《2022年全国硕士研究生招生考试302数学二预测卷2和答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年全国硕士研究生招生考试302数学二预测卷2和答案解析.pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2 0 2 2年全国硕士研究生招生考试数学（二）预测卷（二）（科目代码：302）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。3.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题：1 10小题,每小题5
2、分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.1 .函数/()=lim 信)+(今)+z 在(0,+8)内A.处处连续但有一个不可导点.B.处处连续且可导.C.处处连续但有两个不可导点.D.有一个不连续点.2 .若当70 时,/(z)=f，(eM,-es,)d/a 是等价无穷小，则常数a#的值分别为J 0A.,3.B.,3.C.!,4.D.5,4.0L o 43 .设二阶可导函数/()满足/(-1)=/(1)=0,/(0)=1,且/(为 1.B.J /(j r)d r =/(J-)的拐点.D./(0)不是函数义工)的极值,(0,7 函数也不是曲线y =/(x)的拐点.
3、6.设 人=尸一叫+了)也/J 0 X0。一/(1+7)则A./,/2 1.B.1 /,I2.C./!1 I2.D.72 1 .a,+a(.D.a-a.a:!+a：i.9 .设 4是正定矩阵,P是初等矩阵,则非齐次线性方程组P A P x =bA.无解.B.有唯一解.教 学(二)预 测 卷(二)试 题 第1页(共3页)C.有无穷多解.D.不能确定是否有解.1 0 .设A,3,C都是2 阶矩阵,AB=BC,若A 有一个特征值为3,3 的两个特征值为2,2,则矩阵C 有一个特征值为A.-2.B.2.C.一 3.D.3.二、填空题：H16小题，每小题5 分，共 30分.i i .设/（了）=，久一】
4、则 r（i）=.I e,z =1,1 2.设 y =其中函数/Cr）具有二阶导数,且li m 小二=4,则宴|JC I A/*0 JC Cl*|1 3 .定积分（后 三 口 n（z+的值为.1 4 .若函数=d+3 +C 在约束条件J*?+2/=9 下 的 最 小 值 为 1,则常数 C=.1 5.设函数u=及 u =具有一阶偏导数，函数z =f（u,v）具有二阶连续偏 2,导数,且 d z =（y/：+2z/：）d r+（z 2y/：）d y,则方,=.1 6.设向量a=（1,0,-l）,A=a a,若矩阵A 的特征多项式为f G D,则微分方程，-y =/0）,求li m 当；-.1 8.
5、（本题满分1 2分）设定义在（-8,+8）上的连续函数八外满足方程/Cr）+U（f）d，=2,求：J 0（1）函数八公的解析式；（2）曲线y =/Cr）的凹、凸区间与拐点.1 9.（本题满分1 2分）设 D =（z,y）|1 （f 2工,求：（1）平面图形D的面积；（2）平面图形。绕.y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.20 .（本题满分1 2分）r i（计算二次积分J d r 1 （x2+y2）dy.数学（二）预测卷（二）试题 第2页（共3页）2 1.（本题满分12分）设函数/（x）在闭区间 a,切上连续，且|f（x）|=0.证明：11 x/（x）d r 竽（6 a）.2 2.（本题满分12
6、分）已知实二次型，（,%小）=*TA r的矩阵为A,且 A-E=0.AB 3B=O,其中1 1 2矩阵5=2 1 4，求一个正交变换x=Qy,化二次型为标准形.1 1 2.数学（二）预测卷（二）试 题 第 3 页（共 3 页）数学（二）预测卷（二）试题答案及评分参考一、选择题1.答应选A.解 当OVH&I时看 专V z,此时有工 仔）+陶）+x 了 工羽;当1 V z42时 售 亨 工,此时有H&传）”+酶）+x 2时 受 V hV、,此时有 传）”+传）+工 了 ，凉又li m%=1,故显然，/(了)在(0,+8)内处处连续.由于/(2)=1,隹(2)=2,因此/(才)在z =2处不可导.【
7、注】本题是用夹逼准则求极限的题目，注意本题的放缩法.1 y”&2，夹逼准则X f A(f 8).yf,A,z”f A 对 于 s +如+0，为有限数)，其放缩法为1 “max&1+2+EX2.答应选C.(ptan t _ sin t)布I v v 7 J，A|(1|x|)cLr=2 j (1 x)dLr=1.4.答应选B.解 由1 淅/(”/(2)27/(工)=2,得1 淅/(工得=0.由于函数f(z)在 工=0 处Xx-*0可导.从而连续，故/(0)=lim/(z)=lim/(jr2)=0.于是，o*0加/(合)一 力(2外 一21/(1)f X2=lim/支丁。2-2 lim _2 1 加
8、。)j0 JC J0 LX jr-*O J C=/(0)-2/(0)-2/(0)=-3/(0)=2,故/(O)=4.o5.答 应 选 C.解 由于函数/(外在点/=0 的某一邻域内具有二阶连续导数，且lim 鱼=0,故D X/(0)=lim/Cr)=0,且/(0)=lim 八)一 1()=lim=0.r*()0),故 f(工)在数学（二）预测卷（二）试题答案及评分参考 第 9 页（共 3 3 页）0,+8）上单调减少,从而当x0时,/C r）/（0）=0,即i一 l n（l +工）。，故R烹+工）2.于是2 r l n（1 +.r）d r V 1,o1 1 =L x-l n C l+a-）L故
9、m.7 .答应选B.解F（Z）=J d y j /（j r）c L r,F W=1 /（x）c L r,r（/）=/（-/）.8 .答 应 选D.解 因为0 2，2 3线性无关,。】，。3线性相关，且中，故存在k W 0,1 ,使得小=3 1.因为1 0 1（。|I。2+处Q m2 +a3，图+因 与向量组a ）+a?.6+妣 a：s均线性相关.若 出=，则a】，处.。1+a线性相关，故团+小不一定线性无关,由排除法知应选D.也可直接证明a.+妣9 2 +柒 一定线性无关.若存在M 花，使得囱（。1+妣）+品（。2 +。3）=0.将a.=如 代 入 上 式 得（M +kk2）ai+（&i +局
10、）。2 =。.由 于a i 线性无关，因此+kkz=0,因为k#1,所以3=卜2 =0.因此曲+。2 +。3 一定线性无关.Ui +k2=0.9 .答 应选B.数学（二）预测卷（二）试题答案及评分参考 第1 0页（共3 3页）解 因为A 是正定矩阵,P 是初等矩阵，所以A,P 均可逆，从而P A P 也可逆.因此，非齐次线性方程组P APx=b有唯一解.1 0 .答 应选D.解因为B 的两个特征值为2,2,所以|m=-4#0,即8 可逆.于是，由 的=比 得B AB=C,即A 与C 相似,从而A 与C 有相同的特征值.又A 有一个特征值为3,故C 也有一个特征值为3.二、填空题1 1 .答应填
11、趣./（工）一/解J T 1ex-e-erx-1 eJ-e -e(j r -1)=hm-：=hm-；-7 T 2-L1 x 1 一 i x-1)=rh m ee-J-eT V=hvm-ze-J=-ey.I LX-1)l】N Z1 2 .答应填0.解 因为函数/(z)具有二阶导数，且l i m T =4,所以x-*0 Xf(0)=l i m/7(x)=l i m/(x)2+2 =0 +2 =2,j r-*0 x-*0从而r(0)=l i m 仆)一逑=l i m =4.JC-0 4 ()x由于d _ _ ,/z -1 1.2d r +1 /(T+1 )2*=Z/J-1 4 /“/一 4d r2
12、x+i r (J T+1)4 7-(/+1)3,因此副 E =1 r(O)-1 r(O)=lx4-1x2=O.1 3 .答应填当+1.解 因 为 三 是 偶 函 数,l n（z+4=中）是奇函数，而积分区间-1,是关于原点对称的区间，所以由奇偶性、对称性并运用定积分的几何意义得J I，2-j 2 l n（z+7 1+j-2）+l /2 x2c L r=2（f+l）=f+L14.答应填28.数学（二）预测卷（二）试题答案及评分参考 第 11页（共33页）解 作拉格朗日函数LCr，w；l)n/+y+c +x f+z y-g),则由方程组L：=3x2+2Ax=0,Ly=3y2 +4灯=o,L：=f
13、+2y2 9=0,.ZH JC=I AJC=-1,X (x=3,解得 1 _,3 4G=2,y=2,卜=士 忌 L =。.由于/(l,2)=9+C,/(-l,-2)=-9 +C,/(吗卜焉+c 小一白一第+c/(3,0)=27+C J(3,0)=-2 7 +C,故函数/Cr,y)=/+V+C在约束条件/+2/=9下的最小值为/(-3,0)=-27+C.由题意，-2 7 +C=1,故C=28.15.答 应 填 +制4+2(72 y2)4制 .解 由 dz=+(/：2x/j)dy,得 o N du dv o-y fu+2 rfv,-=J：,-=-2 y.于是n2=+y/t Z+4 (-2y)+2z
14、 4 7+/(-2)ojcoy=+13匕+2(工2 y2)4-4_T3.16.答 应填 y=Ge，+C2erN 3+2z2-6z+4,其中C1,C2 为任意常数.解 因为4=21.=/(丁)的 一 个 特 解 为=&3+&2+。,代入方程y y=f(z),得 A=-LB 2,C=6,D=4.故微分方程y y=/(x)的通解为y=Ge-+Cze;/+2/61+4,其中 C,C2 为任意常数.三、解答题17.解 对/（了）=（1+q）两边取对数，得In/（工）=工 口!1（1+Z）-In z ,两边对z求导,得7 八工）=In17+7 11+/数学（二）预测卷（二）试题答案及评分参考 第1 2页（
15、共3 3页）故八工)=(1+)(i 1+JC1I n-i ,x 1 +r卜5 分从而/(1)=2l n 2-l.于是lim.r-1.l i me Z e/aT i e(e 1-1)=elimVJ-i j r -1=e l i m检 二 抖L1 JC-1=e，(l)=e(21n 2 1).10 分18.解 由于函数f(x)连续且满足方程f+1力 出=2,因此f(x)可导.方程J 0fix)+f =2 两边对/求导，得/(z)+=0,这是可分离变量的微分方J o程，其通解为八外=C e f 又由原方程得/(0)=2,故 C=2,从而八工)=2e-+?.6 分(2)函数 f(x)的定义域为(一8,4
16、-o o),f(a-)=-2z e +尸，/(I)=2(J T2 D e令/(i)=0,得x 1,7=1.列表讨论如下：X(8,-1)-1(-1,1)1(1,+8)义工)+00+y-/V)U2e Tn2e+u由上表可知：曲线的凹区间是(-8,-1 及口，+8),凸区间是-1,1，拐点是(及(1,2卜),12分19.解(1)由对称性，平面图形。的面积为A =2 1 d 0f rdr=f 4c o s20d 0-yJo J i J o 3=2 1(c o s 26+l)c l 0-y =s i n 2 o+等=+年.4 分J o310 o L o(2)V =2K (1+/T7)2-(1-一陶 _
17、_ _ _ _2兀 (1 y2)(1 V i y2)2 d y=8K j /I y2 dy 2 n j(2 M1 1)心=8兀 工江47r y/1 y2 dy+RK4 J o、2兀 2 -4K f c o s2/d r 十悟五=2兀 (1+c o s 2z)d r +2兀 2+6 兀J 0=-2支,+s i n 2 t j j+2K2+V 3K数学(二)预测卷(二)试题答案及评分参考 第1 3页(共3 3页)20.解-1_贯2 含加+27r2 7 r=A 2 +整兀.12 分JLJJ 乙dr/7 7(x2+3r2)d =J 0 J 1 x J 0dgj t r3dr.4 分cm伊 卜 in 9
18、4 fo D(cos 6+sin 6)4_ JL_ 8f-由1 6 Jo sin4(0+-J)=A一 8一 兼f esc，伍十多 曲_ 2L一 8+C (0+f )+ldcot(0+f )=JL8+lCOt3(0+f)+c O t(0+f)0=A8+1 6.(3)8 6-I2分21.证 令F（z）=1/（，）&.由于函数f（z）在闭区间 a,切上连续，故F（外 在 a,幻上可导，且FCr）=/C r）.对VxE（a，由拉格朗日中值定理，存在&（a,z）,&6（工而,使得F(x)F(a)=f(i)(jr a)9F(b)F(x)=/(&)(6 z).注意到 F(a)=J/(x)d r=0,F(A)=J f (x)dr=0,得F(x)=/(fi)(7 a),F(z)=-/(&)(0 一N).4 分由于因此/F C r)d r|=|j：FC r)dr+；FCr)dr=|/(&)(/a)+、-/(&)(6 N)dr I(i a)dr+。l/(&)I S z)irAJ(。=M _-8a)2+(b 8 a)2 rI 7M(z/,-a)x 2 ii八 分八又|J F(x)dr=|JTF(X)J|J x/(x)dr|=|J x/(x)dj|,所以 j/(x)/6-101则x=Q y为正交变换，在此变换F,二次型/(不，心,工3)=X1 A r可化为标准形/=3vi+3vi+2V3.1 2分