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1、山东省青岛市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，复数z =(Y-4)+(x+2),是纯虚数，则实数x的值为()A.2 B.-2 C.2 D.4K解 析 是虚数单位,复数2=(f-4)+(工+2 是纯虚数,X2-4 =0 与x=2 x+2/0K答 案U A2.在正方体中，E,尸分别为3 c ,C的中点，则平面A E N截正方体所得的截面多边形的形状为()A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形K解 析 根据题意，如图，连接A R,E,F分别为B C,
2、CG的中点，E,F分别为B C ,CG的中点，则E F/8 G，又 由BCJ/AD则有E F/A R,则A、E、F、R四点共面，平面A E F截正方体所得的截面就是梯形AEFD,.3.已知向量1=(1,2),6=(1,1),且1与G+得的夹角为锐角，则实数X的取值范围为()A.(；,+oo)B.(-c o,-g)C.0)D.0)5 0，+8)3 3工 解 析 2 向量 1=(1,2),6=(1,1),M+若=(1+4 2 +2),再根据。与 G+2 6 的夹角为锐角可得a.（a+Ab）0,且 匕 4 片,1 2即讲+石 0,且 4H 0,即5+3几0 且冗工0,解得2,且，#0.3K答 案 U
3、 D4.九章算术是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（）A541+/n 5 4 +4-5 4 +乃 2 5,1+4A.-B.-C.-D.-47 21 2万K解 析H 设圆台的上底面半径为，下底面半径为R,1 3则有 2TZT=2,2 兀 R=3,/?=,7 1 27又圆台的高为1 丈，所以圆台的母线长为/=J 2+（R-方=当合,所以圆台的侧面积为S=R-r）-/=;r x d +_ l）x /+l=5 j l +4 M.
4、兀 2乃 24 44K答 案 B5.已知，b 是两条不重合直线，。，方是两个不重合平面，则下列说法正确的是（）A.若 /?,bl la,则 a/aB.若 a JL/?,a l i a,则 o JL/C.若a_L,a U a ,a _ L/?,则 4/aD.若。_La,al lb J3 a,则/QK解 析 X 若a/b,bl la,则。/a 或o u a,故 A 错误；若 a_L，a l i a,则。u或/?或。与力相交，相交也不一定垂直，故 B 错误；若 a _ L/,a 1 0 ,则a u a 或 a/a,而则a/a,故 C 正确；若 bdLa,al lb,则 b _ L a,又则 u 或
5、/,故 D 错误.R答 案X c6.在 AABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,若 a c=bcosC-儿 osA,则AABC的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形R解 析.,a-c=bcosC-bcosA,由正弦定理可得：sin A-sin C=sin Bcos C-sin Bcos A,可得：sin A-sin Acos 8 -cos Asin 8 =sin Bcos C-sin Bcos A,sin A sin Acos B=sin Bcos C 可得：sin A-sin Bcos C+sin/Icos B,/.sin BcosC
6、+cos Bsin C=sin BcosC+sin Acos B,可得：cos Bsin C=sin Acos B,cosB-0,或 sinA=sinC,.B 为直角，或 4=(7,.A4BC的形状为等腰三角形或直角三角形.k答 案 X C7.直三棱柱A 8 C-A 4 c l中，A4BC为等边三角形,44,=AB,M 是 A G 的中点，则 4 0与平面BCC声所成角的正弦值为（）A-A口D.底-10厉Lz -10D-fK解 析 因为M 是 A G 的中点，A B C 为等边三角形，可得用M L A C，又 AA 平面 A B、G，BMu 平面 A BG,所以A A J.4 M,而 A A
7、n A G=A，所以平面44，以M 为坐标原点，MBi，MG分别为X,y 轴，过平行于4 A 的直线为z 轴建立空间直设 A4,=A8=2,则 M(0,0,0),A(0,-1,2),MA=(0,-1,2),又 B、M=%A B =6 ,所以 B(6,0,2),C(0,1,2),B、(丛,0,0),则 即=(0,0,2),麻=(-上,1,2),设平面8B C C 的法向量为万=3，b,c）,则 卜 丝=2c:0,取”=G 则6=3,c=0,n-B(C=-V3tz+b+2c=0所以”=(百，3,0),所以AM与平面BCCtBt所成角的正弦值为I cos|=|竺|=-1-产=.M A n V5-2V
8、3 10K答 案 c8.蹴 鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年 5 月 2 0 日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠（球）的表面上有四个点A,B,C,P,且球心。在 PC 上,AC=8C=4,A C LB C,tan ZPAB=tan ZPBA=,则 该 鞠（球）的表面积为（）2A.97r B.187r C,367rD.647rK解 析 如图，取 A 3 的中点M,连接MP,由 AC=BC=4,AC_LBC得：
9、AB=4&,由 tanNPA3=tanNP8A=,得：MP=2式 x 包=2瓦2 2连接CM 并延长，交球。于点 ，连接尸”，因为P C 球 O 的直径，设球的半径为R,则PH上CH,MH=g c”=g AB=2亚,则 PH=PM?-MH。=V12-8=2,所以(2R)2=PC2=CH2+PH2=(4扬 2 +4=36,解得：R 3,球的表面积为4乃7?2 =36万.K答 案2 C二、多项选择题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知复数4对 应 的 向 量 为 西，复数与对应的向量为西
10、，则下列说法正确的是()A.若|OZ|=1,则%=1 或 /B.若 4=4 +31,z2=3+4z,U!Z,Z2=(1,-1)C.若|Z+z?|=|Z|-z?|,Bl OZ,1 OZ2D.若(西+西)_1(西 一 区)，则|zj=k2l 解 析U对于A,当Z 1 +且i时，满 足|西|=1,故A错误；2 2对于 B,/=区-西=(3,4)-(4,3)=(-1,1),故 B 错误；对于 C,设 Z=a+bi,z2=c+d i,a,b,c,d e R ,4+z2 H zi z2|(a+c)2+(b+d)2=(a-c)2+(b-J)2,化简得ac+bd=0,OZOZ=ac+bd=Q,.西，西，故 C
11、 正确；对于 D,设 Z=a+Z?i,z2=c+di f a,b,c,d R,则 OZ+OZ0=(a+cyb+d),OZ OZ2=(a c,b d),(西+区)_ L(西-西)，(tz+c)(a-c)+(b+d)(b-d)=a2+b2-c2-d2=0,:.a2+b2=c2+d29 z,|=|z21,故 D 正确.答 案X CD1 0.已知空间向量1=(1,-1,2),则下列说法正确的是()A.a=f6B,向量M与向量方=（一2,2,-4）共线C.向量a关于X轴对称的向量为(1 ,1,-2)D.向量力关于y O z平面对称的向量为(-1 ,1,-2)K解 析 对于 A,|a|=7 12+(-l)
12、2+22=/6,故 A 正确；对于B,.b=-2a,与方=(-2,2,T)共线，故B正确；对于C,设G =(l,-1,2)的起点为坐标原点，则该向量的终点为(1,-1.2),.点(1,-1 ,2)关于x轴对称的点的坐标为(1 ,1,-2),向量G关于x轴对称的向量为(1 ,1,-2),故C正确；对于D,设1 =(1,-1,2)的起点为坐标原点，该向量的终点为(1,-1,2),.(1,-1,2)关于y O z平面对称的点的坐标为(-1 ,-1,2),二向量关于y O z平面对称的向量为(-1 ,-1 ,2),故D错误.K答 案U A B C1 1.已知圆锥的底面半径为26,高为2,S为顶点，A,
13、3为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是()A.圆锥的体积为2 4 7B.圆锥侧面展开图的圆心角大小为岳C.圆锥截面S A B面积的最大值为4右D.若圆锥的顶点和底面上所有点都在同一个球面上，则此球的体积 为 空3K解 析H.圆锥的底面半径=26，高为。=2,S为顶点，A,B为底面圆周上两个动点，.母线长为/=J(2 6)2+2 2=4,对A选项，圆锥的体积为L;r r%=l x 7 r x(2 G)2 x 2 =8 4，.A选项错误；3 3对B选项，圆 锥 侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 型:=巫 伫 亚 也乃，选项正确；I 4对C选项，圆锥截面S A B面积的最大为轴截面的面积，而轴
14、截面的面积为L x 2 r x/2 =“7 =4 ，,C选项正确；2对D选项，设圆锥的底面圆的圆心为H，又圆锥的顶点和底面上所有点都在同一个球面上，球心。在线段S 上，设球的半径为R,则。1 =O S =R,在R t A O A H中由勾股定理可得：AH2+HO2=OA2,+(/?-R)2 =/?2 ,.12+(2-W,:.R=4,此球的体积为d=3 X万X 43=生 丝，.D 选项正确.3 3 3K答 案 BCD1 2.已知 1=(2cosox,sin5),b=(-A/3 COS COX,2 cos cox),co0,f (x)=.6+6,且/(x)的图象的对称中心与对称轴的最小距离为.，则
15、下列说法正确的是()A.。=1B.八处的图象关于直线 =一、对称C.把/(幻图象向左平移全 单位，所得图象关于y 轴对称D.保持/(x)图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2 倍，然后把图象向左平移?个单位，得到函数y=2sinx的图象K 解 析 X /a=(2 cos cox,sin a)x),b=(-/3 cos 2 costyx),G 0,f(x)=a-b+y/3=-2y/3 cos2 cox+2sin cox cos ox+G =-2 G x 上：?x+sjn 2cox+G=-/3 cos 2cox+sin 2a)x-2 sn(2o)x-),3./(X)的图象的对称中心与对称轴的
16、最小距离为L x 型 =工，。口，/(x)=2 sin(2 x-),4 269 4 3故 A 正确；令x=q,可得/(x)=2,是最小值，故(x)的图象关于直线x=q对称，故 B 正确；把/(x)图象向左平移工单位，可得y=2sin(2x-军)的图象，12 6由所得函数为非奇非偶函数，故所得函数的图象不关于y 轴对称，故 C 错误；保持/(%)图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2 倍，可得y=2 sin(x-2)的图象，然后把图象向左平移9 个单位，得到函数y=2sinx的图象，故 D 正确.R答 案 D ABD三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.欧拉公式*=
17、cosx+isinx（,为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数包的共枕复数为兄.-IK解 析 U ,eL X=cosx+zsinx,_ 2i _ _ 2+2 i_ ./os 生+isin广企+g 用=（）（1-广百=+，4 4 2 2则复数巨的共轨复数为l i.J t I.e4K答 案 2 1-i14.在正方体A B a）-A 4 G R 中，点 G,”分别在棱B|C A Q 上，且A，=C1G=1AA，则异面直线BG与D H 所成角的余弦值为 一.K解 析 以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为3,贝 10(0,0,0),仇
18、3,3,0),G(l,3,3),H Q,0,3),D豆=Q,0,3),BG=(-2,0,3）,设异面直线BG 与 D H 所成角为9,则异面直线B G 与D H 所成角的余弦值为:cos 0=|cos|=D H B G|2x(-2)+3x3|DH BG V22+32.V(-2)2+32513K答 案 U -131 5.已知sin(工+a)=L 则cos(乙一2a)=3 3 3K 解 析v sin(+a)=-,?.cos(-a)=-f3 3 6 3cos(-2a)=2cos2(工-a)-l =2x(-)2-1=-.3 6 3 97K答 案X -91 6.已知 AABC 中，sin2 A-sin2
19、 B-sin2 C=sinBsinC,若 BC=3,则 AABC 周长的最大值为.K解 析H 因为sin?A-sin?8-sin?C=sinZ?sinC由正弦定理可得：a2-b2-c2=bc,.cosA=A C 2 +A g 2g C 2,2AC AB 2/A e(0,1),A=.3由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC-ABcosA=AC2 AB2+AC-AB=9 f即(AC+AB)2-AC AB=9.AC A氏，(+AB/(当且仅当AC=AB时取等号)，2AC A-AR 3.9 =(AC+AB)2-AC AB.AC+AB)2-(-)2=(AC+AB)2,2 4解得：AC+AB,2g,
20、.M B C周长L=AC+AB+3C,3+2 g ,周长的最大值为3+2 6.K 答案 U 3+273四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分)如图所示,三棱柱 A B C-A 81G 中，CA=a,CB=b,CA=CB=CC、=1,=,=,N 是 AB 中点.3 2(1)用。，b,不表示向量A.N;(2)在线段GB|上 是 否 存 在 点 使 若 存 在，求出”的位置，若不存在,说明理由.解：(1)lN =AA+AN=qC+A B =-CC+CB-CA)=a +b-c；(2)假 设 存 在 点 ，使 A M A N，设 函=2以瓦，(2e
21、0,l),显然 4C8 Ab,AM AAi+AG+GM=c ,+Ab,因为AM _ L A N,所 以 而 J _ Q =O,即仁一日+)(一：2+：5 习=0,:.-c-a +c b-c2+a2-a b+c-a+-A,a-b+Ab2-Ab c=O2 2 2 2 2 2-27r-7i：CA=CB=CC.=1 ,=,=,3 2 c -c2 H 42(,b+c u Ab-=02 2 2 2 2B P-x lx lx(-l)-l2+lx l2-(l +1 2)x lx lx(-l)+-A-l2=0,2 2 2 2 2 2 2解得彳=；,所 以 当 C|M=gcM 时，4W_LAN18.(12分)如图
22、所示，直三棱柱A 3 C-A B C 中，/为 8。中点.(1)求证：4 8/平面A 0 M；(2)若三棱柱A B C-A 4 G 上下底面为正三角形，AB=6,A4,=3,求证：平面A g M，平面AC.M.(1)证明：如图，连接A C 交 A G 于点N,再连接MN,则 N 为 4 c 的中点，又 M 为 5 c 中点，.-.MN/A.B,又 M N u 平面A R M,其台平面A J M，A B”平面 AGM；(2)证明：由题意可得三棱柱A B C-4 线 为正三棱柱，平面ABC 平面B C Q B I,又M 为正三角形ABC的 BC边的中点，；.A W _L8C,又 A u 平面A B
23、 C,且平面A B C C 平面BCQ筋=8C,AM _ L平面 BCC4,AM _ L平面耳Mg,Z B.M C,即为二面角片-AM-G的平面角，X BC=AB-6 BBI=CC,=A 4(=3 A l 为 B C 的中点，:.CM=BM=3,R t z XM CC,与R t A M BB,均为等腰直角三角形，NCMC=NBMB、=4 5 ,/.ZB,MCt=9 0 ,故平面 ABtM 1 平面 ACtM.1 9.(1 2分)如图所示，已知O O石是半径为石，中心角为巳的扇形，P为弧DE上一动点,3jr四边形 P QMN 是矩形，ZPOD=x(0 x/3 s in x =3 s in x c
24、 o s x-y3sin2x=%n2 x-岛 三%=3 s in x c o s x-氐 品 二 小 缶-小上四2 2 2 2=A/3(s in 2x+-c o s 2x)2 2亭=&s i n(2 x+6一 字c 7 1 7 1 d 冗 57c 0 x 一,一 2x 4 73,2 6由余弦定理得/=/+/-2aftcos=4,6(a+b)2(2+y/3)ab=4,即(a+b/=28+166,:.a+b=4+2y/3,r.AABC 的周长为 a+b+c=6+2/5.20.(12分)如图所示，四棱锥尸-ABQ)中，底面ABCD为矩形，A4J_平面ABCZ),PA=AB=2,AZ=后，点 E 是尸
25、3 的中点.(1)证明：AEA.PC；(2)求点。到 CE的距离；(3)求二面角C A E-。的大小.(1)证明：因 为 以 1,平面M C D,8 C u 平面4 5 8,所以B4_L8C,因为底面ABCD为矩形，所以ABJ.3C,又 PA0|AB=4，PA,AB u 平面 所以 BC_L 平面因为A u 平面所以3cl_A,因为24=4?=2,点 E 是 P8的中点，所以A E LP 8,又 B C CPB=B,B C,尸 3!BC-+BE-=y/2+2=2,同理可得 D E=V A C2+A E2=V 2+2=2,所以 Sg=；CD ，函2 -g CD）?=g 2 旧 一 g x 2）2
26、 =6设点。到C E的距离为力，则 邑 凝=CE-h=-2-h=y/3,所以/z =丛,故点。到C E的距离为（3）解：由（1）知，8 C_L 平面 R 4 B,因为A 0/BC,所以4），平面R钻，因为4 u平面 4）,所以平面A Z）E _L平面F 4 B,所以二面角C-A E-B与二面角C A E-O是互余的，问题可转化为求二面角C-的大小，由（2）知，AE=y/2,C E =2,因为 AC=JAB2 +8C2=娓,所以 AC2=A E2+C：2,即 CE J _A ,又 B E L A E,所以N B E C即为二面角C-A E-8的大小，因为8 E=BC=&,C E=2,所以N BE
27、 C=乙，即二面角C A -3的大小为王,4 4故二面角C-A E-。的大小为巳.421.（1 2分）如图所示，在海岛A上有一座海拔0.5千米的山，山顶设有一个观察站P（观察站高度忽略不计），已知在某时刻观测员测得一轮船在岛北偏东3 0。方向，俯角为3 0。的B处，若1 0分钟后，又测得该船在海岛北偏西6 0。方向，俯角为6 0。的C处.（1）求船的航行速度是每小时多少千米？（2）若又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的。处，问此时船距岛A的距离？解：（1）在R t A PA B中，Z APB=6 0 ,9=0.5,/.AB=APtan6 0 0 =,2在 RtAPAC 中，ZAPC=30,
28、/.AC=APtan30=,6在 AAC8 中，2 6 8 =30。+60。=90。，.BC=yjAC2+AB2=则 船 的 航 行 速 度 为 我+=病（千米/时）;6 6(2)在RtAACB 中，Z CAB=9 0,AC=,BC=,AB=,6 6 2而N./d n _ AC 一 而 .R_ AB_3y/w所以 sin 乙48c=-,cos NABC=-,BC 10 BC 10在 AABD 中，ZZMB=90+30=120,所以 sin NBDA=sin(60-ZABC)=sin60cos zS4BC-cos60sin ZABC=3 M M ,W=G G-I而10 2由正弦定理得2 10A
29、D20ABsin ZDBA-sin ZBDA?6 3V10A C sinZ DBA 6 9+6sin/BDA (3A/3-1)710 2620故此时船距岛A 有 誓 千 米.22.（12分）如图所示,长方形ABC。中，A D=,他=2,点M 是边CD的中点，将 AAZW沿 AM翻折到A E W,连结P 3,P C,得到图的四棱锥P-A 8cM.c（1）求四棱锥P-C M 的体积的最大值;（2）若棱P B 的中点为N,求 C7V的长；（3）设P-A W-D 的大小为。，若。（0,生,求平面24M 和平面PBC夹角余弦值的最小2值.解：（1）取 AM 的中点G,连接PG,因为 F4=Z W,则 P
30、G_LAM,当 平 面 平 面ABCM时，P点到平面A8CM的距离最大，四棱锥P-A 8cM的体积取得最大值，此时 PGJ平面 A8CM,HPG=-AM =,2 2底面ABCM为梯形，面积为(l+2)xlx=3,2 2则四棱锥P-C M的体积最大值为！x3 x也=也；3 2 2 4(2)取AP中点Q,连接NQ,MQ,则因为N为P 3中点，所以NQ为AE4B的中位线，所以NQ/A3且NQ=g A8,因为M为8 的中点，四边形4 3 c o为矩形，所以C M/4?且CM=2A8,2所以 CM/NQ 且 CM=NQ,故四边形CNQM为平行四边形，所以CN=MQ=Jg)2+1 2 =5；(3)连接。G
31、,因为 D4=D W,所以 Z)G_LAM,所以NPG为P 4 0 D的平面角，即NPG=6,过点。作Dz_L平面ABCD,以。为坐标原点，分别以ZM,DC,0Z所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，pz,则 A(l,0,0),M(0,1,0),C(0,2,0),过 P 作于点”，由题意得P 4,平面ABCM,设 P(x，,z0),所以 方 =%=(l-c o s，)x =g(l-cos),Zo=-sn 0 ,i i 5所以 P(1-cos 6),(1-cos ff),sin 0),2 2 2所 以 罚 二(-1,1,0),可=(cos,cosT,_ g i n 0),2
32、2 2设平面B4A7的法向量为4=（Xi，y,z J,F +y=o则则 cos a=I%I I 2 I|V2 +3 0 +&cos 例COS。V2 tanI 2 04-2/2sin2 0+6cos0+9I+cos 0 cos 0-1 A/2 sin 0 八-xi+-%-2.=02 2 2令 z、=五,则 n,=(tanO,tanO,&),设平面P8C 的法向量为晨=(电，y2,z2),因 为 丽=(1,0,0),前=(cs-l,cs+3,-也 4n，),2 2 2x2=0则,cos。一 1 cos。+3 V2.八八-W+-%_ 3 Z?sm 6 =0令 力=&s i n e,可得：%=（0,正 sin6,3+cos。）,设两平面夹角为a ,13cos6+11V11 -cos2 0+6cos。3|cos6+|3,Q 1、2 20,A 1.80 80 20J-(cos+-)+(C O S+-)+-j +j-V 3 3 ,9(COS0+；)2 3(COS 9 +1)令，=,(0,-,所以f e p,3,c o s 4 2 43所以cosa=-/9-,所以当f=3时，cosa有最小值V 80 r+60 f-9 11所以平面取W和平面P 8 C 夹角余弦值的最小值为泮.