,E R x =0 (x)在(-oo,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增，/./z(x)./?(0)=0,从而所得结论成立.(2),/f(x)=eg(x)-(x)-a-g(x)(a e R).f(x)=x-al n x,f(x)的定义域为(0,田)，X令尸(x)=d-a r +1,其判别式=2 一 4,从而当|a|,2 时，”()，故T(x).O,故,f(x)在(0.”)上单调递增.当”-2 时,A 0,故尸(x)=0 的两根都小于0,在
29、(0,)上，/(x)0,故f(x)在(0,y o)上单调递增.当当a 2 时，()，故 F(x)=0的两根为内二 3 -，。-.,电=*+后 _ 4),当 0 x 0 ；当 vx cx?时，/(x)超时，f M 0，故/(x)分别在(0,占)，(，+功 上单调递增，在(丹，马)上单调递减.从而当a 2 是，函数有两个极值点.又因为/(x j-70:,)=(X|-x,)+旦-aQn X -I n x),玉 W所 以 人/。)-/区)=i +J_ _&m叫Xi-X2 XxX2 Xj -x2又 由(1)知，4 马=1.于是:=2-/g 的X 一 马若存在a,使得我=2-则 名 殳=1.即/町一 切
30、马 =5 一%，百一亦即 x2-21nx?=0,x2 1(*)令 2lnt,r l,再由(*)知，函数/1(，)=/-；-2/川在(0,+oo)上单调递增，而w l,所以为一 -2/5 =这与(*)式矛盾.故不存在。，使得攵=2-。，_ X?1(3)由(1)有 1 +工,，(当且仅当工=0 时取等)对任意的实数R 均成立，.2.令 =上(M,i=1,2,3,一 1),贝 lj 1 一 上 c ,n ni-i/.(1一 一)“/.()/(，=1,2,.,一 1)n(-)=(-)+(3)“+(K)e-，i)+e-2)+e-+,n n n n n e(n l)+e(M1-2)+e-i +11 =-e
31、-er-r=-,-e-e-e-l从而结论成立.12.(2021揭阳一模)已知函数/(x)=o r,g(x)=bvc,其中 a e H,(e 2.718).(1)若函数尸(x)=/(x)-g(x)有极值1,求4 的值；(2)若函数G(x)=/(sin(x-l)-g(x)在区间(0,1)上为减函数，求的取值范围;1(3)证明：V sin-0)/.Fx)=a,x若 0,则对任意的X(0,+oo)都有9(x)0,由广(=0 得%=,，当xw(0)时，F(x)o,a a a即函数尸(x)在(0)单调递减，在(L 位)单调递增，a a：.函数尸(X)在X=L 处有极小值，F()=1 In=1,a a.*.
32、67 1 (2)解法 1：,.函数 G(x)=/(sin(x-1)一g(x)=asin(x-1)一/nr 在区间(0,1)上为减函数,且当xw(0,1)时，cos(x-l)0,Gr(x)=acos(x-1),0 住(0,1)上恒成立 u ,-在(0,1)上恒成立,x xcos(x-l)设 如)=就不则蒜篝4xsin(x-1)-cos(x-1)x2 cos2(x-l)当x c(0,l)时，sin(x-l)0,.H x)H(1)=1,.a,1.解法2:函数 G(x)=/(sin(x-1)-g(x)=asin(x一 1)一法在区间(0,1)上为减函数,对 Vx G(0,1)，Gf(x)=tzcos(
33、x-l)-,0(*)恒成立，x X G(0,1),cos(x-1)0,当 0 时，(*)式显然成立；当a 0 时，(*)式o L.x co s(x-l)在(0/)上恒成立，a设(x)=xcos(x-l),易知(x)在(0,1)上单调递增，/.h(x)G (1 )=0,n sin(x-1)bix=sin(l-x)I,1 ，(左+1/sin-r In-=In-(Z+l)2 1 1 -攵+2)s i nl +s i n4+.+sin-/“二+/工+.+/3;历2 上.，3=历./222 32 5 +1)2 1 x 3 2 x 4(”+2)1 x 3 2 x 4(”+2)n+21即 s i n a+i
34、)2证法2：先证明当0 x四时，s i nx vx,2令 p(x)=s i n%-1,则 p(x)=cos%-1 v 0 对任意的 x (0卷)恒成立,.函数p M在区间(0,)上单调递减,j r当 0 犬 彳时，p(x)p(0)=0 ,/.s i nx x,对 任 意的攵 N ,p-e(0,)s i n-2(-)(Z +l)2 (J t +l)2 2 k +l 2 A+3/.V s i n-7 2(-+-+!-)=I n e3 历次=l n 2 .供+1)2 3 5 5 7 2/z+l 2 +3 31 3.(2 0 2 1 天津校级一模)已知函数y =f(x)的定义域为/?,当O v Lv
35、l时.,对于任意再，%2 R，I /(5)一/(工2)1，“玉一 七 I 都成立，数列 满足。+1=/(“)，=1,2,.证 明：2 1 ak-ak+|-a-a2；k=L -L(2)令4 =4+%j人(k=1,2,3),证明:1而 加 建Ak-Ak+,一4-%k1 L【解答】(1)证明：,.,+1 =f(a“)，=1,2,3,.故当.2时，a 4MH)-f(a)La.,-a|=|/(a.2)-/(a.)|L2|“12-。-1 领L.a-a2.A%-4+1 R q -/I+I 2 一 3 I+I an “+l I*=!(1+L +L +)14 -a*/0 L 0恒成立，X所以(阮v),=)2,当
36、 x 1时，I n x 0时，/(x),x (当且仅当x =l时取得等号);当儿.2,时，证明：f 处0恒成立，求实数。的取值范围.x【解答】(1)证明：构造函数?()=/(x)-x =/n x +l-x,1 1 _ y,(x)=_ _ 1=-=0(x 0)=l;X X当(0,1)时，i r l x)0 ；当 x c(l,+o o)时，n i x)1,令 x-l =z,则/或，-1,r 0 ,取/=2,则勿“:1-I,即/硒,(“+D 5 一,2.I n n n-入 产 。口 乂-,，-n s N ,几.2 +1 2I n k 1 2 n-n(n -1)+1 2 2 2 47 1 1I n x
37、+1H(2)解：若 g(x).O对 x 0 恒成立等价于-j-3 对x 0 恒成立;x+一X/n r +1 +一记 G(x)=-产，问题等价T a.G(X)M；x+-x由(1)知伍x+L,x (当且仅当X=1时取得等号);l u x 4-1 H X H G(x)=-产,，一 =1 (当且仅当x =l 时取得等号)：x+-x +一X X故G(X)M=1，所以G.1;二.实数。的取值范围为 1,+0 0).16.(20 21成 都 二 模)已知函数/、(x)=x-,g(x)=a加 x ,其 中 x 0,a wR，令函数x(x)=/(x)-g(x).(I )若函数(x)在(0,一)上单调递增，求。的
38、取值范围；(II)当a 取(/)中的最大值时，判断方程/?。)+/?(2-)=0在(0,1)上是否有解，并说明理由；12”1(III)令函数F(x)=L +2/n r,证明不等式方)“理+(力 0),(x)=l +-y-=,X XX X,函数力(x)在(0,4 0)上单调递增,x?-ar +1.0 在(0,-H )上恒成立，即%+1 在(0,y)上恒成立，X解得a,2.2(/)当 a=2 时;h(x)=x-2 1 n x,hx+h(2-x)=2-2/n x(2-x).x x(2 -x)2令f =M 2 x)w(0，1),构造函数以。=2-2 l n t,叭t)n=与 m 0 恒成立,二.函数9
39、(/)在(0,1)上单调递增，且e (1)=0.2(p(t)=2-2 l n t 在(0,1)上无解.t(/)令 4=1 +(-口，当 为偶数 时，4 1，由(/)可 知：+2 l n ak ak.ak.(-1/F1+(-1/4 1 +(一夕=-I+夕.一 F(4)+F(a2)l+(；)-1 +(g)。,-尸他)+F(a4)1 +(权-1 +(g),一 尸(%-)+尸(%)1 +g)-T +(g)”累 加 求 和 得 不 等 式(-l/F l+(一夕(；)+夕 +.+(；产=1-(1)2*1.1 一/17.(2021岳阳校级一模)已知函数/(x)=依，g(x)=bv c,其中aw R.(1)若
40、函数尸a)=/sin(l-x)+g(x)在区间(0,1)上为增函数,求。的取值范围；1(2)设a=sin-,求证：l n 2 .(+1)k=【解答】(1)解：,函数尸(%)=fsin(l-x)+g(x)=asin(l-%)+0 x,/.Fz(x)=tzcos(l-x)x(-l)+，X只要F x)在区间(0,1)上大于等于0,/.FXx)=a cos(1 -x)x(-1)+.0，X：.%1，求 一!一 的最小值即可，xcos(l-x)xcos(l 一 X)求/2(%)=XCOS(1 -x)的最大值即可，0 0,.a)在(0,1)增函数,h(x)h(1)=1,-的最小值为1,x c o s(l -
41、x)4,1;(2)证明:/0 r l(&+1)2.s i n x v x在x e(O,l)上恒成立,力疝 一=5岛+向1+.+而 一 ,二+1+.+-/+1+上+，+-1-+白 伏+1)2 22 3*(+1)2 2?32(+1)2 4 9 16 4x5 5x6+，*，=2(+D 144 +1 144/.V s in-l恒成立;I n x 2(I I I)一 口、丁 n2 3 n求证：一 十 Z-A=,I n2 k+一十 一(.2,n w N).(参考数据：历3=1.1,加5。1.6)2 22 k-1281【解答】解：(I)设 F(x)=/(%)-g(x)=l n x-(4x-=),x.1,则
42、F x)=-X(4-1)22 fx 2 x x0,.F(x)在区间 1,用)内单调递减，故尸(幻的最大值为F(1)=0.1 Y-1(I I )山(I)得，对 Vx.1 ,都有/(x)g(x),BP l n x 0 l n xQ yj x l ,则 G(x)=/or+四_ 2 =加7+1xX设 (x)=xl n x-x+I.则 H x)=I n x 0.在区间(l,+oo)内单调递增，.H(x)(1)=0.即 G(x)0.G(x)在区间(l,+oo)内单调递增，.G(x)G (1)=0,即(x +l)/nx 2(x-l).因为。,所 以 冒 罟，从而原命题得证.(D由 g得，当m时，曰*益恒成立
43、.入 2 k +l ./汨 J(2G +l)(2k-l)1 .令-=x,k e N,得-2一=%-1)1 1 1.7 (-1)(+2)n-1 n2 3 nhJ k+1 妨 3 白 8 8 2 8 2 82 1从而命题得证.1 9.(20 21 五华区校级模拟)已知函数/(%)=加(分+1)+,g(x)=s in万+f e c ,直线:与曲线？=/(外切于点(0,/(0),且与曲线丁 二以冗)切于点(1 ,g(1).(1)求实数，匕的值；(2)证明：X(i )-f(x)1 0)；1 +x(ii)当为正整数时，-ly-I n n,-.台公+i 2【解答】解：(1)由/(x)的导数尸(x)=La x
44、 +1g(x)的导数 g(x)=c os/,则 f(0)=a,f(0)=a,g(1)=l +，g (1)=b,曲线y =/(x)在点(0,7(0)处的切线为丁 =依+，曲线y =g(x)在点(1 ,g(1)处的切线为y =也-1)+1 +。,即丁=加+1,依题意，得 a=b=1；证明：(2)(i )/(%)1 =Z n(x+l),Y令 h(x)=l n(x+r),1+x所以h x)=_1 _ -x(x +1)2-x+T-(x +l)2当x w(0,o)时，hx)0 ,所以/?*)单调递减,所以 (x)(力(0)=0；1 _ y令 夕(x)ZH(X+1)X，则“(X)=-1 -0，X+l X+1
45、所以双X)单调递减，故夕(%)0(0)=0,所以一 l n x+1)0)成立；1+x(ii)由(i),取 得：/(1+1)-,n +n n n令怎=产k:7一/，A=1 K 十 1则百=g ,当.2 时，xn-xn_inn2 4-1-l n(l +nn2+1(r+l)n因此怎 七一 /3/（X）为周期函数且周期为万，,举,、1 3打(x)I,TO3(3)i(sin2xsin22xsin24x.sin22 x)2=|sin5xsin32xsin34x.sin32 M-Ixsin32nx,二|sin x I I sin2 xsin3 2xsin3 4x.sin3 2 xsin 2x|sii?2 x
46、|,=|sinx|.|/(x)/(2x).J(2 T x)|sin22Mx|,|/(x)/(2x)./(2w-x)|.000 9 3/3-3/.sin xsin 2xsin2 4x.sin2 2 工，(一 )丁 =.8 421.(2021广州一模)己知函数 f (x)=(x-4)ex 3+x2-6 x ,g(x)=(a-)x-1 -bvc.(1)求函数/(x)在(0,田)上 的单调区间；(2)用 机 以 2,表示m,中的最大值，/(X)为/的导函数，设函数/z(x)=zm rr(x),g(x),若(x).O在(0,”)上恒成立，求实数。的取值范围；(3)证明：J_+_!_+_!_+_ L _+
47、J _ /3(N*).n H4-1 +2 37z-l 3n【解答】解：因 为/(幻=。-4)-3+/-6 x,所以 f x)=(x-3)e*-3+2x-6=(x-3)?+2),令 广(幻=0 得x=3当x 3 时，/,(x)0,/*)单调递增当0 x 3 时，/1(x)0,/(x)单调递减所以/(%)单调递增区间为(3,3)；f(x)单调递减区间为(0,3).(2)由(1)知1(x)=(x-3)(e.3+2),当 x.3 时/(x).O恒成立，故(x).O恒成立当 x 3 时，f (x)0),则加(x)=e)1 0,所以 m(x)在(0,+00)上单增，所以 zn(x)m(0)=0,B P e
48、x x+12 j_ _i_ 工en Z+2 e3nn+1 n+2 +33n 3+1n +1 n+23九 一 1 3n7 7 4-1 n+2 +3n+l+2川g 以、i-1-1 1 11-1-F.H-1-IH3 n w +l n+2 3 n-l 3n2 2.已知函数x)=(l-x)/-l.(1)证明：当x 0 时，/(x).【解答】证 明:(1)因为f(x)=(lT)e*_l,所以 fx)=-ex+(1-x)e=-xex,当x 0 时，/,(x)0,所以函数/(x)在(0,内)匕单调递减，因此/(x)!.当 =1时，玉=1；，所以菁;成立.假设=左 时，x*.*-1那么当“=氏 +1 时，x,*
49、=e*-1 ,则,.4 分Px _i d _ 当x 0 时，由不等式，-l x 得 1且 g(x)=在(0,4 3.由(1)知(l-x,)e&-1 0 ,所以e 4-1 c x e由 xnex*=ex -1 知 x+l )./(c o s。)+/(si n 02)/(c o s 6,1)+.+/(si n 6-1)/(c o s 02)+/(si n 6,)./(c o s 仇)6n.【解答】解：(I)由 f x)=ex-e-x+2-b,得 八 0)=2-6 ,由 g(x)=2 a r,得 g (1)=2 a,根据题意可得2 a=2g =a+b=2 +2-b,解 得3(I I )由不等式f(x
50、).侬(x)-2 4+2 对任意X GR恒 成 立 知,产+-不-2.0 恒成立,令尸(乃=/+/_&_ 2,显然尸。)为偶函数,故当 0时，尸(x).O 恒成立，F x)=ex-e x-2 k x,令 h(x)=ex-e x-2 k x(x.0),贝 I (x)=ex+e x-2 k ,H(x)=e、+e T-2 A(x.O),则”，(x)=e-e-*,显然9(x)为(0,+o o)上的增函数,故，(x)./T(0)=0,即，(x)在(0,田)上为增函数，(0)=2-2 3当(0)=2-2%.0,即 晨 1 时，W(x).O,则/i(x)在(0,+a )上单调递增,故x)./z(0)=0,则