《解三角形大题归类-2021-2022学年高一数学下学期题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解三角形大题归类-2021-2022学年高一数学下学期题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)（解析版）.pdf（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题0 4 解三角形大题归类目录一、热点题型归纳.1【题型一】正余弦定理基本型1：角与对边.1【题型二】正余弦定理基本型2：分式型.3【题型三】正余弦定理基本型3：正切型.6【题型四】正余弦定理基本型4：余弦定理型.7【题型五】解三角形最值型1：面积最值.10【题型六】解三角形最值型2：周长最值.12【题型七】解三角形最值型3：边长最值.14【题型八】解三角形最值型4：系数不同型最值(非对称型).15【题型九】解三角形最值型5：无边长最值型.18【题型十】解三角形综合求值型：四 边形(多边形).20二、最新模考题组练.24四携点致型归他【题型一】正弦定理基本型1:角与对边【例 11ABC的内角
2、 4,8,。的对边分别为4,%已知 2cos A(Z?cosC+ccos5)=G a .(1)求角A;(2)若。=1,AA3C的周长为石+1，求 A A 3 c的面积.【答案】(1)A=(2)2-V 36【分析】(1)利用正弦定理和两角和差正弦公式可化简边角关系式，求得8 S A,结合AG(0,万)可得结果；(2)利用三角形周长得到b+C=6；利用余弦定理构造出关于。的方程，解出。C的值；代入三角形面积公式可求得结果.【详解】(1)由正弦定理可得：2cosA(sinBcosC+sinC cos8)=G s in A即：2cosAsin(B+C)=2cosAsinA=V3sinAv s in A
3、*O cosA=，由A e(O,不)得：A=(2)a=,ZVIBC 的周长为6+1 :.b+c=y5由余弦定理可得：cosA，=5-2 -1 =2 一儿=旦2bc 2bc 2bc be 2:.b c =8-462+V 3.A A B C的面积：S=g b c si n A =；x(8-46)X；=2-G【例 21在 A B C中，内角A，B,C的对边分别为。，b ,c,且c c o s8 +c o sC =2 c o sA.（1）求角A（2）若a =6,C =,求Z?.4【答案】（1）（2）立+二.3 2【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦，化简得到si n A =2si n A c o s
4、A,进而求得c o sA =-,即可求得A角的2大小；（2）由（1）和题设条件，求得B =”,进而求得si n 8 =C+J1,结合正弦定理，即可求解.1 2 4【详解】（1）h C C OS B +Z?C OSC=2 C OS A ,由正弦定理，可得51 1 1。8$3 +5皿3 8 5。=20 1 1 1 4 8 0 24,即 si n（B +C）=2si n A c o s A,又因为3 +C=TU-A,可得si n（3+C）=si n A ,所以si n A =2si n A c o sA ,1 兀因为 A（0,）,则 si n A 0,所以c o sA =,所以4 =一.2 3(2)
5、由 知A 且C =%所以8 =一?一?=|uu r、i.n .5 T C /T C 7T、.R T C 7C .7C J 6+J 2所以 si n 3 =si n =(+)=si n c o s +c o ssi n =-1 2 4 6 4 6 4 6 4r-a b .a sin B又因为 =由正弦定理二,则。=si n A si n B si n A47 3血+灰22【例 3】在A A B C中，角A、B、C所对的边分别为“、b、c,且满足（2a-c）c o sB =8 c o sC.（1）求角B的大小；（2）若b =币,a +c =4,求A A B C的面积S.【答案】（1）3 =6 0。
6、（2）S =4分析：由（2i Z-C）C Os8 =Z xX）sC ,利用正弦定理可得（251 0 4-5皿。）0 53 =51 0 5 0 5。，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得c o sB =J；从而可得结果：（2）由余弦定理可得2c o sS/+c、/=（+）2ac-可得（0=3,所以s=_Lacsin8=殛.详 解：（I）；2ac lac 2 4（2sinA-sinC）-cosB=sinB cosC:.2sinA-cosB=sinB cosC+sinC-cosB 2sinA,cosB=sin（B+C）=sinA“1cosB=一 :B=602（八.0 a2+c2-b2（a+c）2-2
7、ac-h2 1 373（2）cosB=-=-.ac=3.S-ac-smB=-lac 2ac 2 4【例4】在/18 c中，内角A、B、C的对边分别为“、b、c,且acos5+b sinA=c.（1）求角A的大小；若a=6,AABC的面积为在二，求0+c的值.27 T【答案】（1）A=-.（2）b+c=2.4分析：（1）利用正弦定和三角形内角和定理与三角恒等变换，即可求得A的值；（2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得b+c的值.详解：（1）由已知及正弦定理得：sinAcosB+sinBsinA=sinC，sinC=sin（A+3）=sinAcosB+cosAsinB sinBsinA=cos
8、AsinB,冗：sinB w 0/.sinA=cosA,/A w（0,乃）,A=1（2）S ARC=-bcsinA=-bc=-:.bc=2-/2w 2 4 2又a?=2bccosA.2=（人 +c）2 （2+V2）he所以，（b +c j=4,b +c=2.【题 型 二】正 余 弦 定 理 基 本 型2：分式型【例1】在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已 知 史 竺C=主二g.cosB b（1）求 若 的 值；sznA（2）若casB=；,AABC的周长为5,求b的长.【答案】（I）2（2）2试题分析：（1）由正弦定理和三角形的性质，得sinC=2sinA,即求解巴的值;（2）由（1
9、河 知 州 =2,sin A sin Ac=2 a,再由余弦定理和三角形周长，即可求解“力 的长.试题解析：（1）由正弦定理一1=-2 =-=2/?知，sin A sin B sin Ccos A 2cosC 2-27?sin C-27?sin A 八、-=-.（2 分）cosB27?sin B即 cos AsinB 2coscsin3=2cosjBsinC cos3sin A，即 sin（A+3）=2 sin（B+C）,（4 分）又由 A+B+C=;r知，sinC=2sinA,所 以 包C =2.（6 分）sin A（2）由（1）可 知 竺 =2,c=2a,（8 分）sin A由 余 弦 定
10、 理 得=a1+（2a/-2a 2acosB=4M:b=2a,（10 分），a+2Q+2a=5,I.a=1,:b=2.（12 分）【例2】cos C 2 -已知AA 5 C的三个内角A，B,C的对边分别为a,b,c,。+。=3,*=勺cos B b(1)求8的最小值；T T(2)若 a 整理可得，sin(A+)=；3 3 3 3 6 4由a/?可得 A ,故g A+g g：cos(/l+)=-3 6 6 2,64【例3】已知锐角三角形ABC中，内 角 的 对 边 分 别 为a/,c,且 网 於=上 空c cosC(1)求角C的大小.(2)求函数y=sin A+sin 8 的值域.【答案】C=y
11、；（2）国.【分析】一（1）由 上=竺 1 利用正弦定理得2 sin A c o sC-sin 3 c o sc =sin C c o s3，根据两角和的正弦公式及c cosC诱导公式可得cosC =，可求出C 的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公2式及辅助角公式把函数的关系式变形成同个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.【详解】（1）由工 一 1=cosB,利用正弦定理可得2sinA cosC sinB cosC =sin C co s3,c cosC可化为 2 sin Acos C=sinC+3)=sin A,.sin A w 0,/.cos C=；丁
12、C w 0,式(2)y=sin A+sinB=sin A+.vm-y -A J=sin A+-c o s A+s in A=氐 加(2 7C T C 7T 7C：A+B =,0 A -,A 0）.sin A sin B sin C则 a=ksinA,b=ksinB,c=ksin C.小、cos A cos 8 sin C,代入-+=-中,a b ccos A cos B sin C-1-=-&sinA ksin B Zcsin C有,变形可得sin Asin B=sinAcos B+cos Asin B=sin(A+B).在 ABC 中，由 A+B+C=7t,有 sin(A+B)=sin(AC
13、)=sinnC,所以 sin Asin B=sinC.x,2 2 2 Q(2)由已知，b2+c2-a2=be,根据余弦定理，有 cos A=二 一52bc 5所以sin A=-cos2 A=由（I）,sin Asin B=usin Acos B+cos Asin B,所以二 sin B二1cos B+gsin B,1Lsin B故 tan B=-=4.cos 8【题 型 三】正 余 弦 定 理 基 本 型3：正切型【例1】.A山 L J 八 r ,tan A tan B在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2（S A+3iB）=-+-.cos B cos A（1）证明：a+b=
14、2c；（2）求cos C的最小值.【答案】（1）见解析：（2）j-.试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得2（sinAcos5+sin5cosA）=sinA+s in B,再根据4+3+。=乃，即可得到sinA+sin3=2 s in C,利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1）2利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得cosC的最小值.二&、,口，sin A sin 8、sin A sin B试题解析：（1）由题意知，2（-+-）=-+-,cos A cos 3 cos Acos B cos Acos B化筒得：2（sin A cos B+sin Bcos A）=sin A+
15、sin B即 2 sin(A+B)=sin A 4-sin B,因为 A+8+C=%,所以 sin(A+B)=sin(4 C)=sinC,从而sin A+sin B=2sin C 由正弦定理得a+=2c.（2）由（1）知，cm(2)=平+jL当且仅2ab 2ab S a h 4 2当。=。时，等号成立，故cosC的最小值为g.2【例2】已知AA5 c的内角A，B,C所对的边分别为。，b,c,tanB+tanC=c o s AcosBcosC（1）求角A的大小；（2）若。=4,Z?+c=5,求AABC的面积.【答案】（1）A=工；（2）空.3 4【分析】（1）由tan8+tanC=k垩土，切化弦
16、，再利用两角和差公式化简可求得角A；cosBcosC（2）由余弦定理可求得。c,再用三角形的面积公式可求得AAb C的面积./1 x 八 一 G cos A zH sin B sinC 6 cos A解：（1）lh tanB+ta n C=-.得-+-=-cos B cos C cos 3 cosC cos B cos Csin Bcos C+cos Bsin C=G eos A，sin（B+C）=/3 cos A即 sinA=JcosA，又 cos A、显然不等于 0,，tan A=V 3，,*AG(0,)A=y71(2)由(1)知4=,又a=4,b+c=53根据余弦定理得/=b2+/-20
17、ccos A=(0+C)2 一3b c -16=25-3Z?c *.b e =3：.S=-b c s i n A =-x 3 x =.22【例 3】2 4在A48C中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且满足tanA=tan8=LanC.2 3(1)求角A的大小；(2)若 ABC的面积为15,求a的值.【答案】(1)A=f ：(2)a=5.【分析】根 据题意可得到tan5=2tanA,tanC=3tanA,利用三角恒等变换，可知求解tanA=l,即可求解角A的大小.(2)利用正弦定理得出=任 叁。，代入三角形的面积公式，即可求解的值.sin A【详解】(1)由题可知：tanA=tan B
18、tan C,则 tan B =2 tan A ,tan C=3 tan A .23/4 /c 小 tan B+tan C在 AABC 中，tan A=-tan(B+C)=-1-tan BtanC则 tan A =2tan A+3tan A.7JZM 9,-5-，解得 tan,A=l，/.tan A=-l 或 tan A=l,1-6tan2 A当tanA=-l时，tan B=-2,则A，笈均为钝角，与A+3+C=7c矛盾，故舍去,兀故 tan A=1,则 4=一.41,cos C 二1(2)由 tan A=1 可得tanB=2,tanC=3，则cosBA/1+tan2 B 也V1+tan2 C1
19、2.3.a b,.sin B J5 25/10所以sin8=sin C=.在 ABC 中有-=-,则力=；-c i=a=-a ,v5 V10 sin A sinB sin A V2 5T则SAAB=ab sinC=a x a x 3 =1 5-得=2 5,所以。=5 2 2 5 厢 5【题 型 四】正 余 弦 定 理 基 本 型4:余弦定理型【例 1】在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为。、b、c,K(2Z?-c)(62-a2+c2)=2a b c c osC .(1)求角A的大小.(2)若8=工，。为AABC外一点，BD=2,8=1,四边形ABDC的 面 积 是 述+2，求3 4【答
20、案】(1)A=g；(2)4=注+2技【分析】本题首先可以根据正弦定理以及余弦定理对(2b-c)(b2-a2+c2)=2a b c c osC进行化简,得出2sin5cosA=s in 5,再根据sinBwO以及AG(0,%)即可得出结果;（2）首先可以结合题意绘出图像,然后在 5CD中根据余弦定理得出5 c 2=5-4 co sO,再然后根据解三角形面积公式求出S.A%以及工“，并根据四边形A5DC的面积 是 述+2求出力=红，最后将4 65万。=代入BC2=5-4COSO,即可得出结果.6【详解】（1）因为（2 C）伍2 +C2）=2QCCOSC,所以（2 仅 +C_ =6/cosC2b c
21、由余弦定理可得（2Z?-c）cos A=acosC,由正弦定理可得 2sin 5cos A sin Ceos A=sin Acos C,因为 A+3+C=；r,所以 2sinBcosA=sinCcos A+cosCsin A=sin（C+A）=sinB,jjr因为 sin B O,所以 cos A=因 为 Ae(O,;r),所以 A=.A(2)如图，结合题意绘出图像：/在ABC。中，30=2,8=1,D由余弦定理得：5C2=12+22-2X1X2COSD=5-4COSD，因为A=B=X，所以C=1，AABC为等边三角形，所以So”=xBC2xsin工=述 JcosO,3 3 AASC 2 3
22、4因为&-0=竽+2,所以sin(0 0)=1，因为。e(0,万)，所以。=红，故BO?=5-4COSO=5-4COS色=5+2 6，3C=,5 +2 6，6 6即4=55+2行【例2】ASC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知（2sin A-b sin 8）?=4sin?C-sin?8.（1）求 角C的大小；（2）若b =l c =yfl 求cos（B C）的值.【答案】（1）C=C；（2）逆.6 14【分析】（D将等式化简，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角C；（2）利用正弦定理求出sin 5,再根据b c,可知5 C,进而可根据同角三角函数关系，求出s s B,再利用两角差的
23、余弦公式可求得答案.【详解】（1）由（2sinA 百sin=4sin?C sin?3 化简,得 sin2A+sin2 5-sin2c=GsinAsinB，由正弦定理，得片+一。2 =后。，由余弦定理得cosC L=且，又C e（O,乃），所以C=%.2a b 2 6(2)因为。=1,c =#i ,所以由正弦定理/一=,得si n B=2g=E，si n B si n C c 1 4因为bc,所以3 0)则。=启寿三嬴氤=五所以5由4=竺 妊=事 且=叵.c J it 2 7【题型五】解三角形最值型1：面积最值例1 ABC的内角A B,C的对边分别为a,c,已知2Z?cosB=acosC+cco
24、sA.(1)求D3的大小；(2)若。=2,求AABC面积的最大值.【答案】(1)y:(2)6【分析】(1)利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得CO S B =-，根据5 e(0,幻 可 求得结2果：(2)利用余弦定理可得/+0 2 一a c =4,利用基本不等式可求得(a c)m a x =4,代入三角形面积公式可求得结果.【详解】(1)由正弦定理得：2 sin B cos JB=sin A cos C+sin C cos A-sin(A+C)A+3+C=,.sin(A+C)=s in 3,又 8 (0,乃)，.sinB w O,.2cosg=l,B P cos B=-2T
25、 T由 5G (0,)得：B =.3(2)由余弦定理/=。2 +。2 2accos 6得：/+一函=4又4 +。2 2 2ac(当且仅当a=c时取等号),4=2+c2 ac lac-ac ac 即(ac)1 11ax=4 二三角形面积 S 的最大值为：y x4sin B=3【例2】在AAJBC中，内角A，B,C的对边分别是。，b c,已知b tanA,c tan B,ZtanB成等差数列.(1)求A的大小：(2)设a=2,求AABC面积的最大值.【答案】(1)y；(2)百.【分析】(1)btanA,ctanB.Z?tanB成等差数列，把正切化成弦，结合正弦定理化简整理.(2)木 U用余弦定理和
26、基本不等式，求8 c 的范围.【详解】解：(1)由Z?tanA,ctanB,Z?tan5成等差数列，得 Z?(tan A+tan 8)=2c tan B.A-sin A sin B sin Acos B+cos sin B sin(A+B)sinC因为 tan A+tanB=-+-=-=-L=-.cos A cos 8 cos Acos B cos Acos B cos Acos B又tan8八 =-s-i-n-B-,所以-b-s-i-n-C-=-2-c-s-i-n-B-,即nri-/-?-s-in-C-=2八 csi.nB八.cos 3 cos Acos B cos 8 cos A由E弦定理
27、，得些 =2sinC sinB,又sin5sinCw O,所以cosA=-.cos A2jr因为0 A TT,所以A=.（2）由余弦定理，a2=b2+c2-2Z?ccos A=b2+c2-be-又苫+片之加，所以/z灰.又因为a=2,所以匕c W 4,当且仅当方=c=2时，等号成立，故 S“BC=g方csin A=与 bc6 于是AABC面积的最大值为【例3】在 AABC 中，a,b,，分别为内角 A，B,C 的对边，且（acosC+ccosA）tan A=.（1）求角A的大小；（2）若a=求b e的最大值.jr【答案】（1）H：（2）3【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由两角和的正弦公式即
28、可求出tan A,结合角A的取值范围即可求解;（2）由（1）知，结合余弦定理得到关于上c的方程，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）因为（acosC+ccos A）tan4=6匕，利用正弦定理可得，（sin AcosC+sinCcosA）tan A=6 s in b ,即5m（4+卜2!124=651113,因为A+C=zr-B,所以 sin（-3）tanA=/sin B,即 sin Btan A=G sin 5，因为0 因为0 A ccos-,所以3=+?-A 2 2/?c 历=Ac，当且仅当b =c时等号成立，所以物的最大值为3.【例4】tan A.在AABC中，内角A、B、C的对边分别
29、为。、b、c,且1+=.tan 8 b（1）求角4（2）若a=,求AABC面积的最大值.【答案】（I）（2）史.34【分析】（1）利用切化弦、正弦定理边化角、三角恒等变换可得cosA=，即可得答案；2（2）利用余弦定理可得3=+c2-0c，再利用基本不等式得到右c取最大值，面积取得最大值；【详解】（1）、T.+-ta-n-A=2c,Z.1t +-s-i-n-A-c-o-s-B-=-2-s-i-n-C-即rlI,-s-i-n-B-c-o-s-A-4-s-in-A-c-o-s-B-=-2-s-in-C-,tanB b sin B cos A sin 3 sin B cos A sinBs i n(
30、A+B)2 s i n C 士，/.-:-=-,整理得 c o s A =,：()A 2b c-b c =b c,当且仅当 Z?=c =石 时，区 取最大值，从而 S/xA B C=；Z?c s i n A 所以AABC面积的最大值为d.4【题 型 六】解 三 角 形 最 值 型2：周长最值【例1】.AABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c且满足a =2,a c o s fi =(2 c-/?)c o s A.(1)求角A的大小；(2)求AABC周长的范围.【答案】p(2)(4,6 ,【分析】(1)将a c o s B =(2 c-b)c o sA利用正弦定理和两角和的正弦公式化筒得
31、s i n C=2 s i n Ce o sA,从而可得A的值.(2)由余弦定理和基本不等式，以及三角形两边之和大于第三边，可得周长范围.【详解】(1)由已知,W a c o s B+Z?c o s A =2 c c o s A.由正弦定理，得 s i n A c o s B+s i n B c os A =2 s i n C c o s A.即 s i n(A+B)=2 s i n Cc o s A,因为 s i n(A+B)=s i n C.一 一 1 7T所以s i n C=2 s i n Cc o s A.因为s i n C w O,所以c o s A =一,因为O v A v/r,所
32、以A =.2 3(2)由 余 弦 定 理=Z?2+(?-2 c c o s A,得Z?c +4 =+/即S+c)2 =3历+4.因为尻所以3+C)2 4(b +c)2+4,即8+Ca,即 2 Z?+c4,所以4 c+b+c 4 6,即周长的范围为(4,6 .【例2】.已 知 仇。分别为A A B C三个内角A,8,C的对边，a c o s C+G a s i n C-b-c =0.(1)求.4的大小；(2)若a=7,求A A 3 C的周长的取值范围.【答案】(1)4 =6 0；(2)(1 4,2 1 .试题分析：(1)根据题意，由正弦定理得到关于角的三角函数关系s i n A c o s C+
33、Gs i n A s i n C s i n 6一s i n C=0利用：A+B+C=TT,得到s i n 5 =s i n(A+C),再利用两角和的正弦定理，化简为：6 s i n A c o s A =l，利用辅助角公式得到：s i n(A 3 0 )=；,进而求得：A =6 0。；(2)根据余弦定理得到关于仇c的关系式：4 9 =+/-2 b c c o s。=e+c)2-3 b c,利用基本不等式得e+c?4 4 x 4 9,所以三角形的周长的取值范围为（14,21.试题解析：（1）由正弦定理得：a cos C+y/3a sin C-/7-c=0 sin A cos C-/3 sin
34、A sin C=sin B+sinC sin Acos C+/3 sin Asin C=sin（A+C）+sin C V3sin A-cos A=1 sin（A-30）=2=A-30=30oA =60（2）由已知：Z?0,c0,b+ca=7由余弦定理49=+。2 2b ccosg=（H c）2 3机N（b +c）2 （b+c）2=；（b +c）2 （当且仅当匕=c时等号成立）A（Z?+c）2 7,，70,所以 JisinB-cosB =2，所以2sin（B生）=2,因为5G（0,%）,所以5 2 =2,即 台=丝.6 6 2 3（2）依题意 避 竺=G，即a=4.所以a+cN2疝=4,当且仅当
35、a=c=2时取等号.4又由余弦定理得。*a2+c2 2accos B=a?+c2+ac 3ac=12A h 2y/3,当且仅当a=c=2时取等号.所以ABC的周长最小值为4+.【例4】在 AABC 中，角 A，B C的对边分别为。，b,c,且 sin A+cos A=2,a=4.（1）求角A的值；（2）求b+c的取值范围.71【答案】（1）A=一：（2）Z?+c e（4,8J.3【分析】利用辅助角公式化简题中式子，得到GsinA+cosA=2sin（A+看）=2,从而求得A+=,进而求得4=工；6 2 3(2)根据正弦定理得到2R=L=G =0=J,从而可以求得0+c=6(sin B +sin
36、C),sin A 3 sin 3 sine 3能得到sinB+sinC=+f,结合角8的范围，求得5抽,+e ,l ,进而得到/?+C G(4,8J.【详解】(I)V V3sin A+cosA=2sin|A+|=2：.A +=,即4=2.I 6 j 6 2 3(2)由正弦定理得2/?=-=百=一=一，.b +c=J5(sinB+sinC),sin A 3 sin B sine 3；sin B+sin C=sin B+sin =sinB+cosB=V3sin B+V3)2 2 I 6；又B e(o,sin(B+7)(/,b +c(4,8.【题 型 七】解 三 角 形 最 值 型3：边长最值【例1
37、】已知a,b,c分别为AABC三个内角A,B,C的对边，且满足2Z?cosC=2a-c.（1）求 3；（2）若AA3C的 面 积 为 百，求 的取值范围.【答案】（1）（2）2,+）.【分析】（1）利用正弦定理化简，结合和与差的公式即可求8；（2）利用三角形面积公式和余弦定理建立关系，结合基本不等式的性质即可得b的取值范围.【详解】（D由正弦定理得2sin 8cosc=2sinA-sinC在A A 3c中，sin A=sin（B+Q =sin Bcos C+sin Ccos B2sin 3cos C=2sin Bcos C+2sin Ceos 3 sin C H P 2sin Ceos 3=s
38、in C1 7,/0 C sm -sm A.b e sin C（1）求角C的值；（2）若。+。=4,当边c取最小值时，求AABC的面积.【答案】（1）。=1；S.ABC=6.【分析】（1）根据正弦定理，将角化为边的表达形式；结合余弦定理即可求得角C的值.（2）由余弦定理求得,2与出?的关系，结合不等式即可求得C的最小值，即 可 得 到 的 值，进而求得三角形面积.【详解】(1)由条件和正弦定理可得+.一 =2，-q，b1TI整理得从+a 2 c2=Q b从而由余弦定理得cosC=.又,.C是三角形的内角，.C =23(2)由余弦定理得/=/+b?-2abcosC=+Z?2-a h，*.*a+Z
39、?=4,c2=c r+h2 ah=a+b 3ab=6 3ab,A c2=16-3/?16-31=4 (当且仅当a=A=2时等号成立).I 2 J.c的最小值为2,故S“IBC=gabsinC =百.【例 3】cosC 2a-c在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，=，且a+c=2.cosB b(1)求角B；(2)求边长b的最小值.nB=-【答案】(1)3(2)1cosC 2sinA-sinC试题解析：(I)由已知8sB sinB 即cosCsinB=(2sinA-sinC)cosB/sin(B+C)=2sinAcosBzsinA=2sinAcosB,1 ncosB=-B=.国ABC中
40、，sinAwO,故 2 3nB=,2 2 2 2 2 2 2(a)由(I)3 因此b=a+c-2accosB=a+。7(:由己知6=(a+c)-3ac=4-3aca+c 94-3()=4-3 =12故b的最小值为1.【题 型 八】解 三 角 形 最 值 型4：系 数 不 同 型 最 值(非 对 称 型)【例 1】已知 A 8 C的内角A,8,C的对边分别为a,c,若2ccos3 =2。+Z?.(1)求 角C(2)若 A B C的面积为4 6，贝!1 3/+。2的最小值.27r【答案】(1)c =；(2)80.【分析】(1)根据2ccosB=2 0,故 cos C，故 C=.2 3(2)因为AA
41、 B C的面积为4石，所 以;aAsinC=4 g,即JL./J X曰=4 6，故=1 6，由 余 弦 定 理 可 得=+-2aZ?cosC=a2+02-2xl6x1-g)=a2+/+16,所以 3/+。2 =3。2+/+62+16=4/+/72 +1624。人+16=80，当且仅当2a=b=4y/2时等号成立，故3a2 +c2的最小值为80.【例2】已知AA B C中，a/,C分别为角A,民。的对边，且(2a一份tan 8=/?tan C(1)求角C；(2)若acosB+b cosA=2,求a+2)的最大值.【答案】(1)c=-；(2)W 1L3 3【分析】(1)根据正弦定理，将已知等式边化
42、为角，并化切为弦，结合两角和正弦公式，求出c o sC,即可得出结论；(2)由已知等式和正弦定理，求出。边，根 据(1)的结论和正弦定理，将a+2b化为角A的正弦型函数，结合A角范围，即可求解.【详解】(1)由正弦定理得(2sinA-sin 8)把 一=sin8型 一，v0 fi0,cos B cos C，(2 sin A-sin B)cos C=sin Ccos B,/.2sin Acos C-sin 3cos C+sinCcos B=sin(B+C)=sin A,1-.*()A0 A COSC=,0 C,/.C=；2 3(2)设 的 外 接 圆 半 径 为R,.acos5+cosA=2,:
43、.2/?(sin Acos B+sin ficos A)=27?sin(A+B)=2R-sin C=c=2,C c 4/.Q+2 =sin A-+2 sin 3-=?=(sin A+2 sin(7c A)sinC sinC 3 3=(sin A+V3 cos A+sin A)=(2sin/A +V3 cos A)=sn(A，其中百 2sin 夕=正，cos。=万，2%TT/O 10 A A+(p c :.B C B /3 sin(-A)=8ysin A-2 cos A 2ysin A3 3 3 3 3 3 3=sin A-2cos A=4(-sin A-g cos A)=4sin(A-)，又A
44、BC为锐角三角形，(、A 九0 A 20B=2%T,TV.TC a 71 7t,则一 A 一 即0 A ,.n 6 2 6 3-A 2所以，0sin(A马 也 即04sin(4 2百,6 2 6综上2。一/7的取值范围为(0,2 6).【题 型 九】解 三 角 形 最 值 型5：无边长最值型【例1】.在AABC中，角A R C所对的边分别为a/,c,满 足 里 与+网+夕=().cos C c c(1)求NC的大小；(2)求sin?A+s i/B的取值范围.【答案】(1)c =y (2)sin2 A+sin2B e p|)12几试 题 分 析：(1)利 用 正 弦 定 理 将 所 给 的 等
45、式 化 解 为 三 角 函 数 式，求 得cosC=-,.C=胃.化 简 三 角 函 数 式sinnA+sirB =l-s in(2A+,X 0 A,sin2A+sin2B e 2 k 6；3 _2)2a b解：(I)-F +=0,ccosB 4-2cosC+bcosC=0,/.cosC c csinCb osB+sinBcosC+2sinAcosC=0，1 2万/.sinA+2sinAcosC=0,*.*sinA w 0,cosC=，/.C=.2 3(II)si.n 2 A4 +si.n2Bn =il-c-o-s-2-A-+-c-o-s-2-B-=1 .1 sin.f2-A 4+,又 0A
46、v ,乃 2八A+,乃5一72 2 V 6 J 3 6 6 6工 g sin 2A+看)4,求 他=竺2的取值范围.CT T【答案】（）A =-；（2）l/n2.【分析】（1）利用降哥公式化简，再根据余弦定理即可求解；,G 1 _ 2（2）根据正弦定理及三角恒等变 换 用 可化为加=；C+2-结合工。即可求出m的取c2 tan 332值范围.、*陋、，、,.2 C.2 B/?（i-cosC）c（l-cos5）b+c bcosC+ccosB【详解】（D 由sirr+csirr =-+-L=-2 2 2 2 2 2a2+b2-c1 a2+c2-b1_ b+c 2a 2a _ b+c a _ b+c
47、-a 2 2 2-2-b+c-a 3bc 9.所以2一=2（b +c +a）,可得+c）-a =3A，b2+c2-a2=he.由余弦定理得cosA=+=U=L 又A e（0,兀），所以A=W.2bc 2bc 2 3垂 工.（2兀力（2_ x）由,sin A+sin B-2-F s in（-3-CJm=-=-sin C sin Cf+*cosC+；sinC 等（1+cosC）sin C sin C 26 c o s 2 1 V 3 c o s1 1 6 1 无-7-7 7 +7 =-+；=-+不，因为C。，所以c；,-CC 2 G.e 32 si n c o s 2 si n 2 ta n 2
48、2 2 2,_ _ 2兀 G-i、i 兀2K b i、兀 C 兀 ,，3 C rr乂 8+C =T，所以所以W 5Q，得 ta n万 J 3，5/3 1/T所 以 后 一c V.所以1机2.ta n 2【例4】设A4SC的内角A,3,C的对边分别为a,4 c,已知2 Z?c o s8=a c o sC+c c o s A.(1)求3；(2)若AA 6 C为锐角三角形，求二的取值范围.a兀(1 、【答案】(1)B =-(2)-,23【2 )【分析】(1)利用正弦定理化简已知条件，由此求得c o s B的值，进而求得3的大小.(2)利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得色 的表达式，进而求得色的取值
49、范围.a a【详解】(1)山题设知，2s i n8 c o s 3=s i nA c o s C+s i nCc o s A,即 2s i n Bc o s B=s i n(A+C),所以 2s i nBc o s 3=s i n3,1 71即c o s 8 =,又0 v3 v万所以3=.2 3(2)由 题 设 知,c s i nC Si n(120-A)彳c o s A +s i n A ,即=且L _ +l一=7 =：;=：;a 2 t an A 2a s i n A s i n A s i n A又AAB C为锐角三角形，所以300A 90,即t anA且 所 以o 8 =一,C =,求
50、c o s N b D C的值；6 3(2)若8 =2,四边形A B C。的面积为4,求c o s(A +C)的值.【答 案 ;(2)!,【分析】4?。中求出8 ,在 3 C D中，由正弦定理求出s i n N B OC,根据c o s NB D C=Jl -s i n/B D C即可求 c o s N B DC；(2)在 河、C 8O中，分别由余弦定理求出及 ，两式相减可得c o s A与c o s C的关系式；又由SA B C D=SA枷+S w得 4D -A 8.s i n A +/CB 3 s i n C的s i nA与s i nC的关系式：两个关系式平方后相加即可求出 cos(A+C