2022年研究生考试数学二302预测卷4套合集和答案解析.pdf-淘文阁

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1、2 0 2 2年全国硕士研究生招生考试数学（二）预测卷（一）（科目代码：302）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。3.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题：110小题,每小题5

2、分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.1 .设/(s in%)=-r，当 f 0，时I s in x IA./(力与 1为等价无穷小量.B.八工)与 x为同阶非等价无穷小量.C./(J-)为比工高阶的无穷小量.D./(x)为比了低阶的无穷小量.2 .设函数/(工)可导,y =/(7 3).当自变量r在z=-1 处取得增量=-0.1 时.相应的函数增量的线性主部为 0.3,则/(I)=A.1.B.0.1.C.1.D.0.3.3 .设函数/(/)在 0,1 上具有连续导数A.C.(工)d r|W M.4 .下列反常积分发散的是A.广曰*

3、C.为口也J。右 1，且/(0)=0,m a x|/(7)|=M,则B.|仆)同和.D.M&|/(_ r)d r&2 M.5.函数/(工,“=(x2+y2)s in 2 j.0,w?+1/#0,x2+y=0在点(0,0)处A.不连续.C.可微.B.连续但偏导数不存在.D.偏导数存在但不可微.6 .将双纽线(f+y)2 =22(3-2-/)围成的平面区域记为A.7 t.B.2 7 t.C.3 7 r.D.4 7 r.7 .设 a均为常数,则微分方程d +4 =1 +c o s 2 工的特解可设为A.a r +/+A r c o s 2x.D,则二重积分+/)匕=DB.s+。+A s

4、 in 2JC.C.a r +A c o s 2x+B s in 2/).D.xa jc+A c o s 2JC+B s in 2 z).8.设 A 为m X 矩阵，且 A 的秩为厂，则下列命题中正确的是A.r =n时，方程组Ar=8 有解.B.r =m时，方程组Ar=b 有解.C.r =m时，方程组Ax=0 有非零解.D.r =n时方程组Ar=0 有非零解.9 .设 A.5 均为5阶非零矩阵,且满足AB=O,下列命题中正确的是A.若矩阵B有 1 阶非零子式,则r(A)=4.数学(二)预测卷(一)试题第1页(共3页)B.若矩阵3 有 2 阶非零子式，则厂（A）=3.C.若矩阵3 有 3 阶非

5、零子式则NA）=2.D.若矩阵B 有 4 阶非零子式，则厂（A）=1.1 0.二次型/（不，工2，73）=（力+J,2）2+（/2 3产+（为+/3）2 的规范形为A.zi+忌.C.Z Z2.B.z+z l+zf.D-Z1 22 二、填空题：1116小题,每小题5 分，共 30分.11./（x）=cosd 出在 0,1 上的平均值为12.由曲线y=口-j 和直线z=0,2=中,y=0 所围成图形的面积为_ _ _ _ _ _.1+sin x 213.已知（ary 3 一丁 2cos x）d r+（1+6ysin x+372y2）dy是某函数的全微分，则a,b 的取值分别为.14.曲线y=/（

6、x）=（z+?s i n 的渐近线的条数为.15.一水平横放的圆柱形油桶，设F1为桶内盛半桶油时桶的一个端面所受的侧压力,B 为桶内盛满油时桶的一个端面所受的侧压力，则今=.X X1 X16./(x)=1 11 111X1l-2 z中/的系数为1三、解答题：1722小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）设/=1 sin（a+/）d n =1,2,，其中 a 为实数，证明：lim/rt=sin a.18.（本题满分12分）设函数 y=满足=J-=Sx+。（A r）,且 y（1）=1,计算（x）dr.V 2 x x2 J119.（本

7、题满分12分）计算 lim*S -,一S M （n2+i2V n2+j220.（本题满分12分）已知z=在Z 0 时有二阶连续导数,且满足痣+零=0.求/（u）的表达式.21.（本题满分12分）一容器内表面是由曲线 =（0&工 4 2,单位:m）绕轴旋转一周所得到的曲面.现以 1 m/m in的速率注入某液体.求：数学（二）预测卷（一）试题第2页（共3页）（D 容器的体积；（2）当液面升高到1 m时液面上升的速率.22.（本题满分1 2分）设 A 为 3 阶矩阵,a 为 3 维列向量，且 A 2a手O.A a =0.（1）证明向量组a，4 a.A 2a 线性无关；若

8、P=（a,4 a.A%）,计算 P A P；（3）判断矩阵A 能否相似对角化,并说明理由.2 0 2 2年全国硕士研究生招生考试数学（二）预测卷（二）（科目代码：302）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。3.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。4.考试结束，将答题卡和试题册

9、按规定交回。（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题：1 10小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.1 .函数/()=li m 信)+(今)+z 在(0,+8)内A.处处连续但有一个不可导点.B.处处连续且可导.C.处处连续但有两个不可导点.D.有一个不连续点.2.若当7 0 时,/(z)=f，(eM,-es,)d/a 是等价无穷小，则常数a#的值分别为J 0A.,3.B.,3.C.!,4.D.5,4.0L o 43 .设二阶可导函数/()满足/(-1)=/(1)=0,/(0)=1,且/(为 1.B.J /(jr)d r =/(J-

10、)的拐点.D./(0)不是函数义工)的极值,(0,7函数也不是曲线y=/(x)的拐点.6.设人=尸一叫+了)也/J 0 X0。一/(1+7)则A./,/2 1.B.1 /,I2.C./!1 I2.D.72 1 .a,+a(.D.a -a.a:!+a：i.9 .设 4是正定矩阵,P 是初等矩阵,则非齐次线性方程组P A P x =bA.无解.B.有唯一解.教学(二)预测卷(二)试题第1页(共3页)C.有无穷多解.D.不能确定是否有解.1 0 .设A,3,C都是2 阶矩阵,AB=BC,若A 有一个特征值为3,3 的两个特征值为2,2,则矩阵C 有一个特征值为A.-2.B.2.C.一 3

11、.D.3.二、填空题：H16小题，每小题5 分，共 30分.i i .设/（了）=，久一】则 r（i）=.I e,z=1,1 2.设 y=其中函数/C r）具有二阶导数,且li m 小二=4,则宴|J C I A /*0 J C C l *|1 3 .定积分（后三口水工+的值为.1 4 .若函数/（T,）=工 3 +3 +C在约束条件72+2/=9下的最小值为 1,则常数 C =.1 5 .设函数u =及 u=具有一阶偏导数，函数z=f（u,v）具有二阶连续偏2,导数,且 d z=（y/：+2z/：）d r+（z 2y/：）d y,则方,=.1 6 .设向量a=（1,0,-l）,A

12、=a a,若矩阵A 的特征多项式为f G D,则微分方程，-y =/0）,求l i m 当；-.1 8.（本题满分1 2分）设定义在（-8,+8）上的连续函数八外满足方程/C r）+U（f）d，=2,求：J 0（1）函数八公的解析式；（2）曲线y =/C r）的凹、凸区间与拐点.1 9 .（本题满分1 2分）设 D =（z,y）|1 （f 2工,求：（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形。绕.y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.20.（本题满分1 2分）r i（计算二次积分J d r 1 （x2+y2）d y.数学（二）预测卷（二）试题第2页（共3页）2 1.（本题满分12分）设函数/（x

13、）在闭区间 a,切上连续，且|f（x）|1 十A.一个跳跃间断点.B.两个跳跃间断点.C.一个可去间断点.D.两个可去间断点.3 .设/(x)在工=0处连续，且li m 厘=2,则li m 一幻一 sin/与Q 运=1 0 X XA.1.B.2,C,3.D.4.4.设函数/(x)=(In/1)(In z 2)(In一),其中n为正整数，则f(e)=A.(“1 (一1)!.B.i(1 y(,n-l)!.ee5.设函数f(z)在 0,1 上具有二阶连续导数，且/(?)0.若/(后)业=0,则必有A./(f )0.B./(1)0.C./(1)0,D./(1)一乎。e/(l).B.空。八 1)/(

14、0).C.e/(1)/(0)e/n-e 0)仪/.D.空一丫 ”(0).7.设 D=Cr,y)|/+y2&2,z+N)/,a，为常数,则！也三与 d rd y=D X 丁A.6 速(-1).B.j(n-2).C.W&L2).D.y(7T-l).8.设 A 为加X”矩阵，r(A)=m V”,考虑下列四个命题：齐次线性方程组A4 =0 只有零解；齐次线性方程组A A x=0 有非零解；对任意的，维列向量6 方程组心=b 有无穷多解；对任意的维列向量八方程组*x=b有唯一解.正确命题的个数为A.0.B.1.C.2.D.3.数学(二)预测卷(三)试题第 I 页(共3 页)9.设A,8 均

15、为4 阶方阵,且厂(A)=4,r(B”)=1,则齐次线性方程组(A，8)x=0 的基础解系所含解的个数为A.1.B.2.C.3.D.4.0 A.10.设 A 为 3 阶可逆矩阵，|A|=2,C=-八，则|-2C|=、A O.A.16.B.128.C.-1 6.D.-128.二、填空题：n16小题，每小题5 分，共 30分.11.设的最小值为.12.设/(H)为可导函数，且/XI)=O，/。)=j dyj 则li邛=(1+)/2 X2(x cos31,14.曲线4.，的弧长为.=sin Z15.设函数具有连续偏导数(0,0)=1,(0,0)=2,(0,0)=4,z=z(x,y)是

16、由方程f(xz,y z)=x3+y z3所确定的函数，则 dz|x=o =.16.设A 是 3 阶方阵，其特征值为2,3,4,将A 的第2行加到第3行得矩阵B,再将8 的第3 列的一 1 倍加到第2 列得矩阵C,则 tr(2C+E)=.三、解答题：1722小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分12分)求函数 f(z,y)=(2X3+3T2+)的极值.18.(本题满分12分)讨论方程=工+1 的实根的个数.19.(本题满分12分)设/是第一象限内连接点A(0,l)与点8(1,0)的一段连续曲线弧,为该曲线弧上任一点，点 C 为M 在

17、辽轴上的投影为坐标原点.若梯形O CM A的面积与曲边三角形CBM的面积之和为,求曲线弧L的方程，并求该曲线弧与抛物线y=1所围成的平面图形的面积.20.(本题满分10分)设 a 2 且为常数,证明反常积分I =一甩/收敛，并计算积分的值.J o 1十a r+x21.(本题满分12分)ri r Vi-x2计算二次积分J 数学(二)预测卷(三)试题第2页(共3页)2 2.（本题满分1 2分）设A为3阶实对称矩阵,A的特征值为一 1,一 L 2,A，g=或其中 =（-1,-1,1）T.（1）求一个正交变换x =仍,将二次型,x2,x3）=XTAX化为标准形；（2）求矩阵A.数学

18、（二）预测卷（三）试题第 3 页（共 3 页）2 0 2 2年全国硕士研究生招生考试数学（二）预测卷（四）（科目代码：302）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。3.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。（以下信息考生必须认真填

19、写）考生编号考生姓名一、选择题J10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.1.设当3-0+时，函数/（x）=W一与4（彳）=sin JCA是同阶无穷小，则常0数a的值为2.3.4.A.2.B.设工=2是函数八公=/与七A.4,2.C.2,ln 2.C.4-OD.3.的第一类间断点,则常数。，的值分别为B.2,4.D.In 2,2.设函数/（T）在（o,+0）上可导，且/（工）匹？，则X设函数/（X）与g（x）满足r Cr）=2g（z）,g C z）=2/（z）,且函数以工）在z =0处取得极值2,则曲线3=A.1.f(x)g(N)B.2.的

20、渐近线的条数为C.3.D.4.A./(2)/(l).C./(l)/(1).D./(l)/(2).5.设“也d /=U s i n(三)DC r,y)|Cr 1)2+(y-l V 4 2 ,则A.L V J2 V hC 13 V L VA r d y/=.s i n(?d rd y,其中 D=DB./2 V l 3 V八.D.h I2 0 时，1，3+1广产+1业=14.设/(x)=/一 f/(x)d r+2 f/(z)d r,则/(2 jr)d r=.J 0J 0J 015.设 y=(2z+3)ln(2z+3),则当 1 时,y00|=_.16.设 A 是 3 阶方阵,A 的特征值为-1,2

21、,3,3 =A3,夕为 3 的伴随矩阵，则 tr(B-)=三、解答题：1722小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)已知阴”*=L 求她 C)+3 118.(本题满分12分)已知二元函数 z =的全微分为 dz=x(.x2+y l)dLr+j(x2+D dy,且/(l,D =2,求函数z=/C r,y)的极值.19.(本题满分12分)设函数/(x)在 1,+o o)上连续且非负,/(1)=0,由曲线=y(x)与直线.r=r(/l),=0 所围成的曲边三角形记为D.已知D 绕.y轴旋转一周所形成的旋转体的体积为V(z)=看花 5一一十口,当

22、=2 时，求 D 的面积.20.(本题满分12分)设函数f(z)在闭区间 0,1 上二阶可导，且八0)=0,/(1)=1,/(工)业=1.证明：J 0O在(0,1)内至少存在一点&使得/)=2.21.(本题满分12分)计算二重积分+y )ird_y,其中D是由曲线丁=V2y y2与直线y=0,y=2 及数学(二)预测卷(四)试题第2页(共3页)Z =2 所围成的平面闭区域.2 2.（本题满分1 2 分）设二次型 f（,后，2 3）=a r?+x i+&c|+4 x）X 2+4X IX3+4 x2-T 3 的矩阵为 A,已知。=（1,1,1）T是 A 的一个特征向量.（D 求常数a

23、,6的值;（2）求一个正交变换x=3,将二次型/化为标准形.数学（二）预测卷（四）试题第3页（共3页）数学(二)预测卷(一)试题答案及评分参考一、选择题1 .答应选D.解设=5山2工,则在Z =0的某一较小去心邻域内，有|s i n z|=s i n|71=,|1|=a r c s i n 7 7.故/(s i n2x)=i可化为/(/)=(arcs)而%。).则有.r/、r (a r c s i n -/xY 7 八lim/(x)=Iim-=lim =0,1r*o+v X J工又l i m 9=l i m(arc*n G*=lim 4=+o o,L O+X L O+J jC X L0

24、 jcjx即当H f 0+时J C r)为无穷小量，且为2的低阶无穷小量.【注】判定当l-0+时，/(外为无穷小量是不可缺少的一步.2 .答应选A.解由于f(z)可导，因此 =/()可导.由微分的定义知，当Ar-0时,-!为&的高阶无穷小量，且dy为的线性主部,于是有=d y +o(A r)=y A x +o(D.当、=八了 3)时，有丁=3/r(合)，由题设有 3/“才力匚 3尸0.3,3/(-1)(-0.1)=0.3,/(-I)=-1.3 .答应选A.解显然/(x)在区间 0,1 上满足拉格朗日中值定理的条件,于是有/(x)-/(0)=/($)T,O f 4

25、-00 J C /x-|oo(I n z)2r+=li mx-*4-oo2 I n x7%li m辱j 2li m*t co=li m 金=0,r T j r 2所以反常积分（）因为 li m，-s i n =r-*4oo X J2d r收敛.li m j 1 =1,所以反常积分(s i n -|d r收敛.因为li m-z s i n工=li m/s i n 1 =0,所以反常积分3 s i nd r收敛.D+Zr z +x J o y j x因为 li m(r 1)J-=li mL【+/ln3x i+ln(l+7-1)方=li m -=li m-j上“C r D多 z+(了一1)十X 1+

26、o o,所以反常积分：得二如发散5.答应选C.解因为/S(0,0)=li mz kr s i n ：J ,=0,/：(0,0)=li m 丁 s i n /人1一=，Ar-*0(八 T)Az*。3)2所以/C r,y)在点(0,0)处偏导数存在.1又/=(A r)2+()?s i n(Zkr)2+(A.y)2，则当 p =(Zkr)2+(A)2-*0 时，有/(。，。)+八(0,0)z y 1 A-=p s i n =一 0,p p所以/(z,y)在点(0,0)处可微.6.答解应选B.由于被积函数为关于ny的偶函数及积分区域D关于两坐标轴都对称，因此/(7 2+J)匕=4 此：D/d

27、r=2 c o s2 20d 0=2+c o s 40 j(10=27 r.o7.答解应选C.原微分方程对应的齐次方程y+Ay=0的特征方程为一+4=0,解得r,.2=2i,故可设微分方程y +4y =与，+4y =c o s 2的特解分别为y =a r+6,3 2=N（AC O S 2/+B s i n 2z）,根据线性微分方程解的叠加原理,原方程的特解可设为y =y +y i =c u r+6 +*（A c o s 2x +B s i n 2a r）.数学（二）预测卷（一）试题答案及评分参考第 2 页（共 3 3 页）8.答应选 B.解当厂=”时，系数矩阵A 为行满秩矩阵，所以增广

28、矩阵(A;b)的秩也为，从而方程组 Ax=b 有解,故选项B正确.当r=时，增广矩阵(A ;扪的秩可能为，也可能为所以方程组可能有解，也可能无解,故选项A不正确.当厂=/时，若 r=m V ,则方程组Ax=0 有非零解，若r=m ，则方程组Ax=0只有零解,故选项C不正确.当时,方程组 Ax=0 只有零解,故选项D不正确.【注】考核点为方程组的解与矩阵的秩.关键是当矩阵A 的秩为，时，矩阵A 必有机阶非零子式，从而矩阵(A i b)也有，阶非零子式,又矩阵(4：力行数为如所以其秩为日9.答应选 D.解由于A.B 均为 5 阶非零矩阵，且 AB=O,故

29、矩阵A.B 均不可逆，从而r(A)44,r(B)0.故所求图形面积为N 1+s in x1+s in x2d r=TJ o_ 1 _1+s in x2d(x2).Ip 1.=1.户 l-s i n z 2 J o 1 4-s in t 2 J o 1 s in2Z2 J o-环吗&=*co s t 2 J o co s t 2_ j _ ro2 co s 11 o=彦-(y/2 1)=一冬13.答应填2,一2.解设(ar y，y2co s j;)cLr +(1+6 y s in X+3JC2y2)d y 是(1)的全微分，则14.=a x y3-y2co s ,=1+外s in x +3

30、JC2JZ2.显然(科y)存在二阶连续偏导数，于是有普=普，即d xd y d y d x3 o r y 2 2 y co s r =b y c os x+&xy2,比较系数得a=2,b=-2.答应填2.解由l im f（幻=l im Qs in z=o,可知该曲线有一条水平渐近线=0；j -*o o j r-*o o X由l im/（z）=l im色土孕工=l im 岂土=8,可知该曲线有一条铅直渐近线X-0 LO X L0 X Xz =0；又由l im 9=l im I十?s in“=o,可知该曲线没有斜渐近线.X-X x J T-o a X综上，该曲线有两条渐近线.【注】由l i

31、m/Cr）=0可知曲线、=/（外肯定没有斜渐近线，事实上不必再判定l im 3O O X数学（二）预测卷（一）试题答案及评分参考第 4页（共 3 3 页）15.答应填熹解如图所示，以桶的一个端面中心（圆心）为原点，铅直向下的方向为工轴正向，建立平面直角坐标系，选取辽为积分变量，设油桶的底圆半径为R,油的密度为p,重力加速度为g,则d Fi=2pgx y/R2 x2ir,d F2=2闱（R +丈）/R2 JC2 d r.于是，Fi=j：2陶:2 TAe=号R3,F2=1 2儆（R +z）V R2 x2 d r =4图R J V R2 x2Lr 4限R j nR2=npgR16.答应填3.解

32、由于只有主对角线元素与（1,2）元含工,由行列式的定义知含有d的有两项，一项为主对角线元素的乘积二（1-2工）=n 3一2/，且符号为正；另一项为（1,2）,（2,1）,（3,3）,（4,4）元的乘积公（1-2外=工2 2，且符号为负.从而Z 3的系数为工【注】考核点为行列式的定义.注意由行列式的定义知每一项为不同行、不同列元素的乘积，故若选取了（1,2）元，则（1,1）与（2,2）元均不能再选取.三、解答题17.证显然函数si n t在区间 a,a+工口上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在$6 (a,a+z),使得si n(a +1”)si n a =xnc o s 6.3 分于是

34、0 X 5/21 之工 X _1-xx/2x x24 分故y（z）=f J /：dr=/2 x x2+C.J，2z z2又？（1）=1,得 C=0,即 yCz）=V 2 x-x2.于是j （x）dr=j/2 x x2dr=1A/1 （x l）2drJ-1=S，nJ。1+x2 Jo+y212分1庐.6 分-j-lnd+V2）94其中区域。=（z,y）|0&z&l,0&y&l 12分20.解由z=/R）,有Hz _ 1/N 1,/为=3 7 ,方=宗/,则票+=/+等原方程可化为（1+2）/+2 /=0,7 分其中”=卫,解上述方程，得X数学（二）预测卷（一）试题答案及评分参考第6页（共3

35、3页）故/()=G a r c ta n +C 2，其中G(2 为任意常数.12分21.解(1)容器的体积为 V =(“Vd y=7 t l,ydy=87c(n?).5 分J 0J 0 记液面在 t 时刻高为y=?,则液体体积为V =Ttj yd y,两边对，求导，有%L 二 .肾一，又北匕)=1 m：/m i n,故at=L.V(1)J|=3.1=L m/m i n).at I 必=i 7rly(E)d/I y)=i n 1 K12分22.（1）证设向量组a.A a,A l线性相关,即存在不全为零的数M，居次3,使得ka I kiAa+3A:a =0.（*）在（*）式两端左乘A J根

36、据题设条件A：a=（）,得MA%=0,由于*a#0,因此跖=0.于是（*）式变为kiAa+k3A a=（）.（*）在（*）式两端左乘A,根据题设条件Aa=0,得 k2A2a=0,由于A l 卉 0,因此A =0.于是（*）式变为k3A2a=0.由A”#0,得幻=0,与假设矛盾.故/总 5 线性无关.4 分0 0 0,（3）解记 8=1 0 0，由于|加一川=厂，因此a=。是矩阵B 的三重特征值.又,0 1 0.因为r（O E-B）=2,所以方程组（O E-B）x=0 的基础解系由一个向量构成，即矩阵B数学（二）预测卷（一）试题答案及评分参考第7页（共3 3页）对应于特征值4=0 的线

37、性无关的特征向量只有一个,故矩阵B不能相似对角化.由(2)可知A8,故矩阵A 也不能相似对角化.12分【注】考核点为矩阵运算，向量组的线性相关性,矩阵相似对角化等.注意矩阵可相似对角化的充分必要条件是每一个特征值义的重数与对应于;I 的线性无关的特征向量的个数相等.本题还有一个关键点是矩阵乘法运算：0 0 0(/Vx,A2a.O)=(a.4 a.A2a)1 0 0.0 1 0.数学（二）预测卷（二）试题答案及评分参考一、选择题1.答应选A.解当OVH&I时看专V z,此时有工仔）+陶）+x 了工羽;当1 Vz42时售亨工,此时有H&传）”+酶）+x 2时受 VhV、,此时有传

38、）”+传）+工了，凉又l i m%=1,故显然，/(了)在(0,+8)内处处连续.由于/(2)=1,隹(2)=2,因此/(才)在z =2处不可导.【注】本题是用夹逼准则求极限的题目，注意本题的放缩法.1 y”&2，夹逼准则X f A(f 8).yf,A,z”f A 对于 s +如+0，为有限数)，其放缩法为1 “max&1+2+EX2.答应选C.(ptan t _ sin t)布I v v 7 J，A|(1|x|)cLr=2 j (1 x)dLr=1.4.答应选B.解由1 淅/(”/(2)27/(工)=2,得1 淅/(工得=0.由于函数f(z)在工=0 处Xx-*0可导.从而连续，故

39、/(0)=lim/(z)=lim/(jr2)=0.于是，o*0 加/(合)一力(2外一21/(1)f X2=lim/支丁。2-2 lim _2 1 加。)j0 JC J0 LX jr-*O J C=/(0)-2/(0)-2/(0)=-3/(0)=2,故/(O)=4.o5.答应选 C.解由于函数/(外在点/=0 的某一邻域内具有二阶连续导数，且lim 鱼=0,故D X/(0)=lim/Cr)=0,且/(0)=lim 八)一 1()=lim=0.r*()0),故 f(工)在数学（二）预测卷（二）试题答案及评分参考第 9 页（共 3 3 页）0,+8）上单调减少,从而当x0时,/Cr）/

40、（0）=0,即i一 l n（l +工）。，故R烹+工）2.于是2 r l n（1 +.r）dr V 1,o1 1 =L x-l n C l+a-）L故m.7 .答应选B.解F（Z）=J d y j /（j r）c L r,F W=1 /（x）c L r,r（/）=/（-/）.8 .答应选D.解因为0 2，2 3线性无关,。】，。3线性相关，且中，故存在k W 0,1 ,使得小=31.因为1 0 1（。|I。2+处Q m 2+a3，图+因与向量组a ）+a?.6+妣 a：s均线性相关.若出=，则a】，处.。1+a线性相关，故团+小不一定线性无关,由排除法知应选D.也可直接证明a.+妣9

41、 2 +柒一定线性无关.若存在M 花，使得囱（。1 +妣）+品（。2+。3）=0.将a.=如代入上式得（M+k k2）a i+（&i +局）。2=。.由于a i 线性无关，因此+k k z=0,因为k#1,所以3 =卜2=0.因此曲+。2+。3 一定线性无关.U i +k2=0.9 .答应选B.数学（二）预测卷（二）试题答案及评分参考第1 0页（共3 3页）解因为A 是正定矩阵,P 是初等矩阵，所以A,P 均可逆，从而P A P 也可逆.因此，非齐次线性方程组P APx=b有唯一解.10 .答应选D.解因为B 的两个特征值为2,2,所以|m=-4#0,即8 可逆.于是，由

42、的=比得B AB=C,即A 与C 相似,从而A 与C 有相同的特征值.又A 有一个特征值为3,故C 也有一个特征值为3.二、填空题11.答应填趣./（工）一/解J T 1ex-e-erx-1 eJ-e-e(j r -1)=hm-：=hm-；-7 T 2-L1 x 1 一 i x-1)=rh m ee-J-eT V=hvm-ze-J=-ey.I LX-1)l】N Z12.答应填0.解因为函数/(z)具有二阶导数，且l i m T =4,所以x-*0 Xf(0)=l i m/7(x)=l i m /(x)2+2=0 +2=2,j r-*0 x-*0从而r(0)=l i m 仆)一逑=l i

43、m =4.JC-0 4 ()x由于d_ _ ,/z-1 1.2dr +1 /(T+1)2*=Z/J-1 4 /“/一 4dr2 x+i r (J T+1)4 7-(/+1)3,因此副 E=1r(O)-1r(O)=lx 4-1 x 2 =O.13 .答应填当+1.解因为三是偶函数,l n（z+4=中）是奇函数，而积分区间-1,是关于原点对称的区间，所以由奇偶性、对称性并运用定积分的几何意义得J I，2-j 2 l n（z+71+j-2）+l /2 x2c L r=2（f+l）=f +L14 .答应填28.数学（二）预测卷（二）试题答案及评分参考第 11页（共3 3 页）解作拉格

44、朗日函数LCr，w；l)n/+y+c +x f+z y-g),则由方程组L：=3x2+2Ax=0,Ly=3y2 +4灯=o,L：=f +2y2 9=0,.ZH JC=I AJC=-1,X (x=3,解得 1 _,3 4G=2,y=2,卜=土豆 L =。.由于/(l,2)=9+C,/(-l,-2)=-9 +C,/(吗卜焉+c 小一白一第+c/(3,0)=27+C J(3,0)=-2 7 +C,故函数/Cr,y)=/+V+C在约束条件/+2/=9下的最小值为/(-3,0)=-27+C.由题意，-2 7 +C=1,故C=28.15.答应填 +制4+2(72 y2)4制 .解由 dz=+(/：

45、2x/j)dy,得 o N du dv o-y fu+2 rfv,-=J：,-=-2 y.于是n2=+y/t Z+4 (-2y)+2z 4 7+/(-2)ojcoy=+13匕+2(工2 y2)4-4_T3.16.答应填 y=Ge，+C2erN 3+2z2-6z+4,其中C1,C2 为任意常数.解因为4=21.=/(丁)的一个特解为=&3+&2+。,代入方程y y=f(z),得 A=-LB 2,C=6,D=4.故微分方程y y=/(x)的通解为y=Ge-+Cze;/+2/61+4,其中 C,C2 为任意常数.三、解答题17.解对/（了）=（1+q）两边取对数，得In/（工）=工

46、口!1（1+Z）-In z ,两边对z求导,得7 八工）=In17+7 11+/数学（二）预测卷（二）试题答案及评分参考第1 2页（共3 3页）故八工)=(1+)(i 1+J C1I n-i ,x 1 +r卜5 分从而/(1)=2l n 2-l.于是lim.r-1.l i meZ e/a T i e(e1-1)=e limVJ-i j r -1=e l i m检二抖L1 J C-1=e，(l)=e(21n 2 1).10 分18 .解由于函数f(x)连续且满足方程f+1力出=2,因此f(x)可导.方程J 0fi x)+f =2 两边对/求导，得/(z)+=0,这是可分离变量的微分方J

47、 o程，其通解为八外=C e f 又由原方程得/(0)=2,故 C=2,从而八工)=2e-+?.6 分(2)函数 f(x)的定义域为(一8,4-o o),f(a-)=-2ze+尸，/(I)=2(J T2 D e令/(i)=0,得x 1,7 =1.列表讨论如下：X(8,-1)-1(-1,1)1(1,+8)义工)+00+y -/V)U2eTn2e+u由上表可知：曲线的凹区间是(-8,-1 及口，+8),凸区间是-1,1，拐点是(及(1,2卜),12分19.解(1)由对称性，平面图形。的面积为A =2 1 d 0f r d r=f 4c o s20d 0-yJ o Ji J o 3=2 1(c o

48、s 26+l)c l 0-y =s i n 2o+等=+年.4 分J o310 o L o(2)V =2K(1+/T 7)2-(1-一陶 _ _ _ _ _2兀 (1 y2)(1 V i y2)2 d y=8K j /I y2 d y 2n j (2 M 1 1)心=8兀工江47 r y/1 y2 d y +RK4 J o、2兀 2 -4K f c o s2/d r 十悟五=2兀 (1+c o s 2z)d r +2兀 2+6 兀J 0=-2支,+s i n 2t j j+2K2+V 3K数学(二)预测卷(二)试题答案及评分参考第1 3页(共3 3页)20.解-1_贯2 含加+27r2 7

49、 r=A 2 +整兀.12 分JLJJ 乙dr/7 7(x2+3r2)d =J 0 J 1 x J 0dgj t r3dr.4 分cm伊卜 in 94 fo D(cos 6+sin 6)4_ JL_ 8f-由1 6 Jo sin4(0+-J)=A一 8一兼f esc，伍十多曲_ 2L一 8+C (0+f )+ldcot(0+f )=JL8+lCOt3(0+f)+c O t(0+f)0=A8+1 6.(3)8 6-I2分21.证令F（z）=1/（，）&.由于函数f（z）在闭区间 a,切上连续，故F（外在 a,幻上可导，且FCr）=/C r）.对VxE（a，由拉格朗日中值定理，存在&（a

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