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1、中考复习专题 18：二次函数与几何综合题（一）1.在平面直角坐标系中，直线 yx+5 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C，点 B 在 x 轴正半轴上，抛物线 yax2+bx+5 经过 A、B 两点，连接 BC，SABC20（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 在第二象限的抛物线上，过点 P 作 PHAC 于点 H，交 y 轴于点 D，若 PD3PH，求PD 的长；（3）在（2）的条件下，若点 M（m，7+m）和点 P 同在一个象限内，连接 MD、MP，求 M 点坐标1tan3MDP【解答】（1）如图，直线 yx+5 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 CA（5，0），C（5，0）OCOA5
2、SABC20，AB8OB3B（3，0）抛物线 yax2+bx+5 经过 A，B 两点，解得255509350abab1323ab 抛物线解析式为：；212533yxx（2）如图，过点 P 作 PEy 轴，垂足为 E，过点 P 作 PFx 轴，垂足为 F，交 AC 于点 G设点 P 的横坐标为 3n，则纵坐标为：E（0，3n22n+5），F（3n，0）OE3n22n+5，OF3n在矩形 PEOF 中，PEOF，PFOE，PE3n，PF3n22n+5OCOA5，AF53n，OACOCA45PDEDPE45PD3PH，DPE45，GPH45PHAC，PG2nOAC45，AFGF5+3n，PF2n+5
3、+3nn+5PF3n22n+5，n1 或 n0（舍）点 P 在第二象限的抛物线上n1；（3）M（m，7+m），点 M 在直线 yx+7 上n1，P（3，4）点 P 也在直线 yx+7 上如图，当点 M 在点 P 上方时，过点 M 作 MNPE 于点 NM（m，7+m），P（3，4），N（m，4）PNm（3）m+3，MN7+m4m+3MPNPMN45DPE45，MPDMPN+DPE90在直角三角形 PMN 中，PNm+3，MNm+3，PD3PM，m2M（2，5）；如图，当点 M 在点 P 下方时，过点 M 作 MKEP 延长线于点 K，M（m，7+m），P（3，4），K（m，4）PK3m，MK4
4、（7+m）3mPKMKMPKPMK45DPE45，MPD180MPKDPE90在直角三角形 PMK 中，PK3m，MK3m，PD3PM，m4M（4，3）点 M 的坐标为（2，5）或（4，3）2.已知：抛物线 ya（x22mx3m2）（m0）交 x 轴于 A、B 两点（其中 A 点在 B 点左侧），交 y轴于点 C（1）若 A 点坐标为（1，0），则 B 点坐标为（3，0）（2）如图 1，在（1）的条件下，且 am1，设点 M 在 y 轴上且满足OCA+AMOABC，试求点 M 坐标（3）如图 2，在 y 轴上有一点 P（0，n）（点 P 在点 C 的下方），直线 PA、PB 分别交抛物线于点
5、E、F，若，求的值23PAPEPFPB【解答】（1）将（1，0）代入 ya（x22mx3m2）得：1+2m3m20，解得：m1 或 m（舍），ya（x22mx3m2）a（x+1）（x3），B（3，0）故答案为：（3，0）（2）当 am1 时，抛物线解析式为 yx22x3，C（0，3），OBOC3，ABC45，如图 1，M 在 y 轴负半轴上，在 y 轴负半轴上截取 OGOA1，连 AG，则AGO45ABC，AG，OCA+AMO45，又OCA+GACAGO45，AMGGAC，又AGMCGA，GMAGAC，AG2MGGC，又 GCOCOG2，设 M（0，a），2（1a）2，a2，M 的坐标为（0，
6、2）根据对称性可知（0，2）也符合要求综上所述，满足要求的 M 点的坐标有：（0，2）、（0，2）（3）由抛物线解析式可得：A（m，0），B（3m，0），23PAPE12AEAP如图 2，作 EGx 轴于点 G，FHy 轴于点 H，则EAGPAO，PFHPBO，AGAOm，OP2EG，12AGEGAEAOPOAPxEm，yEam2，即 EGam2，OPam2，P（0，am2），又B（3m，0），直线 PB 的解析式为：yamxam2，amxam2a（x22mx3m2），2x27mx+3m20，x13m（舍），x2m，FHm，11236mPFFHPBBOm3.如图 1，该抛物线是由 yx2平移后
7、得到，它的顶点坐标为，并与坐标轴分别交于3(225)4A，B，C 三点（1）求 A，B 的坐标（2）如图 2，连接 BC，AC，在第三象限的抛物线上有一点 P，使PCABCO，求点 P 的坐标（3）如图 3，直线 yax+b（b0）与该抛物线分别交于 P，G 两点，连接 BP，BG 分别交 y 轴于点 D，E若 ODOE3，请探索 a 与 b 的数量关系并说明理由【解答】（1）抛物线的表达式为：，22325()3424yxxx 令 x0，则 y4，故点 C（0，4）；令 y0，则 x4 或1，故点 A、B 的坐标分别为：（4，0）、（1，0）；（2）如图，设直线 CP 交 x 轴于点 H，故点
8、 H 作 HGAC 交 AC 的延长线于点 G，1tantantan4BOBCOPCAOCOAOC4，故BAC45GAH，设 GHGAx，则 GC4x，故 ACGCGA3x4，解得：，4 23x 则，故点，823AHx20(3H 0)由点 CH 的坐标得，CH 的表达式为：yx4，联立并解得：x0（舍去）或，185故点，；18(5P 46)25（3）设点 P、G 的坐标分别为：（m，m2+3m4）、（n，n2+3n4），由点 P、B 的坐标得，直线 PG 的表达式为：y（m+4）x（m+4）；同理直线 BG 的表达式为：y（n+4）x（n+4）；故 OD（m+4），OE（n+4），直线 yax
9、+b（b0），联立并整理得：x2+（3a）xb40，故 m+na3，mnb4，ODOE（m+4）（n+4）3，即mn+4（m+n）+163，而 m+na3，mnb4，整理得：b4a+34.如图，抛物线 y（x3）（x2a）交 x 轴于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），23OAOB（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图，连接 BC，点 P 在抛物线上，且求点 P 的坐标；12BCOPBA（3）如图，M 是抛物线上一点，N 为射线 CB 上的一点，且 M、N 两点均在第一象限内，B、N 是位于直线 AM 同侧的不同两点，tanAMN2，点 M 到 x 轴的距离为 2L，AMN 的面积为
10、5L，且ANBMBN，请问 MN 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由【解答】（1）把 y0 代入抛物线 y（x3）（x2a），得 x3 或 x2a，点 A 在点 B 的左侧，A（2a，0），B（3，0），a1，抛物线的函数表达式为：yx2x6；23OAOB2233a（2）如图，作线段 BC 的垂直平分线交 y 轴于点 D，此时 DCDBDCDB，DCBDBC，ODBDCB+DBC2BCO，BCOPBAPBA2BCO，ODBPBA，tanODBtanPBA，设 P（m，m2m6），DCDBn，C（0，6），B（3，0），OC6，OB3，OD6n，在 RtBOD 中，（6
11、n）2+32m2，解得，tanODBtanPBA，即，解得，PEOBBEOD2|6|349334mmm10233mm 或，点的坐标为；27644699mm或P10 76244,3939或（3）MN 的为定值，定值为 5A（2，0），B（3，0），点 M 到 x 轴的距离为 2L，SAMN5LSABMSAMNABM 和AMN 同底 AM，点 B、N 到直线 AM 的距离相等，AMBN，MANANB，AMBMBN，ABCMABANBMBNMANAMB，tanAMN26tan23OCABCOBMABAMN（ASA），MNAB5MN 的为定值，定值为 55.抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A
12、、B 两点（点 A 在 B 左边），与 y 轴交于点 C（1）如图 1，已知 A（1，0），B（3，0）直接写出抛物线的解析式；点 H 在 x 轴上，M（1，0），连接 AC、MC、HC，若 CM 平分ACH，求 H 的坐标；（2）如图 2，直线 y1 与抛物线 yx2+bx+c 交于抛物线对称轴右侧的点为点 D，点 E 与点 D关于 x 轴对称试判断直线 DB 与直线 AE 的位置关系，并证明你的结论【解答】（1）把 A（1，0），B（3，0）代入 yx2+bx+c 中，得，抛物线的解析式为 yx2+2x+3；10930bcbc 23bc过 H 作 HNAC 与 CM 的延长线交于点 N，如
13、图 1ACMHNM，ACNN，AMACHMHCCM 平分ACH，HCNACNCNH，CHNH，AMACHMCHC（0，3），AC，AM2，210HMCH102CHMH设 MH2a，则 CHa，OC2+OH2CH2，解得，a1（舍去），或，2223(21)(10)aa53a OHOM+MH1+2a，H（，0）；（3）当 y1 时，yx2+bx+c1，则 x2bxc10，2442bbcx244(2bbcD1)当时，即，则，0y 20yxbxc 20 xbxc242bbcx，242Abbcx242Bbbcx设 DE 与 x 轴交于点 K，则，2222444444222bbcbbcbcbcBK，224
14、44tan2BKbcbcBDKDK又，224442bcbcAK，22222444tan2444bcbcEAKbcbcBDKEAK，DEAK，EAK+E90，BDK+E90，BDAE6.如图 1，抛物线 C1：yax2+bx2 与直线交于 x 轴上的一点 A，和另一点11:22l yx B（3，n）（1）求抛物线 C1的解析式；（2）点 P 是抛物线 C1上的一个动点（点 P 在 A，B 两点之间，但不包括 A，B 两点）PMAB于点 M，PNy 轴交 AB 于点 N，求 MN 的最大值；（3）如图 2，将抛物线 C1绕顶点旋转 180后，再作适当平移得到抛物线 C2，已知抛物线 C2的顶点 E
15、 在第一象限的抛物线 C1上，且抛持线 C2与抛物线 C1交于点 D，过点 D 作 DFx 轴交抛物线 C2于点 F，过点 E 作 EGx 轴交抛物线 C1于点 G，是否存在这样的抛物线 C2，使得四边形DFEG 为菱形？若存在，请求 E 点的横坐标；若不存在，请说明理由【解答】（1）直线交 x 轴于点 A，x0，解得：x111:22l yx A（1，0）点 B（3，n）在直线 l 上n32B（3，2）抛物线 C1：yax2+bx2 经过点 A、B 解得：209322abab 1232ab 抛物线 C1的解析式为213222yxx（2）如图 1，延长 PN 交 x 轴于点 HAHN90设 P（
16、m，m2m2）（1m3）PNy 轴xNxHxPmN（m，m），AHm+1，1111()2222NHmm 22111313(2)222222PNmmmmm RtAHN 中，tanNAH22225sin55(2)NHNHNHNHNAHANNHNHAHNHNHPMAB 于点 MAHNPMN90ANHPNMNAHNPMRtPMN 中：5sin5MNNPMPN22551352 5()(1)5522105MNPNmmm 的最大值为MN2 55（3）存在满足条件的抛物线 C2，使得四边形 DFEG 为菱形如图 2，连接 DE，过点 E 作 EQDF 于点 Q221313252()22228yxxx抛物线 C
17、1顶点为（，）设 E（e，e2e2）（e4）抛物线 C2顶点式为 y（xe）2+e2e2当（xe）2+e2e2x2x2解得：x1e，x2两抛物线另一交点 D（，）为抛物线 C1顶点EGx 轴，DFx 轴，322()232EGDFDQee2213251392228228EQeeee四边形 DFEG 是平行四边形若DFEG 为菱形，则 DGDF由抛物线对称性可得：DGDEEFDEEFDFDEF 是等边三角形tanEDQe2e+（e），解得：e1（舍去），232 32e E 点的横坐标为时，四边形 DFEG 为菱形3(2 3)27.如图，抛物线交 x 轴于 A，B 两点（A 在 B 左边），交y 轴
18、于点 C21344yxx（1）求 SABC；（2）E 为点 A 左侧抛物线上一点，连接BE 交线段 AC 于点 F，若AFE45，求点 E 的坐标；（3）P 是第二象限抛物线上一点，连接PA，PB，N 为 PA 的中点，连接CN 交 PB 于点 M，若CM2MN，直接写出点P 的坐标【解答】（1）抛物线交 x 轴于 A，B 两点（A 在 B 左边），21344yxx令 y0，x2+x+0，解得：x13，x21A（3，0），B（1，0），AB2，令 x0，y，C（0，），SABC2；（2）过点 C 作 CHBE 交抛物线于 H，过 A 作 AGAC 交 CH 于 G，过 G 作 GKx 轴于 K
19、，AFE45，ACGAGC45，ACAG，GKAGACAOC90，CAOAGK，ACOGAK（AAS），GKAO3，G（，3），CG 的解析式为：yx+，又 BECG，故可求 BE 解析式为：yx，联立：，解得或，；233551344yxyxx 2756625xy 10 xy 27(5E66)25（3）过点 C 作 CDPA 交直线 PB 于点 D，连接 AC 交 PB 于点 Q，PMNDMC，2，CD2PNPA，CDPA，CDPA，Q 为 AC 的中点，Q（，），B（1，0），直线 PB 的解析式为：，3344yx 联立得：或，233441344yxyxx 6154xy 10 xy 15(6,)4P