《2022年全国硕士研究生招生考试302数学二预测卷3和答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年全国硕士研究生招生考试302数学二预测卷3和答案解析.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2 0 2 2年全国硕士研究生招生考试数 学（二）预 测 卷（三）（科目代码:302）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。3.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题：110小题,每小
2、题5 分，共 50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.1.对任意的工(一8,+8),有/(2+1)=/(外,且/(0)=e,/(0)=e ln 2,则/(D=A.2eln 2.B.eln 2.C.2e2ln 2.D.e2 In 2.2.若函数/(.r)=7 在(一8,+o o)内处处连续，则常数”的取值范围为-aA.a V 0.B.a e 1.C.a R 0)绕直线 =一 1 旋转一周所形成的旋转体的体积为A.4 7 r+1 )R，B.2/(/+l)R 2.Cm DRZ.D.2/S-1)R 2.4.设/(z)=(纪一2)ln(l-H)2 z,则在(0,1)内函数fGr
3、)A.单调增加且其图形是凹的.B.单调增加且其图形是凸的.C.单调减少且其图形是凹的.D.单调减少且其图形是凸的.5.设函数/(2 工+3)=xe：,则/向(21+3)=A.(-l)(-jr)e-x.B.-n)eJ.C.(M x)e-J.D.(今)(x n)e-J.6.设函数/(z)在闭区间 a,田上非零且可导，且/(外 与/行)同 号，则当i G (a/)时，有A.f(T)/(a).B.f(x)/(ft).C.|/(x)|/(a)D.|/(x)|/(6)|.7.设函数z=2(3)由方程尸仁,1)=0 确定，其中F 具有一阶连续偏导数.若a r 器+言 一N=0,则A.a=1 JJ=1.B.a
4、=1,b=1.C.a=1,6=1.D.a=1 =1.a b8 设A=,为可逆矩阵，若 A 有特征值解，的则旺+=c aA.az+d2+2bc.B.a2+d2-2bc.C.If+/+2ad.D.+/_ 2ad.9.设 a 1=(1,4,3,-，畋=(2,z,1,-l,a=arctan 心,求则一 土)第3页(共8页)1 8.（本题满分1 0 分）求二元函数f（z，y）=/+J _ 3 工_ 3 y 的极值.第4页（共8页）1 9.（本题满分1 1分）设常数a 0，L =,比较1与12的大小.J oJ o第5页（共8页）20.（本题满分12分）计算二重 积 利%+y）d郎，其中DD=Gr,y）|0
5、 4 y 4 2,一丁 7 ），|川+第6页（共8页）2 1.(本题满分1 5分)设函数/(人在0,1 上连续，且单调减少，证明：(1)对任意的工 e (0,1),有/(/)山 /(z)d r；J 0 J 0(2)对任意的 z G (0,1 ,有(/一，)八/)出/(i)d L r；J oZ J o(3)z/(z)c L r V q*J oZ J o第7页(共8页)22.(本题满分12分)设向量q=(1,1,1)“=(1,2,3)T,A=邙1,8=曲|.(1)证明矩阵A与B相似；(2)求一个可逆矩阵/,使P AP=B.第8页(共8页)参考答案与分析卷(三)一、选择题L【答案】C【分析】由已知条
6、件不难得到/(I)=正且/(在z =0处连续,所以，(1)=lim/(1+A r)一/.rlimlim/(D-e+e=li m /(吗 一/(0)./()+e Ar-o Zkr2ef(0)=2 e2 I n 2.应选C.2.【答案】B【分析】令g(R)=z e，-a,则函数/(z)=ry-在(一 8,十8)内处处连续等价于函数g(z)x e -a在(-8,+8)内没有零点.g(z)=e-J(1 x),令/(外=0,得z =1.因为当z V 1时,g(z)单调增加当工 1时 单 调 减 少，所以m a x g(z)=g(l)=e 1 a.故当m a x g(z)=r一a V O时，即 当 时.函
7、 数g(“)没有零点.此时，函数/(x)在(一 8,十8)内处处连续.应 选B.3.【答案】B【分析】V =7 t /R2 (x a)232 64-1 J 决(1 a-?)业J aRf(H-R _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1=4TT(6+1)j JR，(z a)=4 世(b+1)itR2=2/S+DR 2.应选B.f r r R,上 上【注】这里定积分 J R 2 Cr-a)2 lr的计算运用了定积分的几何意义.4.【答案】A【分析】/(j r)=ln(lx)+J .由于当0 V z0.因此函数/1)的图形在(0,1)内是凹的，且函数，(工)在 0.1)上单调增加,从而当0
8、 工/(0)=0.于是.函数/(J-)在(0.1)内单调增加.应选A.5.【答案】D【分析】因为 八2工 +3)=2 /0.从 而 函 数)G r)在 a,瓦I上单调增加.于是，当工6 (a.6)时，有/(工)/Q),即I/(x)I 应选C.7.【答案】C【分析】令G(a，z)=尸(十 十).则G；=-/；,G；=9 F；一告凡,G；=-i-Fz.于是,匹=_ G,=_ 72 _ 炉 H 匹=H 2 =./耳+产出ar _ 凡)丁 a?Gz J_p xyF2y 2y 2由于 ar z=0,而力*J dy(iz.五d+z 的 不 一z y=.K 能.+y8E +zzFZ-(-za -=-)-jy
9、-2-K-+匚(F-D-/z-F-因此a=b=1.应选C.8.【答案】A【分析】由特征值的性质知小+入2 =tr(A)=a+d,X1X2=A =ad-be.于是，A i+Az=(Ai+A?)2 2AiAz=(a+7)2 Had be=a2+J2+2hc.应选A.9.【答案】D【分析】对矩阵(m，s,a,)作初等行变换：12-212-212-24t3()-770-11(a1.。2 a)=3-11()z-81100f+3-1-1t+101/-100t由 于 对 任 意 的 实 数 与，+3不可能同时为零.故,4*.a 2.a 3)=3,从而向量组m.s,a,线性无关.应选D.10.【答案】D【分析
10、】因为A正定A 1正定A 与E合同，所以实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的逆矩阵与单位矩阵合同.应选D.二、填空题11.【答案】y【分析】/(O)=lim/(x)=lim二纥他手泡.=lim即转地与9 mL O一。sin z L O xlim.r-0r(1 jr2)一 斗 +sin z6r故要使函数/(H)=吗:sin工在闭区间 1上连续，则应补充定义/(0)=-1.12.【答案】-I【分析】因为函数y=八工)具有二阶导数，且lim八工)-2=2,所以LO X/(O)=l i m/(r)=2 1+2 =0 +2 =2,L。L O从而/(0)=l i m/(H)-(。)=l i m -2=2.
11、由于 =7 K，因此尸)x-0 J-O x dy J (r)d2.r _/(z)dr=_/(x)d 7 一 (工)了 彳 一 (H)L T1 3 .【答案】y=2 +e +x e【分析】记 yi(i)=e2,+7-,北(力=e，+叱3(/)=e e +.W，则由线性微分方程解的性质知.yi(/)?3(z)=与 2 (Z)一 口2(/)+3(/力=c 都是与原微分方程相应的齐次方程的解且g(外一(/)+北(力 是 原 微 分 方 程 的 一 个 特 解,故 原 方 程 的 通 解 为3 =Cd +C 2 e-x+xe,上式对i求导，得y=2 G 寻 C z e-T+(z+D e.将初始条件j(0
12、)=3,j(0)=4 代入上面两式,得C i =2,C z=1.于是所求特解为y=2/+e：+z e 1 4 .【答案】京？【分析】令 7 =宠 一 ,则“/(si n.+cos.r)dr=(一/)(cos6/+si n6/)d/=(cos6 f+si nfi/)d/-J /(cos6/+si n6/)d/=7 t(|X-1-X-X 宠)cos6.r 4-si n6 J?)dr=或 7 j /(cos+SHJO&T.故x(si n6j-4-cos6x)d.r=焉1 5 .【答案】%【分析】由二重积分中值定理知,存在(山6 D，即 F+2)/f dy=-21 f 冗 i)卫 城+2/于是.l i
13、 m|T er cL rdy=l i m =l i m 售 t+t*i+t *7 21 6 .【答案】1A 1(A B V,【分析】由于1 c=|A 1 I 3 ；=j j()B 1 S I4使得=为 34 2=fx.I B|-2 X 3 2 -2 6 因此I (2 0,|=|2C|5=(26|C|A=230|C|5=230 X 傍)=1.三、解答题1 7 .【解】已知力 0,对任意正整数3若 4 0,则 卬=a r c l a n q 0,从而由归纳法原理知，对任意正整数均有 心 0,因 此 数 列 有下界.令/（X）=x a rcta n 1（120）,则/（=1 1,/0（1 0）,故/
14、（J*）在 0,+）上单调增加从而当z 0时,/(“)/(0)=0,即.1 a rcta nz.于是,了肝1=a rcta n V*.因此，数列 及 单调减少.由单调有界准则知，l im.r“存在.n-oo设l imz”=a，令 f 8,对等式7 肝|n-*o aarct an/J 两边取极限,得a=arct an a.由函数/（/）=JC arct an J的单调性知，方程a=arct an a有唯一实根a=0.从而,l imz”=0.于是R-*00一?）=l im与国=l im 方a n-F二 产生LZrH /i 资工如 JCN C arct an jcn）I-（arct an 土 尸 产
15、f Z2（arct an t）2l im（a-an y 一 於二.幽吟.li m n t +t+l ,+t,-o+I_!_ _ 1=l im%-l im（照 +1）=2%而为T18 .【解】（工,_）0=3/3,月（_ r,y）=3/3.=0=6 y f，,（x,y）=0,（x2 1=0,由（B P 解得 f C r,y）的驻点（1,1）,（一1,一 1）,（1,-1）,（-1,1）.l/（3）=o,iy -1=0,对于驻点（1,D,A =6,B =0,C=6,由于4：-B Z=36 0,且 A 0.故八1,1）=-4 是极小值.对于驻点（一 l.-l），A =6,B =0,C=-6,由于 A
16、 C B?=3 6 0,且 40,故=4是极大值.对于驻点=6,8 =0,。=一 6,由于人（7-8 2 =-3 60,故/（1,一1）不是极值.对于驻点（一 1/）,A =-6,B =0,C=6,由于 A C-/?=-3 6。且当 0 V%V （时,0 V n V z,s in a V 8 s z,从而 1r V （卡 一/），产士 V ec所以nm(ewnx e 0.即 L h.20.【解】积分区域D如图中阴影部分所示,记 Q 在y轴右侧的部分为D i,则由对称性有J(z+j)drdy =2).y&rd1yI)Di fr2 s in 8dr=U；8 cs c-s in 0(s in 0+c
17、os 夕 尸dO1_ 2-2T-T J-j-(s in 0+cos 6)-(cos 0 s in O )(s in 0+cos 0)3dO:s inz(d+q)in _ i _ _ L 信 d(s in 1+cos 夕)C 3 J;(s in 0+cos 0)3=T16 +.T1 cot.16 13 6(，+判;-1 6 112-12,6 (s in 9+cos 0)=221.【证 令 奴.r)=d/.则由于函数/(工)在 0,1 上连续，故函数仪力在(0.1 上可导.且由积分中值定理知,存在 (0,工).使得)=/(6 工一1/”=工 一 f 9 r =”.力 一W x2 x2 x由于函数/
18、(N)在 0.1 上单调减少，故8(外 0(07 4 1),从而奴才)在(0,1 上单调减少.于是,对任意的工e(o，1).总 有 的 r)中.即十：/&1/山.也即J f(l)dt a 1/(j)d.r.(2)令奴工)=C r-，)/)由一./C r)cL r,则J 0 L Jo/(r)=J/(/)d/-J-J/(j*)cl r(0(工 认0)=0,即：(L也 ./(x)dr.(3)由 得,(1一(/)山 /(z)ct r故|/(z)dr J”(z)cl r ；/(dr,即 1 j：f(x)dx)=1 1 0.P?=(/&,&)2 1 0A=0 0 0，则1 0 13 0 10 0 0PTlAP,=A,甲明=A，即 PfAPi 再令7_ J_ _21-2-3 111333=P g =卷1 1一4-2=61 5661 01-3-33i_ i1.2则 P-AP=B.