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1、2021-2022学年河北省邢台市高一下学期期末数学试题一、单选题1 .已知某校有男生3 3 0 0 人，女生27 0 0 人，按照性别进行分层，现需要用分层随机抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为4 0 的样本，则男生被抽取的人数为（）A.22 B.1 8 C.24 D.1 6A【分析】根据分层抽样的知识计算出男生被抽取的人数.3 3 0 0 “c ”-x 4 0 =22【详解】由题意得，男生被抽取的人数为3 3 0 0 +27 0 0故选：A2.已知向量 =（T1）I =（卬2）.若。则 加=（）_ 3 2A.6 B.-6 C.2 D.3B【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解.【详解】-
2、3X2-?=0,解得用=-6.故选：B2 7 13 .若一个圆锥的底面面积为兀，其侧面展开图是圆心角为3的扇形，则该圆锥的体积 为（）,2凡A.3 B.3 n C.扃 D.2扃B2兀【分析】根据圆锥底面积求得圆锥底面半径，根据侧面展开图是圆心角为行的扇形求得母线长，进而求得圆锥的高，根据圆锥体积公式即可求得答案.【详解】设该圆锥的底面半径为r,则兀r=兀，所以该圆锥的底面半径，=1,2兀/c-=2兀 尸 ，设圆锥的母线长为/,则 3 ，即/=3,则圆锥的高为行二了=2及，V=-n x l2 X2A/2=2叵兀因此该圆锥的体积 3 3 ,故选:B4 .已知a,6为两条不同的直线，1为平面，则下列
3、命题正确的是（）A.若a l b,贝 ijbaC.若。a,b/a,则。6B.若。a,石，则D.若“J-a,a/b,贝 ij6-LaD【分析】根据线面之间的位置关系逐一分析判断即可得出答案.【详解】解：对于A,若a a,ab,则b u a 或6a,故 A 错误;对于B,若。a,丁，则直线6 与平。交，平行，或6 u a,故 B 错误;对于C,粗a,h/a,则直线。力相交，平行或异面，故 C 错误；对 于 D,若a L a,a/b,则故D 正确.故选：D.25.甲，乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为5 3,则谜题没被破解的概率为（）j_5A.6 B.3 C.6 D.1A【分析】根据
4、相互独立事件的乘法公式即可得解.【详解】解：设“甲独立地破解出谜题 为事件/乙独立地破解出谜题”为事件8,尸（Z）=；，P（8）=g尸 =，,p =2故23,所 以 1 7 2 3 6.即谜题没被破解的概率为.故选：A.6.一艘海轮从/地出发，沿北偏东75。的方向航行80海里后到达海岛8,然后从8地出发，沿北偏东15。的方向航行40海里后到达海岛C.如果下次航行直接从/地出发到达C 地，那么这艘船需要航行的距离是（）A.40海里B.4 0 G 海里 C.4 0 4 海里 D.40近海里D【分析】根据已知求出角B,然后由余弦定理直接可得.【详解】如图，由题意4 8=8 0 海里，8 c =40海
5、里，8=180。-75。+15。=120、所以AC2=AB2+BC2-2A B B C cos B=2 0 0,得=4 0 5 海里.故选：D7.甲、乙两位同学暑假计划从吉林省去河北省旅游，他们所搭乘动车的“3+2”座位车厢如图所示，若这两位同学买到了同一排的座位，则他们的座位正好相邻的概率为3,2A.5 B.2 C.5 D.I。D【分析】根据给定条件，利用古典概率公式结合列举法求解作答.【详解】设事件M 为“他们的座位正好相邻”，甲乙二人买到同一排a B,C,D,F 5 个座位中的两个形成的样本空间为Q,则。=尸b,8,（/,用，共包含（）个样本点，3其中事件 屈=/民 8。,。/,包含3
6、个样本点，则有 10,3所以他们的座位正好相邻的概率为io.故选：D8.在三棱锥P-Z 8 C 中，4 P 8,PC 互相垂直，PA=PB=4,M 是线段8 c 上一动点,且 直 线 与 平 面 P8C 所成角的正切值的最大值是石，则三棱链尸-8 C 外接球的体 积 是（）A.32兀B.367tC.40兀D.44兀B【分析】连接R W,依题意可得/M U P是 直 线 与 平 面 尸 8 c 所成的角，当P W 8 C 时 最 短，此时正切值最大，求出 屈，再由等面积法得到方程求出PC,最后三棱锥的外接球可以转化为长方体的外接球，求出长方体的体对角线，即可得到外接球的直径，从而求出外接球的体积
7、:【详解】解：因为例是线段8 c 上一动点，连接因为 4 尸民 互相垂直,tan Z.AMP-.所以乙4Mp是 直 线 与 平 面 P8C 所成的角，则 PM.所以当尸加最短，即时，直线/与平面P8C 所成角的正切值最大，此时APPMM PM=,所以 5在 RtAPBC 中，PB PC=BC PM4PC=V42+PC2 x 迪则5解得*2.将三棱锥尸一/8 C 扩充为长方体，则长方体的体对角线长为,不+4?+22=6.4nR3=36 兀故三棱锥P-/8 C 外接球的半径/?=3,三棱锥尸-4 8 C 外接球的体积为3.故选：B二、多选题9.已知a,b e R,复数/-l +(+l)i为纯虚数，
8、1 +0 +2)1为实数，贝 汁()A.1 B.b=-2a+bi 4 3.-=H-1C.。+物的共规复数为l+2i D.b+a 5 5BCD【分析】根据纯虚数以及实数需要满足的条件可得。=1,方=-2,进而可判断A,B,根据共辄复数的概念可判断C,根据复数的除法运算法则可求解D.a2-=0【详解】由题意得,得。=1,又6=-2,所以a+6i=l-2 i的共轨复数为+历 l 2i(l_2i)(_2_i)4 1 3 jl+2 i,故 A 错误，B 正确，C 正确，+泊 +i(-2+i)(-2-i)5 5,故 口正确.故选：BCD1 0.如图，这是一个正方体的平面展开图，P，0，G，“分别是棱的中点
9、,则在该正方体中（）A P H /GQB.G”与8 c 是异面直线C.G，P。，/。相交于一点D.Q G VB NABC【分析】将正方体的平面展开图还原，再逐个分析即可【详解】将正方体的平面展开图还原，得到如图所示的正方体4BCQ-E丽，对 A,因为E G/8 Q,且E G=B Q,故四边形EG 08为平行四边形，故EB/G Q,乂 P H /EB,则P GQ成立，故 人正确：对 B,因为P，0，G，”分别是棱的中点，所以G u 平面4）可 瓦平面4DN E平面B C M F ,且GH与2 C 不平行，所以两直线是异面直线，故 B 正确；对 C,P H H G Q TH/G Q ,则相交，设相
10、交于点/,因 为 平 面 比 平 面A B C D =A D ,6 （=平面上4。%,尸。=平面/8 6,所 以/4。，即 G,PQ,4。相交于一点.故C 正确；对 D,连接C N,因为GQCN,CN与B N不垂直,所以2G与8 N 不垂直.故D错误故选：ABC.11.如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标有数字1到8 .任意抛掷这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为 =,2,3,4,5,6,7,8 .事件A 表示“数字为质数”，事件3表示“数字为偶数”，事件C 表示“数字大于4”，事件。表A.A 与B 相互独立 B.8与C 相互独立C.C 与。相互独立 D.A 与。相互
11、独立【分析】利用独立事件的定义逐项判断可得出合适的选项.卬,P（A）=P（B）=P（C）=P（D）=-【详解】因为 2,事件/从 数字为2,8 A 错;事件8 C:数字为6 或8,事件8：数字为5或6,事件/D:数字为3或5,故选：BC D.7 1PM）丁丁尸 尸 B对;7 13）kP（c）p（2 0对;2 1P（仞）=W =L（4）P。）,D对.12.如图，在棱长为2 的正方体8-44GA 中，E是棱4的中点，过G作正A.当4/=I时，截面为等腰梯形B.当时，截面为六边形C.当 尸=2时，截面面积为2几1 =3 25/137 J 卜 -D.当1-2时，截面a与平面8C C4所成的锐二面角 的
12、 正 切 值 为3ACD【分析】当 尸=1时，易得截面为四边形 F 8 G,可判断A；当14尸2时，AB,BC上（不含端点）各有一个截点，所以截面为五边形，可判断B；当4尸=2时,设8 c的 中 点 为 易 得 截 面 为 四 边 形/E G ,求出截面的面积可判断C；如图，过尸作尸尸垂直0%于点P,延长FE,交于点O,过 作。口垂直EO于点0,求出截面a与平面8CG与所成的锐二面角的大小等于平面庚。与平面 ”所成的锐二面角，即所求的锐二面角，求出tanAOG即可判断D.【详解】当4尸=1时，易得截面为四边形EF8G,o易证E F/8 G,且E F _QBCI,BF=E G ,所以截面为等腰梯
13、形，A正确.当1 4尸/3 x/5-3=2762,c正确.如图，过尸作EP垂 直 于 点P,延长FE,D D、交于点0,过A作。垂直EO于点0,因 为 平 面 平 面8CC百，所以截面a与 平 面 所 成 的 锐 二 面 角 的 大小等于平面EFG与 平 面 所 成 的 锐 二 面 角 的 大 小.因 为G A 1平面所3以所以e o c唧所求的锐二面角.易得D Q-P-,F O =屈，由sinZFOP=DQ FPDpFOFP 3,得 DtQ=F0 DtO=,13 ,所以tan/。0G =C.D.2 g市:丁D正确.故选：AC D.三、填空题13.写出一个同时满足下列条件的复数：z=.|z|=
14、若；】在复平面内对应的点位于第二象限.-l-2i （答案不唯一）【分析】根据复数的模长以及对应点的象限即可列出满足条件的复数.【详解】满足。+及（/+从=5,且0/2【分析】以A为原点建立直角坐标系,设尸（），将 停*方）陛+而）表示为关于X/的关系即可求出.【详解】如图，以A为原点建立直角坐标系，则（。），8（2,0）,过作Wx轴，因为正八边形4 B C D E F G H,所以“加”是等腰直角三角形，所以A M =H M =血同理，过C作C N X轴，则8N=&，过F作尸0 G,则QG=&,所 产（2,2+2勾 尸（0,2+2，设 P（D）,则夕,=（-x,-y）,尸8=（2-x,-y）,
15、所以刃+户8=（2 2 x,-2 y）,PE=（2 -x,2 +2 y/2-yy W =（-x,2+2 y/2-y 则 方 +而=g_2x,4+4 五一2y）所 以 用+而烬+而）=（2-2 4-2 4&-2了）=4（x-1）+1 /2 1 12 8/2其中（1）+g-应）表示点P（x J）到点（1+血）的距离的平方，因 为 点 在 正 八 边 形ZBCOEFG”内，所以（1）+（1一的最小值为0,所以俘+而）陛+而）的最小值为“-8叵故答案为.T 2-8正四、双空题16.记“8C 的内角4 B,C 的对边分别为。，b,c,若2bcos/=asin8,b=2/5 彳 石sin A=-,cos
16、A=所以 5 5,由余弦定理a?=次+/-26$4=4,得”石-b e sin A=ah设 8 c 边上的高为人则 2 2,be sin A 4石h =-=-得 a 5.2 石 4N/5故 5,5五、解答题1 7.已 知 向 量 篇 满 足 侬+9与）=2,且|讣回昨2.求 3 与3 的夹角&：0 4【分析】(1)根据数量积的定义和运算律即可求解夹角.(2)根据模长公式即可求解.【详解】(1)由(2 +)(-2 3)=2 a-3 a b-2 b=4-3x&x 2cos8=2nV 20 3 7 t得 2 ,因为夕e 0,兀,所以 4 .|a +5 1=yla2+2 a-b+b=.2 -4 7 2
17、 x+4 =41(2)由题意得 V 21 8.某社区80 名居民参加消防安全知识竞赛，竞赛后对其成绩(满分1 0。分)进行统计,将数据按 6，7 0),7 0,80),80,9 0),9 0 1 0 0 分为4 组,其频率分布直方图如图所示.(1)求直方图中。的值；(2)试估计这80 名居民竞赛成绩的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(3)该社区准备对本次安全知识竞赛成绩较差的2 0%的居民开展消防安全知识讲座，则需要参加讲座的居民的分数不超过多少=0.0 4 84 7 5【分析】(1)利用频率和为1,可求得。的值；(2)利用频率分布直方图中的平均数公式可求解；(3)求从前至后
18、频率和等于0 2 对应的数即可.【详解】依题意得，l x(.,2 +Q 3 +a)=l,解得a =0.0 4.(2)这8。名居民竞赛成绩的平均分了=65 x 0.1 +7 5 x 0.2 +85 x 0.4 +9 5 x 0.3 =84.(3)由频率分布直方图可得，第一组的频率为0 0 1 x1 0 =0,前两组的频率之和为(1 +2)x 1 0 =63.设需要参加讲座的居民的分数不超过”,则*e 7 0,80).0.0 2 x G-7 0 )+0.1 =0.2 班汨 ),解得i s.故需要参加讲座的居民的分数不超过7 5.1 9.如图，在棱长为2的正方体,8。-4 8 G o i 中，E、尸
19、 分 别 为 棱、CG的中点.证明：平面E G平面反加；(2)求异面直线,G与B F所成角的余弦值.(1)证明见解析妪5【分析】(1)证明出瓦/平面0 F 平面E G,再利用面面平行的判定定理可证得结论成立；(2)分析可知异面直线G与8 F 所成角为/G或其补角，计算出 N E G 的三边边长，利用余弦定理可求得结果.【详解】(1)证明：连 接 叱，因为四边形C C Q Q 为平行四边形,则CG HDD旦CC,=D%、/分 别 为。A、CG的中点，则Cf7 历 且 CF=OE,所以，四边形以出产为平行四边形，则防/8且 所=。,因为曲/CD且/B =CD,:.EF/AB宜 EF=A B,故四边
20、形/出/为 平行四边形，所以，BFHAE,；BF 0 平面 NEG,AE u 平面 AE C,8尸 平面 A E Ci ,同理可证6 尸/“且 G尸=0 ,所以，四边形弓互正为平行四边形，所以，C EDF,DF u 平面 4EC,C g u 平面 NEC、。尸 平面 ZEG,：B F D F =F t所以，平 面 平 面BDFQ 懈：.BF/4E,所以，异面直线 G 与BF所成角为/口 或其补角，在 A/EG 中，4E=C1C=砂 +1=#,AC 1=2 后,AE2+AC；-C.E2 5+12-5 而由余弦定理可得 2 AE-AQ 2XV5X2V3 5,叵所以，异面直线 G 与B尸所成角的余弦
21、 值 为 5.2 0.记A/8C的内角4,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2/3(cos2 C -cos2 A)=(a-b)sin B；且8 c 外接圆的半径为由.求 C 的大小；若 G 是“8 c 的重心，求A/CG面积的最大值.C =-33百4【分析】(1)根据正弦定理可得。=2 0 sin4b=2 6 sin 8,c=2代 s in C,然后根据同角平方和的关系以及正弦定理的边角互化得/-c2=S-M,进而根据余弦定理可求角.s=ls(2)根据余弦定理以及均值不等式可得必4 9,根据重心的性质可得,进而根据面积公式即可求解.a=b=c=【详解】(1)由正弦定理sin/sin5 sin
22、C，得a=273 sin A,b=2 G sin B,c=2 G sin C因为 2G(cos?C-cos?A)=273(1-sin2 C-1 +sin2 J)=2/3(sin2 Z-sin2 c)=(a-b)sin 8_+4 1 _7t所以励，所以cs-一 通 一5,因为八(，兀),故=3,(2)由(1)得c=2 6 sin C =3,所以 T +b2-c2=ab 2ab-9,得ab 9,当且仅当。=人=3 时，等号成立.DG=-BD连接8 G,并延长8 G 交/C 于。，则。是/C 的中点，且 3,FG _DG过 G 作G尸L/C 于/，过 5 作8 E 1 Z C 于,贝 ij BE B
23、D 3,c _ 1 a 人.g -3 6 373SM C G=-S ARC=_ ab sin C ab /2 x /2 =2=-x S x =-x V l O x三棱锥尸-/8。的体积=3 即 3 3 PB 3 ,6 3 /1 0X-r=-V 1 0 5 .3瓦综上，。到平面P 4 8的 距 离 为5 .2 2.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每 胜1局 得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打1 1平.假设在每局比赛中，甲胜的概率为2,负的概率为3,且每局
24、比赛之间的胜负相互独立.（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率.4 万2 6 5 至【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜），根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【详解】（1）设事件/为“第三局结束乙获胜”12由题意知，乙每局获胜的概率为不获胜的概率为若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）.Dz,x 1 2 1 2 1 1 _ 4P（A）=_ x _ x Ix x =故.3 3 3 3 3 3 2 7（2）设事件3为“甲获
25、胜匕RC =-1 X 1 =一1若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率 2 2 4.若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）.此 时 的 概 率 2 2 2 2 2 2 4.若第四局结束中以积分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜 2 平 或 1胜 1 平 1负，总共有9 种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜）,（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）.P.=i x X X x3+X X X x6=此时的概率 2 6 6 2 2 6 3 2 48若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0 分，总共有4 种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）.此时的概率X41-X61-X61-6X1-2-81O故 pom”而