立体几何计算:求体积归类2021-2022学年高一下学期题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)(解析版).pdf

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1、专题1 1立体几何大题计算:求体积归类目录一、热点题型归类.1【题型一】体 积1:常 规 型(直接法).I【题型二】体积2:体积转化(等体积型,夹缝体积型).6【题型三】体积3:多面体型(切割与补形).10【题型四】体积4:异形体积比.15【题型五】体积应用1:点到面的距离.19【题型六】体积应用2:最 值(难点).22【题型七】体积应用3:翻折型.28【题型八】体积综合型.32二、最新模考题组练.36次遂数点致型归他【题型一】体积1:常规型(直接法)【例1】如图,在圆锥PO中,A,B,C为底面圆上的三个点,OC/AB,且PO=3OC=2AB=6,PE=2BE.(1)证明:CE/平面PAO.(

2、2)求四棱锥E-A 5 c o的体积.【答案】(1)证明见解析 辿6【分析】(1)设线段AP上靠近A 的三等分点为F,连接EF,O F,再结合条件证明四边形OCEF为平行四边形,分析求解即可:(2)作OGJ.AB于点G,则G 为A 8的中点,再求出梯形ABCO的面积,由圆锥性质得E 到平面ABCO的距离为gp。,再利用公式求解即可.(1)如图,设线段相 上 靠近A 的三等分点为尸,连接EF,OF.PE PF 2 2因 为 詈=芸=2,所以 APEFSP B A,所以M/AE,WEF=-A B.i D r/J J2因为OC7/AB,且 OC=A 8,所以 E尸 0C,且 F=OC,所以四边形OC

3、EF为平行四边形,所以CE/O F因为CEZ平面P A O,。尸u平面P A O,所以CE平面PAO.(2)_作O GLAB于点G,则G 为AB的中点,所以。G=H=,所以梯形ABCO的面积为乜 刊 x立=迫,2 2 4因为PE=2BE,所以E 到平面ABCO的距离为;PO=2,所以四棱锥E-ABCO的体积为l x 硬x2=3 巨.3 4 6【例 2】已知正三棱柱A B C-A B G 中,AB=2,是 8 c 的中点.求证:4 G 平面AMB;(2)点P是直线A C|上的一点,当AG与平面A 8 C 所成的角的正切值为2 时,求三棱锥P-4MB的体积.【答案】(1)证明见解析 友3【分析】(

4、1)连 接 交 AB于点N ,连接MV,利用中位线的性质可得出M N/AC,再利用线面平行的判定定理可证得结论成立;(2)利用线面角的定义可求得C C,的长,分析可知点尸到 平 面 的 距 离 等 于 点 C 1 到平面MB的距离,可得出=匕-4 M B =C 阳,结合锥体的体积公式可求得结果.(1)证明:连接A B 1 交AB于点N,连接M N,因为四边形例 耳 B为平行四边形,AScA8=N,则N为A 片的中点,因为M 为纥G的中点,则M N U A C、,QAG 平面 AMB,MVu平面 故 AR平面 A M B.(2)解:因为C G _ L 平面A B C,.A C 与平面A 8 C

5、所成的角为NCAG,因为A45C是边长为2 的等边三角形,则AC=2,ccCG,平面 ABC,AC u 平面 ABC,:.CCt A C,IjliJ tan ZCAC,=-=2,A C所以,CCt=2 A C =4,QAG 平面AMB,P e A C,所以,点尸到 平 面 的 距 离 等 于 点 0到 平 面 的 距离,因为M 为BC,的中点,W J5MMC,=1SAW 1=1XX22=BD =O.求证:F G/平面上4B;(2)求三棱锥G-H 化的体积;(3)求证:0 P 与A 6不垂直.【答案】(1)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)连接。尸,0 G,证明。尸平面八记,OG平面R4s

6、后由面面平行的判定定理得证;(2)由体积公式变换七一哂=;%田然后计算可得;(3)假设O P_LAB,由线面垂直的判定定理得线面垂直,然后又得线线垂直,得出矛盾,从而可得结论.(1)证明:如图,连接OF,OG,是 中 点,尸是PD中点,A OF/PB.OF(Z 平 面%3,尸 8 u 平面丛 8,则O F/平面R48.。是A C 中点,G 是 BC中点,:.OG/A B,OGU平面F48,A 8 i平面P 4 B,则OG平面又OGp|OF=。,O G,OFu平面ORJ,二平面OHG平面X 4 B,又FGu平面。FG,则 FG平面R4B.p(2)证明:尸,底面 ABC。,C O u底面 ABC。

7、,:.P D 1 C O,又四边形ABCD为菱形,二C O,3),又如 口。8=。,P D、O B u平面PD8,而 尸为P)的中点,COJ平面 P D 8,且CO=,2(3)证明:假设O PLAB,,底面 A B C D,AB i 底面 A B C D,:.P D Y A B,且O P nO=P,OP,P D u平面PD8,/.A B _L平面 P D B,而 D B u 平面 PD B,则/W_LE8,与4 489=60。矛盾.假设错误,故。尸与A 8不垂直.【例4】在如图所示的几何体中,底面四边形ABEF为等腰梯形,43 所,侧面四边形ABC。是矩形,且平面 A8CZU平面 A8EF,E

8、 F=2A B=4尬.BC=BE=2.D(1)求证:A尸,平面BC E;(2)求三棱锥4 一 CEF的体积.【答案】(1)证明见解析;【分析】(1)取E F的 中 点 为 连 接2 M,证明平面B E C,原题即得证;(2)利用匕一团=%-的计算即得解(I)证明:取E尸的中点为M,连接V AB/M F,:.AF/BM,*;BE =B M=2,E M =2叵、-BE2+B M2=EM2,:.B M 1 BE,因为平面A3CDJ_平面A B E R B C J.,平面ABCOQ平面筋 尸=他,B C u平 面ABCO,所以 BC_L 平面 A8EF,B C BM,-.-BC C BE =B,BC,

9、BE u 平面 BE C,所以 3 M,平面 BE C.AF_L 平面 BEC(2)解:A-C E F=VC-AE F=1 X 1 X 4A/2 X X 2=1【题型二】体积2:体积转化(等体积型,夹缝体积型)(重点)授课时归纳基本变化型1.等体积转化,多为三棱锥2.点转化型:(1)同底等高:平行线转化:(2)同底不等高:比列线段转化;(3)“夹缝型”【例1】如图所示,在正方体A 8 C D-A E G R中,为。中点.aG求证:平面AEC;(2)若正方体棱长为2,求三棱锥R-A E C 的体积.【答案】(1)证明见解析【分析】(1)连接交力C 于。,连接。,即可得到。EB R,从而得证:(2

10、)根据正方体的性质及T E C=匕/4=计算可得;(1)证明:连接8。交 A C T。,连接。所以0 E 是 的 中 位 线,所以 OE/BR,又U 面 A E C,BD 二面 A E C,所以 平面 A E C 解:正方体A 8 C O-A 8 G 2 中,仞 _ 1平面。6。,所 以%rECnVA-AEcMgsADiEC.AOMgxgxAExCDngxJxlxZxZng;【例 2】如图,在棱长为2 的正方体A B C Q-A 4G A 中,设 E 是CG的中点.(1)过点A,C 且与平面BR E平行的平面a 与此正方体的面相交,交线围成一个三角形,在图中画出这个三角形(说明画法,不用说明理

11、由);(2)求四棱锥E-ABCQ的体积.【答案】(1)答案见解析;【分析】(1)根据面面平行的性质作图即可;(2)根据三棱锥的体积比可得匕rg。,=2匕 用 再计算即可.(1)取。的 中 点 连 接 A ,CM,易知“。加 为所作三角形.(2)因为AB/G R且A8=C R ,四边形A B C R 为平行四边形.1 1 4VtF-OAOBCC|DX|.=2tv,-pD C sjZ r =2OVB Z jCn|Cc F=2x3 2x xI ).1C.xC.ExBC=3,4故四棱锥E-ABCQ的体积为1.【例 3】如图,在三棱锥P-A B C 中,h,平面ABC,AABC是直角三角形,AC=BC,

12、PA=AB=6.D,E 分别是棱P8,PC 的中点.(1)证明:平面以CJ_平面ADE.(2)求三棱锥P-ADE的体积.【答案】(1)证明见解析【分析】(I)由题意易知4C,8C,P AY B C,从而可证BCJ平面附C,而由中位线定理可得D E B C,于是EJ 平面B4C,最后由面面垂直的判定定理可证得平面B4C_L平面A D E.(2)由等体积法可知三楂锥P-4DE与三棱锥D-P AE的体枳相等,求出三棱锥P-A D E的体积即可求出答案,(1)证明,因为AM C 是直角三角形,且A C=B C,所以ACLBC.因为PA_L平面A 8 C,同BCu平面ABC,所以PA_LBC.因为AAu

13、平面R IC,ACu平面以C,且PAnAC=A,所以BC_L平面R 1C.因为。,E分别是棱PB,PC的中点,所以。E 8 c.因为BC_L平面用C,所以E_L平面附C.因为D Eu平面AOE,所以平面R4CL平面ADE.(2)解:因为 AB=6,所以 AC=BC=3/L因为2 4,平面ABC,且PA=6,所以三棱锥P ABC的体积V=xx3及x3&x6=18.3 2连 接C Q,因为。是棱PB的中点,所 以 三 棱 锥 的 体 积M=gv=gxl8=9.因为E是棱PC的中点,1 1 9所以三棱锥 A4E的体积匕=彳耳=-x9=.2 2 2因为三棱锥P-A D E与 三 棱 锥 是 同 一 个

14、 三 棱 锥,9所以尸-A Q E的体积为1.【例4】如图,在四棱锥。-4?8中,R 4 J _平面A B C。,四边形A B C。为正方形,点F为线段P C上的点,过A,D,F三点的平面与P B交于点E.(1)证明:E F/平面 A B C D;(2)若E为P B中点,且A fi =A 4 =2,求四棱锥尸-的体积.【答案】(1)证明见解析;1.【分析】(1)利用线面平行的判定证明4)平面P 8 C,再利用线面平行的性质、判定推理作答.(2)利用线面垂直的性质、判定证明 _ L平 面 进 而 证 得 收,平 面 皿 石,再借助锥体体枳公式计算作答.(1)正方形A B C D中,A Q/B C

15、,而B C u平面P B C,A ,而A D u平面A B C。,斯 二平面4 8 c O,所以E F/平面A 8 C D(2)因 P A J平面 A B C。,A D u 平面 A 8 C Z),则 A D _ LB 4,又 A D _ L4 5,ABoP AA,AB,P A(z平面R 4 B,则A D _ L平面R 4 B,P 8,4 E u 平面 P AB,于是得 _ L 4),P B _ L A D ,因 4 5 =R 4 =2 ,E 为 P B 中点,则 P B _ L 故,P E =AE =0,而A E n A O =A,4及4。(=平面4)尸,因此,2 8 1,平面4)/芭,由(

16、1)知 E F BC ,则有 E F =g 8 c=1,梯形 1)F E面积 S =;(E F +A )-A E =孚,所以四棱锥P A E E D的体积V =5尸 =1 述 乂 应=1.3 3 2【题型三】体积3:多面体型(切割与补形)规律:多面体切割,多从表面四边形对角线处“下刀”【例1】如图,在四棱柱A B C。-ABCR中,点M是线段8a上的一个动点,E,F分别是8 C,CM的中点.(1)设G为棱CD上的一点,问:当G在什么位置时,平面GEF 平面8。及?(2)设三棱锥C-B D F的体积为匕,四棱柱A B C D-A g C Q的体积为匕,求%【答案】(1)G为8 中点时,平面GEF

17、 平面瓦仍石:,12【分析】(1)G为CO中点时,先证EF 平面8。用,再证GE 平面8。线,即可证得平面GEF 平面8力2线;(2)由 VC_BD F=VF_BDC=QVM-BDC,结合B R 平面BC。得0 c=V5!-BD C=5匕即可求得(1)V,=V,.1 2 2G为8 中点时,平面GEF 平面B Q R 4,理由如下:连接B M,取 8 的中点G,连接E G,F G,因为E,尸分别是6 C C M的中点,则E尸 B M,EF 0平面8。蜴,B Mu平面B D R B-则EF 平面以独片,同理可得GEBO,GEE/与梯形ABCD,可得AF/QE,A B/CD,因为4FS平面C 0 E

18、,且D Eu平面C D E,所以A尸 平面CDE,又因为A8E,所以平面ABF/平面CDE,因为B Fu平面A3尸,所以35平面CE.(2)解:因为平面ADE/7 J_平面4 8 c o,平面A D E F 0平面A B C D =A D ,且 C)J_A,CDu 平面 ABC。,所以 CO 1平面 AQEF,同理可证OE_ 1 _平面A B C D,连接 CF,故多面体 A B C D E F 的体积 VA BCIXF=VF_A BCD+VCFF=gxS梯 形.8、4尸 +:、5,。&y;.8 =:,FOVBO.,:BF=C F,FO=FO,NFOC=NFOB=90,,:.BFO XCFO,

19、:.BO=CO,由已知NBCD=45。得ABOC为等腰直角三角形,BO LCD,又FO LC D,BO cFO =O,BO、F O u平面BEO,8 _ 平面8/。,又 B F u平面 BFO,:.C D LB F;(2)解:取A 3中点G,连接尸G、O G,由(1)可知,OD=EF=1,又 EFUCD,,四边形O O M为平行四边形,棱柱O F G-D E A为斜棱柱且4B F为此斜棱柱的宜截面,在四棱锥厂一O C 8 G 中,由(1)知,FO.LCD,平面0 G8 C,V fi而体F-C=G棱柱OFG-0EA+%|极锥F-OCTG=/HFO E F +S 四边形 ;F1 1 5I=2 3

20、6=x l x l x l +-x 2 x x l x l x l =23 2【题型四】体积4:异形体积比【例 1】如图所示的五面体A B C D E F中,平面C D E F 平面A B C D,四边形C D E F为正方形,A B/CD,Z A D C =ZBCD=12O,A B =2A D.(1)求证:平面 A E;(2)若 4)=1,求多面体A B C DE/的体积.【答案】(1)证明见解析 手3【分析】(1)根据线面垂直的判定定理结合面面垂直的性质定理即可证明;(2)把多面体拆成一个三棱锥和一个四棱锥即可求体积.(1)证明:如图,因为ED LD C,平面C D E F,平面A B C

21、。,平面C DE 尸C l 平面A B C D =O C,E u 平回CD EF,所以即,平面A B C D因为BD u平面A B C。,所以B D_L E .在4A班)中,因为ZA DC=1 2 0,故ZZM B =6 0。,不妨 设 他=2 4 5 =2,所以由余弦定理,得班+则8 0 =6,所以A D2+B D2 A B2 所以 A Q _L B。,又 EDc AD=D,所以 B O _L 平面 A DE.(2)如图,若A =1,则 C =a?=l,由(1)知B Q _L 平面AD E,所以8。为三棱锥8 -A O E的高,而三棱锥B-C D E F的高为点B到平面C D E F的距离,

22、因为平面C DE F 平面A B C D,所以点B到平面C D E F的距离就是点B到直线C D的距离也,2故 yA HCD=v A,.+v r D.=-X 1X 1 X 1 X +-X 1 X 1 X=.ttr ti-AD L it-3 2 3 2 3【例2】如图,48C为矩形,点A、E、B、尸共面,ABE和AAB尸均为等腰直角三角形,且 ZBA E =NA FB=90,若平面 ABC。_L平面 A E BF.(1)证明:平面5CF_L平面A D F(2)问在线段EC上是否存在一点G,使得BG平面C?若存在,求出此时三棱锥G-ABE与三棱锥C-A 8尸的体积之比,若不存在,请说明理由.【答案

23、】(1)证明见解析;4(2)存在,G是线段EC的靠近点C的一个三等分点,y.【分析】(1)利用面面垂直、线面垂直的性质证得A F _ L 3 C,再利用线面垂直、面面垂直的判断推理作答.(2)延长E 8至,使=连C”,过8作BGC”交CE于G,再利用点G,C到平面4叨下的距离关系及底面积关系,结合体积计算作答.(1)矩形ABCD中,B C L A B,乂平面ABCD_L平面AB尸,平面ABCDCI平面AEBF=A B,B C u平面ABC。,则BC_L平面而A产u平面尸,因此,A FA.BC,因NAEB=90,即冽U A F,而3CnBP=8,8。,8尸(=平面8。尸,则4尸_1平面3竹,又A

24、 f u平面AO F,所以平面BCF J_平面A D F.(2)因ABE和AARF均为等腰直角三角形,且NA4E=ZAF3=9 0,则NABE=NE4B=45,即有A F/8 E,并且有8E=&A B =24F,延长EB至“,使3=A F,连C”,如图,由母/A尸知,四边形他以为平行四边形,则 有 切/M BCD,ELFH=AB=CD.于是得四边形C*H是平行四边形,有 C H U DF,在平面CEH内过点8作3GC H交CE于G,因此8GO F,而 QFu平面CDF,3 G N平面C。/7,从而得3G 平面CF,2 2显然=则GE=GC E,即点G是线段CE的靠近点。的一个三等分点,3 32

25、2于是得点G到平面A E BF的距离h是点C到平面A E BF的距离3C的;,即=8。,而 S =g=,0酢)2 =2 S-112 4 1 4 K-ARF 4V(cj A.lBi cr.=-3 SA HAOBCF-h =3 -2Sa A l fAt B F 3-BC =3-(3-S A B F-BC)=-VC ABF,即=T ,AAZJ/,3 C-/i Z r y 3所以线段EC的靠近点C的一个三等分点G,能使3 G平面C D F ,三棱锥G-A 8 E 与三棱4锥 C-AB F的体积之比为【例 3】如图所示,斜三棱柱A8 C-AEG中,点 A为 AG上的中点.求证:8 G 平面A B Q.设

26、多面体A B C 4。的体积为匕,三棱柱A B C-AS G的体积为匕,求V2【答案】(1)证明见解析:【分析】(1)连接4B 交 A B,于点0,连接。,可得OD /BCi,由线面平行的判定定理即可证明BC/平面A B Q x由耳=匕-Z-MG D,,匕-A M=5匕-A闽 c,=不匕,匕-7闽=1G =匕可得答案.证明:连接A/B交A 小于点0,连接0。,则在平形四边形4 8B/A/中,点。为 A/B的中点,又点。为 4G的中点,所以 OD U/BCi,又 OQ/u 平面 A B/。/,8/C(Z 平面 A 8/。/,所以8。平面A B/O/.(2)因为K =匕一 匕 一 人 睇 4 一

27、K-c.O)匕 一 A S1n=耳匕一4 用 6=%匕,VC-BCR=%匕,i i 9 V?所以锣一”=在 所 以 号.【例 4】如图四棱锥P-A 8C D 的底面为平行四边形,E是 P B 的中点,过 A,D,E的平面a与平面P 8 C 的交线为/.(1)证明:/平面以D;(2)求平面a 截四棱锥P-A 8C。所得的上、下两部分几何体的体积之比.【答案】(1)证明见解析(2)3:5【分析】(1)由A D 5 C,得到AD平面P8 C,根据平面a 与平面P B C 的交线为/,结合线面平行的性质定理,即可证得/平面P A D ;(2)设/与 P C 交于点F,则 F为 PC的中点,连接OF,D

28、 E,D B,E C,设四棱锥P-A BC D的体积为V,得到VV VE_A BD=VE_BD C=J,VD_E FC=三,进而求得平面a 截四棱锥P-A BCD所得4 o的下面部分的几何体的体积,求得上、下两部分几何体的体积之比.(I)证明:因为A Z)8C,且0平面P 8C,8 Cu平面P8 C,所以4)平面P 8C,又平面a 与平面P B C 的交线为/,且 A u 平面a,则A D/1,乂 平 面 P A。,ADu平面P 4 D,故/平面P A Q.(2)解:设/与 P C 交于点凡 则 F为 P C的中点,连接OF,D E,D B,E C,设四棱锥P-A BCD的体积为匕 则VE_A

29、 BD=VE_BD C=?.v又由以-BD C=VD-BEC=2 VD-E FC,则%*C=W,oV V V 5V所以平面a 截四棱锥尸/3。所得的卜面部分的几何体的体积为:+7 +%4 4 8 8所以上面部分几何体的体积为 当,O故平面a 截四棱锥P-A 8C Q所得的上、卜两部分几何体的体积之比为3:5 .【题型五】体积应用1:点到面的距离【例 1】在如图所示的长方体A B C D-A 4C Q 中,底面ABC。是边长为2 的正方形,AAl=2m,点、E、尸分别为。2、8。的中点.(1)若机=1,求证:所,平面8。尸;(2)若三棱锥4 -CEF的体积为1,求 AA的长.【答案】(1)证明见

30、解析(2)3【分析】(1)证明CFJ_BD,B BI上CF,可证得。尸,平面3。与,从而可得EF工CF,再利用勾股定理证得EF ,再根据线面垂直的判定定理即可得证;(2)根据S出EF=Spq边形BDf稣S A*nE-S dB*F S ADEF求得 4 EE的面积,再根据XB(-CEF=%-玛 结合已知求得力的值,即可得出答案.(1)证明:.四边形A8CD是正方形,尸是的中点,80 _ L 平面 ABCD,CF u 平面 ABCD,/.BB、JL CF,又 BB、cB D =B,:.CV_L 平面 8 0 0 4 ,而 EFuBDD他,:.E F L C F,当加=1 时,EF=也,B、F=娓,

31、B1E=3,,EF2+BXF2=BE2,:.EFL BF,又B】F cC F =F,与尸、C F u 平面与C尸,尸,平面8。尸;(2)解:由(1)可知,平面3。片,SABEF=S四 边 形8叫用_ S 砧_ S&B研_ S.D E F=九 九 =九 磬 “1 7 I c 厂 匚 1 3 6%r r,-C E F =VC-B,EF=-S 时尸.C尸=X X ,2 =加,3/.m =,/.A A =3.2【例2】如图,在四棱锥尸一 A BC D中,底面A BC。是梯形,AB/C D f A D A.A B,A B=A D=P D =C D,P _L平面 A 8 C D,点 E是棱 P C上的一点

32、.证明:平面P BO_L平面P BC;是否存在一点E,使得上4平面由花?若存在,请说明点E的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由;Q(3)若三棱锥P-B C D的体积是4,求点。到平面以B的距离.【答案】(1)证明见解析;存在,PE =;PC,证明见解析;应【分析】(1)由线面垂直性质知P 0 L 3 C;取C。的中点M,由长度和平行关系可证得四边形4砌。是平行四边形,进 而 利 用 勾 股 定 理 证 得 由 线 面 垂 直 和 面 面 垂 直 的 判定定理可证得结论;A n A R 1 1(2)由三角形相似需=卷=5,则只需P E =;P C即可根据平行线分线段成比例得到PA HE

33、O,由线面平行的判定知4/平 面 从 而 确 定 存 在.(3)利用三棱锥的体积公式及等体积法求出点。到平面附8的距离即可.(1)P D _L平面A BC。,B C u平面A 3C D,._L3c.设 4?=a,则 A D =a,C D =2a B D =/2a-取C。的中点M,连结BM,又 DM/AB.,四 边 形 是 平 行 四 边 形,.BM=AD=a,.BC=&a,贝|J BD2+BC2=2a2+2a2=4a2=CD2,D BLBC.:PDDB=D,PD,DB u 平面 PBD,:.BCJ平面 PB).8 C u 平面 P8C,1平面P8C _L平面PBD.(2)当点E 为 PC 边上

34、靠近点尸的三等分点时(即PE=;P C)时,PA平面8 O E.理由如卜:.EOu平面 5DE,平面 BDE,:.P A/B D E.AO PE,八.-.,PA/EO.CO CE1 1 1 4(3)因为ABC,AB=-CD,所以故/二耳/一阮刀=,又-由=4,6 5 掺 切=1 尸1 4。3=:,解得 2,3 3 2 0 3因为A3,A),PO,A民PZ)D 4)=方,所以AB,平面出。,所以43,2,设点。到平面附8 的距离人,由 -A如=%的 8=,S%A8=g/7=4 A B =g2x/5x2 =:,3j 2 o 3解得/=&.即点D 到平面PAB的距离为应.【例 3】如图,四棱锥P-A

35、8c。中,底面ABCO为矩形,以,平面ABC。,E 为 P。的中点.(1)证明:PB平面4EC;设 AP=I,AD=6,三棱锥P-ABD的体积V=昱,求 4 到平面PBC的距离.【答案】(1)证明见解析亚13(分析(1)线面平行的证明,面外的直线与面内的直线平行,PB与平面AEC中的0 E 平行,利用中位线即可.(2)点到面的距离法一是直接法,法二是等体积法.(1)证明:如图,设 8。与AC的交点为0,连接E。因为四边形A B C D为矩形,所以点0为B D的中点.又点E 为 PO的中点,所以E 0PB.因为EOu平面AEC,P网平面A E C,所以P8平面4EC.(2)作于点H B4_L平面

36、ABC。.PA BC,PA rA B 又-rABC。为矩形,A)_LM,AP=1,A D=y/3.V=-A P A B A D =A B6 6由丫=且,可得A 8=:.4 2由题设知BCL平面以8,所以BCLA”,故 AH_L平面P B C,即A”的长就是点A 到平面PBC的距离.因为P8=J”2+AB2=叵,所以A H=处 迎=之 姮.2PB 13【题型六】体积应用2:最值(难点)【例 1】如图,等腰梯形A8C。中,AO=OC=BC=2,A B=4,E 为 A 8的中点,将AAOE沿。E 折起、得到四锥P-Q E B C,尸为PC的中点,M 为 EB的中点(1)证明:平面PDE:(2)证明:

37、D E L P C;(3)当四棱锥PBC的体积最大时,求三棱锥E-Q C尸的体积.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;g.【分析】(1)连接CM并延长与DE延长线交于G,在小C P G 中F M U P G,根据线面平行的判定即可证结论.(2)“为OE中点,连接尸”,。7,易得DE8C为平行四边形、PDE为等边三角形且ZEDC=6 0,进而可得P H L D E、C H J.D E,再根据线面垂出的判定、性质证明结论.(3)首先确定四棱锥尸一OE8C的体积最大时面PD EJjFjD EBC,再确定P-O E8C的体高,并求得F到面OE8C的距离,由VE皿 产咚”c及棱锥的体积公式求体积

38、.(1)连接C M并延长与DE延长线交于G,则G在面P D E内,M为E B的中点,则M为C G中点,在 4 C P G 中 F M/PG,乂P G u 面P D E,f M cZ 面P D E,所以F M 平面PD E.(2)若”为中点,连接PH,CH,由题设C O/砧 且C =E B =2,即O E B C为平行四边形,则 E =B C =2,所以 P D E 为等边三角形,故P J _ D E,又A B C 为等腰梯形,则N B C =6 0 所以 N E C =6 0。,又 DH =1,8=2,易知:CHID E,又 P H C C H =H ,则 D E _L j f i i P”C

39、,PC u 面 P H C ,故。E _L P C.(3)当四棱锥P O E B C的体积最大时,面P D E 工面D E B C,则 P O E的高P H即为四棱锥P-D E B C的体高,又 F 为 P C的中点,所以F到面O E B C的距离/;=,由(2)易知O E B C为边长为2的菱形,2 2乂 S-O E C =SD E BC=6 ,所以 VR-DCF 匕-O E C =7 hS GE C=2 -【例2】已知:直四棱柱4 8 C O-A B C R所有棱长均为2,N D 4 B=6 0。.在该棱柱内放置一个球0,设球。的体积为匕,直四棱柱去掉球。剩余部分的体积为匕.(1)求三棱锥

40、的A-AMR的表面积S;V,(2)求昔的最大值.(只要求写出必要的计算过程,不要求证明)V2【答案】S =4+省+/7 ;【分析】(1)求出三楂锥的A-A 8 I R 的各个面的面积即得解;(2)设直四棱柱A B C O-A qGR的体积为丫,当球半径R最大时,匕最大时,3 取到最大值,求出乂最大值即得解.(1)解:因为直四棱柱A BCO-A4G。,所以M_ L平面A8Q,44为 三 棱 锥 的 的 高,由N D 4 B=6 0。,所有棱长为2,为等边三角形,所 以 应 B,4 =亭、22=6,中,5,4*=g x 2 x 2 =2,5 4 =;x2 x2 =2,中,4.=2,做=的=2 夜,

41、过 A作 耳。于 ,AH,x2 x7 7 =V 7,2,S f =;x2 x2 =2,S =4+/3+V 7 .匕 乂 1解:设直四棱柱AB8-A4G。的体积为V,所以匕 V-V,V_p乂所以当K最大时,)取到最大值,V2即求棱柱内放置一个球。体积匕最大,即球半径R最大,若球。与棱柱侧面相切,则半径R即为菱形A B C D 的内切圆半径,连接AC与 B D 交于点E,AC 1 BD,A B E 中,A E=&B E=l,凡=2 1=且,1 2 2若球。与棱柱上、下底面相切,则半径为=1,&4,所以球。半径最大为&=乎,此时球。体积匕最大,K=g%(与 j6兀V=A 4,SABC D=2 x 1

42、 x2A/3 x2=4A/3,匕=丫一匕=46 且 乃,此时苫=2 2%彳 痒 也 万2718 4【例 3】如图,圆柱。的轴截面A 8 C。为正方形,A B=2,E 尸是圆柱上异于AD B C 的母线,P,。分别为线段8 凡上的点.(1)若 P,Q 分别为BF,的中点,证明:P。/平 面 C D F;(2)若瞿=煞=再W1,求图中所示多面体F D Q P C的体积M的最大值.PF Q E D F【答案】(1)证明见解析(2)最大值g .【分析】(1)连接CE,根据圆柱的性质可得四边形跳FC 为平行四边形,即可得到P为C E 的中点,从而得到PQ/C D,即可得证;(2)设N C F =,,即可

43、得到C F =2 s i n 6,D F =2cos0,再根据比例关系,表示出表示出三棱锥Q-C F。与三棱锥Q-PC F的高,根据锥体的体积公式得到%=%-CTO+%-DCF=s i n 2 d(ta n,+(ta n g+l f ),令=1 2 1 1。,0 工 41 则4 七+1 1VCDFPQ=7-1、/1-V,再令=x +l23,根据函数的性质求出最大值;W+2)、(1)证明:如图连接CE,根据圆柱的性质可得BC/EF且B C=E F,所以四边形BEFC为平行四边形,因为尸为防的中点,所以尸为CE的中点,又。为皮 的中点,所以PQ/CD,因为PQ U 平面CQ/7,C Q u 平面C

44、Q/7,所以PQ平面8/,Q)解:RTAC D F 中,设 N8/=e,6elo,则 CF=2sind,DF=2cos0,一,BP DQ CF 2sin。所以=-=-=tan 9 1,PF QE DF 2cos。所以 S.DCF=C F D F =2sm 0cos0=sin 20,?=-x2sin6x2xtan,+l 22 sin 0tan+1 tan+1设三棱锥Q-C F。高为,设三棱锥Q-P b 高为一 tan。2tan6 一 由比例关系,可知=E F=-,s=DFtan/9+1 tan/9+12 cos。tan 9 +1 tan 0+1所以,V17Q-C FD1 c/2sin28tan。

45、v _ 1 c.=2 S-CFD,A=5 t a n+1 VQ_PCF 一3、”C F2 sin 203(tanO+1)2VcD FPQ =Q-CFD+Q-DCF=Sin2F=AE=x,BE =y,则/+丁=4.由以I、I、%,-DEF=-1S。D r,1 J _ 1 I x2+y2 2A D E F-B E-x(-xxx2)xy=-xy =-,J J,J J,J当且仅当x=y=应 时 等号成立,即点E,尸分别是A 8,CC的中点时,三棱锥B-DEF的体积最大,下面求二面角B-O F-E 的余弦值:法一:由(1)得 6E_L平面。所,因为Fu平面O E F,所以B E L D F.乂因为 E

46、F LD F,E F C B E =E,所以 E)F_L平面 8EF.因为B F u 平面B E F,所以3尸,。尸,所以/8正是二面角8-。/一后的平面角,由(1)知班户为直角三角形,则3尸=(血)2 +22=瓜故 cos NBFE =-4=-=.B F限 3所以二面角8-尸-的余弦值为 逅.3【题型七】体积应用3:翻折型【例 1】如 图 1,有一个边长为4 的正六边形/W CDEE,将四边形ADE尸沿着AD翻折到四边形AZJG”的位置,连接C G,形成的多面体MCDG”如图2 所示.图1图2(1)证明:A D 1 B H.若B H =2娓,M 是线段CG上的一个动点(M 与 C,G 不重合

47、),试问四棱锥M-A8CD与A/-ADG”的体积之和是否为定值?若是,求出这个定值.若不是,请说明理由,【答案】(1)证明见解析;(2)是定值,定值为24.【分析】(1)作 H K _LA D,垂足为K,连接B K,证明A_L平 面 可 得 结 论 成 立;(2)类似K 点的形成得出N 点,平面CGM与与平面ADCB和平面ADGH都垂直,过 M 作交 线 的 垂 线 得 其 为 平 面 的 垂 线,在!NCG中证明MP+MQ为定值,然后由棱锥体积公式计算可得.(1)作 HK_LA。,垂足为K,连接BK,因为=A K =AK,Z H A K =2 B A K ,所以!A/7K 三!ABK,T T

48、所以 NAKB=NAK”=-,即 3KJ_AD,2KHCKB=K ,K H,K B u平面 B H K,所以 AD_L平面3 4 K,又BK u平面BHK,所以A)_L8;(2)实际上K,,K 3是由原正六边形M C D EF中对角线BF折叠过来的,同理原正六边形ABC。所 中 对角线CE折叠之后形成G M C W,如图,同理有AD_L平面GC7V,又AD在平面ADCB和平面A D G H 匕 所以平面CGN与平面ADCB和平面ADGH都垂直,平面CGN与平面ADCB和平面4X7”的交线分别是CMGN,因此在平面CGN内过M 作MP_LOV,作M Q L G N,尸,。分别是垂足,则 MQ_L

49、 平面 ADG”,M P m A D C B,因为正六边形ABCD所 的 边长为4,所以GN=CN=4sin=2 G,又CG=BH=2屈,所以GN2+CN2=CG2,所以G N LCN,即!NCG是等腰直角三角形,则PCM,!QGM都是等腰直角三角形,M/W。是矩形,M P=NQ,QM=QG,所以 MP+MQ=GQ+NQ=GN=2上,AD=8,SADCB=SADGH=;*(4+8)x 2 G =12 G ,VM.ADCB+VM.ADCH=SADCB-MP+hADGH-M Q=n M P+x n M Q =4(M P +MQ)=4/3x25/3=24.【例 2】如图所示,边长为2 的正方形A 8

50、 8 中,点 E 是 A 8的中点,点 F 是 BC的中点,将A A E D A D C F 分别沿DE,DF折起,使 A,C两点重合于点A.(1)求证:4_16/;(2)求三棱锥A-EFD的体积.【答案】(1)证明见解析【分析】(1)由已知可得A D L A F,A D A.A E,从而有A _ L 平面A 合,进而可得结论;(2)由勾股定理可得A E _ L A F,从而易得/V E F 的面积,乂 由(1)知4 _ 1_ 平面4 针,从而根据匕一由 =V-,EF即可求解.(1)证明:由正方形A B C D 知,Z.D CF=ZD A E=90P,:.A:D A F,A D L A E,.

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