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1、专 题 12解答题重难点题型.二次函数与几何综合题中 考 指 导：二次函数与几何知识的综合题历来是中考数学试题的压轴题热门之选，对于数学压轴题，同学们更多的是应该要去分析试题的构成及试题所属的专题去分析，在初中数学学习中，同学们接触的更多的题目应该是二次函数。面对二次函数，有的同学们直呼头痛，其实二次函数并不是想象中的那么难的，一般那些数学题目只不过都是以二次函数为数学模型来进行存在性问题，更值问题，懂点问题的考查。二次函数与几何知识的综合题中主要可分为存在性的问题、动点问题和面积最值问题，对于存在性的问题，一般更喜欢考查的就是等腰三角形、平行四边形等等知识。因此看到这类题目，同学们首先就应该
2、把自己的思维转向等腰三角形和特殊四边形的性质和定理上去分析；对于动点问题，同学们就应该要去关注事物在运动过程中，有哪些量是变量，而有哪些量是定量。要解决这类问题，同学们就要懂得分析定量和变量之间的关系，对于动点问题，常用的解决方法就是三角形相似，就是把变量和定理通过对比的关系结合起来，用定量来表示变量，那么这个动点问题就容易解决了。典型例题解析1 4【例 1】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=io与 x 轴的交点为A,与 y 轴的交点为点B,过点 B 作 x 轴的平行线B C,交抛物线于点C,连接A C.现有两动点P,Q 分别从0,C 两点同时出发，点 P 以每秒4个单位的速度沿0 A
3、 向终点A 移动，点 Q 以每秒1 个单位的速度沿C B 向点B 移动，点 P 停止运动时，点 Q 也同时停止运动，线段0C,PQ相交于点D,过点D 作 DE OA,交 C A 于点E,射线QE 交 x 轴于点F.设动点P,Q 移动的时间为t(单位：秒).(1)求 A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；(2)当 t 为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；(3)当0 /时，4 P Q F 的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；2(4)当 t 为何值时，PQF为等腰三角形？请写出解答过程.【解析】试题分析：(1)已知抛物线的解析式，当 x=0时，可求得B
4、的坐标：由于BCOA,把 B 的纵坐标代入抛物线的解析式，可求出C 的坐标；当 y=0时，可求出A 的坐标.求顶点坐标时用公式法或配方法都可以；(2)当四边形ACQP是平行四边形时，AP、CQ需满足平行且相等的条件.已知BCOA,只需求t 为何值时，AP=CQ,可先用t 表示AP,C Q,再列出方程即可求出t 的值；9(3)当 0 t -时，根据0 A=1 8,P点的速度为4 单位/秒，可得出P点总在0 A 上运动.Z k P Q F 中，Q到 P F 的距离2是定值即0 B 的长，因此只需看P F 的 值 是 否 有 变 化 即 可 得 出 是 否 为 定 值，已 知 Q C P F,根据平
5、行线分线段成比例定理可得出：耍=丝=丝=史，因此可得出/=行，那 么 P P=P A+A F=P A-H 3 P A,由于0 A 的长为定值OP DP EF AF即 P F 的长为定值，因此A P C I F 的面积是不会变化的.其面积的值可用：O A O B 求出；(4)可先用t 表示出P,F,Q的坐标，然后根据坐标系中两点间的距离公式得出P F,P Q：,即:，进而可分三种情况进行讨论：P F Q 以 P F 为 斜 边.则 P F=P Q:+F Q:,可 求 出 t的值；P F Q 以 P Q 为斜边，方法同；A P F Q以 F Q 为斜边，方法同.综合三种情况即可得出符合条件的t的值
6、.1 ,4试题解析：(1)y =x2一一x-10,18 9令 y=0,得 X2-8X-180=0,即(x 1 8)(x+1 0)=0,x=1 8 或 x=-1 0.；.A(1 8,0)1 4在丫=一X2 X-10 中，令 x=0 得 y=-1 0,18 9即 B(0,-1 0).由于B C 0 A,故点C的纵坐标为T O,1 ,4由-1 0=X x-10 f#,x=8 或 x=0,18 998即 C(8,T O)且易求出顶点坐标为(4,),998于是，A(1 8,0),B(0,-1 0),C(8,TO),顶点坐标为(4,)；9(2)若四边形P Q C A 为平行四边形，由于Q C P A.故只
7、要Q C=P A 即可，而 P A=1 8-4 t,C Q=t,1 o故 1 8-4 t=t 得 t ；5(3)设点 P 运动 t 秒，则 0 P=4 t,C Q=t,0 t =224,由于 J 市-15,乂 0口51_口22.5,29 8418EZI5t_8EZI14.5 而 14.52=()=-=炉+&+与 轴交于儿 J 两点，8 点坐标为(3,0).与 y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)点户在x 轴下方的抛物线上，过点尸的直线产产m与直线8 c 交于点,与 y 轴交于点尸，求用分的最大值；(3)点为抛物线对称轴上一点.当as切 是 以 比 为直角边的直角三角形时，求点
8、的坐标;若版是锐角三角形，求点的纵坐标的取值范围.【解析】试题分析：(1)利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)易得比的解析式为尸-x+3,先 证 明 为 等 腰 直 角 三 角 形，作 Ly轴于“尸 G y 轴交比于G,如 图 1,V2则为等腰直角三角形，P E=2 PG,设一(,t2-4?+3)(l f 3),则 G(3 -t+3),接着利用t 表示,、P E,所以P E+E-P E+P Q-J 92+4 万，然后利用二次函数的性质解决问题；(3)如图2,抛物线的对称轴为直线尸2,设(2,y),利用两点间的距离公式得到初=1 8,=4+(y-3)2,9=1+4，讨论：当及力是以比1 为直角
9、边，放为斜边的直角三角形时，1 8+4+(y-3)2=1+/;当 腼 是 以 欧为宜角边，切为斜边的宜角三角形时，4+(y-3)2=l+y+1 8,分别解方程求出t 即可得到对应的点坐标；由于及力是以6 c 为斜边的直角三角形有4+(y-3)旺1+产=1 8,解出y的值，得到此时点的坐标，然后结合图形可确定)?(力是锐角三角形时点。的纵坐标的取值范围.9 +3 Z?+c =0 。=-4试题解析：解：(1)把 6(3,0),C(0,3)代入y =厂+-+C 得：c =3 ，解得：c =3 ，抛物线的解析式为丁 =”2-n+3；(2)易得小的解析式为片-广3,；直 线 片 厂 与 直 线 产 x平
10、行，直 线 片-广 3与直线尸x-m垂直，./位片9 0 ,；.皮尸为等腰直角三角形，作 M y 轴于，/；_/轴 交 叱 于 G,如 图 1,为等腰直角三角形，V2P E=2 P G,设 夕(t,t2-4r+3)(l f 3),则 G(t,-t+3),.上 夜 爪 垃 3 修-什 3 -(t2-4r+3)=-y/2 _ g 2+述/_i2+31,：.P E=2 P G=2 2 :.P E+E六P E+P E+P A 2P E+P 2 一回1+3 5 +而=-2+4 而 一 血(1-2)+4&,当 Q 2时，小 的最大值为4加；(3)如图2,抛 物线的对称轴为直线产2 =2,设D (2,y),
11、则 蔗=+3 2=18,加=4+(y-3)BD=(3-2)2+y=l+y,当无。是以充为直角边，物为斜边的直角三角形时，BC+DC=Bf f,即18+4+5-3)2=1+/,解得产5,此 时。点坐标为(2,5)；当 以 是 以 充 为 直 角 边，口为斜边的直角三角形时，BC+DF=DC,即4+(尸-3)2=1+/+18,解 得 产-1,此时D点坐标为(2,-D,综上所述：D点坐标为(2,5)或(2,-1).3 +如 3-炳当制9是以比1为斜边的直角三角形时，小+而二川，即4+(y-3)2+1+/=18,解得2 ，姓=2 ,3 +7 17 3-后 3+后此时。点坐标为(2,2 )或(2,2 )
12、，所以颇是锐角三角形，点的纵坐标的取值范围为 23-后/5 或-l y V 2 .【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想解决数学问题.【例3】(2 0 17年湖北鄂州中考)已知，抛物线y =o?+0 x +3 (a 0)与x轴交于4(3,0)、6两点，与y轴交于 点C,抛物线的对称轴是直线下1,为抛物线的顶点，点 在 了 轴。点的上方，且 上2(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标：(2)求证：直线如是力
13、切外接圆的切线；(3)在直线4c上方的抛物线上找一点尸，使SA P A C=，S06,求点2的坐标；(4)在坐标轴上找一点机使以点从G0为顶点的三角形与力切相似，直接写出点”的坐标.【解析】试题分析：(1)由对称轴求出6的坐标，由待定系数法求出抛物线解析式，即可得出顶点。的坐标；(2)由勾股定理和勾股定理的逆定理证出切为直角三角形，乙4必=9 0 .得 出4?为/龙外接圆的直径，再证 明 仍 为 直 角 三 角 形，/A D斤9 0；得出应，即可得出结论；(3)求出直线的解析式，再求出线段成的中点/V的坐标，过点“作/俨 交 抛 物 线 于 点P,求出直线，仍的解析式，与抛物线联立，即可得出答
14、案；(4)由相似三角形的性质和直角三角形的性质即可得出答案.试题解析：(1)抛物线的对称轴是直线广1,点1(3,0),.根据抛物线的对称性知点8的坐标为(-1,0),9 a+3+3 =0 c i =-1以=3,将 力(3,0),Z?(-l,0)代入抛物线解析式中得：,解得：，抛物线解析。一。+3=0 b=2式为y =-幺+2工+3 ；当产1时，产4,顶点(1,4).(2)当=0 时，点。的坐标为(0,3),.J =7 32+32=3 7 2 ,CD=df +f =6,A D=yj22+42=2后，/+5=/4,.力切为直角三角形，/力。9 0 ,./!为口外接圆的直彳仝，：点 在 轴，点的上方
15、，且 华L2：.E(0,g),二 心 +(g)，小 =与，我 公，二 4 为直角三角形，Z力叱9 0 ,：.A DVl)E,又 为 外 接 圆 的 直 径，.6是 外 接 圆 的 切 线；3k+b=0 k=(3)设直线4 C的解析式为产 户6,根据题意得：一 ，解得：一 ，直线/的解析式为产-b=3 b=3户3,-：A(3,0),(1,4),.,.线段4的中点工的坐标为(2,2),过点八，作便/G交抛物线于点尸，设直线刖0的解析式为片-广。，则-2+c=2,解得：c=4,.直线序的解析式为尸-状4,由 尸-A 4,*-V+2/3联立,r.3+yjs 3 一 yf s 5 yf i 5 +.3+
16、得：-f+2 x+3=-x+4,解得：-或 产-,.y=-,或 片-,./(-,2 2 2 2 2)或,3-旧 5+亚、2 2(4)分三种情况：M恰好为原点，满足监M(0,0)；在x轴正半轴上，XVCBsXA CD,此时(9,0)；在y轴负半轴上，4CB吐 A A C D,此时M (0,-)；3综上所述，点”的坐标为(0,0)或(9,0)或(0,-).3【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、相似三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度.学科 网【例 4】如图，在平面直角坐标系中，点 是抛物线y =-g/+4x与
17、 x 轴正半轴的交点，点 6 在抛物线上，其横坐标为2,直 线 四 与 y轴交于点C 点 M、P 在线段上(不含端点)，点 0 在抛物线上，且 阳 平 行 于 x 轴，匐平行于y轴.设点横坐标为必.(1)求直线4 6 所对应的函数表达式.(2)用含0的代数式表示线段图的长.(3)以 P Q、QV 为邻边作矩形尸Q切；求矩形产。历 V 的周长为9时 的 值.【解析】试题分析：(1)先利用二次函数解析式求出A点和B点坐标，然后利用待定系数法求直线A B 的解析式；(2)设 P(m,-i n+8),则 Q(m,-m+4 m),讨论：当 0 m W 2 时，PQ=-m -5 m+8；当 2 m V 8
18、 时，PQ-m +5 m 8；2 2 2(3)先 表 示 出 M (m2-4 m+8,-m2+4 m),讨论：当 0 m W 2,QM=m2-5 m+8,利用矩形周长列方程得到22 2 2(m2-5 m+8+m2-5 m+8)=9,然后解方程求出满足条件m的值；当 2 c m 8,QM=-m2+5 m-8,利用矩形周长列方2 2 2程得到2 (-lm2+5 m-8-m2+5 m-8)=9,然后解方程求出满足条件m的值.2 2试题解析：(1)当 y=0 时，-！x：+4 x=0,解得 X i=0,X 2=8,则 A (8,0)；2当 x=2 时，y=-x +4 x=6,则 B (2,6),2设直
19、线A B 所对应的函数表达式为y=k x+b,8&+b=0将 A (8,0),B (2,6)代入可得 2k+b=6解得k=-lb=8所以直线A B 的解析式为y=-x+8；(2)设 P(m,-m+8),贝 U Q(m,m-+4 m),当 0 m W 2 时，PQ=-m+8-(n T+4 m)=m；5 m+8;2 2当 2 m 8 时，PQ=j n*+4 m(-m+8)=m +5 m-8;2 2(3).M Q x 轴，.M 点、的纵坐标为-1j r T+4 m,2.M 点的横坐标为一i n*4 m+8 f 即 M (m*4 m+8,j r f+4 m),2 2 2当 0 Q M=J TT-4 m
20、+8f =一m -5 m+8)2 2：2(PQ+QM)=9,2 (J TT 5 m+8+n f 5 m+8)R,2 2整理得2 1 n 2-2 0 m+2 3=0,解得叫二 生 国 5,(舍去);2 2当 2 V m V 8,QM=m-(m 1-4 m+8)=-m +5 m-8,2 2V 2 (PQ+QM)=9,A 2 (m2+5 m_8_ m2+5 m-8)=9,2 2整理得2 m 2-2 0 m+4 1=0,解得皿=型 匚 也，n 20+3 (舍去);2 2g 二 次 的/古小10 3/67 20 32综上所述，m的值为-或-2 2 例 5 (2 0 1 7 年天津市东丽区立德中学模拟)如
21、图，已知一次函数y F-x+b 的图象1 与二次函数y z=-x2+m x+b 的2图象C都经过点B(0,1)和点C,且图象C过点A (2-、污，0).(1)求二次函数的最大值；(2)设使y?y i 成立的x 取值的所有整数和为s,若 s 是关于x的方程(1+一 x +二 一=0 的根，求 a的值；(ci )x 3(3)若点F、G在图象C上，长度为遥的线段D E 在线段BC 上移动，E F 与 D G 始终平行于y轴，当四边形D E F G的面积最大时，在 X轴上求点P,使 PD+PE最小，求出点P 的坐标.【解析】试题分析：(1)首先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出其最大值:7 1
22、1 7(2)联立门与y z,求出点C 的坐标为C(,),因此使打八成立的x 的取值范围为0 x 一，得 s=l+2+3=6；2 4 2将 s 的值代入分式方程，求出a 的值；(3)如图，四边形DEFG是一个梯形，将其面积用含有未知数的代数式表示出来，这个代数式是个二次函数，根据其最值求出未知数的值，进而得到面积最大时点D、E 的坐标.试题解析:解：(1).,二次函数 y2=-x2+mx+b 经过点 B(0,1)与 A (2-逐，0),b=-l-(2-V5)2+(2-V5)m+b=0m 4解得,b=1.1：yi=x+1；2C：y2二-x+4x+l.y2=-x+4x+l=-(x-2)+5,ymax
23、-5；i 7(2)联立 yi 与 y?得：x+l=-X2+4X+1,解得 x=0 或 x=一，2 2当 丫_7 时 1*7 1 12 2 2 4.c d,H,2 47使力 力成立的x 的取值范围为0 V x p 0.2 2如答图 1,过点 E 作 E H _ LD G 于点 H,则 E H=q -p,D H=，(q -p).2在 R l z D E H 中，由勾股定理得：E H2+D H=D E2,即(q -p)2+-(q -p)=(石)2,2解得 q -p=2,即 q=p+2.E H=2,E (p+2,-p+2).2当 x=p 时，y2=-p2+4 p+l,.G (p,-p +4 p+l),
24、1 7，D G=(-p +4 p+l)-(p+1)=-p +p；2 2当 x=p+2 时，y2=-(p+2)2+4 (p+2)+1=-p2+5,F (p+2,-p2+5),E F=(-p2+5)-(p+2)=-p2-p+3.2 21 J 7 iS 四 边 形 川 二 一(D G+E F)*E H=(-p +p)+(-p-p+3)X2=-2 P+3 p+32 2 2 23.当p 二 一时，四边形D E F G 的面积取得最大值，4r3 11 b,11 19、4 8 4 83 11如答图2所示，过点D关于x 轴的对称点D，,则 D,-）；4 8+P E=D E,由两点之间线段最短可知，此时P D+
25、P E 最小.设直线V E的解析式为：y=k x+b,3一 11k+b=加1/k+b=48,1 5k=解得 R 89b=32.直线D，E的解析式为:15 89y=x 8 32O Q令也得X=而,/.P (,0).60【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、函数最值、分式方程的解、勾股定理、轴对称-最短路线等知识点，涉及考点众多，难度较大.本题难点在于第（3）问，涉及两个最值问题，第 1 个最值问题利用二次函数解决，第 2个最值问题利用几何性质解决.【例 6】如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3 与抛物线交于A、B 两点，点 A在 x 轴上，点
26、B 的横坐标为-工.动点P在抛物线上运动（不与点A、B 重合），过点P作 y 轴的平行线，交直线A B 于点Q.当3P Q 不与y 轴重合时，以P Q 为边作正方形P Q MN,使 MN与 y 轴在P Q 的同侧，连结P M.设点P的横坐标为m.J;(1)求b、c的值.(2)当点N落在直线A B上时，直接写出m的取值范围.(3)当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时，设正方形PQ M N的周长为C,求C与m之间的函数关系式，并写出C随m增大而增大时m的取值范围.(4)当a PQ U与坐标轴有2个公共点时，直接写出m的取值范围.【解析】试题分析：(1)先确定出点4,6的坐标，最后用待定系数法即可
27、得出结论。(2)点。在抛物线上，点0在 直线片-户3上，点M在直线4 9上，设出点。的坐标，再表示出0、十的坐标，即可得出以甘国，再用 V与y轴在的同侧，建立不等式即可得出结论。(3)点尸在点4 4之间的抛物线上，根 据(2)可知尸。的长，设正方形/砌V的周长为G根据建4园，建 立C与加的函数关系式，求出其顶点坐标，根据二次函数的性质，即可求得结论。(4)分两种情况讨论计算即可求出结论。(1)解：；直线y=-x+3与x轴相交于点A,A A (3,0),;点B在直线y=-x+3上，且B的 横 坐 标 为-，.,.B (-学)，,:A,B在抛物线上,I 4 x9+劝+c=0-n(2)解：方法 1、
28、由(1)知，b=y C=-y,.抛物线的解析式为y=-|x2+1 x+设 P(m,-,y m2+：m+,)，;点Q在直线y=-x+3上,.*.Q (m,-m+3),点N在直线AB上,A N (J n?-m -4)，(-4m2+彳m+),/PN=|-ym2-y-m|=I JnT-y|PQ=!-gm+(-m+3)|=I -、m+m+,四边形PQMN时正方形，APN=PQ,I -ym-y I =|-y m+m+J|,此时等式恒成立,当 mVO且；时，MN与 y 轴在PQ的同侧，点N在点P 右侧，.l-my2 m -1g m-亍.1,m V-g 当 m 0且 mW3时，MN与 y 轴在PQ的同侧，点P
29、 在点N的右侧，.-1yi2n -g1 in-l mm,.*-VmV3,A0m3,即：m的范围为m -：或 0 PQ/y 轴，.Z PQ B=4 5 ,记：直线PN 交直线A B 于 N ,:四 边形PQ M N 是正方形，/.Z Q PN=90o,.N PN Q=4 5 =N PQ N ,；.PQ=PN ,四边形PQ M N 是正方形，；.PQ=PN,点 N在点P 的左侧时，点 N 都在直线A B 上，V M N 与 y轴 在 PQ 的同侧,的范围为m V -，或 0 V m V 3(3)解：由(1)知，b=-1,c=-Z,.抛物线的解析式为y=-1 x2+设 P(m,-J m +g in+
30、-y ),:点Q在直线y=-x+3 上,A Q (m,-m+3),/PQ-!-J g m+-(-m+3)|=I-y m2+g m+J ,点P 在点A,B之间的抛物线上，；.PQ=-4 m2+1 m+5.(-m V 3 且 m W O),设正方形PQ M N 的周长为C,，C=4 PQ=4 (-m2+jm+:)=-2 m2+号 m+2=-2 (m-j )2+.y,随m增大而增大，.4 ID ,1 4 L:.-w m V w 且 m关0(4)解：当PQM与坐标轴有2个公共点时，Am0 sg0m yP,由(2)知，P(m,-m+gm+工),PQ=|-m+m+-y|=-3 m+m+四边形PQMN是正方
31、形，1 2 4 1 1 2 1 7/.PN=PQ=-m-+-jm+-y -y m+gm+3,A m 3,所以，此种情况不符合题意；当 mVO 时，PNyP,VPQ=1m2-jm-p 四边形PQMN是正方形，/.PN=PQ=向 nr-ym-y+1Jm+孑(舍)或 m-即：当PQM与坐标轴有2个公共点时，m-【点睛】本题考查了二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，一次函数的性质，二次函数与一次函数的交点问题.学科 网强化训练1.(2017浙江宁波第25题)如 图，抛物线y=4 x 2+L x+c与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点5,连结A 3,4 4点C(6,)在抛物线上，直
32、线A C与y轴交于点。.2(1)求c的值及直线4 c的函数表达式；(2)点尸在x轴正半轴上，点。在y轴正半轴上，连结PQ与直线A C交于点M,连结M。并延长交AB于点N,若M为尸。的中点.求证：APAf S X AON；设点M的横坐标为相，求A N的长(用含机的代数式表示).yM【答案】(D c-3;直线AC的表达式为：y=x+3；(2)证明见解析；翘 土 里4 2勿 +415 1 1【解析】试题分析：(1)把点C(6,)代入y=L/+_ lx+c中可求出c的值；令y=o,可得A点坐标，从而可确定2 4 4AC的解析式；3(2)分别求出tanZOAB=tanZOAD=，得NOAB=tanNOA
33、D,再由M就PQ的中点，得OM=MP,所以可证得4ZAPM=ZAON,即可证明 X k PM /X A O N；过M点作ME，x轴，垂足为E,分别用含有m的代数式表示出AE和AM的长，然后利用APM s/O N即可求解.(1)把点 C(6,二)代入 丁 =,工2+x+c 解得：c=-3/.y=x2+x-32 4 4-4 4当 y=O 时，x2+x-3=0 W W：Xi=-4,x2=3.*.A(-4,0)4 4设直线AC的表达式为：y=kx+b(kWO)0=-44+b把A (-4,0),C(6,生)代入得，15 解得2 =6k+b123,直线AC的表达式为：y=-x+3.4O B 3(2)在 R
34、tAAOB 中，tan/OAB=-O A 4.*O D 3在 RtAAOD 中，tanZ0AD=一 =-A ZOAB=ZOAD.O A 4 在RtAPOQ中，M为PQ的 中 点,0M=MP.NMOP=NMP0.:ZMPO=ZAON,NAP仁NAON.APMs A AON.如图，过点M作M E lx轴于点E.k=,4b=3.又,；OM=MP,.OE=EP.二,点 M 横坐标为 m,.AE=m+4,AP=2m+4.3./4.5 5(m+4).tanZO A D=-.cosZEAM=cosZOAD=-.AM=-AE=-4,5 4 4.,A P MCOA A O N,二一=AN AO.AN=AM*AO
35、AP5/n+202卬 +4.考点：二次函数综合题.2.(2 0 1 7重庆A卷第2 6题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=2 3-6与 x 轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与 y 轴交于点C,对称轴与x 轴交于点D,点 E(4,n)在抛物线上.(1)求直线A E 的解析式；(2)点 P为直线C E 下方抛物线上的一点，连接P C,P E.当4 P C E 的面积最大时，连接CD,C B,点 K是线段C B 的中点，点 M是 CP 上的一点，点 N是 CD上的一点,求 K M+M N+N K 的最小值;(3)点 G 是线段C E 的中点，将抛物线丫=乂2 -巫 x-右 沿 x 轴正方向
36、平移得到新抛物线y ,y 经过点D,3 3y的顶点为点F.在新抛物线y的对称轴上，是否存在一点Q,使得4 F G Q 为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)y=x+.(2)3,(3)点 Q的坐标为(3,2舟汨),Q,(3)T 舟迪)或 ，?也)3 3 3 3或-述).5【解析】血试题分析：(1)抛物线的解析式可以变天为y=+(x+l)(x-3),从而可得到点A和点B的坐标，然后再求得点E 的坐标，设直线A E 的解析式为y=k x+b,将点A和点E 的坐标代入，求得k和 b 的值，从而得到A E 的解析式；(2)设直线C E 的解析式为尸1nx将 点 E
37、 的坐标代入求得m的值，从而得到直线C E 的解析式，过 点 P作 P F y 轴，交 CE于 点 F,设点P的坐标为(x,迫x-石)，则 点 F(x,咨x-石 ，则 F?3 3 3=一些1+驾|x .由三角形的面积公式得：A E P C 的面积=-迫X：+些x,利用二次函数的媒体人3 3 3 3富士康得X 的值，从而求得点P的坐标，作点K关 于 CD和 CP 的对称点G、H,连接G、H 交 CD和 CP 于 N、M,然后利用轴对称的性质可得到点G 和 H的坐标，当 点 0、N、M、H在一条直线上时，K M+M N+N K 有最小值，最小值=GH(3)由平移后的抛物线经过点D,可得到点F 的坐
38、标，利用中点坐标公式可求得点G 的坐标，然后分为Q G=FG,Q G=Q F、FQ=FQ 三种情况求解即可.试题解析：Vy-x；!-x-V3,3 3应、A y=-(x+1)(x -3).3A A (-1,0),B (3,0).设直线A E 的解析式为kk x+b,将点A和点E 的坐标代入得:-A+/?=0解得：k=，b=.3 3.直线A E 的解析式为y=x+.-3 3（2）设直线C E 的解析式为y=m x-出，将点E 的坐标代入得：4m -血-还，解得：m=.33直线C E 的解析式为y=2 x -次.3过点P作 P Fy 轴，交 CE 与点F.设 点 P的坐标为（x,X2-x-）,则点
39、F（x,x-）,3 3 3贝 i j FP=（毡 x-应）-（立x：-毡 x-需）=-*x，+逑x.3 3 3 3 3.EP C 的面积=X （-避 x：+逑 x）X 4=-2X：+X.2 3 3 3 3.当x=2 时，A E P C 的面积最大.P （2,-y/3）.如图2所示：作点K 关于CD和 C P 的对称点G、H,连接G、H交 CD和 CP 与 N、M.K是 C B 的中点,3 73 k (一，-).2 2:点 H与点K关于CP 对称,点 H的坐标为(,-).2 2:点 G 与点K关于CD对称,.,.点 G(0,0).K M+M N+N K=M H+M N+GN.当点0、N、M H在
40、条直线上时,K M+M N+N K 有最小值，最小值=GH.，叫|)2 +(A K M+M N+N K 的最小值为3.(3)如图3 所示:V y,经过点D,y 的顶点为点F,i 4芯.M F(3.-).3.点G为CE的中点,.G 3,2/5 出、2 2 亚I心 +(1)2=二 _33.当 FG=FQ 时，点 Q (3,-4-Z3+2A/2 T3),Q(3,4A/-2A/T)3当GF=GQ时,瓜点F与点Q 关于y=中 对称,，点 Q(3,2旧).当QG=QF时,设点。的坐标为（3,a）.由两点间的距离公式可知：a+7a)2,解得：a=-5 点Qi的坐标为（3,-）.5综上所述，点Q的坐标为（3,
41、-4V3+2V21)f q(3,-4氐2庖）或（3,2囱）或（3,-竺 ）.533考点：二次函数综合题.3.（2017甘肃庆阳第28题）如图，已知二次函数y=ax、bx+4的图象与x轴交于点B（-2,0）,点C （8,0）,与y轴交于点A.（1）求二次函数y=ax+bx+4的表达式;（2）连接AC,A B,若点N在线段BC上 运 动（不与点B,C重合），过点N作NMA C,交AB于点M,当aAMN面积最大时，求N点的坐标；.（3）连接0M,在（2）的结论下，求0M与AC的数量关系.1 3 1【答案】(1)y=-X2+-X+4；(2)N (3,0)；(3)0 M=-A C.4 2 4【解析】试题
42、分析：(1)由 B、C 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；AM(2)可设N(n,0),则可用n 表示出a A B N 的面积，由 N M A C,可求得一，则可用n 表示出A M N 的面积，再AB利用二次函数的性质可求得其面积最大时n 的值，即可求得N点的坐标；(3)由N点坐标可求得M点为A B 的中点，由直角三角形的性质可得0 M=1 A B,在 R t/XA O B 和 R t A O C中，可分别2求得A B 和 A C 的长，可求得A B 与 A C的关系，从而可得到0 M 和 A C的数量关系.试题解析：(1)将点B,点 C 的坐标分别代入y=ax?+bx+4可得 4a-2
43、 8+4=01 64a+88+4=0-43一 2a解得b3二二次函数的表达式为y=-X2+-X+4；4 2(2)设 点 N的坐标为(n,0)(-2 n 8),则 B N=n+2,CN=8-n.,/B (-2,0),C(8,0),.,.B C=1 0,1 3在 y=-1 x:+=x+d 中，令 x=0,可解得尸4,4 2.,.点 A (0,4),0 A=4,二 .S q、K =-B N*O A=(n+2)X 4=2 (n+2),2 2；M N A C,AMNC8-77ABBC 1 0_ AM8-77SQABN AB1 0=得 务 例=|(8-/7)(/?+2)=-1(n-3)a+5.当n=3时，
44、即 N (3,0)时，A M N 的面积最大；(3)当N (3,0)时，N为 B C边中点，V MN/7A C,.M为 A B 边中点,1/.0M=-A B,2.他 力 加 +如 2 =J*+4 =2&A C=J%?+0A2=76 4 +1 6 =4 式，.A B=-A C(21A O M-A C.4考点：二次函数综合题.学科 网4.(2 01 7贵州安顺第2 6 题)如图甲，直线y=-x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点B、点 C,经过B、C两点的抛物线y=x2+b x+c与 x 轴的另一个交点为A,顶点为P.(1)求该抛物线的解析式：(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M
45、为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当 0 V x 3 时，在抛物线上求一点E,使4 C B E 的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).【答案】(1)y=x-4 x+3；(2)(2,3 )或(2,7)或(2,-1+2-/5 )或(2,-,1-2A/5)；(3)E 点坐标为(3,223-)时，C B E 的面积最大.4【解析】试题分析：(1)由直线解析式可求得B、C 坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M 点坐标，表示出MC、MP 和 P C 的长，分 MC=MP、MC=P C
46、和MP=P C 三种情况，可分别得到关于M 点坐标的方程，可求得M 点的坐标；(3)过 E作 E F，x 轴，交直线B C 于点F,交 x 轴于点D,可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出E F 的长，进一步可表示出4 C B E 的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标.试题解析：(1).直线y=-x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点B、点 C,A B (3,0),C (0,3),4-0 b =4把 B、C坐标代入抛物线解析式可得 ，解得1 ,.c =3 1 c =3二抛物线解析式为y-x2-4 x+3；(2)y=x-4 x+3=(x-2)-1,.抛物线对称轴为x=2,P
47、(2,-1),设 M(2,t),且 C (0,3),.MC=22+(t -3)2=J t2-6 +1 3 ,MP=|t+l|,P C=y22+(-1-3)2=2A/5,C P M为等腰三角形，.有 MC=MP、MC=P C 和 MP=P C 三种情况，r O Q当 MC=MP 时，则有 y/t2-6 f +1 3 =1 1+1 1,解得 t=此时 M(2,-)j2 2 当 MC=P C 时，则有“t 2-6 t+1 3=2 6,解 得 t=-l (与 P点重合，舍 去)或 t=7,此 时 M(2,7);当 MP=P C 时，贝惰|t+l|=2 岔，解 得 t=-l+2 岔 或 t=T-2而，此
48、 时 M(2,-1+2 而)或(2,1-2 店)；综上可知存在满足条件的点M,其坐标为(2,1)或(2,7)或(2,-1+26)或(2,2(3)如图，过 E作 E F L x 轴，交 B C 于点F,交 x 轴于点D,设 E (x,x2-4 x+3),则 F (x,-x+3),V0 x Q(0 ).73考点：二次函数综合题.学科 网37.(2 0 1 7 新疆建设兵团第2 3 题)如 图，抛物线y=-x、-x+2 与 x 轴交于点A,B,与 y 轴交于点C.2 2(1)试求A,B,C的坐标；(2)将A A B C 绕 A B 中点M旋 转 1 8 0 ,得到a B A D.3求点D的坐标；判断
49、四边形A D B C 的形状，并说明理由：(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P,使B M P 与B A D 相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标;若不存在，请说明理由.【答案】（1）A （-1,0）,B （4,0）,C （0,2）；（2）D （3,-2）：四边形A D B C 是矩形；理由见解析，（3）点P 的坐标为：(1.5,1.2 5),(1.5,-1.2 5),(1.5,5),(1.5,-5).【解析】试题分析：（D 直接利用y=O,X=C 分别得出A,B,C的坐标；（2）利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标；利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形A D
50、 B C 的形状;（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案.1 Q试题解析：（1）当 y=0 时，0=-X2+-X+2,2 2解得：X i=-1,X 2.=4,贝 I A (-1,0),B (4,0),当 x=0 时，y=2,故 C (0,2)；(2)过点1)作 D E x 轴于点E,VAABC绕 A B 中点M旋 转 1 8 0 ,得到B A D,，D E=2,A O=B E=1,0 M=M E=l.5,A D (3,-2)；：将A A B C 绕 A B 中点M旋 转 1 8 0 ,得到A B A D,.*.A C=B D,A D=B C,.四边形A D B C 是