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1、2021-2022学年河北省承德市高一下学期期末数学试题一、单选题1.一支田径队有田赛类运动员36人，径赛类运动员30人，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取一个容量为11的样本，则田赛类运动员被抽取的人数为（）A.4 B.5 C.6 D.7C【分析】由分层抽样的方法，按比例可得答案.36 /-x 11=6【详解】由题意得，田赛类运动员被抽取的人数为36 +30故选：CZ=2.2L+5已知复数2一匚i卡 ,则匕卜（）A.后 B.17 C.3亚 D.18A【分析】将复数Z化简，再计算模长.|z|=方（：r）+5=4+值 风【详解】由题意得（1一 卯+1）,所以A正确；故选：A.3.如图，某 圆
2、柱 侧 面 展 开 图 的 斜 二 测 直 观 图 为 平 行 四 边 形 已 知AO =BO =O E =CE =D E=五,则该圆柱的体积为（）B【分析】利用斜二测画法得到原图矩形Z 8 C D中，AB=BC =2 n,从而求出圆柱的高,底面半径，从而求出圆柱的体积.【详解】由斜二测画法得，在原图矩形4 88中，4B=BC =2 n,所以该圆柱的高为空=12兀，底面半径为2兀，故该圆柱的体积为兀x 2花=2兀2.故选：B4.在平行四边形/8 C。中，E 是 8 c 的中点，D E交A C于F,贝|而=()1 2 2 1 1 2 -2 1 AB+-AD AB+-AD-A B AD-A B A
3、DA.3 3 B.3 3 c.3 3 D.3 3DDF=D E【分析】由题可得 3,再根据向量运算法则即可表示.DF AD-=-=2【详解】因为E 是 8 c 的中点，力 O E C,所 以“尸EC,DF=D E =(DC+C E (_1-所以 3 3、7 3 l 2 J 3 3故选：D.f (x)=sin5.函数.的单调递增区间为()2时吟2时+普A.B.,7t.5 4K7T-兀 +k wZ6 6%w Z_.5TT IE2 k，兀 4-,2 k7T-6 6.5 4，1 71K7T H-,K7T H-6 6C.k e ZD.kw ZC【分析】将工的系数变为正数，再根据正弦函数的单调性结合整体思
4、想即可得解.f (x)=sin【详解】解：7UX一 小 勺+2 k7r X-+2 k,k e Z令 2 3 2,+2 k 兀 x l 2ATT+包，2人 乃 +卫工所以函数 13 J 的单调递增区间为L 6 6k e Z故选：C.6.一艘海轮从力地出发，沿北偏东75。的方向航行80海里后到达海岛8,然后从B地出发，沿北偏东15。的方向航行40海里后到达海岛C.如果下次航行直接从/地出发到达C 地，那么这艘船需要航行的距离是（）A.40海里 B.4（）8 海里 C.400海里 D.40万 海里D【分析】根据己知求出角B,然后由余弦定理直接可得.【详解】如图，由题意4 5=8 0 海里，8 c =
5、40海里，8=180-75。+15=1 2 0,所以A C2=AB2+B C2-2 AB-SCcos5=11200,得 =4 0 s 海里.故选：D7.在三棱锥P-N 8 C 中，尸 4 尸氏PC 互相垂直，P A=P B=4,M 是线段8 c 上一动点,且直线A M与平面P B C所成角的正切值的最大值是亚,则三棱锥尸-NBC外接球的体 积 是（）A.327t B.36TI C.40兀 D.447rB【分析】连接P M,依题意可得乙处/尸是直线力 M 与平面P8C 所成的角，当P M L 8 C 时PM 最短，此时正切值最大，求 出 再 由 等 面 积 法 得 到 方 程 求 出 PC,最后
6、三棱锥的外接球可以转化为长方体的外接球，求出长方体的体对角线，即可得到外接球的直径，从而求出外接球的体积;【详解】解：因 为 是 线 段 BC上一动点，连接尸因为尸昆尸C 互相垂直,tan/.AM P =-所以N/A/P是直线4 与平面PBC所成的角，则 PM.所以当尸最短，即尸W6 c 时，直 线 与 平 面 P8C 所成角的正切值最大，此时APP M加,所以心竽在 RtdPBC 中，P B P C=BC P M,则4P C=次 +P C。x 竽解得PC=2.A将三棱锥尸-4 8C扩充为长方体，则长方体的体对角线长为,不+4?+2 2 =6 .4 itR3=36K故三棱锥尸-43c外接球的半
7、径H =3 ,三棱锥尸-力3c外接球的体积为3故选：B8.甲、乙两位同学暑假计划从吉林省去河北省旅游，他们所搭乘动车的“3+2”座位车厢如图所示，若这两位同学买到了同一排的座位，则他们的座位正好相邻的概率为()窗口窗口“3+2”座位车厢窗口窗口2 12 2A.5 B.2 c.5 D.1 D【分析】根据给定条件，利用古典概率公式结合列举法求解作答.【详解】设事件M为“他们的座位正好相邻”，甲乙二人买到同一排4 B,C,D,式5个座位中的两个形成的样本空间为Q,则。=/8,/1（7,力。,工 尸,8。,8。,8。,。/,尸,共包含（）个样本点，其中事件M=/8,8 C,O F ,包含3个样本点，则
8、有 1 0,3所以他们的座位正好相邻的概率为1 .故选：D二、多选题9.已知复数 z =（i）（3-i）,则（）A.z的虚部是2 i B.z的实部是4111.=-1C.z的共扼复数是4-2 i D.z 5 1 0B CD【分析】结合复数的乘法运算计算出复数z,再根据复数的概念即可判断ABC 三项，最后利用复数的除法运算即可判断D 选项.【详解】z =0 +i）（3-i）=4 +2 i,%的实部是4,故 B正确；虚部是2,故 A错误；z 的共轨复数为4-2 i,故 C 正确；11 4 2 i 4-2 i _ 1 1 .Xb（4 +2 i）fF 丁 方,故 口 正确.故选：B CD1 0.已知向量
9、 =（3，+1）,且_L5,c 是与 同向的单位向量，则（）A.机=2 B.各=（3,2）二 整一空c.|词=后D12 2 0A C D【分析】对于选项A,根 据 求 出 方 的 值，进行判断；对于选项B,由，的值可得书的坐标；对于选项c,由Z,5 坐标，可得）与的坐标，进而计算-5 的模；对于选项D,由 的坐标，根据公式计算与其同向单位向量 的坐标判断正误.【详解】对于选项A,根据上 5,求出机=2的值，故 A正确；对于选项B,由切=2,得=（3,3）,故B错误；对于选项C,G T,各=（3,3）,可得5=（-1,-5）,所以卜-6 卜 疡,故 c正确;对于选项D,因为单位向量。与。同向，所
10、以，k 故 D 正确.故选：A CD.1 1.如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标有数字1 到8 .任意抛掷这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为=82,3,4,5,6,7,8.事件A 表示“数字为质数”，事件8 表示“数字为偶数”，事件C 表示“数字大于4”，事件。表A.A 与B相互独立C.C 与。相互独立B.8 与C 相互独立D.A 与。相互独立BCD【分析】利用独立事件的定义逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为尸=小）=尸（。）土事 件 数 字 为 2,8 A错;事件8 C:数字为6或8,2 1P（5C）kL P（C）,B 对;事件。）:数字为5或6,事件4 0
11、:数字为3或5,故选：BCD.7 1P（CD）=M N=P（C）P（D）o q2|P（AD）=O=7=P（A）P（D）o 4,C 对;,D 对.12.如 图，在棱长为2 的正方体 8 C C-4 4 G A 中，E,尸分别为棱8 C,的中点,G 为面对角线4 上的一个动点，则（）AA.三棱锥用一的体积为定值B.线段4 上存在点G,使4 ，平面EFGC.线段4 上存在点G,使平面EFG平面2后D.设 直 线 对 与 平 面 所 成 角 为“，贝ijsin的 最 大 值 为 亍ABD【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】易得平面
12、平面所以G到平面8CC声的距离为定值，又$纳所为定值，所以三棱锥G-4 即三棱锥用-M G的体积为定值，故 人正确.对 于B,如图所示，以。为坐标原点，X为x轴，0 C为了轴，为z轴，建立空间直角坐标系,则“(2，),以2,2,0),。(0,0,0),C(0,2,0),4(2,0,2),D,(0,0,2)C,(0,2,2),(l,2,2),F(2,2,l)(所 以 近=(-2,2,2),k=(-2,2,0),位=(-2,0,2),F=(1,0-1)设Z)G=，Z)4(0W臬 1),则 G(24,0,24)所 以 函=(2/1-1,_2,2%-2)FG=(22-2,-2,2/l-l)就 JL 西
13、-2(2/1-1)+2x(-2)+(-2)x(2/1-2)=04 c _ L 平面 EFG 14 c 1 F G 即-2(2 A-2)+2 x(-2)+(-2)x(22-l)=0/I=解之得 4当G为线段4。上靠近。的四等分点时，40,平面印6.故8正确对于C,设平面4。的法向量4=由 如 百）万 A C =-2 xj+2必=0贝11万 一 力。=-2 x+2 Z =0,取演=1得 n=（1,1,1）设 平 面EFG的法向量万2=（%，%/2）,2 E F =x2-z2=0贝ij 1万2 ,函=（2 2-l）x2-2 y2+（2 2-2）z2=0取苫2=1,得-l i 4 4-3 .2=C，,
14、1平面 C|平面E R 7 万|/a-（1,1,1）=1，,“设 =仇，即 I 2人k=,X=解得 4,-.-0 A2因为 I 2-2.2_ 2 20s i n 0-/W -=-V 8 22-1 2 +9 9 3所以 62&所以s i n。的 最 大 值 为3 .故D正确.故选：A B D三、填空题1 3.每年的4月2 3日是世界读书日，为了了解学生的阅读情况，某校随机抽取了 8名学生，统计到他们某一周课外阅读时间（单位：小时）分别为3.5,2.8,2.5,2.3,3.2,3.0,2.7,1.7,则这组数据的第4 0百分位数是2.7【分析】根据百分位数的定义求解即可【详解】将这组数据从小到大排
15、列：1.7,2.3,2.5,2.7,2.8,3,0,3.2,3.5.因为4 0%x8 =3.2,所以这组数据的第4 0百分位数为第4项数据，即2.7.故2.71 4.易经是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图，这 是 易经中记载的几何图形一八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图.己知正八边形/B C O E F G H的边长为2,P是正八边形/88E尸G”所在平面内的一点，则俘+方）陛+而）的最小值为-1 2-8 亚【分析】以A为原点建立直角坐标系,设（”），将 俘*丽）陛+而）表示为关于J的关系即可求出.【详解】如图，以A为原点建立直角坐标
16、系，则”（，），8（2,0）,过“作轴，因为正八边形4 B C D E F G H,所 以 是 等 腰 直 角 三 角 形，所以A M=H M=6同理，过C作CNL轴，则8 N =0,过F作W G,则。G =&,所 以 心+2 q设尸GM,则 P A=（-X,）,PB =（2 _ X,_ y）,所以+尸8 =（2 -2 x,-2 y）尸 0,2 +2&)P E =（2-x,2 +2 y2-yyP F =（x,2 +2/2-y 则 而 +而=0 _ 2 x,4 +4 近-2 y）所 以 停+而）陛 +而）=（2 _ 2 工）2 _ 2 了 0+4 血 _ 2 y）=4 （X-1）2+（V-1-V
17、 2 -1 2-8 V 2其中（1）一 +6 T 一 表示点G M 到点G 到 的 距离的平方，（x 1）+fy 1 V 2 j .目,/士、因 为 点 在 正 八 边 形 C D E F G，内，所以V V）的最小值为0,所 以 停+。）陛+尸）的最小值为T 2-8 及故答案为.T 2-8 垃CO S0=-1 5.已知 为第三象限角，且*,则t a n 6=,t a n 2 0=4 一百【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得t a n。的值，再利用二倍角的正切公式可求得t a n 2。的值.c os。=-s in。=-J l-cos?9 =-4y【详解】因为6 为第三象限角，且 1 7,则
18、 1 7所以,万 s in，.t a n 0-=4cos。t a n 2 6=故2 t a n 夕l-t a n2/9815故4；15.1 6.记A4 8 C的内角/B,C 的对边分别为a,b,c,若26cosZ=asin 8,且b=2,c=亚，则si n/=,8 c 边上的高为.2石2T 5475 4 V 5【分析】化简2bcos/=asin 8 得到tan/=2,再利用余弦定理求出=石，设 8 C 边上的高为人利用三角形的面积公式得解.【详解】解：由题意得2sin8cosN=s in/s in 8,得 tan4=2,所以A 为锐角，.2旧,石sin A=-,cos J =所以 5 5,由余
19、弦定理/=+C2-26CCOS/1=4,得 =逐S ARr=bcsinA=ah设 BC边上的高为人则 2 2,6c sin 4 4 百n=-=-得 a 5.2 旧 475故 5,5.五、解答题/(x)=sin(a)x+)1 A 0,0,|1 7.函数 I 2 J 的部分图像如图所示.求 x）的解析式；（2）将/（X）的图像向右平移Z 个单位长度，再将图像上所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函数=8 卜）的图像，求名白）的解析式.(1)f(x)=2sin(2x+?g(x)=2sin 卜 卡)【分析】（1）根据图像易得/=2,再 求 出 周 期 可 求 出 再 利 用2即可求出;（
20、2）先求出平移后的解析式，再求出且）的解析式即可.3兀兀_ 兀 2/=-=co 【详解】（1）由函数图像可得4=2,4 8 8 4,所以7=万，则 T=2sinf 2x+=2 +=+2 cp=+2 k/r,ke Z又 I 8 J,所以.4 2，即*4,闸因为 12,所以n所以f(x)=2sin(2 x+四y=2sin 27 个单位，可得 L再将图像上所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），可得1 8.为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高 数 据（单 位:cm）按140,150）,150,160）,160,170）,170,180）,180,190分为
21、五组，绘制成如图所示的频率分布直方图身高（单位：cm）（1）求。并估计这1 0 0 名学生身高的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在口 5 0,1 7 0）的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1 人身高不低于1 6 0 c m的概率.（1”=0.0 2,平均数为 1 6 6.29 1 0【分析】（1）由频率分布直方图求解即可;（2）先确定U S。，1 6 0）与口 6 0,1 7 0）抽取的人数并分别标记，再结合古典概型的概率公式求解即可 详解口=-(。0 3 +0.0 2 8 +0.0 1 2 +0.0 1)=
22、0.0 2平均数为(1 4 5 x0.0 1 +1 5 5 x0.0 2 +1 6 5 x0.0 3 +1 7 5 x0.0 2 8 +1 8 5 x0.0 1 2)x1 0 =1 6 6.2即 这 1 0 0 名学牛身高的平均数为1 6 6.2；身高在口 5 0，1 6 0）的学生有1 0 0 x1 0 x0.0 2 =2 0 人，身高在即。/7。）的学生有1 0 0 x1 0 x0.0 3 =3 0 人,故身高在 1 5 0,1 7 0）的学生共有5 0 人，5 x=2用分层抽样的方法从身高在 1 5 0,1 6 0）的学生中抽取 5 名，记 为 1,2,从身高在1 6，1 7。）的学生中
23、抽取X5名，记为。也 J从这5名学生中随机选取2名学生的所有结果为 gH，a 2,b c,b l,6 2,c l,c 2,1 2 ,共1 0种，其中这2人中至少有1 人身高不低于1 6 0 c m的结果有9种.故所求概率 i o.1 9.如图，在棱长为2的正方体/B C D-4用GR中，E、尸 分 别 为 棱 C G的中点.(1)证明：平面EC/平面BDF；(2)求异面直线A C 与B F所成角的余弦值.(1)证明见解析叵5【分析】(1)证明出国/平面 E G,O F 平 面 再 利 用 面 面 平 行 的 判 定 定 理可证得结论成立；(2)分析可知异面直线G与8 尸所成角为/口&或其补角，
24、计算出/E G 的三边边长，利用余弦定理可求得结果.【详解】(1)证明：连接我厂，因为四边形C C Q。为平行四边形，则C C W R且C G =D D、,E、F 分别为D R、C G的中点，则CF/DE且CF=D E ,所以，四边形8E尸为平行四边形，则E F/CZ)且 E F=CO,因为4B/CD且AB=CD,:.EFAB且EF=AB,故四边形4 瓦石为平行四边形,所以，BFHAE,:8 尸(z 平面Z E G ,/Eu平 面/灰 B F 平面4 g,同理可证G F 。且=所以，四边形G比 为平行四边形，所 以,CiEDF,D F平面EC1,C u 平 面/田，./平 面/四，-BFDF=
25、F t所以，平面/E G 平面8尸.(2)解：-BFHAE,所以，异面直线 G 与8尸 所 成 角 为 或 其 补 角，在 E G 中，AE=CXE=V22+12=5/5,AC,=2 7 3(_ AE1+AC,-C.E2 _ 5+12-5 _ V15COS j-由余弦定理可得 2 AEACt 2XV 5X2 V 3 5,V15所以，异面直线 C 与8尸所成角的余弦值为亏.2 0.记A 48c的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c,已知.在 2cos2 c-8cos(/+8)+5=0,sin,4+sin?8+sin 4 sin8=sin2 C 这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下
26、列问题.(1)求C 的大小；若A/8 C的面积为百，且c=E,求“8 C 的周长.27r(1)T(2)372+714【分析】(1)选 ，由诱导公式以及二倍角的余弦公式可得出关于cosC的二次方程,求出cosC的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；选 ，由正弦定理边角互化结合余弦定理可求得cosC的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；(2)利用三角形的面积公式可求得成的值，再 利 用 余 弦 定 理 可 求 得 的 值，进而可求得A4 8 C的周长.【详解】解：选择，因为2cos2 c-8 co s(/+8)+5=0,即2(2CO S2C-1)-8CO S(-C)+5 =0即4cos
27、2 C+8cosc+3=0,gp(2cosC+l)(2cosC+3)=0,cosC=-c =0 C ,则-1 CO SC 1,得 2,即 3.选择，由 sin N+sin2 8+sin 月 sin B=sin2 C 及正弦定理可得 a2+b2+ab=c2,c a1+b2-c1 1)、COS C =-=即a+b-c2=-a bf 所以 lab 2 ,因为0 2+ah ,得(a+b)-=1 8,即4 +6 =3 及，故8C的周长为30 +9.2 1.如图，在四棱锥尸-/8 C Z)中，A P=P D =D C =2,AB=Ri ,N A D C =4 PD=9 G ,平面 平面/B C Z).(1
28、)证明：/尸，平面PO C.(2)若 E是棱尸 4的中点，且/平面尸8,求点。到 平 面 尸的距离.(1)证明见解析3 而5【分析】(1)在平面尸CC内找到两条相交的的直线，使得4 垂直于它们即可;(2)运用等体积法，求出三棱锥2/8。的体积和和三角形P/8 的面积即可.PA【详解】平面 平 面 尸/),C D LA D,平面spg ABCD=AD,：.CD 平面尸4 D,C D L A P ,即 4 F _L/7),4 P_L C D,PZ)nC Z)=Z),PZ)u 平面 p C D u 平面.W平面4 8 c AQ尸 B E”平面 PZ)C,AP X.平面尸 c,在 R t/XABE 中
29、，AB=4A,AE =,BE =Yll-l=V F 5 ,S=x A Px BE=V T o 4P B的面 积 为“2 ,取 4。的中点G,连接尸G,B G,因为口。是等腰直角三角形,P G 1 A D ,P G =j2 ,AD =2 2 ,又.平 面 平 面 月 8CQ,，尸 G,平面“28,PG 1 B G ,在 R t/P BE 中，P B=J P E2+BE。=屈 ,在R t P BG 中，BG-I P B2-P G2-V 1 1 -2 =3 ,A G2+B G2=2 +9 =1 1 =AB2,B G 是直角三角形，S,SD=x A D x BG=3/2八4 B D的 面 积 2 ,设
30、点。到平面P/8 的距离为x,-x S三 棱 锥 的 体 积=3 ：,x=3 后综上，。到平面P 4 8 的 距 离 为 5 .2 2.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每 胜 1 局 得 1 分，负 1 局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打1 1平.假设在每局比赛中，甲胜的概率为2,负的概率为3,且每局比赛之间的胜负相互独立.（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率.2 72 6 5 而【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，
31、胜），根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【详解】（1）设事件工为“第三局结束乙获胜”J _ 2由题意知，乙 每 局 获 胜 的 概 率 为 不 获 胜 的 概 率 为5.若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）.K 八 1 2 1 2 1 1 4r（/l）=-x x-+x-x-=故 3 3 3 3 3 3 27（2）设事件8为“甲获胜”.Rc=-1 X 1 =1若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率 2 2 4.若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种
32、情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）.八 1 1 1 1 1 1 1=X X+X X=一此 时 的 概 率-2 2 2 2 2 2 4.若第四局结束甲以积分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平 或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜）,（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）.P.=x-i-x X x3+X X X x6=此时的概率 2 6 6 2 2 6 3 2 48若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）.n 1111,1P.=x x x x4=-此时的概率 2 6 6 6 108