《立体几何大题证明：平行归类2021-2022学年高一下学期题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何大题证明：平行归类2021-2022学年高一下学期题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)（解析版）.pdf（53页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题0 9 立体几何大题证明：平行归类目录一、热点题型归纳.1【题型一】“平移法”（平行四边形）证明线面平行.1【题型二】“拉缩法”（中位线）证明线面平行.6【题型三】构造平面法证明线面平行.1 0【题型四】线面平行探索性.1 3【题型五】面面平行.1 8【题型六】面面平行探索性.22【题型七】线面平行应用：虚做交线.27【题型八】平行综合应用.3 1【题型九】翻折与平行.3 4二、最新模考题组练.3 8备注：平行专练，大题只分析训练对应“平行”这一问拉点散型归佃【题型一】“平移法”（平行四边形）证明线面平行基本规律1 .利用平移法做出平行四边形2.利用中位线做出平行四边形【例 1】如图，圆锥
2、的顶点为P,底面圆心为。，点 B、C、O在底面圆周上，OD/BC,08 =3,PO =B C =4,M为线段。上一点，O M =2 MD,A为 P C 的中点.证明：A/平面P O 8；（2）求四棱锥A-O 8 C A 7 的体积.湖南省长沙市长郡中学20 21-20 22学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）证明见解析 26【解析】【分析】（1）取 的 中 点 T,连接O T,TA,利用三角形中位线定理结合已知条件可得四边形O M 4 T为平行四边形，从而得A m”，进而利用线面平行的判定理可得结论，(2)取 BC的中点E,连接OE,O C,由O3=O C=3可得OE_LBC,OE=，则可
3、求出梯形OBCM的面枳，从而可求出四棱键A-OBCM的体积(1)如图，由 已 知 得=：2。=2.取 B P的中点T,连接。7,TA,因 为 A为 PC 中点，所以7?18C,TA=-BC=2.2因为O D BC,所以窃 。用，TA=OM.所以四边形OMA7为平行四边形，所以A M 07,因为O T u平面POB,AMU平面PO3,所以AM 平面POB.(2)因为4 为 PC 的中点，所以A 到平面。8cM 的距离为：PO=2.2取 BC的中点E,连接OE,OC.由 O3=OC=3得 O ELBC,OE=y/OB2-B E2=45-由。河 8 c 得四边形OBCM为梯形，故 时 H28cM =
4、gx(4+2)x 百=3百所以四棱锥A OBCM的体积匕“BCW=gxS林形=【例 2】如图所示，在四棱锥P-ABCZ)中，BC 平面=E 是 PO的中点.(1)求证：AW/平面PBC(2)求证：CE平面必艮江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】(I)由线面平行的性质可证得AL B C,进而证得AD 平面PBC；(2)取R 4中点F,先证四边形BCEF为平行四边形，进而证得CE 叱，即可证得CE 平面 以B.(1)因为BC 平面PAD,8 C u平面A 3 C O,平面抬。0平面ABCD=A，所以AZ)BC,又
5、8 C u平面28C,AOfz平面28 C,则AO 平面P8C；取 修 中点 F,连接 易得 E F A O,且 E/=g A。，由(1)知 A。/8 c 且 BC=；AO,则E/BC P.E尸=8 C,则四边形BCE尸为平行四边形，则CE 所，又8 F u平面P4B,C E/13由余弦定埋 8 s/PAF=-=-.sinzf PAF -2x5x713 13 13S=X5XA/F3X3713 _ 15设点8 到平面APF的距离为,*,i-ABP B-AP F 即 3 G =Xt/X S3.,d=-3 5【例 4】已知如图，在直三棱柱中，AA B C是边长为2 的正三角形，点 E,F分别是棱C
6、C,网 上的点，点M 是 AC上一动点，EC=4,FB=2.若 M 为线段AC的中点，证明：B M 平面A E F；(2)若 A-BCEF 2匕，求 A M 的长度.重庆市三峡名校联盟20 21-20 22学年高一下学期5月联考数学试题【答案】(1)证明见解析3(2)A M=1【解析】【分析】(1)取 AE 的中点G,连接G/W ,F G,先推出四边形GM8F为平行四边形，得到&W G F,再根据线面平行的判定定理可得平面A EF-.(2)根据等体积法和三角形面积公式可求出结果.(1)取 AE 的中点G,连接G M,FG,则 G M E C 且GM=：EC,又:BF/EC艮BF=LEC,：.G
7、 M B F E L G M =BF,2四边形G MBF为平行四边形，J.B M H G F,乂；平面A EF,6/i3)x4+2 x lx 4 x 6=64+8713【例3】如图，已知长方体A B C D-A B C n中，D4=DC=1,A A=2,点E是。的中点.(1)求证：A R /平面E B D ；(2)求点E到平面8。口 的距离.重庆市二0三中学校2021-2022学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】(1)证明见解析.立.4【解析】【分析】(I)连接ACnBO=。，再连E。，证明E O/A R,利用线面平行的判定推理作答.(2)根据给定条件，利用等体积法求出点E到 平 面 的
8、距 离 作 答.(1)长方体ABCO-ABIG Q 中，连接A C n 3 D =0,连 E。，如图,则。是A C 的中点，而E是RC的中点，于是得E。A A，E O u平面 5。，A A (z 平面 8。，所以A R/平面E&z(2)在长方体A BCO-A BCQ 中，DA=D C =,A4 1=2,OR,平面 A 8Cm 8。u 平面 A 8c D,则。，8。，5 通瓯=0 ,E 为 CD,中 点,SD D 1=1 SC D M=CDDD,=1,又 平面 CO G，设点E到平面8 叫的距离为儿 由 叭 皿=噎*得，|sB D D i/=；S BC,即 国=；,解得=包，4所以点E到平面BC
9、R的距离是 也.4【例 4】如图，在几何体A B C Q E F 中，四边形A B C O 为平行四边形，G为尸C的中点，平面AB F E C 平面 CDEF=EF 证明:AF/平面3 O G(2)证明:AB E F江苏省无锡外国语学校2020-2021学年高一下学期3 月第一次月考数学试题【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)连接A C交 8。于 O,连接0G.利用三角形的中位线定理，再利用线面平行的判定定理即可证明AF/平面BDG-.(2)利用线面平行的性质定理即可证明出AB/EF.(1)连接A C交B D于 0,连接0G.EF因为四边形48CD为平行四边形，所
10、以AC、8。互相平分.又 G 为 FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以AF/OG.因为OG u 面BDG.AF u 面BDG.所以AF/平面BDG.(2)因为四边形A8CO为平行四边形，所以A8CD因为 CD u 面 CEF.AB-8 的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)叵13【分析】(1)作出辅助线，利用中位线证明线线平行，进而证明线面平行；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量解决二面角.(1)取 8 的 中 点 连 接EM,BM,由已知得，BCD为等边三角形，,B M 1 CD.V AD=AB=2,BD=25/3.A Z A D B =Z A B D =30,ZADC=9
11、0,A B M /AD.又；B M z 平面 PAD,A D u平面 PAD,：.B M 平面 PAD.为 PC的中点，M 为 CO的中点，何尸D又E M,：.NFA.ABCD,2如图，延长BC至 G,使得C G=A M,连接MG,.AMCG且AM=CG,；四边形 ACGM是平行四边形，：.A C=MG=3,又.ME=3,E C=C G=2,.,.MEG的高/?=逐，SBCM=xB Cx/?=-x4x/5=2 y/5.2 2，四面体 N-B C M 的体积 V N B C M=-xS x/VF=1 x 2 x2=.3“BCM 3 3【例 3】如图，AOBC且 AD=2BC,ADJ_C,EGHA
12、D 且 E G =A D ,C D i IF G 且 C D =2 F G,OG_L平面A8CD,DA=D C =D G,若 M 为CF的中点，N 为 EG的中点，求证：M N 平面CDE.GA【答案】证明见解析【解析】【分析】取”是0G的中点，连接N”，M H,证明N“，例”都与平面C D E平行，得面面平行，从而再得线面平行.【详解】证明：设 是OG的中点，连接N”，MH,由于M是C尸的中点，所以由于平面CDE,C Z)u平面CDE,所 以 平 面CDE.由于N是E G的中点，所以NH DE,由 于 由 于 平 面C D E,力E u平面CDE,所以N 平面CDE.由于 N H n M H
13、=H,NH,M H u 平面 M N H ,所以平面M N H平面CDE,由于M N u平面M N H,所以M N平面CDE.【例4】在三棱锥。一他。中，。，E,F,分别是线段A C,AD,8。的中点，G是0 C中点.求证：F G 平面B0E.D河北省唐山市滦南县第一中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题【答案】证明见解析【解析】【分析】通过构造面面平行的方法来证得FG平面BOE.【详解】取 BC中点H,连 G4,FH,VO,E,F,”分别是 AC,AD,BD,8 c 中点，OE/CD,F H U C D,OE/FH,：O E u 平面 BOE,F H z 平面 BOE,：.平面 B
14、OE,V G,”分别是0C,8C 的中点，GH/OB,OB u 平面 BOE,G H z 平面 BOE,，平面 BOE,:F H C G H =H ,平面 FGH,6”,求：正四棱锥S-A B C D 的表面积；(2)侧棱S C 上是否存在一点E,使得3 E 平面PAC.若存在，求 劣 的 值；若不存在，试EC说明理由.河南省鹤壁市浚县浚县第一中学2 0 2 1-2 0 2 2 学年高一下学期4月月考数学试题【答案】2+2;(2)在侧棱S C 上存在一点E,使 8 E 平面PAC,满 足 养=2.EC【解析】【分析】(1)根据棱锥的表面积的计算公式即可求出结果；(2)分析可得在侧棱S C 上存
15、在一点E,使 B E 平面.P A C ,满 足 义=2 .证得平面BEQ/EC平面P A C ,根据面面平行的性质定理即可证出结论.(1),正四棱锥S-4 3C D 中，SA=SB=SC=SD=2,AB=6，侧面的高=,2 2-(干)2=，正四棱锥S-AB8的表面积S =4 x x 夜 x恒+0 x 夜=24+2.2 2(2)在侧棱S C 上存在一点E,使 B E 平面PAC,满 足 詈=2.EC理由如下：取 SO中点为Q,因为SP=3 P O,则 PQ=PO,过。作PC 的平行线交SC于 E,连接BQ,BE.在8 0。中，有 BQ/PO,.POu平面PAC,3。0 平面 4。，8。/平面尸
16、4。，由3-S-Q-=2n -S-E-=-S-Q-=2.QP EC QP又由于Q E/PC,P C u 平面PAC,QE,fH/C。，故 F H U O E、n O B U G H ,而 F H a 面 BOE,OEu 面 8。,则 F H/面 5OE,又GHU 面BOE,0 8 u 面B O E,则 G /面3OE,由 切 AGH=，则面FG”/面 BOE,所以，存在H 为BC中点，使面FG H/面 80E；(2)由(1)知：面 F G H/面 B O E,而 F G u 面 F G H ,则 F G H 面 BOE,所以 VE-BOM=Vw-BO E-F-BOE 彳 E-BOD=匕-B O
17、 D =g D-ABC)Z4o在正三棱锥 Q-ABC 中，DA=4,AB=6,即。3=OC=4,BC=AC=6,所以OD_LAC,O8_LAC,O D c O B =O,则 4。_ 1面30。，ACu面 ABC,所以面M C L 面 B O D,故三棱锥-45C 的体高即为 BO底边。3 上的高小而O B =3/,又底面A 8 C 为等边三角形，则。在底面的投影为底面中心在OB上且到各顶点距离，即外接圆半径r =|0 B =2 g,所以=J 1 6-1 2=2,又L c =g x 6 x 6 x s i n 6(T =9 百,所以 VE BOW=X h S ABC=3.【题型五】面面平行基本规
18、律面面平行的核心思维是“线面平行”。【例 1】在正方体ABCO-A8CR中，E、F分别是棱B 四和棱CG的中点.求证：平面B Q F 平面A C E；(2)试问平面B Q F截正方体所得的截面是什么图形？并说明理由.广东省广州市仲元中学2 0 2 1-2 0 2 2 学年高一下学期期中数学试题【答案】详见解析；(2)详见解析.【解析】【分析】(1)易证B/C E,得到8 7 平面A E C,连接8。交 AC于点O,连接0 E,则/0 E,从而8Q平面A E C ,再利用面面垂直的判定定理证明；(2)由(1)平面。尸 平面ACE,利用面面平行的性质得到4 G A E,再结合正方体的性质和平行四边
19、形的定义判断.(1)证明：如图所示：B因为E,尸为中点，贝 IJ4ECF,BtE=CF,所以四边形与ECF是平行四边形，则 B/C E,又平面AEC,C E u平面AEC,所以用F 平面AEC,连接8 0 交 AC于点0,连接。E,则4。/施，且耳平面4EC,O Eu平面AEC,所以用。/平面AEC,又B、D c B、F=4，所以平面B.DFH平面A C E；(2)由(1)知：平面3QF平面ACE,且平面 B Q Fc AABg=B Q,平面 AECI 平面 A A 8g=A E,所以4 G/A E,又A E U D F ,所以4G 0 F,又 G D U C E,则 GQ/B|F,所以四边形
20、及G。尸是平行四边形，又 DF=DG,故平面B Q F截正方体所得的截面是菱形B.GDF,【例 2】如图，在正方体A 8 8-A B G 2 中，E,F,H,G 分别是棱A B，A力，C D，BC的中点.求证：平面AEF平面”GBD.新疆乌苏市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题【答案】证明见解析【解析】【分析】利用中位线定理证明所 G,得到G 平面A E F,连接AC交 即 于。，连接 A C交E F 于M,交G H 于N,交B D 于O,则可证四边形AONM是平行四边形，得到A M/O N,于是O N/平面A E F,最后得到平面AF平面BGHD【详解】连接见7,IIC
21、D因为E,F,G ,H分别是棱W夕，A f f ,B C,C。的中点，所以 F 8 。，HGU B D,所以 EF/HG,又 E F u 平面A E F,GN平面AEF,所以HG平面A E F,连接A C n B O =O,连接用 C交 E 尸于M，交G H 于 N ,交片。于O,则 A M =C N =1 A O ,所以MN=1AC,又 AO=AC,AC=A C,AC/A C,2 2 2所以四边形AONM是平行四边形，所以A M/O N,又AMu平面A E 产，次 工 平面尸，所以O N 平面A E F,又ONu平面H G u 平面BGHD,H G c ON=N,所以平面A E F/平面【例
22、 3】如图，长方体A B C。-A3GA的底面是边长为4的正方形，高为2,E,G 分别是 B C,C ),C G 的中点.(1)求三棱锥C-EFG的体积；(2)求证：平面E F G H平面A 8 Q .宁夏吴忠市吴忠中学2 0 2 1-2 0 2 2 学年高一下学期期中考试数学试题【答案】：(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用体积.E F C=%W ，由棱锥体积公式可求得结果；(2)根据三角形中位线性质和线面平行判定可证得E F 平面A 4 ，同理可得E G/平面A B R ,由面面平行的判定可证得结论.(1);S CEF=L C E.C F =L*2 x2 =2 ,G C _ L 平面
23、 A B C。，1 1 2 YJEFG%-CEF=3SCEF*G C=-x2x l =.(2)连接8 D,B G，E,F 分别为 BC,CD 中点，E F U B D,BB、DD,BBt=D Dt,：.四边形 B D D e为平行四边形，BDi/BQ、,EF/BR,又耳Ru平面A B Q,平面A 8 Q,平面4BQ；同理可得：E G 平面A 8 Q,又 EGfEF=E,E G,E F u 平面 E F G,.,.平面 耳 G 平面 4 B Q.【例 4】已知正方体A B C D-A/B/C/D,0/为底面A/B/G。/的中心.求证：(1)平面 平面 C/BD；(2)求直线。/与 84所成角.湖
24、南省长沙市明德中学20 21-20 22学年高一下学期期中数学试题【答案】(1)证明见解析呜【解析】【分析】(1)在正方体A B C D-A4GQ中，分别证明BDU平面G B D ,/平面G B O ,由面面平行的判定定理可证.(2)异面直线求夹角，将异面直线转换到同一平面内，进行求解.(1)证：在正方体A B CQ-AAG。中，DDL，且DD,=BBi，所以四边形BQQ4为平行四边形，则同理A R B G.B D u 平面C】BD,44a平面G 8。；所以8 Q/平面G B D.同理4。/平面GBD,且 8QcAR=A，所以平面A B Q 平面G B O.(2)ADJ/QB,A N Q B
25、A是直线A与8A所成角，:BA=AG=BC,71 =,直线。与BA所成角为【题型六】面面平行探索性基本规律找面的经验：任何一对互相平行平面，和第三个平面相交，交线互相平行【例1】如图，在四棱柱ABC。-A B C。中，点M是线段8 Q上的一个动点，E,F分别是8C,C M的中点.(1)设G为 棱 上 的 一 点，问：当G在什么位置时，平面GEF 平面8。耳？(2)设三棱锥C-3D尸的体积为匕，四棱柱的体积为匕，求V2江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】(1)G为C。中点时，平面GEF 平面8。力蜴；【解析】【分析】(1)G为CD中点时，先证即“平面5。百，再
26、证GE 平面8。蜴，即可证得平面GE/，平面(2)由 VJB D F=F-BDC=2 VM-8D C 结合片。甘面 B C D 得-5D C =%-BDC=匕即口J 求得(1)G为。中点时，平面G E F 平面,理由如下：连接BM,取 8 的中点G,连接EG,FG,因为E,尸分别是8 C,C”的中点，则口 8M,历 二 平面8 力。百，8Mu平面8。中,则E F 平面8。蜴，同理可得G E B Q,G E 0平面B D D 耳,B D u 平面B D R B 一则G E 平面又G E c E F =E,G E,E F u 平面GF,则平面G E F 平面8 。耳：(2)由尸是CM的中点得一处=
27、匕5火=；%那比，又B、D、4 BD,8 u 平面8 C。，片已 P；(2)在底面四边形内部(包括边界)是否存在点G,使得平面G E F 平面ADP?如果存在求点G的位置，并求F G 的最大值，如果不存在请说明理由.湖北省问津联合体20 21-20 22学年高一下学期5月质量检测数学试题【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析，F G 的最大值为2【解析】【分析】(1)作出辅助线，证明线线平行，从而得到线面平行：(2)取C。中点为V,连接V F,VE,证明出面面平行，从而得到点G的位置，且求出F G的最大值.(1)证明：取尸。的中点。，连接A O,O E.Q V P C D 中，。,：分
28、别为/。,改?的中点，。后 (72。犬=5。,E、尸分别为 P C、A B 的中点，A F C D A F =C O,.1 A 尸 。,4 尸=。,2故四边形4石。为平行四边形，./。4，.EF 2 平面 PAD,OA u 平面 P A D，EFH 平面 P A D.(2)解：取CD中点为V,连接V F,VE,在APCD中，KE分别为C O,P C 的中点，.江 ),.V E ,P u 平面 P A D,:.VEH 平 面 皿 .因为A B C D 且A B =CD,且 F、V分别为AB、8 的中点，所以，A 尸 V D 且/3 =V D,所以，四边形4 尸 丫。为平行四边形，.“尸 4 ,且
29、 田=4 0 =2,.修 0平面 PAD,A D u 平面 P A D ,:.VFH 平面 P A D.又丫/c V E =V,且VFWEu平面VEF,故平面V E F 平面P A ).所以点G存在，且GeVF,即点G在线段V F 上移动，可使平而G E F 平面A D P,当点G运动到V时，此时F G 的最大值，最大值为2.【例 3】如图，在正方体ABCO-ABCQ中，点 E,F,M分别是棱BC，5 B”G2 的中点.(1)求证：E、M,B、。四点共面；(2)是否存在过点E,M 且 与 平 面 平 行 的 平 面?若 存 在，请作出这个平面并证明，若不存在，请说明理由.广东省广州市海珠外国语
30、实验中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】(1)证明见解析(2)存在，图形见解析，证明见解析【解析】【分析】(1)连接3。、B,D,即可证明四边形B8QO为平行四边形，则8 D/B Q,再由中位线的性质得到M E/4 R,即 可 得 到 从 而 得 证；(2)取G。靠近G 的四等分点P,连接E P、P M，平面EMP即为所求，取 C C 的中点G,连接FG、D f i,连接A G 交EM 于点N,连接N P,即可证明PM A F、C H N P ,从而得证；(1)证明：连接 8 0、B Q,在正方体 ABC。-ABCQ 中，BB./DD,R BB=DD,所以四边形B B R
31、D为平行四边形，所以B D H B R ,又E 是 5 c 的中点，M 是G R 的中点，所以ME/BR,所以BD/ME,所以E、M、B、。四点共面；(2)解：取 靠 近 G 的四等分点P,连接E P、P M,则 平 面 平 面 4 F C,平面即为所求，图形如下所示，证明：取G C 的中点G,连接FG、Dfi,连接A G 交研/于点N,连接NP,依题意可得/G/AR且尸G=A A，所以A尸G R为平行四边形，所以A E/G R又产为G G 的中点，M 为G A 的中点，所以尸M G 2,所以因为尸M u 平面A F C，平面A/C,所以尸M平面AFC,显然N为A G 靠近点G 的四等分点，又
32、笠=笑=:，所以AC NP，因为PN U 平面A F C，A C u 平面A c，/!1 C-j VC.1 4所以PN平面4 F C,又 P N c P M =P,P N,P M u平面 EMP,所以平面E M P H平面AFC；【例 4】如图，在正方体A8CO-ABGR中，E为。的中点.(1)求证：82平面血；(2)C G 上是否存在一点尸，使 得 平 面 丽 平 面 BFR,若存在请说明理由.山西省大同市第二中学校2 0 2 1-2 0 2 2 学年高一下学期期中数学试题【答案】(1)证明见解析；(2)存在，为CG的中点，理由见解析.【解析】【分析】(1)连结 即 交 AC于。，连结EO.
33、由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明；(2)C G 上的中点尸即满足平面血平面BFD,.由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理，可得证明.(1)连结B O 交 4c于。，连结E O.A B C D-Aq GR为正方体，底面A 8 C D 为正方形，二。为BO的中点，.E 为。R的中点，在0 8。中，OE是 的 中 位 线，所以O E 町，又OE u平面A E C,B D、/平 面AEC,：.平面 A E C；(2)C G 上的中点尸即满足平面AEC/平面BFD一为C C,的中点，E为。口的中点，.且CF=ER,四边形C F R E 为平行四边形，DtF/EC
34、,E Cu 平面AEC,。尸平面AEC,：.)尸平面A C：由知BD,平面A C,又.8 A g F=D,，平面A E C 平面8 F R.【题型七】线面平行应用：虚做交线【例 1】如图，正方形A B C。为 圆 柱 的 轴 截 面，E F 是圆柱上异于A ,8 c的母线.(1)请作出平面B O E 与圆。所在平面的交线/,并判断/与平面B E F 的位置关系，要求说明作法及理由；(2)M,N分别是。E,8 F 的中点，证明：平面A 8 E.福建省厦门外国语学校2 0 2 1-2 0 2 2 学年高一下学期期中考试数学试题【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据线面平
35、行的性质确定交线/作图即可；(2)取 E 尸中点G,连接M G,NG,再证明平面MGW平面4 B E 即可(1)交线/如图所示.作法：在平面2D E中过。点作直线/B E,则直线/就是所求作的交线.理由：.圆柱 O。，E F 是母线，：.EFNBC,EF =B C ,平行四边形EFCB,A EB/FC,又,/E3 O 平面 FCD,CF u 平面 FCD,：.EB 平面 FCD.:交 线/=平 面 D e 平面。8E,E8,.过。作直线/E B,则直线/就是所求作的交线.(2)证明：如图，取 E尸中点G,连接MG,NG,：M,G 是 DE,EF 中点，所以 MG/)F,；狼 二 平 面。，O
36、F u 平面OFC,；.MG 平面O F C,二MG 平面A8E,同理可证GN 平面4BE,；MG1 GN=G,MG,G N u 平面 M G N,：.平面 M G N 平面 ABE,又,；M N u平面 MGN,；.MN 平面 ABE【例 2】如图，在直三棱柱4 8 C-A 4 G 中，M 为线段上8片的点.记平面ACAf与平面人蜴和的交线为/,证明：/4 G；(2)在答题卡原图画出交线/并写出作图过程.黑龙江省双鸭山市集贤县2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题【答案】(1)证明见解析；(2)见解析；【解析】【分析】(1)由人口|4 0 可得4 6|平面4 0,再由线面平行的性质
37、即得/|4 6；(2)延长A 片交411 的延长线于E，延长C内 交C M的延长线于尸，直线E F 即为所求,再说明E尸同时在两个平面内即可.(1)易得 ACIIAG，AG=O,连O E,如图，四边形ABC。是正方形，即。是 AC中点，而 M 是矩形ACEF边 尸的中点，则有AO=2AC=LFE=M E,且 AOM E,于是得四边形AOEM为平行四边形，2 2则 A M/O E,又 O E u 平面 BDE,4 0 0 平面 8DE,所以A M/平面8E.(2)IIIm,由(1)知，A平面BDE,又A u 平面45M,平面4W C1平面或 坦=/,因此，/W,A W/平面8DE,乂 A W u
38、平面平面/W M C平面或历二?，因此，m/A M ,所以/%例 4).如图所示，已知点P 是平行四边形A8CO所在平面外一点，M,N,。分别PA,PB,PC的中点，平面尸8CA平面AP=/.证明平面M N Q H平面ABCD-,(2)求证：U/BC.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由线面平行、面面平行的判定即可证明.(2)利用线面平行的性质定理即可证明.(1)证明：因为例，N,。分别R4,PB,PC的中点，所以MN/AB,NQBC,又 平面 A8CD AB,2Cu 平面 ABCD,所 以 平 面/WC),NQ平面A8C。，因为脑VCNQ=N,MMNQu平面 MN
39、Q,所以平面MNQM平面ABCD,(2)证明：因为8CA,A D u平面PAD,8Cn平面P B C =I,B C u平面PBC,所以3 c/.【题型八】平行综合应用【例1】如图，在四棱柱ABCO-ABCI。中，点M是线段耳 及,上的一个动点，E,F分别是BC,C M的中点.求证：E F/平面8。用；(2)设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF/平面B D D 4.福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】证明见解析证明见解析【解析】【分析】(1)如图，连接8 M,证 明 防/A B M,结合线面平行的判定定理即可证明；(2)取C的中点
40、G,连接EG,F G ,推出E G/B D,证明E G/平面，结 合 防 平面8QQ4,证明平面G E F/平面也比4即可;(1)在四棱柱 C D-A S C Q中，连接8 M,如图，,C)DiC!A-B因 尸分别是8C,C M的中点，则有瓦 又M仁平面B D D、4 ,8河U平面BDD,B,所以EF 平面8。四；(2)G是0 c中点，使得平面GEF平面8。线，理由如下：取8 的中点G,连接EG,F G,而E是BC的中点，于是得EG/BD,而 EG C平面 B。4,B D u平面 5。4,从而得E G H平面B D DtBt,由(1)知 F/平面B D DtBt,EFEG=E,且 所、E G
41、u平面GE尸，因此平面GE尸平面3。田，所以当G是O C的中点时，平面GE/平面BDR4,【例2】如图所示，在三棱柱A 8C-A g J中，E、F、G、”分别是A8,A C,4用，A C的(1)G 平面 AEF(2)平面4 E F H平面BCHG.黑龙江省七台河市勃利县高级中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(I)由G”是,8 6的中位线和EF是“ABC的中位线，得到E FG,然后应用线面平行判定定理即可；(2)由(1)知GH 平面A E F,然后证明3G 平面4 E F,再应用面面平行判定定理即可.(1)因为G,分别是A
42、蜴，A G的中点，所以G”是AU G的中位线，则G”|S G，因为E,尸分别是A C的中点，所以EF是AM C的中位线，则E F/3 C,又因为B|G8C,所以E尸G，E F u平面A E F,0 平面4E F所 以 平 面 A EF.(2)由 G,E 分别为A M，AB的中点，/AB.所以AG|EB,A G =E B,所以AEBG是平行四边形，所以 AE|GB.A E u 平面 A EF,BGU平面 AEF所以8G 平面AE/7,乂 BGu平面 8C”G,Gu 平面 BC”G,且 BGnG”=G,所以平面 A/F/平面 8cHG.【例 3】如图，已知四棱锥P-ABC。中，底面ABCZ)为平行
43、四边形，点 M、N、Q 分别是PA.B。、的中点.求证：(1)MV平面 P C D；(2)平面MNQ 平面PBC.广西三新2021-2022学年高一 4 月教学质量测评段考数学试题【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)利用三角形中位线证明MNPC 即可；(2)利用中位线证明N Q/P B,结合(I)中结论即可证明.(1)由题意，四棱锥P-ABCD的底面A5C为平行四边形，点用、N、Q 分别是以、B D、PD的中点，是 AC的中点，.尸C,；P C u 平面 PC。，M?VZ平面 PCD,，MV 平面 P C D；(2)由知MVPC,P C u 平面P3C,M V u
44、平面PBC,平面 PBC,ABC。为平行四边形，是 84 中点，又.。是中点，.在P8Z)中，NQ/PB,平面 P8C,NQZ平面 P8C,.NQ平面尸8C,:MNCNQ=N,M N、NQu 平面 MN。，平面MNQ 平面PBC.【例 4】在正方体ABC。-A B C。中，S是 8 a 的中点，E,F,G 分别是BC,DC,SC的中点，求证：(1)G 平面 A A C；(2)平面EGC平面A R F .湖南省三湘名校教育联盟、五市十校教研教改共同体2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题【答案】(I)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)连 AC,8。交于点。，连 SB,D：
45、O,证明GE。，利用线面平行的判定定理证明即可；(2)证明EG,EC都平行于平面4 9 尸，然后利用面面平行的判定定理证明即可.(1)证明：连 AC,B D 交于点O,连 SB,DiO,.G,分别是SC,BC的中点，GES8,又D.S/BO,DtS=BO,则四边形D.SBO为平行四边形，SB/D,O,:.GE/DtO ,GEz平面RAC,O u 平面RAC,平面 R A C；由题连接OF,AiF,O F 是 A D B C 的中位线，.。尸 BC AR ，.O,F，A，A 四点共面，由(1)可知，EG /D p ,R O u 平面 A A F,EG,如图1,E,尸分别是48,的中点，将AADE
46、沿”:折起,【答案】证明见解析【解析】【分析】先得到EB=F，E B/F D,则四边形E8ED为平行四边形，再由线面平行判定定理证明即可.【详解】因为E,尸分别是AB,CD的中点，所以 8=田又 E B M F D,所 以 四 边 形 为 平 行 四 边 形，所以3尸E,因为。E u 平面ADE，而 8尸a 平面ADE，所以8尸平 面 仞 E.【例 2】如图所示，图（1）中的“ABC中，ZABC=120,A B=B C =2,。是A C的中点，现将ABD沿 3。折起，使点A到达点P 的位置，且满足PC=P D,得到如图（2）所示的三棱锥尸一 B C D,点。、F 分别是棱C D、PO的中点，E
47、、G 分别在棱B。、8 c 上，满足BE=-B D ,B G =-BC.4 4图 图（1）求证：EP平面POG；（2）求直线E F与平面8CO所成角的正弦值.重庆市主城区六校2020-2021学年高一下学期期末联考数学试题【答案】（1）证明见解析 叵7【解析】【分析】（1）构造平行四边形，利用线线平行推线面平行（2）借 助（1）的结论，将问题转化为求与 E户平行的直线与平面8c。所成的角（1）证明：在 AABC中，.ZABC=2Q,AB=BC=2,;.BD=1,AC=2石，QO是 AC的 中 点,AD=C=百,BOJ.4C,P在三棱锥P-8 8 中，取尸O的中点“，连接”.O、/分 别是棱C。
48、、叨 的中点，FHHOD,F”=,连接 GH,EF.2.1 ,1 区 G满足8石=-4。，BG=-B C4 4EG/CD,EG=：CO=；OD,：.EG/FH,EG=FH 四边形 G E 是平行四边形，EFUGH:EF B 平面 POG.u 平面 POGE/平面POG(2)翻折前 3D L A C，翻折后，BD1 AD,BD CD,ADCD D,.8D1,平面 PC),.尸 0=平面尸。).:.RDPO.：PC=PD=CD,0 是中点:.POLCD,CDrBDD.POJ-平面 BCD：.G与平面BCD的所成角为NHG。，.EFUGHE F 与平面3 8 的所成角等于GH与平面BCD的所成角，.
49、HO=-PO =-,G H =EF=DF2+DE2=,2 4 4V21/.sin ZHGO=7【例 3】如 图 1,在直角梯形ABC。中，AB/CD,ABLAD,且 AB=4。=g c。=1 .现以4。为一边向形外作正方形A Q E F,然后沿边AO将正方形ADEF翻折，使平面ADE尸与平面ABC。垂直，M 为 即 的 中点，如图2.(1)求证：AM 平面BEC；(2)求证：8C_L平面8DE.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)利用三角形中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；(2)根据面面垂直的性质定理，结合勾股的逆定理
50、、线面垂直的判定定理进行证明即可【详解】证明：取 EC中点N,连结M N,B N .在DC中，M,N 分别为EREC的中点，所以 M N“CD,B.M N =-CD.2由已知 A8/CD,A B=-C D,所以仞N 7/A B,且 MV=A8,2因此四边形MN8A是平行四边形，所以有BN/AM,又因为8 N u 平面B E C,且平面B E C,所以AM 平面BEC；(2)证明：在正方形A)F 中，ED AD.乂因为平面A D E F，平面A B C D中，且平面A D E F Q平面A B C D =A D ,所以。E_L平面A 8C D,又3 C u 平面ABCQ,所以E)J_BC.在直角