《2022年全国硕士研究生招生考试302数学二预测卷8和答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年全国硕士研究生招生考试302数学二预测卷8和答案解析.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2 0 2 2年全国硕士研究生招生考试数学（二）预测卷（八）（科目代码:302）考生注意事项1 .答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2 .选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。3 .填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2 B铅笔填涂。4.考试结束,将答题卡和试题册按规定交回。（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题：110小题,每
2、小题5分，共 5()分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.L lim】(7+a)(z +6)(r+c)/二A.a+6+c.B.abc.a+6+c-D竽2.设函数6=和.力=就 人 =的第一类间断点的个数依次记为M，出决3，则岛次2/3的大小顺序为A.k.V 局 V 女3.C.k V 43 V423.若4 2，贝 IJ方程n x=kreA.至少有一个实根.C.有且仅有一个实根.B.A2 V V k3.D.V M V 4 2.B.至多有一个实根.D.恰好有两个实根.4.设函数f(力连续,FCr)=j：(z 2 t)/(t)d t.考虑下列命题:若/XH)为奇函数，则F(Z)
3、为偶函数；若/(x)为奇函数，则 F C r)也为奇函数;若人工)为增函数，则F(H)为减函数；若以不)为增函数，则 F(z)也为增函数.其中正确的是A.B.5.下列反常积分发散的是AJ J 得.Cr_Jo(x+2)ln2(j-+2)-C.D.6.设 D=|x|+|y|0.B.I2 0.C.h 0.D.It 0.7.设函数 z=/(z,y)的全微分为 dz=(x2 l)d r (.y2 l)d y,则A./(l,l)是极大值,/(1,一1)是极小值.是极小值,/(一1,一1)是极大值.C.是极大值J(一 1,1)是极小值.D.7(l,-l)是极小值,/(一1,1)是极大值.第2页(共8页)8.
4、设A 为zn X n(”1)矩阵，且 r(A)=n-l,a,a2是非齐次线性方程组Ax=b 的两个不同解，则方程组A x b 的通解为(人为任意常数)A.(k+D a ikaz，B.(k-D a ika?.C.(k+Det+kdz,D.(k 1)a),-ka?.9.设A 为 3 阶实对称方阵，IA|=4,且 A?3A 4E =O,则二次型f(x,x2,x3)=xTA r的规范形为A.zi+zi+z|.B.zf+z|zf.C.zi z1 zl.D.zi z|zf.10.设 A 是 3 阶方阵必 心 外 是 3 维线性无关的列向量组，且 项】=a z,=Aaz=2a3.Aa；i=3 8，则 r(G
5、E A3)=A.0.B.1.C.2.D.3.二、填空题：1116小题，每小题5 分，共 30分.11.设函数/(x)=工 号+a r 号在工=告 处取得极值,则曲线y=/(x)的凸区间为.12.设取z)=L，(N)(M 为正整数)，则 F(0)=7(x +l)2(x-l)414.f 六 q /4 J-2 dr=.15.已知方程/2 f+a =0 有四个不同的实根,则常数a 的 取 值 范 围 为.16.设A 是 3 阶方阵,A 的特征多项式为/(A)=A3-5A2+11A-15,则 ftr(A)=三、解答题：1722小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分12
6、分)求极限lim (2?!上rr*8第3页(共8页)18.（本题满分10分）设 D 是由曲线y=or2（a 0）与=所围成的平面图形;匕,V2分别表示D 绕丁轴与直线工=。旋转一周所形成的旋转体的体积.若匕=V?,求 a 的值.第4页（共8页）1 9.（本题满分1 2 分）设函数f（U）在（0,+8）上具有二阶连续导数,且f（7 t）=/（K）=0,函数Z=八 万+丁）满足万d2Z+j d/2Z-31 石（）Z=即 /72-2 2,求函数f（Z）的解析式.第5页（共8页）2 0.(本题满分1 2 分)设函数/(z)在闭区间 0,：上具有二阶导数，且/(0)=/(D,证明:在(0,1)内至少存在
7、一点 3使得/(=(e Y -l)/().第6页(共8页)21.（本题满分12分）计算二重积分 max 合+2,1 业盯,其中 D=（x,y）x2+y2 2x.D第7页（共8页）22.（本题满分12分）入 苴 五 比（C 1设A为3阶实对称矩阵,N2E A）=1,齐次线性方程组.=0的一个基础解系为（。，1，1 ,求矩阵A.第8页（共8页）参考答案与分析卷(八)一、选择题L【答案】C 分 析 l i jn +a)(/+ZO(z +c)z =l i m/(1+)(1+/)(1 +2)1=处”(1+旺”+此 土 詈 及+芸)+一1_ Hmz 上(a+。+。+ab+ac+be+abc)_ a+c一
8、3,应选C.2.【答案】C【分析】力(外=专 式 的 间 断 点 为 了=0,1,2，其 中 工=0,-1为第一类间断点；/z(x)=7 -的间断点为工=垢裳=0,士1,2“)及 工=垢+柒=0,土1,2).其中tan JC z工=0及 工=垢+费3 =0,士1,2.)为第一类间断点5(工)=生堤的间断点为工=0,1,1,ef一e它们均为第一类间断点.因此M V A,/(+oo)=-8,故当看时,方程至多有一个实根.应选R4.【答案】B【分析】令，=一 .则F(一工)=(-x-2/)/(z)dz=-J(x+2u)/(一)d=(h-2u)f(u)du.若/(工)为奇函数,则F(一)=一(工一2)
9、八)1“=-F(z).故F(_r)也为奇函数.由于F C r)=(H-2，)f(，)d/=Hf(，)d，-2 0时,O V F V z Jd)/(/),从而FCr)V O.同理可得当z V O时，尸(公V0故FCr)为减函数.因此,命题与是正确的.应选R5.【答案】A【分析】因为f.-yy-=lim j-%=lim(p-)I =lim r ro)=H-J|-rlnzT z_,r J-lnzJ*一厂 ln/，|十 厂 In t In 27所以L不)/发散,从而r t；发/因为lim f/e-)=h m 4=0,所以反常积分/1,收敛.r-O Q X T3 M J 0因为广Cr +2)l n 2(
10、z +2)l i mo(j-+2)l n2(.r +2)一 则1l n(z+2)|o所以反常积分rd r(x+2)l n2(x+2)收敛.因为 l i m 7 7=敛,从而反常积分收敛.=1.l i m j-i =l i m f=0,所以反常积分均收应选A.6 .【答案】D【分析】区域D 如图所示.由轮换对称性.知7,=0.由 于 在 D上，0 4 1 1 1 +故 等号仅在原点成立）.在D z上,z y 0,从而（工一y）s i n（/+_/）4 0（等号仅在原点成立）;在 D,上,z y）O,从而（H y）s i n（/+y2）0（等号仅在原点成立）.故在 0.应选D.7.【答案】【分析】
11、D由 d z=(.JC2 D d r (y?l)d y,得/(工,)=JZ-=l)sA=fa(ity)=2H.B=0,C =2y.,I (z,y)=0.由 解得/(a y)的驻点：(1/)，(1,-1),(一1,1),(一1,-1).列表讨论如下：I fy(x,y)=0.驻点ABCA C-B2(1,1)20-2-4(l.-l)2024(-1,1)-20-24(-1,-1)-202一4由 上 表 可 知 是 极 小 值 可（-1,1）是极大值.应选D.8.【答案】A【分析】由于A 为m X”（”1）矩阵,且r（A）=-1,因此齐次线性方程组Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为“-r（A）=“一
12、（”-1）=1.因为加，染 是非齐次线性方程组Ax=6 的两个不同解,所以a i-a,是齐次线性方程组Ar=0 的非零解,从而m 他 是 Ax=0 的一个基础解系.于是.方程组Ax=b 的通解为&（s-a：）+a,=（A+l）s-k a2（k为任意常数）.应选A.9 .【答案】C【分析】设 4 为A 的特征值，则M 34一4=0,从而a=1 或 4=4.又|4|=4,且|4|等于A 的所有特征值的积，故 A 的全部特征值应为一 1,一 1,4.于是,二次型/（J-,）=xJA x的规范形为9 9 9Zi Z2 Z3.应选C.1 0.【答案】A【分析】由=0 2.42 =2 小,4x 3=3加，
13、得A3i =A%=2 4a3=6a l,A3 a2 2 A 2 e r：,=64a i=6a 2，A%=3A 2 a l =3曲 2 =603.由于*a2 a 线性无关，故 6 是川 的三重特征值，而a 心 处 是A 的线性无关的特征向战 于是.r(6E-A3)=3-3 =0.应选A.二、填空题1 1 .【答案】0,1【分析】f()君+母以专=,/(8z+5a).由题设知r(-|*)=0,故 a =-4.于是,=岑 竽 H =y 五/.令/(彳)V0,得 0 Vz V 1.故曲线y=/(J*)的凸区间为 0,1 .1 2 .【答案】!【分析】，(H)=,/(0)=1.又广O=尸 卬 外 产 =
14、-G5 严尸=)5 严 产)(外,*-0 A=O故 f”(0)=C T(”一D!w(0)=”!.1 3.【答案】一等；空 彳+C.其中C为任意常数【分析】页弄焉音市.二/天笔匕=4 酒让令7 1天=，则/=蕾 于 是九+1)2(工-1 d r =1（一 等）&=一 多+C7夙+C其中C为任意常数.1 4.【答案】K【分析】L看I 斤 =：(卷1Gp尺不加=1：/?7 也=十 厂 2 2=.1 5.【答案】(0,1)【分析】令 人 )=d 2/+a 则/(x)=4/-4 1=4#(z+l)(z-1).令/(z)=0 得：1=-1,n=0,7=1.列表讨论如下：X(-00,-1)一 1(1,0)0
15、(0,1)1(1,+0 0)/(x)0+00+f(x)a 1/aa 1/(-1 X 0,由于lim/C z)=lim/C r)=+8,故由上表知,要使方程有四个不同的实根，当且仅当即JU)VO,a-1 O,Q,解得0 V a V 1.故常数a 的取值范围为(0,D.a 1 V 0,16.【答案】40【分析】设 A 的全部特征值为无山山，则由题设知，/(A)=A3 5A2+11A _ 15=(A-Ai)(A A2)(A A3)=A3-(Ai+A2+A3)A2+(Ai 刖+筋+-%U X 瓦筋,故 tr(A)=Ai+入 2+/3=5.于是/tr(A)J=/(5)=40.三、解答题17.【解】令工”
16、=口囱皿，则nIn x=!21n =ln(2n)!-In n2=1 j1j j 1 /1 2 n-+-1-+2 2n n n n n n n n fT 多)J=In 2 J(2 j=In 2 2z ln(l-|-x)J|=In 2-(2-In 2)=21n 2-2.故nl*ooi mI=limz”=e,nx=e2,n2-2=4.n n oo e18.【解】区域D 如图所示,依题设，有Vi=n I,C(ar2)2 (x3)2 d r=7r(-a2x5-TTX1)I =第/,Jox 0 l z 10 35Vz 2 n|(a-x)(a r2 x3)dr=2冗 J(x4 2ar3-a2j)djc由=匕
17、，得 级7 =占5,故。=d o l b V o1 9.【解】令=J F+丁，则 N=/(u).B=八)为#=，奈=/+和 .类 似 地 嘉 =/()+()于是，原方程化为-/z(w)+fu)/，(“)=s i n /()，即/(a)+/(w)=s i n u.(*)方程(*)为二阶常系数非齐次线性微分方程，相应的齐次方程的特征方程为，+1 =0,特征根为厂1.2 =士 i.相应的齐次方程的通解为F(u)=G e os 4-C2s i n u.可设方程(*)的一个特解/(w)=“(A c os “+B s i n G,将其代人方程(*),得A =-3,B=0.于是，方程(*)的通解为/()=C
18、 i c os u +C z s i n u -u c os u,将通解求导得/()=-C i s i n u 4-C z c os u-y c os +s i n u.由 /(K)=/(n)=0,得G=1 故/()=-y c os +J s i n u 一 y wc os ，从而函数/(J)乙 乙 L t C L 的解析式为/(x)=-y c os x+-s i n j-1-.r c os x.20 .【证】因为人外在 0,1 上二阶可导,且/(o)=y u),故由罗尔定理知，存在工。e(0,1),使得/(T o)=0.令华(工)=(1 1 )2)c L r d y.D D D2其中,jjd
19、 r d y =4J l -fc l r =4 j；c os2疝=2 j今(1 +c os 2t)dt=(2z 4-s i n 2t)I=4兀 一 W，“3 2 (/+/)(丁=2)：的-y E(2c os 夕 尸 一 口由D2=8c os4OdO(3+4c os 20+c os 4仍由J o b J o b=(2s i n26+；s i n M)r+挈=乎+邺.4 lo b o o于是/曰/+-1出 打=亲 一 尊+啜+普=知+|履D22.【解】由r(2E-A)=1知,4有二重特征值为=的=2.由于齐次线性方程组Ax=0 的一个基础解系为(0,1,-1 ,且A为3阶实对称矩阵.故A有一个单特征值福=0,且a,=(0,l,-l)T是与之相对应的特征向量.设A 的属于特征值猫=A2=2的特征向量为a=(.ri,4 ，则aoi=0,即工2工3 =0,解得6 =(l,0,0)T,a2=显然仍,a2,a3两两正交.将其单位化得&=(i,o,o)e2=(44)T =(4-i)T-是于ooO020200:豆-AOly2ly21oOQ令01笈O17211oOooO02020001 17 2I)01721721oO=ooO020200QA=A111lxA1200:无-iOl_v2ly21ooooooy2200