《解三角形压轴小题12种归类2021-2022学年高一数学下学期题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解三角形压轴小题12种归类2021-2022学年高一数学下学期题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)（解析版）.pdf（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题0 6 解三角形压轴小题12种类型目录一、热点题型归纳.1【题型一】三解三角形基础：角与对边.1【题型二】三角形求周长最后自.2【题型三】辅助角+均值不等式+余弦定理.3【题型四】辅助角和均值与面积最值.5【题型五】消角.6【题型六】万能正切.8【题型七】正余弦定理综合应用：判断三角形形状.10【题型八】外接圆.11【题型九】内切圆.13【题型十】重心与垂心.14【题型十一】图形：中线与角平分线.16【题型十二】综合.18二、最新模考题组练.21|遨拉克致型归他【题型一】三角题基础：角与对边【例11在AABC中，角A8,c所 对 的 边 分 别 为 已 知c =，c=l .当。,6变化时，
2、若2=。+而存在最大值，则正数，的取值范围为A.(0,1)B.(0,2)C.(-,2)D.(1,3)2【答案】C【详解】因为C =,c=l,所以根据正弦定理可得，7 =4=)=系，所以。=冬 泊 儿3 s i n A s i n B s i n e J 3 J3b =-=s inB,所以 z =b+%=集s i n B +s i n A =|s i n 8 +4 s i n(m-3)=1 (l-g)s i n 3 +券。=5/箝s i n(3 +0),其中 t an =0 B -y ,因为z =6 +而存在最大值，所以由3 +。=2 +2左 兀ZwZ,可得2女 兀+2 0 2 E +A&WZ,
3、262所以t an”正，所以 走，解得:；12,所以正数;I的取值范围为(1,2),故选C.3 2-A 3 2 2【例2】在锐角三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=l,则 A B Co面积的取值范围为V 3一4V 3一21-+2%4仔(hB.D.i+2串1A件初A.cI【分析】由题意首先求得AA8C的外接圆半径，然后将三角形面积公式转化为关于的函数，由 ABC为锐角三角形可得?据此确定AABC的面积的取值范围即可.【详解】b c 1由正弦定理可得以罚=痂=击5=2,b=2sbiB,c=2sinC.6 S&ABC=bcsinA=x 2sinB x 2sinC-=sinBs
4、in-8)=sinBcosB+sin2=21.Q D,x/3 1-C0S2B 1 ,D 7 T .V3-stn2B 4x-=-sm 28 )4，4 2 2 2 37 4又I B C 为锐角三角形，0 8 巳0 萼-8 即g B 2Z o 23 4 3 33 一 sin I 2B )1,一 -sin I 2B )H 2c2)=-4-2accosB)-Le sin B，tan B=，1223B=亭，cosB=一 叵,6 2sinB=L2又.,/?=2，,由余弦定理可得：8=a2+c2+f3ac.(2+?)ac,ac,-j=8(2 5/3)2+6当且仅当a=c 时取等号，用c=gacsinB gx8
5、(2-)xg=4_26.,面积S 的最大值为4-2 行.故选：B.【题型二】三角形求周长最值【例 11在AABC中，角A B,C 所对的边分别为a,6,c,若s ig +cos(A+=亭 b+c=4,则A43C周长的取值范围是A.6,8)B.6,8 C.4,6)D.(4,6【答案】A【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得sin(A+-=亨，结合A 的范围可求A,再由余弦定理求得。2=1 6-3bc,再由基本不等式，求箱be 的窟围，即可得到。的范围，进而可求周长的范围.【详解】sinA+cos(4+)=圣sin A+c o sA-lsin A =争可得：sin(A-)=Q，3 2 A&
6、CO,n),A+-&(-,A+巴=N E,解得力=3 3 3 3 3 3.b+c=4,.由余弦定理可得 a?=+c2 2bccos4=(b+c)2bc be=16 3bc,.,由 6+c=4,b+c 2bc,得 0VbcW 4,A 4 a2 1 6,即 2W aV4.AABC 周长L=a+b+c=a+4 e 6,8)故选 A.【例2】n,5在 AABCAABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA+cos(A+-)=二，b+c=4,则AABC周长的取值范围是()A.6,8）B.6,8 C.4,6）D.（4,6【答案】A【分析】根据余弦的和角公式及辅助角公式，可求得角A的值；利用余
7、弦定理结合基本不等式即可求得a的取值范围，进而得到周长的取值范围.【详解】b+c=4 由余弦定理可得a?=b?+cz-2bccosA=:b+c)?-2bc-bc=16-3bc.由b+c=4,b+c22J信，W 0bc4,A4Sa2 即24a/1-cos2 C=G+3,则 A4BC 的面积 S=wfesin C=x 5/6 x 3 x+-=9+3班4 2 2 4 4故选A.【例 2】在,A B C 中，角A,B,C所对的边分别为2力,/3 sin B,a=fib,由余弦定理及c=2 得，cosC=a i2ab 2ab_2b2-2=1 _sin C=11-f 32?=岂 J M B C 的面积S-
8、6zZsinC=-J-/+8/-4 =-J-（Z 2-4?+1 2-,当护=4时，即b=2,AABC的面积S有最大值，.AABC的最大面积 是:xVH=K,故选B.【例 3】在 AABC中，内角4 B,C 的对边分别为”,A c,若AABC的面积为:c?,贝吟+公的最大值为8 b aA.2 B.4 C.2V5 D.46【答案】c【分析】利用余弦定理可得a?+b2=c2+2abe osC,结合三角形面枳为;c?可得c?=4absinC,7+8b a可化为=4sinC+2cosc=2V5sin(C+从而可得结果.【详解】由题意得，S=absinC=c2,/.c2=4absnC,又c?=Q2 +庐
9、2abcosC,2 8a2+62=c2+2abe osC,.a,b az+b2 c2+2abcosC 4absinC+2abcosC A、片.”.、=-=-=-=4sinC+2cosC=2V5sin(C+8)，b a ab ab ab 则(+T的最大值为2踽，故选C【题嵬四】辅助角和均值与面积最值【例 1】己知AABC中，sinA,sinB,sinC成等比数列，则的取值范围是sinB+cosBA.卜刍 B J。闱 C.(-1,o，一【答案】B【详解】由已知可知 sin2B=sin A-sin C,即 b1=ac,cos B=,2ac-ac=,2ac 2ac 2ac 2即 0 8/2 sin f
10、 G 1,V2 J,原式等于 2sin8cos8=(sm 8+cosB)二 1 ,设，=sin8+cos3sin B+cos B sin 8+cos 8即原式等 于?=垃)，函数是增函数，当t=l 时，函数等于0,当f=0时，函数等 于 受，所以原式的取值范围是(0,坐,故选B.2I 2【例 2】满足条件AB=2,AC=6BC的三角形ABC的面积的最大值是A.述 B.4 C.2 D.2 02【答案】D【详解】分析：设BC=x,根据三角形的面积公式和余弦定理，得出关于工 的面积表达式，再根据x的取值范围，即可求解面积的最大值.详解：设8C=x,则AC=&x,根据面积公式得SMBC-A B B C
11、 sinB =-x2x Jl-c o s2 B,m 坦 A法小 la 先 n AB+BC AC 4+x2 (/2x)4-x2根据余弦定理得cos B=-=-=-2 A B B C 4x代入 二式，W S c =-AB-BCsin B=1X Jl-(-)2=2 V 4x4x128-(x-12)21622由三角形的三边关系可得近x+x 2l ,解得2 0-2 v x v 2 0 +2,x+2J2x故点x=时，SMBC取得最大值2 a，故选D.【例 3】S在 I B C 中，角 4 8,C 所对应的边分别为a,E c,设A45C 的面积为S,则二-的最大a+4bc值 为（）A.也 B.C.立 D.1
12、6 12 16 18【答案】A【分析】由面积公式和余弦定理，基 本 不 等 式 对2,进行变形，得到关于f 的关系式，结合三角a+4-hc函数的有界性，列出关于 的不等式，求出最大值.【详解】S=b c s inA,a2=b2+c2-2b c c os A,则设cbcsinA-bcsinAJ 22cr+4bc b2+c2-2/?ccos A+4bc 2bc-2bccos A+4bchcsinA sinA.1 .4 42 2.所以一sinA=6，-2fcosA,即=-=-=t 26bc-2bccosA 6-2cosA一sin A.+2tcos A.6t IF 4t t 0,，,巫在解得g fT，
13、【例 3】在锐角AABC中，角A,8,C 的 对 边 分 别 为 J S 为AABC的面积，且 2s=储 _(6 一、)2,则空士C 的取值范围为()A-()B.2硅)C.立 D,2在 叫【答案】C【分析】根据余弦定理和AA6C的面积公式，结合题意求出sinA、cosA的值，再用C 表示5,求出夕=驾 的取值范围，即可求出 也 止 的取值范围.c sin C be解：在AABC中，由余弦定理得/=+Q 2-2/85 4,且 AABC 的面积 S=-bcsinA,2山 2s=/-(人 一(?)2,Z?csin A=2bc-2Z?ccosA,化简得 sin A+2cosA=2,X A e (0,)
14、,sin2 A4-cos2 A=1,4解得sin A=或sin A=0(舍去),sin Acos C+cos Asin C 4 3-=-1-fsin C 5 tan C 5因为AABC为锐角三角形，所以0C（B*A-Cg所 以 会A）=意号所以短0段,所 以 河|各1、设.一b =，其中,小（3 ，三5、，所rr以.2b27+c2 =2.-b+e-=.2/+-1 =2.1+且2,c 15 3 J h e ch t t 7由对勾函数单调性知y =2，+；在（|,孝）上单调递减，在（孝,|）上单调递增,当f =时，y=2近;当，=时，y =j|；当？=：时，y =所以ye卜0,工 ,即竺1的取值范
15、围是上_b e L 13 J故选：C.【题型六】万能正切【例 1】在锐角AABC中，角A,3,C的 对 边 分 别 为c,s为AABC的面积，且2 S =a 2-（b _ c）2,则*惠黑;的取值范围为（).A.591 3773B.而281 S9C.喘D.而281 2.【答案】D【分析】根据余弦定理和AABC的面积公式，结合题意求出s i nA、C O S A的值，再用C表示B,求 出 的 取 值 范 围，即可求出4 3 -12 历+17 c：的取值范围.c 4b2-U b c +3c2解：A B C 中，由余弦定理得，a2=b2+c2 2/?c c os A,11 A B C 的面积为 S
16、u7 A c s i n A ,2由 2 s c i (b c),得 b e s i n A =2 Z?c-2 Z?c 8 s A ,化简得 s i n A +2 c os A =2 ；又 A w(0,工)，s i n2 A-f-c os2 A =1,2J_ _ _ _ _ _ 4所以s i nA +2 jl-加A=2,化简得5 s i/4-4 s i n A =0,解得s i n A =或s i n A =0(不合题意,舍去）;因为月(0卷 所以 c os A=7 1-s i n2 A=s i n A 4,ta n A =-=-而、b _ s i n3 _ s i n(A +Q _ s i
17、n A c os C+c os A s i n Cc s m C s i n Cs i nCTT由 3+。=兀一4,且8 (0,-),2c os A 34 3=-十 一,5 ta nC 5，解得(一 人 乃 一4A o,所以3。高号所 以 熹e畤，所以Mta n A 4ta n C3 5553;设2 =f,其中r ec2 2 J5 3所以y =4h2-2b c+7c2-12/+174 6 一 12庆+13 c 2 -4昌2 _ 12自 +13 -4/-+13=1 +-=1 +-4 +13 4”|)2+453b乂所以时，y取得最大值为m=2,r 时，尸 胃，/时，4J z.J 2 3 J oi
18、j 3/,281 73且 而 令所以ye281TsT4即喘援会的取值范围是281 c“377,2.故选：D.lol【例 2】在锐角AABC中，角 A,8,C 的 对 边 分 别 为 c,s 为AABC的面积，且 2S=2 _ 0 _C）2,则2 的取值范围为（C)A.P2B.2 33,2c.3 44,3D.3 55,3【答案】DA【分析】根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得t a n 进而求得A的各个三角函数值，再利用正弦定理边化角求得2 关于C 的函数表达式，根据锐角三角形的C条件得到0 0,2 2 2 2MJ2 22xtan A=1-.4,3sin A=,cosA=-,5
19、 5.b sin B sin(A+C)sin AcosC+cosAsin C=-=-=-c sin C sin C sin CA+C -f：.0 -C A -f2 2 24 3-1，5tanC 5:ABC为锐角三角形，）/.0 :纥ctanC3 5171tanA，故选：D.4 3 4 4 3 25 5 一-H /3,ta nB =3 3 3 BD2月c+2ta n-ta n S 石*/3-所以 ta n Z A C B=ta n(-B)=2-=；=-3 1 +ta n y ta n B 1 +力 ta n 3 +加2737+2=2#c+8X-c +2又因为 c ta n C =2 s i n
20、6 =2 B C s i n B=C D =3 3 3 3所以。巫=迈，HP3C2-4C-32=0,解得：c =4 或c =-g (舍)c +8 3 3所以S =6 c s i nA =x 4 x 4 x =4 G.故选：B.2 2 2【题型七】正余弦定理综合应用：判断三角形形状【例 1】.A A B C 中，角A,B,C所对应的边分别为。，b ,c.已知a 2 +匕 2 (a c os B +b c os 4)2 =2 a b e os B,则 A A B C 是A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】B【分析】由题，利用正弦定理和内角和定理化简可得a
21、2 +b 2-c 2 =2 a b c os B,再利用余弦定理可得c os B =c os C,可得结果.【详解】由题，已知&2+。2 (a c os B +b c os 4)2 =2 a b e os B,由正弦定理可得：s i n2 4 +s i n2f i (s i nA c os B +c os/l s i nB)2=2 s i n4 s i n8 c os 8即s i n+s inB-s i n2+=2/%心 8$8 又因为.(4 +B)=s i nC所以l：inBr n 则/OBC的面积为.【答案】【分析】已知条件中含有&+,2)这 W 达式，可以联想到余弦定理/=+C2 一次8
22、SA进行条件替换；利用同弧所对圆心角为圆周角的两倍，先求出角A的三角函数值，再求4B0C的正弦值，进而即可得解.【详解】v a4 2a2(炉+c2)+c4+b4+b2c2=0,a4 2a2(b2+c2)+(b2+c2)2 b2c2=0,(1)在 AABC 中，a2=b2+c2-2bccosA b2+c2=a2+2bccos4代 入(1 )式得：a4 2a2(a?+2bccos4)+(a2+2bccosA)2 b2c2=0,整理得：cos24=%,ncos4=+2,sinA=3,4 2 2.圆周角等于圆心角的两倍，0 C =2A,(1)当 cos A=时，A=,.1.Z.BOC=,2 3 3SA
23、OBC=|O B-O C-siny=i-2-2.=V3.(1)当cos4=-泄，4=拳 点。在AABC的外面，此时，乙BOC=三,.SAOBC=.【例 2】己知AABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,4 c,A 48c的外接圆的面积为3万，且cos2 A-cos2 B+cos2 C=l+sin AsinC,则 AABC的最大边长为()A.2 B.3 C.上 D.2 G【答案】B【分析】化简得到sin?A-sin。B+sin2 C+sin Asin C=0,根据正弦定理得到a2+c2-b2+ac=O,根据余弦定理得到4=1 2 0 ,再计算得到答案.【详解】A4BC的外接圆的面积为乃夫2
24、=3兀：卡=下)cos2 A cos2 B+cos2 C=1 +sin AsinC则 1 sin2 A 1 +sin2 B+l sin2 C=1+sin AsinCsin2 A-sin2 B+sin2 C+sin AsinC=(),根据正弦定理：a2+c2-h2+ac=0根据余弦定理：a2+c2-b2=2accos B=-a c cosB=-Z.B=1202故b 为最长边:b=2RsinB=3故选8【例 3】在AABC中，a,b,c分别为A,B,C的对边，。为A4?C的外心，AB+BC=-A C ,3sin C(cos-V3)+cos C sin A=0,A O =xAB+yAC,x,y e
25、R,贝 ljx-y =A.-2 B.2 C.5/3 D.-6【答案】A【分析】由AB+BC=2 叵 A C,利用正弦定理得到+a=毡 ,再由3 3sin C(cos A-/3)+cos C sin A=0,运用三角函数的和角公式和正弦定理得到b=J3c,进而得到a=c,然后利用余弦定理，求得角B,A,C,再由m=x而 +y/的两边点 乘 而，/，运用平面向量数量积的定义和性质，得到x,y 的方程组求解.【详解】因为43+3。=空4(?,所以。+。=冬区b，又因为3 3sin C(cos A-G)+cos C sin A=0,所以$出。：0$4+(：00。5山4=6111。，所以 sin(C+A
26、)=g s in C ,所以 sinB=5/sinC,即b=y/3c,所以”=c,所以 cos 8=+d=三+一=_L,所以 8=120,A=C=30,lac 2c2 2如图所示:O由正弦定理得:R=A O=-2 sin C因 为 祝 x 而+y 宿 则 对 福=词+丫 福.蓝，所以#=xc2+冬后,即2 x+3 y =l,则 荷.前=而.部+y 部 2,所以丁2 =5 0 2 +)，3 c 2,即x +2 y =l,X =-I,y =l,x-y =-2.故选：A.【题型九】内切圆 例 1/_ _ _ _ AB AC。为AABC所在平面上动点，点尸满足。尸=04+4 尸=+，之曰。,”)，则射
27、线AP过UA 5I A C)AABC 的A.夕 卜 心 B.内心 C.重心 D.垂心【答案】B【分析】将 丽=如4 篇*篇 卜 形 为 而=”+备)因为 器 和 需 的 模 长都是1,根据平行四边形法则可得，过三角形的内心.【详解】.OP=OA+A(-+-:.0 P-0 A =AP=A 芦+岩 AB AC)(J 同|AC|JADAfi AC,因为瑞和 驾 分别是通 和 正 的单位向量所 以 空+a是以 器 和 a为邻边AB|AC|AB AC IAB|AC|的平行四边形的角平分线对应的向量所以 用 的 方向与 AC的角平分线重合即射线AP过M B C 的内心故选B【例 2】已知 ABC的内角A
28、8,C 所对的边分别为a,c 若。s in g C =a s in B,且仆ABC内切圆面积为9万，则a ABC面积的最小值为()A.6 B.373 C.9 6 D.2 7 b【答案】D【分析】根据已知条件及正弦定理可得A=g7 T,由内切圆的面积可得内切圆半径r=3,最后根据S“BC=小)=；A sinA 及余弦定理,并结合基本不等式求儿的范围，进而求 ABC面积的最小值.【详解】由题设，sin 3sin ：,=sin Asin B,而 sinBwO 目.0 =-。，2 2 2 2cos =siniA =2sincos,0 ,则sin4=，2 2 2 2 2 2 2，A=。，由题设 ABC内
29、切圆半径r=3,又二 ；/)=；6csinA,2A/3(6 Z+/?+be 即A N 6 G 痴，可得从2 1 0 8,当且仅当a=c=6 G 时等号成立.S,Mc=1csin A 27V3.故选：D【例 3】已知AA8C内接于半径为2 的。O,内角A,B,C 的角平分线分别与0 O 相交于 ,E,FARC三点，若 AD-cos I-BE-cos I-CF-cos =A(sin A+sin 8+sin C),2 2 2则4=A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【分析】A R分别求得 cos万=2(sin C+sin B)、BE-cos万=2(sin 4+sinC)、CF cosy=2(si
30、n A+sinB),结合已知条件，求得义的值.AD A-=4 A【详解】连接8。，在三角 形 丽 中，由正弦定理得4 1 8 +4，故4 sin4cos 2=4sin=in 纥。sC +cs 纥 in 9 fc s 纥。sC +s i d s i(2 2 22人 2 2 2 2)=2fsin2-+cos2LinB+2|sin2-+cos22 J I 2ysin C=2(sinB+sin C).D同理可得 BE-coSm=2(sinA+sinC)、CF-cosy=2(sin A+sin B),故AD-cos +BE-cos i-CF-cos =4(sin A+sin B+sin C),2 2 2
31、故选D.故几=4.【题型十】重心与垂心【例 1】已知 AABC 的内角 A,B,C 的对边分别为a，b,c,且 acosB+J?asin8=c+1,b=,点G 是AABC的重心，且 AG=，则AABC的面积为()3A.正 B.G C.3 D.262【答案】B【详解】分析：有正弦定理可得 sin A cos B+A/3 sin A sin B=sin C+sin 8,则 sin A=cos A+l,由此可得cos A=L,sinA=,由AG=叵可得AZ)=叵，由余弦定理可得c,则AABC的2 2 3 2面积可求.详解：由题acos5+JJasinb=c+l=c+b,根据lE弦定理可得则sin A
32、 cos B+V3sin Asin B=sin(A+B)+sin B=sin A cos 8+sin B cos A+sin BV3 sin A=cos A+1,/sin2 A+cos2 A=1A .人 6cos A=,sin A=2 2b 1 M i AG=-AO=-,vcos AADB=-cosZADC,3 22c2 -a2=cos A=22bc=hcsin A=73.2【例 2】JI _ _ _右。是 ABC垂心，=Ksin BcosCAB+sinCcosBAC=2/nsin Bsin C AO，则?二o（）A.；B.3 C.D.B2 2 3 6【答案】D【分析】利用垂心的性质，连接CO
33、并延长交AB于。，得到C D _LA B,把已知条件中的式子化简，得至1 哗 荏+半 空/=2 机.（亚+而），再两边同乘以 荏，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到cos C+c o s 8=鬲 sin B,再把8 S C 化为cos（著-3）,整理后得到m 值.【详解】在 AA8C中，sinB sinC w O,由$也3：0$。43+$皿。85 8入。=2机$出60抽。4。，得 您 而+您 0 正=2%.正，连接CO并延长交A 8于。，因为。是AABC的垂心，所sine sin B以 C A 3,AO=AD+D d，所以cos C +cos BsinC sin B近=2 z（而+丽）同乘
34、以而得,A B.A B+AC-AB=2m(AD+D dYABsin C sin B、)COS C、COS B.,c =r.-c+-PC cos A=2m AD AB=2m 匕 cos A csin C sin B因为A=f，所 以 g02+您 0 儿 走=百，也c 由正弦定理可得6 sin C sin 3 2cos Csin C+cos Bsin C=百msin BsinC乂 sin C H O,所以有 cosC+包 cos8=J5，-s in 8,而 C=万-A-B=色一 8,2 6所以 cos C=cosf-51=-cosB+sinB,所以得至Ijsin 8=Gmsin 8,I 6 J 2
35、 2 2而sin B w O,所以得到加=走，故选：D.6【例 3】一 A B A C已知点尸是A A B C 所在平面内一点，且满足”=而-+|=j _-)(w&,则直线A P必经过A A B C 的A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心河北省衡水市桃城区第十四中学20 1 9-20 20 学年高一下学期第二次综合测试数学试题【答案】D【解析】两边同乘以向 量 起，利用向量的数量积运算可求 得 丽.比=0 从而得到结论.(_ _ _ _ _ _、_ A n A r【详解】丽=4 ,(2e R)|AB|c o sB|AC|COSC两边同乘以向 量 能，得.而，夜 即点P在 B C 边的高线上，
36、所以P的轨迹过 A B C 的垂心，故选D.【题型十一】图形：中线与角平分线【例 1】在AABC中，A8 =2,E分别是边48,A C 的中点，8 与 B E 交于点。，若O C =&OB ,则AABC面积的最大值为()A.6 B.3 6 C.6 百 D.9/)【答案】C【分析】设O E =f(f 0),由三角形中的中位线的性质和比例的性质可得出-2,1OB=Z,OD=8,O C=2 ,再设N A B O =a,根据余弦定理得c o sa=，再得出_ 4tsin a=JT4+1 4/T ,由三角形的面枳公式表示“IBC的面枳，根据二次函数的最值可得4t选项.【详解】因为D,E 分别是边AB,A
37、 C 的中点，所以DEBC,DE=!BC,所 以 跳=丝=1，2 BO C O 2又 OC=6OB,设。E =f(f 0),则。8 =21,0。=,。=2疯，乂因为 A B =2,所以 0 8 =1,设N A B 0 =a,所以在AOBO中，/a -心+0 B 帅一+、网-J 书 ,所以2 B D B O 2x 1 x 2/4/所以S“BC=2x5 =2 g 2 3 r sin a =gJ-f4+1 4/-1 ,当产=7 时，AABC面枳取得最大值，故选：C.2XBC【例 2】已知AA8C中，角A，8,C的对边分别为a,4c,M 是 3c的中点，AM =c-b,a =4,则AA5C面积的最大值
38、为()A.B.2A/3 C.3g D.47 3【答案】B【分析】设4 4 C =根据AABC的余弦定理可得c o s。关于瓦c 的关系式,再根据AABM,AACM中的余弦定理可求得力,c 的关系式,进而化简得到sin。关于仇c 的关系式，再表达出AABC面积的公式，化筒求解最大值即可.【详解】设Z B A C =8：在AABC中有余弦定理c o s。=十 厂-422b c在 ABM m ACM 中，因为 N AA +N AM C=4,N 22+(C-/?)2-C2 22+(c-b 2-b2故c o sZ AM B+c o sZ A MC=0.即-7一/+-,二.、=0.2-2(c-b)2-2(
39、c-f e)化简可得+/=4 加,一 8.故c o s6 =A 2+C r 2-44 2 j2 A 12.故2h c h es i n*庐 嬴 K1节巴,故 S.A BC =g加卜(气1 J(b c)2-(次-1 2)2=与-J-(=C)2+1 6(A)-48 .设t=b c 0.则S*BC=-+1 6-48 =与 卜.4)2+1 6，当f =4 时取得AABC面积的最大值为2也.故选：B【例 3】在中，直角C 的平分线的长为1,则斜边长的最小值是A.2 B.y/2 C.2&D.4【答案】A【分析】设角4 B 所 对 的边分别为6,利用三角形面积相等可得1 a b=,(a +b)，利用基本不等
40、式可 得 再 利 用 基 本 不 等 式 可 得 V a 2+炉？2 2,从而可得结果.【详解】设角4 B 所对的边分别为,方，角C 的平分线为以，则CD=1,SACD=I x b x sin 45 =b,SB C D=j x a x sin 45 =ja SABC=又SRABC SCD+SBCD 则g a b=乎(a +b)，则Q+b =y2a b 2V a b，则 前 2 a，当且仅当=b =也时取等号.则斜边长为，c P +方 J2a b 2，则当且仅当a =b =也 时，斜边长取得最小值2.故选A.【例 4】在A A B C 中，B=1,M为 A C 边上的一点，且B M =2,若B
41、M为N A B C 的角平分线，则告一言3AM CM的取值范围为A.（-今 B.（一 今 网C-二向 D.（-1,V 3【答案】A先根据正弦定理用角A,C表示心，2，再根据三角形内角关系化基本三角函数形状，最后A M C M根据正弦函数性质得结果.【详解】因为8=3,8M为乙48 c的角平分线，所以N 4 B M =4 C B M =&5 6在W，瞿=缶，因为B M=2,所以亮=翳=2 s i M在4 c B M中，黑二，因为B M=2,所以高=|=2sin C,所以言=sin C,则 总 一 击=2sin A-sin C=2sin A-sin 管-A）=j s i n?l y c o s/1
42、 =V 3 s i n（4 ：）,因为0 V 4?,所以一?4 -g V3 o o L所以g s i n（A ）1,则4 立（+/，），即小4 友，2 c 3乂由a+8 c,所以?的取值范围是（1,竿.故选：C.【例2】ABC内接于半径为2 的圆，三个内角A,B,C 的平分线延长后分别交此圆于A,用，G.ABCAA.cos +BB.cos +CC,cos g，+d则 不 2 2 2 的值为.sin A+sin 8+sinC【答案】4【分析】连 即，由正弦定理得44,=2心 而 仅+务 利用三角形内角和性质得AA=4cosA R进而利用积化和差公式、诱导公式得AAcos；=2(sinC+sinB
43、),同理求881cos1、C C,c o sy,即可求值.【详解】3 r A rI a 4 D,(D A)4.(A+B +C B C A .(B C xdj BA，则 AA=2Rsin 1 8+I =4sin I.-P I =4cosI I,A(B C A(A+B C A+C 8、/.、.AA cos =4 cos I -I cos =21 cos-+cos-J=2(sin C+sin 3),R C同理可得：BB】cos =2(sin A+sin C),CCX cosy=2(sin 4+sin B).ARCAA cos +BB cos+CC cos y =4(sin A+sin B+sin C
44、),即ABCAA,cos+33 cos +CC cos-4sin A+sinB+sinCAC l故答案为：4【例 3】.已知AABC的 三 条 边c满足。=2,双=4,分别以边“，c为一边向外作正方形抽 印，BCG”.如图G，G分别为两个正方形的中心（其中G，G，B三点不共线），则当|G G|的A.y/2 B.G C.2D.V5【答案】A【分析】用余弦定理把|G G=,令把|G G 变8 C,=也 ，ZC1BA=ZC,BC=-.2 2 4形为2，+2+26不，看成关于/的函数，用导数的观点解决最值问题即可.IC,C212=IBC,|2+1BC,|2-21BC,1 1 BC21 cos z q
45、BC2=1 (a2+c2)-4 cos(y+ZABC)+c2)+4sin ZABC设/=则由基本不等式，可知f 2；a c-l =l (当且仅当 =c时取等号).|C,C2|2=2 1+2+4=2 r +2 +2 j 4-产，设/(f)=2 f +2 +2-”(f 2 1),则以 t)=2+2-2：厂瓷 彳T)令/(f)=0fU21，解得f =G，.一 立 时，/单调递增；”立 时，r )/8,口 c 八.八 二、1 八 门 百 、w 一 n 冗 八 c o s 3 c o s C s in A s in B即(2 s in 3-6)=0,解得 s in B=，由锐角二角形知 B 7、Q -+
46、-=,23 b c 3s in Ca*2+c2-h2 c r+b2-c2 a 2a2 a/.-+-=r=-,即-=，得 b =2 B2a b e 2a b c 2/3c 2a b e 2 6 cc o s B=t l +C h -a 2=1 -A,当且仅当a =C 时等号成立，解得 a c W 1 2,2a c 2a c a cS.3C=；c s in 3 K Jx 1 2 x=3，当且仅当。=c时等号成立，故选：C2.已知锐角 A BC的内角4 8,C所对的边分别为a,/?,c，且b =2,1 7 s in 8(a c o s C +c c o s A)=Sb ,ABC的面积为2,则A4?C
47、的周长为()A.6 B.8 C.10 D.122020届福建省莆田市高一下学期第二次检测数学试题【答案】B【分析】利用正弦定理将条件中的边化成角的关系，从而求得sinB 的值，再利用三角形的面积公式和余弦定理可求得b+c 的值，即可得答案；【详解】由已知可得 17sin B(acosC+ccos A)-Sb,由正弦定理可得 17sin 8sin(4+C)=8sin 8.o 8,/B e (0,7 t sin B H0,sin(A+C)=；sin B=sin乃 一(A+C)=sin(A+C)=.:角 B 为锐角,cos B 0,cos B=Vl-sin2 B=sin A可得 BC2sinA+4c
48、osA=5,BC sin A+4cos A=Jb C +16 sin(A+a)=5,则VfiC+16=-5,sin(A+a)解得：B C 3,即边BC的最小值 为 后.故选：C.4.已知A45C 中，sinA,sinB,sinC成等比数列，则 二 当 J的取值范围是sinn+cosnA.上当 B.，乎 C.(-1,72 D.(0,子【答案】B【详解】,1,5 r t.n.2 c .,un 1 rt+/C IC 2,C IC C L C 1ill 已知可知 sm B=sin A sinC 即 b=ac cos B=-=-=,Zac lac lac 2即 0 B?,sinB+cos8=0 s in
49、(8+7 w(l,&,原式等于 2sinB csB=（sin2+8 s 8 y-l ,设f=sin3+cosBsin B+cosB sin B+cos B即原式等 于 一 =（l r w ,函数是增函数，%=1时，函数等于0,“及 时,函数等 于 乎，所以原式的取值范围是（0，）,故选B.5.设锐角A4?C的三个内角A.B.C 的对边分别为a./j.c,且c=l,A=2 C,则A43C周长的取值范围为（）A.（0,2+拘 B.（0,3+73 C.（2+百 3+石）D.2+&,3+两云南省昆明市第八中学2020-2021学年高一特色班下学期第一次月考数学试题【答案】C由锐角三角形求得30。（?4
50、5。，由正弦定理可 得 仁=-=$=-7：,求出。，b 关于sin A sin B sinC smCcosC的函数，根据余弦函数的性质，可求得范围.【详解】：AABC为锐角三角形，且 A+5+C=，八 A 10 A 27 T0 2 C -20 C -40 B -=27 T07r-C-2C27i n C 6 30 C -20 C -2 一 c 所以 b1-26ccos A=be b-2ccos A=c sin B-2sinCcos A=sin C,sin(A+C)2sin Ccos A=sin C,sin(A C)=sinC/.A C=C,A=2C因此1-+3sinA=1 +3sinA=C+3s