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1、2022届新高考数学冲刺精准复习函数问题导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数值域、变化快慢、最大(小)值等问题是最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度，物种繁殖率、绿化面积增长率，以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具。恩格斯说只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表示状态，也表示过程:运动。牛顿和莱布尼茨是微积分的创始人。函数问题是常考常新内容，一般考查函数的性质、函数与导数综合，函数与函数零点问题，要注意导数与函数之间的融合.【例题精讲】例 题1.【导数与零点问题】已知函数 X)=上1，g (x)=.若存在 X1 e (0,+o o),X2 e R,使得
2、/(x j =g(马)成立，则2乙 的最小值为()2A.-1 B.e2 1C.-z-D.e e【答案】D【解析】将屿=变 形 为 里1=，利用丁 =之 单调性可得l n=X 2,从而e -e e 2 ex,x2=x,l n x,再构造函数(x)=x l n x,通过求导找到最小值即可.【详解】/(月=上 詈,易 知/(M在(0逐)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，同理，1 _ yg(x)=-,易得g(x)在(-8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，又存在eX e(0,+o o),x2 e R,使得/(石)=8()0 成立，则 玉 e(O,l),x2 e(-o c,0),I n 0,
3、x,0,且 皿=鼻 =1,f (0)=2 01 5,则不等式e xf (x)ex+2 01 4 (其中e为自然对数的底数)的解集为()A.B.(-o o,0)U C.(-,0)U (0,+8)D.(0,+8)【考点】函数单调性的性质.【分析】构造函数g (x)=exf (x)-ex,(xe R),研究g (x)的单调性，结合原函数的性质和函数值即可求解.【解答】设 g (x)=exf (x)-ex,(xG R),2则 g，(x)=exf(x)+exf(x)-ex=exf(x)+f(x)-1,Vf(x)+f(x)1,：.f(x)+f(x)-l 0,.g(x)0,y=g(x)在定义域上单调递增，V
4、exf(x)ex+2014,.g(x)2014,又 g(0)=ef(0)-e=2015-1=2014,.*.g(x)g(0),/.x 0故选：D.例题3.【导数与零点、参数取值问题】已知函数/(%)=x3+ax2+b(a,b e R)。(1)试讨论/(x)的单调性；(2)若b=c-a(实数c 是与a 无关的常数)，当函数/(九)有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(O O,3)U(L )U(=+8)，求 c 的值.2 2解：/(%)=3 工 2+20,令/(工)=0,解得当。=0 时，因 为/(X)=3X2 0(XW0),所以函数/(X)在(-8,+8)上单调递增；当。0 时,3ju(0,
5、+oo)HL/(x)0,-g，。时,/(x)。,所以函数/（X）在2。00,-3，（0,40。）上单调递增，在年,0）上单调递减;当a 0,4-oo时,f(x)0,所 以 函 数 在（T O,0）,-即,+oo）上单调递增,在（o,-等）上单调递减.(2)由（1）知，函数/（x）的两个极值为2a a3+b27则函数/（x）有三个零点等价于/b04.-a3 b01 27或，a04Qb 0时，一a3-Q+C 0或当4 V o时，一a，-Q+C0.27 27设g(a)=(x a+c,v 27因为函数x）有三个零点时,4 的取值范围恰好是(-0 0,-3)则在(-0 0,-3)上 g (。)0均恒成立
6、.从而g(-3)=c-1 W 0,且g 图=2。因此c =l.此时，/(x)=x3+a r2+l-a =(x+l)x2+(a-l)x+l-a.因函数有三个零点，则%2+(a l)x+1 a =0有两个异于一1的不等实根，所以=(a _ 1)_ 4(1 a)=a +2 a 3 0且(T)2 _(a _ l)+_ a w0,解得6re(-oo,-3)U p,1 U 佶,+8.2J 2 J综上c=l.例题4.【函数性质考查-值域问题】（I）讨论函数仪）=二 5 6、的单调性，并证明当时,(x-2)e+x+2 0.e 一Q（II）证明：当a e 0，D 时，函数g（x）=7-*。）有最小值.设g（x）
7、的最小值为5跃a),求函数(G的值域.解 析:(1)/(*)的定义域为(一8，-2)(2,+8)./(%)(x l)(x+2)e*(x 2)e(X+2)2(x+2)20且仅当 =时，/,U)=o,所以/(x)在(y。,2),(2,+8)上单调递增，因此当xe(0,+00)时，x 2f(x)=-/(0)=-1,x+2所以(x 2)e*(x+2),(x 2)e*+x+2 0,、(x 2)e*+a(x+2)x+1.(II)gU)=-=7-(/(x)+a),X X由(I)知，/(x)+a 单调递增，对任意aG0)J(0)+a=a T 0 (2)+a=aN0,因此，存在唯一 X。e(0,2,使得 f(x
8、0)+a=0,即 g(不)=0,当0 x 。时,f(x)+a 0,g(x)/时,f(x)+a 0,g(x)0,g(x)单调递增.6因此g（x）在X =%处取得最小值,最小值为e -a(X o +1)_ e%4/(/)(/+D =x。x0 XQ+1于是h(0=-X。+2,e“、，（x+l）e、c ，由（-2）=EF,二5单调递增，所以，由 x()e(0,2,得1 e ，/、*e2 e2-h(a-八 幻+5对于任意的xe l,2 成立.解：（1）/（X）的定义域为（，”），f x）=a-X当 a=0 时，X6（0）时，f x）0t单调递减.当 a 时，f（x）-/卜+J2（i）若 Ov“1,当x
9、e（0,l）或I 。J 时，/（叽2 2 (ax2-2)(x-l)-1-=-X2 X3 光 3f(x)单调递增；%(1,+)时,尸(幻 0,f(x):卜同-0,/(单调递增；8/1,当X W Ia7时,/(x)2,则O J 2 2,於）在0,J|内单调递增，在71，1 内单调递减，在（1，+8）内单调递增.9(2)由(1)知，。=1 时,*/V /V /Vxel,2令3 1 2g(x)=x Inx,h(x)=一 F 5-1 x G1,2x x x-则y(x)-y(x)=g(x)+-x),由,(x)=A zl=oX可得g(x)=g(l)=l,当且仅当x=l时取得等号.又,z、-3x-2x+6g)
10、=-,设(p(x)=-3x2-2x+6,则0(x)在xe 1,2单调递减,因为10。=1,奴2)=-1 0,所以在口，2 上存在/使得xe(l，/)时，0(幻 0,%6(豌,2)时,夕(%)g+(2)=小3即f(无)r a)+-对于任意的工 1，2 恒成立.例题6.【函数与参数取值范围问题】已知函数/()=%2-/n r-n d n x,其中w 0.(I )若1=若 求 函 数X)的极值；(I I)设g(x)=,f(x)+/n r.若g(x)，在(1,”)上恒成立，求实数，的取值范围.X解：(I )f(x)=2 x 2xi,令/(力 0,f(x)。在(1,十8)上恒成立，可构造函数G(X)=Y
11、-/n l n x-,X 1 ,X XG (x)=2 x-+-/H A +1，令“(1)=2%3一 如+1/1,H (x)=6x2-ni,x x x分0 m 4 3,3 m 6讨论即可.ii(I)当加=1 时，=f-x-ln x.则/(x)=2 x-l =-x0 x x令/(x)=0,解得玉=万(舍去)，.当 xe(O,l)时,，/(x)。.,./(X)在(1,+8)上单调递增，八幻的极小值为/。)=(),无极大值.(II)g(x)X2-minx若g )B在(l,y)上恒成立，G P x2-minx-0在(1,-+w)上恒成立.x构造函数G(x)=x2-m inx-,x 1,则 G(x)=2x
12、-3 +与X2x3-mx+1令 H(x)=2x3 1 .?.H(x)=6x2-m12(i)若加4 6,可知(x)0 恒成立.H(x)在(1,+8)上单调递增.当 3?之0,即0 ()在(1,4w)上恒成立，即G(x)0 在(1,+w)上恒成立.G(x)G(1)=0 在(1,+8)上恒成立，0(加 3 满足条件.当 3-加 0 即3m W 6时，.(1)=3m 0,存在唯一的/e(l,2),使得“(%)=().当x e(l,/)时，H(x)0,即G(x)0.G(x)在(1,%)单调递减.G(x)0 矛盾.(ii)若 加 6,由 H(%)=0,可 得 寸 一 栏(舍 去),一般、I rvj易知”(
13、x)在1 J-上单调递减.()(1)=3-m 0 在 上恒成立,13G(x)在 1,即 G(x)0 在上恒成立.?上单调递减.G(x)0 矛盾.综上，实数加的取值范围为(0,3.例题7.【函数与零点问题】已 知 函 数/(力=111%一%+25由%,/(力 为/()的导函数.求证：/(x)在(0，句上存在唯一零点；(2)求证:/(x)有且仅有两个不同的零点.解：【分析：(1)设 g(x)=r(x)=l+2 c o s x,然后判断函数g(x)在(0,乃)上的符号，X得出g(x)的单调性，再利用零点存在定理判断g(x)在(0,4)上是否存在唯一零点即可；分x e(0,4),1)，和 xe2%,+
14、oo)三种情况分别考虑了(x)的零点存在情况,从而得证.设 g(x)=/,(x)=-l +2cosx,当X (0,)时，g(x)=-2 s in x 0,g g =2-i 0,/(X)在(O,a)上单调递增;当时，/,(x)0,在(a,%)上单调递减;所以“X)在(0,乃)上存在唯一的极大值点不。/(5)=ln 5-、+2 2-5。又因为/4 =-2-+2sin-2-+20e J e e e所以/(x)在(O,a)上恰有一个零点.又因为/(3)=111万 一 2万 0所以/(x)在(a,)上也恰有一个零点.当x e 不,2乃)时，sinx0,/(x)ln x-x设 7z(x)=lnx x,(x
15、)=-1 0所以h(x)在7i,24)上单调递减，所以(x)(乃)0所以当X e 万,2)时,/(x)W (x)(万)0恒成立所以/(x)在4,24)上没有零点.当x e 2乃,+oo)时，/(x)ln x x+2设0(x)=lnx-x+2,(px)=-015所以(x)在 2肛+8)上单调递减，所以o(x)9(2 1)0所以当x e 2 T,-H )时，/(x)e(x)W 0(2万)0恒成立所以“X)在 2 4,小)上没有零点.综上，/(%)有且仅有两个零点.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，零点存在性定理的应用，以及放缩法的应用，意在考查学生运用分类讨论思想的能力，转化能力
16、，数学运算能力，逻辑推理能力，属于较难题.例题8.一【三角函数综合】已知函数/(x)=吧，0 X 7t.XT T(1)求函数f(x)在X =g处的切线方程；27 T(2)当O v m v 4时，证明：f(x)V/篦l nx +对任意1 (0,万)恒成立.x解：a,、x c o s x-s i nx (J J：4(1)因为/(%)=-2-，可得/一滔，即可求得答案；JT(2)要证 对任意工(0,万)恒成立，即证s i nx 万对任意x%(0,1)恒成立.设8(%)=如1 1 1%,/i(x)=s i nx-万，当(0,万)时,hx=s i n x-e1 -,即可求得答案.】16，/、xcosx-
17、sinx(1)/(x)=-s-jr 4 4函数/(X)在x=处的切线方程为了=一一-X+-.271 7 C7 T(2)要证/(x)sinx-zr对任意尢(0,乃)恒成立.g(x)=mxlnx,hx=sinx-,当x(0,万)时，h(x)=sinx-zre(-zr,/g(x)=m(lnx+l),，令gO）=。，解得x=J,e*当 0 v x v 一时,g(x)0,函数 gO)在上单调递减;当，x乃时，g（x）0,函数gO）在不）上单调递增.二 1-7T,e,当0，/时，九壮11%5m 乃对任意犬（0,万）恒成立,17JI即当0?万时，f(x)0,则aW 0，即实数。的取值范围是(8,().例 题
18、10.【江苏高考】设函数/(x)=(x -a)(x-A)(x -c)，a，/?，ceR、尸(x)为/()的导函数.(1)若 a=b=c,f(4)=8,求 a 的值;18 若 c#b,b=c,且/(x)和尸(X)的零点均在集合-3,1,3 中，求/J)的极小值;(3)若。=0,=%3-(+2b)x2+b(2a+b)x-ab2;从 而/。)=3*一加(一等令/(x)=0,得 x =b或=笥 女.因为。涉，等2 都在集合-3,1,3 中，且a w b,2a+b所以-；=1,a =3,8 =3.此时/(%)=(x -3)0+3,f(x)=3(x +3)(x-1).令尸(x)=0,得 x =-3 或 x
19、 =l.列表如下：所以/(x)的极小值为f(V =(l-3)(1+3 尸=一 3 2.X(-00,-3)-3(-3,1)1(1,+0)/(X)+0-0+/(X)/极大值%极小值19（3）因为。=0，。=1,所 以/（%）=彳。一 方）（工-1）=/一（+1）/+版,f(x)=3x2-2(b+Y)x+b因为0 0,则f（x）有2个不同的零点,设为，（玉%）.由(3)=0,b+-Jb2-b+l b+Jb2-b+得 玉=-；-，%2=-Z-列表如下:X(-0 0，%)*（%,工2）12(%2，+)fM4-0-0+f(x)/极大值极小值/所以/（X）的极大值以=/（%）.解 法 一:M=/(不)=,一
20、(。+1诉 +bx 、八b+1 2(b2-b+l)/I)3百-2(b+1)%+b 可 J-X+-2(/?2-/?+1)(/?+!)27+等 呜（行可处 也 一 迎 工32（师E27 27 27 伙 b +1)2 4 ,4-+方 方.因 止 匕 方.乙/乙/乙/4/20解法二:因为o z?w i,所以为(0,1).当 X e(0,1)时，f(x)=x(x-b)(x-1)x(x-1)2.U-1).令g(x)=X(X-1)2,XG(0,1),则 g(x)=3令g(x)=,得x=；.列表如下:所以当尤=时，gOO取得极大值，且是最大值，故gOOmaxX叫13事)g(x)+0g(x)/极大值427 4
21、4所以当x e(0,1)时，f(x)g(x)In2 B.X。0 12;r(I)讨论/(x)的单调性；2(II)当 a=l时，证明/(*)/(无)+对于任意的x e l,w)恒成立.思 考 题(6)：已知/(x)=a(x 2+lnx)一 +4,0(I)讨论了(X)的单调性;222(II)当 a=l时，证明对于任意的x w O,”)恒成立.思 考 题(7)：己知函数+其导函数设为g(x).(I)求函数f(x)的单调区间；(H)若函数x)有两个极值点芭，x2,试用a 1 表示/(3)+/(马)；(III)在(II)的条件下，若 g(x)的极值点恰为f(x)的零点，试求/(x),g(x)这两个函数的所有极值之和的取值范围.【答案】(H)/(x,)+/(x2)=-+2；(III)(-o o,0).6思 考 题(8)：-【湖南八校联考2021-2022学年高三联考T 8-22已知函数/(x)=a lnx s i n x+x,其中。为非零常数.(1)若函数/(x)在(0,+8)上单调递增，求 a的取值范围；(2)设(肛 技 ,且 c o s e =l+6 s i n e,证明：当 si n e a 0,证明(e T)ln(x+l)x2【2 02 2 年 4月 1 7 日星期日】2324