《向量夹角和模归类2021-2022学年高一数学下学期题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量夹角和模归类2021-2022学年高一数学下学期题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)（解析版）.pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题0 2 向量求夹角和模归类目录一、热点题型归纳.1【题型一】夹角基础型1：模长求夹角.1【题型二】夹角基础型2：坐标求夹角.3【题型三】夹角求参.4【题型四】夹角的最值.6【题型五】求模.8【题型六】模最值.10二、最新模考题组练.1 1建苕拉直数型归的【题型一】夹角基础型：模长求夹角|=府|ma+nh|=yl(ma+nh)2=ym2 a+2mna*b+tV b【例1】J T已 知 向 量 5 的夹角为2,且|M|=4,b|=2,则向量M 与向量M +2日的夹角等于(5 1A.一4 B.一 九6 2C.7 1 D.7t3 6【答案】D【分析】根据已知条件求得日石，再利用向量的夹角计算公式，
2、即可求解.)【详解】向 量 心 5 的 夹 角 为 且 I初=4,出|=2,故可得司W cos2=4,则a-(a+2b)=+2万石=16+8=24,卜+涕 卜 加+4时+4万石=4百，a-(a+2b)24 6 r,设向量M 与向量a+2 6 的夹角为。，故8$6=饰词=六方=苧，又。4 0,司，故。=17 1 .6故选：D.【例2】已 知 两 个 非 零 向 量 6 的夹角为120。，且满足|1|=2|5|,则M 与G +6 的夹角的大小为()A.30 B.60 C.90 D.150【答案】A【分析】根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解.【详解】解：设|B|=x,则l&l=2x,两个
3、非零向量 方,5 的夹角为120。,a-b=a|ft|-cos 120=2x x.(-g)=-x2 a+b=la2+b2+2d-b=a-(a+b)=a-b+a2=4x2-x2=3x2,cos=a(a+b)_ 3x2aa+b 2x /3x 2,/G0,M 与M+6 的夹角的大小为30.故选：A.【例 3】如果不共线向量昆5 满足2同=问，那么向量21+5与2,-5 的夹角为（）A B.工 C.工 D.二6 3 2 3【答案】C【分析】根据向量数量积的运算律可得（2a+5），（2 a-5）,由此可得结果.详解；2同=忖，.（21+5）.（21-5）=4同。一忖-=0,.（21+5）1（2 1-5）
4、,即向量2+5 与2,-5 的夹角为1.故选：C.【例 4】-已知q、g 是两个单位向量，它们的夹角是60，设 4=20|+6,力=一 3 6 +2 1，则向量:与Z 的夹角大小是.【答案】120根据题意，得出卜 1，3=1,根据向量的数量积的定义求出3 1 和:工=（2 1+3）-3）+2 3）=-（，根据向量模的求法，分别求出）和耳，最后利用平面向 a,b _ ab量的数量的应用，求出cs/=桐，即可得出；与的夹角大小【详解】已知)、J是两个单位向量，它们的夹角是60。，.口 =1,=1,则T T T|T 1 1ee2=c p2 cos 60=1 x 1 x=,因为 a=2q+e2，0=3
5、q+2 e,，W O =e2+2 2 _ _ -2|7 t -7=-6e+ete14-2e 2=-6+2=即：a*b=,_ 7万篇=-；，所以向量：与的夹角为12 0。.故答案为:12 0.【题型二】夹角基础型2：坐标求夹角c o s(“M=.屿苫必一+城*也22 +为2【例 1】已知两个非零向量万，日的夹角为12 0。，且满足|万|=2出则N与d+5的夹角的大小为()A.3 0 B.6 0 C.9 0 D.15 0【答案】A【分析】根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解.【详解】解:设|5|=x,则l&l=2 x,两个非零向量M，B的夹角为12 0。，a-b=ab c o s 12
6、0 =2 x .x .(-g)=-x2,|a+|=yJ+P+la-b=y/3x a(a+b)=a-b+a2=4x2-x2=3 x2,aa+h 2 x V 3 x 2V e 0,-,M 与。+5的夹角的大小为3 0 .故选：A.【例 2】设向量=(2，),B =(l/)，则1与4-6夹角的余弦值为()A.0 B.叵 C.-D.12 2【答案】B【分析】由向量夹角的坐标运算可直接求得结果._ da-b 2【详解】=(1,-1)1:=-=-.故选：B.【例 3】已知向量，B满足忖=2 ,%=(1,1),不=一2,设 与2+5的夹角为6,则c o s。=()A.y B.-C.D.-2 2 2 2【答案
7、】C【分析】由已知条件，求出F+闸及一伍+日)，然后利用向量的夹角公式即可求解.【详解】解：因为W=2,h(l,1),a b=-2,所以W=J+12=应,所以卜+q=+=ja+2a-b+b=+2 x (-2)+(夜)=应 a-a+b=a+a-b=22-2=2,r,r ra-a+b所以 COS6=T|H I2 y2.+4 2 x&2故选：C.【题型三】夹角求参【例 1】己知同=2 同=4,a 石的夹角为12 0，则使向量a+妨 与%+5的夹角是锐角的实数&的取值范围是.【答案】-氏%0 ka+kl7+0+k2)(a-b)Qf%*土1 f 七1 5-,5 +/2 1 R,.14%+16 女 +(1
8、+公)()0 k2-5k+o,结合向量数量积的运算公式进行化简，解不等式求得久的取值范围，排除+需与苏+各共线时力的值，由此求得4的取值范围.【详解】由题意可知Z=WMc o s 6 0 =2x3 xg =3.又.,(2+/1 区)卜公 +石)=/1 2+(；1 2+)不+/1片，a +4与 的 夹 角 为 锐 角,2a +(22+l)a,石+&0.V a=/|=4 万 =问=9,a b=3,3 22+1 3 A +3 0.解得几 婀 一”或)/l3.5 +/1 3 .n.-5 A/13.,5 +/1 3 W、i“瓜C.(-o o,-)U(-，+0,也 即 产+(3 +冷|.也.喈。，即/：+
9、5人30,解得分-3 00 丸2 _ 3,0 4-3/0已知平面向量 出满 足 忖=卜+.=1,。石=一；，向量,满足=(2-2”+加 当万与万-公的夹角余弦值取得最小值时，实数几的值为.【答案】3【详解】由闻=|。+同 得=+14+2 g,又卜卜,石二一3则般1由75=可知会，即向量词 满 足 同=2,且夹角为|乃_ ULU U I取 况=2，丽=B，O P =p，AB分别是线段O O,O C的中点，2则O D =O C =2OA =2OB =2,/C O O =一万，。)=2 63由万=(2-/1)+4可知，点P在直线C D上.又万与3-的夹角为4P。要使得NA P O最大，则取圆过点A、
10、。且与直线8 相切于点P,此时N A P O取得最大，由切割线定理得|O/f =|9 4卜|。|=2,又丽=(2 T)方+4方=+历+然=一/+：回+觉)则有弓=盘解 之 得 故 答 案 为：牛 2 =O D +-D C f2【题型四】夹角的最值【例1】已知两不共线的非零向量2,万满足1 4 =2巾-a=1,则向量Z与石夹角的最大值是【答案】70r*2 3 *6 1 Q【分析】设向量,石夹角为。，由余弦定理求得c o s =士 吆，再利用基本不等式求得c o s。4 x取得最小值，即可求得。的最大值，得到结果.【详解】因为两非零向 量 词 满足同=2,卜-同=1,设向量 石夹角为氏由于非零向量
11、 石 以 及 构 成 一个三角形，设 恸=，则由余弦定理可得l =4 +d-4 x c o s。，3r-解得X2+3当且仅当x =G时，c o s e取得最小值 里，4 x 4 2 所以夕的最大值是2,故答案是6 6沅2%庆 +1 =0【例2】知平面向量2,而，满足同=匕 且 一无万+0,则当随一4=,则而与弁的夹角最大.【答案】瓜【分析】以。为原点建立平面坐标系，设 =(4,0),所=(x,y),根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量五 的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解.【详解】设，加元的起点均为0,以。为原点建立平面坐标系，如图所示，不妨设。=(4,0),m=(x,y)
12、,则正、炉+9,a-m=4x 由正,一公.说+1 =0可得/+/4 x+l =0,即(x-2 +y 2=3,m的终点M在以(2,0)为圆心，以V 3为半径的圆上，同理五的终点N在以(2,0)为圆心，以6为半径的圆上.显然当Q M,QN为圆的两条切线时，NMQV最大，即而与7的夹角最大.设圆心为 A ,则 AM=6，0 M-y/o -A M2=1 -则 s i n N M 0A =#，NMO4=6 0。，设MN与X轴交于点B，由对称性可知MNLx轴，旦MN=2 M 8,，MN=2 M B =2 OM sin Z M O A=2 x 1 x ,即当辰-=J 5,则而与正的夹角最大.故答案为【例 3
13、】已知非零平面向量工5 不共线，且满足必5=万2=4,记C 万+5,当方忑的夹角取得最4 4大值时，m-向的值为.【答案】4【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量,，进而通过运算求得团-刈 的值.【详解】由非零平面向量,万不共线，且满足。石=/=*建立如图所示的平面直角坐标3 1则 4 2,。),8(2,。，则(2,。)石=(2由 +/，则直线OB QC的 斜 率 分 别 为，由两直线的夹角公式可得:2 ob _ btan ZBOC=-2 8=i b b1 +-x-2 8则 力=(0,-4),所以|5 一方|=4,故填:十3,4 k3 八=37,当且仅当83 =b
14、5,即8=4 时取等号，此时伙2,4),2 但4 b 2b 2,4.【例 4】若 石是两个非零向量，且W=W=4 +q,/l e/，则B与 的 夹 角 的 取 值 范 围 是【分析】设B+闸=1,则W=W=几，令 函=N而=况 以。A,0 B 为邻边作平行四边形O A CB,则平行四边形Q4CB为菱形，得到NOAB=/OBA=。，得出各与 尺 的夹角为万-6,在AOAC中，由余弦定理求得cos%的范围，得到。的范围，进而求得,与 1 石的夹角的范围，得到答案.【详解】如图所示，因为W=W=乖+阳 4 芋,1 ,不妨设归+耳=1,则 同 明=2,令 双=工 丽=5,以。4。8 为邻边作平行四边形
15、Q4CB,则平行四边形Q4cB为菱形，所以A。位 为 等腰二角形，1 T所以NO4B=NOBA=6,且0。，由题意，可得 否 与 的夹角，即为 砺 与 丽 的 夹角，等于;r 。，在 AOAC 中，由余弦定理可得 0C?=0 +AC?-20A-ACcos 2。=8 +矛-2/1%cos 2。=1，1解得 cos 26=1-i i i 3又 由&TJ ,n J -0即|c 一 2b|2 cos2 a-4x2-4/cos 9+x1 cos2 0又二 12-2512=|2(a-b)-(2a-c)|2=5x2-4x2 cos6.4-4cos0+cos2 0 3 9 5-4cos0.cos-a=-=H-
16、1-5-4cos6 8 16(5-4cos6)16令m=5-4cos。即cos2a=-+,加w1,9有cos2crG-,18 16m 16 4W/cosa 0,/.cosa G,1且a最大值是9故答案为：2O O【题型五】求模【例 1】己知非零平面向量2,5,满足同=2,户-4=1,若 与石的夹角为三，则归-0的最小值 为（）A.73-1 B.6 C.V 3 +1 D.叵2【答案】A【分析】解法一利用绝对值三角不等式得到忖-力之归-可-1,然后 求 卜 的最小值即可；解 法 二 设 方=，O B=h，O C =c,易 得 园=1,则C的轨迹是以B为圆心，半径为1的圆，连接AB,然后又A,C,B
17、三点共线且C在A,B中间时，归-4取得最小值求解.详解解 法 一 由 题 可 得，,一。|=卜_ 石+方_42卜_ _ R _ 4 =_ 1 ,所 以 要 求 的 最 小 值，需求日|的最小值.因为同=2,2与B的夹角为三，所以R的最小值为W si n g=G,所以,一q 2 B -耳一 1 2 6-1,即W的最小值为 1 1解 法 二 如 图,设 况=，O B=bsin ZO BA6故卜-1的最小值 为 石 一i.【例 2】2元已知向量在与行的夹角为彳，|a 1=1 51=1,贝IJ|35+6|=.【答案】币【分析】根据向量模的运算可得|3M+W=9/+6Z+E，即可求解|3万+B|的值，得
18、到答案.【详解】由题意，向量G与的 夹 角 为 与，|初=|5|=1，则|3妨+3 1=9 1+6 /+片=9 xl2+6 xl xl xc o s+12=9-3+1 =7,所以|3万+5|=J 7.【例3】设非零向量3 B满 足 同=3怀 c o s(词 =L 7仅 叫=1 6,则 忖=()A.V 2 B.6 C.2 D.75【答案】A【分析】由7 G-9=1 6可得(-坂)=0,利用数量积的运算性质结合条件可得答案.【详解】.1 a=3b c o sa,历=；.,.(一&=片一%=9|一出=8出|2=1 6,；.|加=也.故选：A【例4】已知向量1与B的夹角为1 2 0,同=3,|5 +|
19、=V l 3 ,贝!|5|=()A.1 B.3 C.4 D.5【答案】C【分析】由已知条件对|/+5|=旧两边平方，进行数量积的运算即可得到|2-3|-4 =0.解该方程即可得出|B|.【详解】解：根据条件，|1 +石|2=下+2 1 0 +5 2 =9-3|6|+|5=1 3 ；，解得|可=4,或 1 (舍 去).故 选C.【题型六】模最值【例1】已知向量7 5,d满足同=4,忖=2应，a与5的夹角为7，(c-a)(c-)=-l ,则归-国的最大值为A.&+：B.也+1 C.1 1 D.V 2 +12 2 2【答案】D【详解】试题分析：在平面直角坐标系中，取8(2&,0),A(2&,2 0)
20、,则)=2,9=5,设d=0 C=(x,y),则(c-a)(c-b)=(x-2y/2,y-2y/2)-(x-2y2,y)=(x-2y/2)2+y(y-2y/2)=-,即(x-2 0)2+(y_&y=l,所以点(x,y)在以 (2&,&)为圆心，1为半彳仝的圆上，口 一4=7(X-2 72)2+(J-2A/2)2.最大值为忸/+1=0+1.故选 D.7 7-r a+e=,b=e+ke(k e/?)【例均为单位向量，且它们的夹角为4 5。,设a,6满足-4则|一切的最小值为()A.V2B 32c乎D.逑4【答案】C建立直角坐标系，求得向 量 加 5 的终点轨迹方程是圆和直线，利用圆心到直线距离减去
21、半径得到最小值得解【详解】设 方=d，OB=b以冢的方向为正方向，所在直线为x 轴，垂直于1 所在直 线 为 y 轴，建立平面直角坐标系4 a 均为单位向量，且它们的夹角为45。，则 不=(1,0),e2,/|a+e2=9 设。=(入,)满足(+(y+=b =el+ke2(k e R),设8=(%,%)(%,为)=(1+孝氏，孝 幻，故 为-%=1 ,贝)而 1=1丽则|-B|的最小值为圆(x+(y+=1 上的点到直线%-%=1距离的最小值其最小值为8|&+0 T l 厂厂 2 2 _ 1=立 故选:Cyfi+i4 4【例 3】已知,反 衩是同一平面内的三个向量值时，石与2夹角的正切值等于(,
22、且同=1,ab,a-e=2,b s=,当卜一,取得最小)a.-B.33c.1D.【答案】D【详解】根据题意，分别以4 人为x、y 轴建立平面直角坐标系，设 与的夹角 为 凡 则 jB 的夹角为万一凡 9 为锐角；.忖=1，3,a e =2,b e =cos2/3,(a-b)?a+=-a2)+a b-b2+-=；2 V 4 2 2 2 2 2-1-a-b n-a +b)i设方-5与!1+5的夹角为。，则c o s =-=-；2 a-b-a+b 2乂0 领 B 1 8 0 ,.6=6 0,故选C.2.已知向量2=(4,2),5 =(4 1),若 +2 5与-加的夹角是锐角，则实数久的取值范围为江苏
23、省南通市2 0 2 0-2 0 2 1 学年高一下学期5月期末模拟测试数学试题【答案】(1-E,2)U(2,1 +V H)【分析】先求出1 +25与a-B 的坐标，再根据1 +25与6-5 夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数/I的取值范围，.【详解】.,向量&=(4,2),5 =(九1),.+2 5 =(4+2 44),a-b=(4-A,l),若a+2 石与a-B 的夹角是锐角，则1+25与。-5不共线，且它们乘积为正值，即且(4+2 3).(4-5)=(4+2 44)-(4-41)=2 0+4/1-2/1 2 0，求得i-V T T 2 0,所以f=f _ 1 2 _
24、百 G2a-B 4 G(2CO S0+K)2c o s&2 +石2 白-3,cosd =l时等号成立.故答案为：2 百-3.5 .己 知 平 面 向 量 满 足|而=2，d 与Z 二的夹角为1 5 0，记而=以+（1 一）即 e R）,则的取值范围为（）A./3,+oo）B.V 2,+a）C.l,+oo）D.g，+8）【答案】c【分析】根据条件 =2+（l T）&/eR），f+（I）=l，可知：若需之工起点相同，则其终点共线，采取数形结合法进行解决.【详解】如图，工办工=&，则之，=，则/。班=150。，因 为 菰2+Q T）拓 eR），其中，+（1“）=1,于是7 与 共 起 点，且终点共线
25、，即在直线的上，于是/时（即（宓）6.已知向量。方1 满 足 同=忖=同=2,a.b=O,若关于，的 方 程/+有解，记向量G1的 夹 角 为 6,则sin，的取值范围是.浙江省杭州市周边重点中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题1 3一【答案】l_4 4J根据题意，用解析法，赋予向量坐标，利用二次方程有根，求得参数的范围，结合向量的数量积运算，即可容易求得结果.【详解】不妨令口 =（2 石=（0,2）忑=5,）,由同=2,可得x：+y；=4：位+万 d=（2f,0）+（0,1）（x。,%）=（2/x0,l 3 0）,故可得R+JY=g=+（1一%.-整理得4-4+x；+y：2%+：
26、3 =4/-4 x19（）f+/-2%=0,要使得该方程有解，则=1 6 4-1 6 卓 一 2%卜 0,1 Q整理得片+2%-1 2 0,又因为片+y；=4,i 3故可得4y：-8y0+3 W 0,解得 X).又因为cos。=施=；%,故可得 sin。=7 1-cos2=/：x；=J P J 1 3 1 3 故可得s山，e.故答案为：.14 4J|_4 4J7,设q,彩为单位向量，满足|21-4|4及，ae,+e2,b=3et+Z，设，各的夹角为。,则cos2 0 的 最 小 值 为.【答案】I fir tr Q【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得弓 2：,再根据向量夹角公式求c
27、os?8 函数关系式，根据函数单调性求最值.U U 【详解】Q 2 q e?区 也，U U.4-4 el-e24-l-fi i u u u u,2 n(a,b)2(4+4 e2)2 4(1+4 专).cos 0=门 口 =-1r 1r 怎 tr=-F ira(2+2q 62)(10+64 刍)5+3-e24 2 4 2 28=-(l-MF)-(1-Y)=3 5+3q4 3 5+3X3 29.4故答案为：.8.已知向量万=(1,2),篙=5，立一力1=2 5 则 向 等 于(A.石 B.2亚 C.5湖南省怀化市2020届下学期数学试题【答案】C)D.25【分析】根据以|=26两边平方，即可得答案
28、;【详解】a-b=2/5，(力)2=片 一2%+不=20=5-2 x 5+1 必=2 0 n|B|=5,故选：C.9.已知、B、3是平面向量，工是单位向量.若非零向量 与 的夹 角 为 向量万满足后 _ 42石+3=0,则|。叫 的最小值是A.73-1 B.肉1 C.2 D.2-百【答案】A【分析】先确定向量、B所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求举小值.(,【详解 1 设 a=(1 y),e=(1,0)=(w),则由卜,e）=1得a e =H H c o s x =y x2+y2,:.y=土 下）x,由 r-/3+3=0 得病+/-4 7 +3 =0,（机一2）
29、-+1 =1,因此，的最小值为圆心（2,0）到直线y =&的距离乎=石 减 去半径1,为6-1.选A.10.已知平面内两个单位向量a,B的夹角为60，c =-1 j+r （r e R）,则向+归-司的最小值为.【市级联考】浙江省衢州市20 18-20 19学年高一年级6月教学质量检测数学试题【答案】叵2【分析】根据向量数量积运算法则可求得铲和（1）2,从而得到同和卜-耳，可得同+R-4的几何意义为点（。0）到字 右 乎）的距离之和，从而利用对称求解出距离之和的最小值.【详解】c2 （一 1+区）-a ta-b+rb=/c o s 6 0 +t2 r /+=+I 2 J 4 4 2 4 4 j 16（c-a）2=-a +tb-a=（|+区=+2-3应 石+/后=-卞+=卜一：）+奈的距离之和.（同+D本题正确结果：巫2