《2022年全国硕士研究生招生考试302数学二预测卷7和答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年全国硕士研究生招生考试302数学二预测卷7和答案解析.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2 0 2 2年全国硕士研究生招生考试数 学（二）预 测 卷（七）（科目代码:302）考生注意事项1 .答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2 .选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。3 .填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2 B铅笔填涂。4.考试结束,将答题卡和试题册按规定交回。（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题：110小
2、题,每小题5分，共 50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.4 a r c ta n 工甘+1 1.设 f0 z/0,则 l =0 是函数f(x)的%=0,A.跳跃间断点.C.无穷间断点.B.可去间断点.D.连续点.2.设函数/(x)在 0,2 上二阶可导，且/(0)=/(2)=0,则A.当/(z)0 时，J 0B.当/(z)VO 时，/(G d rc.当 0 时 J(l)0.D.当/(I)0 时，f(z)dLr 0.J 03.设函数/G)在-1,1 上连续，则下列定积分中与；”(sin d r 不相等的是A.7：/(cos jr)dr.J oB.7C/(sin jr
3、)dr.C.-I/(cos x)dr.D.I /(sin jr)dr.Z J oZ J o4.设函数以外在点H=1 的某邻域内具有二阶导数，且 以 D 0 J(z)=Cr1)2次外,则A.函数/(外在点z =1处取得极大值.B.函 数 在 点 z =1 处取得极小值.C.函数f (1)在点才=1处不取得极值.D.点(1,0)是曲线y=/(x)的拐点.5.设 L=J J(|x|+|y|)e-l-r|-l,drd,Z2=(/+力-l d rd y/=Ijcx3+r，v，drd,D D D其中 D=Gr,y)|N|+|y|&D，则A.I V I2 z,y)=(0,0)A.偏导数存在但不连续.第2页(
4、共8页)B.连续但偏导数不存在.C.连续.偏导数存在但不可微.D.可微.7.设义工)为二阶可导函数,且l=0 是 f(z)的驻点，则二元函数z=/(z)P 3 在点(0,0)处取得极大值的一个充分条件是A./(0)0,/(0)0.B./(0)0,/(0)0,/(0)0.D./(0)0.8.设 4维列向量组Qi,a2，窃 3，%线性无关次是常数“=a +k .住=a,2-ka3也=03+也，6=&+也 记 8=(4,仇.良/)，则齐次线性方程组版=0 有非零解的充分必要条件为A.k 丰 1,B.k W土 1.C.%=1.D.k=1.9.设A 为 3 阶矩阵且满足Ai=E,r(E-A)=1.则|A
5、*+3 E|=A.8.B.16.C.18.D.32.1-1 12 0 010.设 A=24-2,3=0/;0 .若A 与3 相 似,则 常 数 的 值 分 别 为-3-3 a0 0 2A.5,6.B,4,5.C.5,4.D.1,0.二、填空题：1116小题，每小题5 分，共 30分.11.曲线)=Cr 0)在点(1,1)处的切线方程为12.J 1 xV x 113.定 积 分六 三业的值为.14.设函数 y(z)满足方程，(z)+4，(z)+4 y(z)=0,且y(0)=0,jZ(0)=1,则曲线y=y(i)的 拐 点 坐 标 为.15.设 n =N(r,y)是由方程z3 312NQyz+3一
6、 3y=1 所确定的函数,则1dxdy(0,0)16.设A 是 5 X 4 矩阵,r(A)=3,a,a2,a3是非齐次线性方程组Ax b 的三个不同的解，且 6+2a-+3a,i=(l 2,l,0)T,ai+5 侬=(2,5,5,3)，则方程组Ar=8 的通解为x=.第3页(共8页)三、解答题：17 22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)设函数/(Z)在点7=0的某一邻域内可导，且/(0)=0,/(0)w 0,当I 2 0时,/(z)手0,求lim兴 力 出J 0_M18.(本题满分12分)已知方程!一卷=为在区间(8,0)内有实根求常数6的取值范
7、围.第4页(共8页)1 9.（本题满分1 2分）设函数/（X）满足方程f（工）+/（G=2-，且/（0）=2,记由曲线y =黑 与 直 线 y =1，7=y 0）及？轴所围平面图形绕了轴旋转一周所形成的旋转体的体积为V（t）,求l im V（z）.第5页（共8页）20.（本题满分1 2分）设/（外为 0,+8）上的可导函数.且/（0）=1，/（外 0,l im人 力=+8.证明：当z 0时,年 V a r c t a n/（x）+7/-；V 子+LZjJ C）4第6页（共8页）21.(本题满分12分)设平面区域D 是由封闭曲线/+y =a(x+X/J2+y )所围成的有界闭区域,其中常数a 计
8、算 I=JJx2ln(y+x/1)+工 /储+y da.D第7页(共8页)22.（本题满分12分）设二次型/（xi,n2，工3）=ax+oz2+2brT2+2&rx3+2 6 r2x；i 的矩阵为 A,已知 A 的特征值为-1,2,2.（D求常数a,6的值；（2）求一个正交变换x=0,将二次型/化为标准形.第8页（共8页）参考答案与分析卷(七)一、选择题1.【答案】D【分析】因为lim一/(J)=lim-arctan-=(1)(-)=4,I T ee+1/2/2lim/(.r)=lim-arctan =1 -=-J-,F+L O+e-4-1 工所以lim/(.r)=lim/(x)=-=/(O)
9、.从而r =0是函数/(z)的连续点.x-O-L O+,应选D.2.【答案】A【分析】如图所示，当/(力 0时，曲线y=/C r)在 0,2上是凹的.又/0)=/(2)=0,故/(x)0(0 x J 0十 X2 X 匚 一f 口 =一/，即j：fG r)dr /(1).应选A.3.【答案】C【分析】因为J x f(sin x)clr X J(K Z)/(sin；)d/=nJ/(sin x)cLr|jr/(sin j)cLr.所以1 z/(sin N)dr=0 /(sin j)d r.Jo L Jo又y J/(sin x)cLr-y/(cos Z)d/=兀 J/(cos l)dl=j t|J/(
10、cos j)cLrXJ2 U f x fx-=7t /(sin w)d=7t /(sin x)dLr.JoJ 0应选c.4.【答案】B【分析】由泰勒公式可知，存在 介 于1和工之间，使得 0.于是，函数/(X)在点H =1处取得极小值.应选R5.【答案】D【分析】令/()=“叱，则当 V 1时,/()=(1 u)e-M 0,故f(u)在(-8,1 上单调增加.因为当(z，3)6 D时，|当&1,1 1 4 1,所以当(以3)e D,且Cr，W W(0,0),|z|+|y|时,-r3+|z|+l y l v 1，从而(炉+炉)-J-y 1,于是jj(x3+y3)e-jl-v 3 drdy jjc
11、-r2+y2)ej2y2 drdy JJ(I Z I +I y I 九7，U irdy.D D D即 I3/2/1.应选D.6.【答案】C【分析】因为*彳&1，所以 lim f(X,y)=lim f工=0=f(0,0),即/C r,y)在点(0,0)JT-T y 以。)一 津。)=lim =0,lim(d。)=lim&=0,j-o x-0 T-o x r*o y-U y*o y所以以工,y)在点(0.0)处存在偏导数，且 乙(0,0)=/(0,0)=0.乂 H m f&.y,一/(o,o)-1/(o,o)(ro)+/v(o,o)(-o)1 _ 所 f y9(x2+y)而l im ,r=l im
12、-,=声 0所以胃(f+y”口(f+x2)号 2/2H m /(，.)/(0,0)-乙(0,0)(7 0)+/(0,0)(、一 0)Z 1 ,0骂 +即函数f(x,y)在点(0,0)处不可微.应选C.7.【答案】C【分析】=八外弩=/(”)/(必)X dyB=八外,蕊=/八 山”，y-7=/(外/，)/(3)了+/(z)e/x/(y).3y由于1 =0是/(X)的驻点，即/(0)=0,因此点(0,0)是函数Z=/(幻、)的驻点.在点(0,0)处，A =I=/(O)e/,B=-|=0,C=I=/(0)/,(0)e/(0).2k|(o.o)dxdy|0且/(0)V O时,A C-B?=/(0)E/
13、(0)2e2/0,A 0,/(0)0.应选C.8.【答案】D【分析】由题设，10 0 64 10 0B=住,即、0;)=(f l|2 .03*c t；)0 1 0.0 0 61由于明，。2，23，04线性无关，因此(。1，2，。3,04)是可逆矩阵，故r(B)=N。,其中1k0001k00 k10 0 40 010 0，1 c|=I T1 00 4 10k 10 0 4 1于是侪次线性方程组取=0有非零解N S)V 4=1 C|=0 父=1 公=1.应选D.9.【答案】B【分析】由于A?=E,因此A的特征值只能为1或 一 1,且(E +A)(E-A)=O,从而r(E +A)+r(E-A)r+1
14、r）,知；/|一 =1.又因切线过点（1,1）,故所求切线方程为y=了.12.【答案】式【分析】j 卢-=2f 丁宝=2arctan/+C=2arctan J工-1+C(C为任意常数).J x Z r-1 J 1+L注意到x=1是被积函数的瑕点，严=lim f-=lim2arctan J x-1 I =9，lim2arctan J工 一 T,故看一也+dr=卫+工=J 1 x-Jx-1 J 2 x x/r 1 2 213.【答案】号【分析】,土耳=(正事+正芋)公=4改=李JT +-Jo +/+e-3/Jo 414.【答案】(1,0-2)【分析】由题设知，微分方程的通解为y(i)=(Ci 由3
15、(0)=0,y(0)=1,得G=0,Q=1.故y(z)=J*e-2 j,y(x)=(12x)e-2 x，y C)=4(xl)e-2x.令y(z)=0,得 千=1,且yCr)在工=1左右两侧异号.于是曲线y=J(J)的拐点坐标为(l,eT).15.【答案】4【分析】令 F(xyz)=2 3x2z 6yz+3r 31y 1,则H=-6 衣+3,凡=-6N-3,R =Sz2-312 6y.由1=0,j=0易得2=1.于是.匹=_F1 _ _ -6衣+3 _ 2衣-1，一 I _ _ .3 -31?-6j/-JT2-2j,H i I(o.o)匹 _ FC _ _ 6z-3 _ 2 z+1 I _ f)
16、y F K 3 -3 -61y z2x22y*y o.o)(0.0)16.【答案】晨1,一1.2,1)T+(卷,母,卷,0)%为任意常数)【分析】因为A是5 X 4矩阵,r(A)=3,所以非齐次线性方程组A x =b对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系只含一个线性无关解向量.由于a：i az=(m +2a 2 +3a；)(a +5 a2)0=E(1,2,1,0)T 一(2,5,5,1 3)1 1=(1,-1,2,1)T是齐次线性方程组Ai=0的基础解系，而4-(a i+2at+3b)=4-(1.2,l,0)T=(4-,4-4-0)6 o b o o 7是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解.因
17、此，非齐次线性方程组Ax=b的通解为x=鼠1,1.2,1”+(，卷 。)(我为任意常数).v O 6 0 三、解答题17.【解】由于/(外在点z =0的某一邻域内可导，且/(0)=0,/(0)#0,因此扁起=扁检中 o x o x-0f(0)#0,l imx-0又当N羊0时J C r)W O,则z/2(f)d zl im r-4)2/(工)J /山=l im0 Z/(N)2 P/(D d zJ 0力2(-l im 102/(外 r10/(0)7(0)118.【解】令/(X)=y,则f(H)=A +一1)/(e1-(e，-1尸 _ j2/(-1)2再令 g(j r)=x2 一(十一2+e-x)则
18、g (z)=2N (1 e-J)g，z(x)=2 (+e-J).由于/G r)g(0)=0,即g(外在(-o o,0 上单调增加.于是，当/V 0时,g(z)V g(0)=0,从而/C r)V 0.即 人 在(一8,0)上单调减少.于是，当/V 0时,/(0一)/(x)o)及丁轴所围平面图形如图所示.于是V G)=K l2-()2dz=x/+4 o(e r-e)d(7+)=+VTL_4Od r =7 t故 l i m V(D=l i m n，。,r-*4*o x-+o o e -r e20.【证】令叭)=a r c t a n f(工)+五%,则，(._ f (工)_ f (/)_ -/(z)
19、_9 -1+/(产(力f (x)L H-/(x)r由于/(z)0,因此/(x)V 0,从而仅外在0,4-o o)上单调减少.于是，当z。时,仅+8)6外 人0).又因为/(0)=1,l i m/(x)=+8,所以r y8飙0)=a r c t a n /(0)+7焉=于+1 少(+8)=l i m a r c t a n /(x)+/()=-y.故乎 飙 幻 f+l,B Pf a r c t a n -点 0),可知该曲线是一条心形线，如图所示.由于函数夕G r,y)=/l n(y+/TT7)是关于y的奇函数,且积分区域关于z轴对称，因此匕=0.故Dji+y)+JT J+y 匕D=|1=M 2
20、 cos OdrD=亍 j (1 +c o s 外 c o s 0(0=(1 +4c o s 04-6c o s204-4c o s30 4-c o s4 O)c o s M“(4c o s20-c o s*O)d3o=a4(4X-X-1-|-4X-1-X-1-X-)=3422.【解】（1）二次型/的矩阵为a b bA=b a hb h aa b b 1I A I=b a b=(a +26)1b b a 1b b 1a b=(a +26)0b a 0h ha b 0=(a b)2(a -f-26).0 a h因为 A 的特征值为-1,2,2,所以 t r(A)=-l +2+2=3,|A|=(-
21、1)X 2 X 2 =-4,从而1 3 a =3,la=1,I (a-A)2(a 4-26)=-4,B P l a3,-3 a 6?2+26,3 4-4=0,解得1J)=-1.1 -1 -1(2)由(1)知4=-1 1 -1-1 -1 1-2对于特征值人=-1,一 E A=11 1 1-2 1 -01 一2)l o1 -2-3 3 f3 -3,1000-r1 -1 ,故齐次线性0 0,方程组（-E-A）x=O的基础解系为&此即对应于特征值为=-1的线性无关的特征向址.将其单位化得 =（方 心 心 1 1对于特征值入2 =九=2.2 E-A=1 1,1 11 p i r1*0 0 0 ,故齐次线性方程组(2E A)x =0的1 J 1 0 0 0基础解系 为&=（-1,1,0）、亭=（-1,0户,此即对应于特征值入2 =为=2的线性无关的特征向量.将其正交化得加=*=（-1.1,0,小=3 性 通 硬=（一 十，一 十J）,2一乃1-61病T出1V6-17 211721浮-L1/3再将其单位化得02=-A2/172O1117131173=e)3,则Q为正交矩阵.作正交变换x=Qy,可将二次型/化为标准形/=-4+2%+2乂.