《2022届新高考数学精准冲刺复习空间向量及其运算.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届新高考数学精准冲刺复习空间向量及其运算.pdf（32页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022届新高考数学精准冲刺复习空间向量及其运算考查空间向量的线性运算、数量积及其坐标运算，会求向量的模长、向量夹角，并会解决简单的立体几何问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养.主干梳理知识点1.空间向量的有关概念及三个定理1 .空间向量的有关概念概念语言描述空间向量在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度特殊的向量单位向量空间中模长为1向量若 力。,则 符 为 3 方向上的单位向量零向量模长为o 的向量，0 的方向任意相等向量空间中方向相同且模长相等的向量相反向量空间中方向相反而模长相等的向量共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共
2、线向量或平行向量共线向量定理对空间任意两个向量,网行力6),大历。存在X e R,使 =2 坂共面向量平行于同一个平面的向量共面向量定理若 两 个 向 量 不 共 线，则向量P 与向量 石共面。存在唯一的有序实数对(x,),使 p=XQ+yb空间向量基本定理及推论L 定理：如果三个向量a,a c 不共面，那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组-V,y,z 使得 p=xa+yb+zc.2.推论：设 0,A,B,C 是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P 都存在唯一的三个有序实数 x，y，z,使0P=x Q A+y 0 3+z 0 C x+y +z=l知识点2.空间向量的线性运算1.空间向量
3、的加减法空间中任意两个向量都是共面的，可以平移至同一个平面内，它们的加、减法运算转化为平面向量的加减法运算.2.空间向量的数乘运算实数4与空间向量a的乘积X。仍是一个向量，称为向量的数乘运算.当;10时，/I方与方向相同;当；10时，4方与3方向相反;当 4=0 时，Aa=0.痛 的 长 度 是 的长度的囚倍.3.向量加法与数乘向量运算满足以下运算律加法交换律：a+b=b+a-加法结合律:(+小 工=+0+2).数乘分配律：4(+5)=丸 +。.数乘结合律：丸(“)=R,G R).知识点3.空间向量的数量积及坐标运算I.两个向量的数量积(1)a石=H WCOS(4,B)；a o“不=0(。,坂
4、为非零向量)；(3)设a=(x,y,z),|0|=7a2=Jx2+y2+z2-2.向量的坐标运算a=(q,4,%)石=(4也 也)向量和Q+B=(4+生+伪,生+4)向量差a-b=(%4，%-b”&)数量枳a-b=apx+a2b2+q&共线ab a=Ah c iy =Aa2,b1=Ah2,a3=Z?3(2G 7?)垂直a-L b a-h=abl+a2b?+a3b3夹角公式y 匕h-，他+a 孙+c 响 /J a；+跖 +片+片空间两点间的距离公式设点4(%,乂，4),8(孙 必，2 2),则1 A B I =y/(xt-x2)2+(y,-y2)2+(z,-z2)2中点坐标设点A(h,x,4),
5、B(X2,必,Z 2),则 A 8的中点坐标为(百 +/X +必 4 +z?1 2 5 2 5 2 J核心考点考点空间向量基本定理及线性运算【方法储备】1.用已知向量（基向量）表示某一向量（1）选定空间不共面的三个向量作为基向量：用已知向量来表示未知向量，一定要以图形为指导是解题的关键.（2）结合图形，利用向量加法的多边形法则，即首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，将未知向量表示出来.再逐步替换，最终用基向量表示该向量.（3）在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立.【精研题型】1.如图，已知三棱锥。一 AB C,点分别是0A
6、B e 的中点，点G为线段M N 上一点，且 M G=2 GN,若记O A =a,O B b,O C =c,则 砺=A a +-b +-c3 3 3c 1-1 r 1 -B.a T b H c3 3 6-a+-b+-c6 3D+D+=6 6 32.在棱长为1 的正方体ABC。A3C。中，瓦 F,G 分别在8 8,8 c,8 4 上，并且满足 说=方才，BF-BC,BG-BA,若平面A B F,平面4 C E,平面B C G 交4 2 2于一点。，BO-x B G +y B F +z B E,则 x+y+z=.3.以下四个命题中，正确的是A.若 丽=!砺+!砺，则 P,A,B 三点共线2 3B.
7、(a-b)c=a b cC.若 瓦瓦耳为空间的一个基底，则桓+B石+万 构成空间的另一个基底D.ZVL BC为直角三角形的充要条件是福/=()【思维升华】4.(多 选)如图，在平行六面体A 6 C )-4 B|C|A 中，P P 是 C A 的中点，M 是 C 的中点，N 是 G，的中点，点。在 C R 上，且CQ:Q 4=4:1,设 通=乙，AD =b,A A =c,则下列选项正确的为一1 -A.AP=(5 +/?+c)B.AM =(5+2+c)C.AN=a+b+c2.1?-3D.AQ=-a-b+c5 5 55.如图，在直角梯形 48C。中，ZABC =ZC D B=ZD AB=9 0,ZB
8、C D =30,3 c =4,点 E 在线段CO上 运 动.如 图 ，沿 BE 将 ABE C 折至ABE C ,使得平面平面4 5 瓦,则A C 的最小值为.图 图【特 别 提 醒】空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基向量，判 断3个向量能否作为空间向量的一组基向量，验证其是否共面.老 占 八 共 线 向 量 定 理、共面向量定理的应用【方 法 储 备】1 .证明空间任意三点P,A 8共线的方法(1)百=4画X e R)；(2)对空间任一点 O,0 P =x O A +yOB(x+y =1).2 .证明空间四点只A氏C共面的方法(1)P C =x P A +y P B(x,y e R
9、)；(2)对空间任一点。，O P =x O M +y O A +zOB(x+y+z=1)；(3)若 存 在 斤=2通(2 eR),则直线P C,A B平行或重合，则空间四点P,A B,C共面.三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.【精 研 题 型】6.下面命题正确的个数是 若%=2 1+3；,则%与；，y共面；若 而 =2 M A+3 M B，则M,P,A,B共面;若 加 +砺+反+而=6,则共面;三 .1 5 1 -若 O P=+O A+己OB-OC，则 R A H C 共面；2 6 3A.1B.2C.3 D.47.已知M=3沅一 2万
10、 一 4万,b=(x+l)m+2yp,且 比，n,日不共面，若汗6,则x,y 的值为A.1=13,y=8 B.%=13,y=5C.x=7,y=5 D.x=7,y=8【思维升华】8.(多选)在正三棱柱ABCA A G 中，A8=A 4=1,点 P 满足而=4 配+函，其中;le O,l,贝 iA.当；1 =1时，AAB|P的周长为定值B.当=1 时，三棱锥P-4 8 C 的体积为定值C.当4 时，有且仅有一个点P,使得A P I BP2D.当=g 时，有且仅有一个点P,使得A 8 _L 平面A gP老 占空间向量的数量积及其应用【方法储备】1.求向量的数量积(1)公式法：a 4 =WWcos(a
11、,6)；(2)基向量法：设 是 一 组 基 向 量，书Q+yB+ZC,夕=%2。+、2+22。，则 P,+?b+x2a+y2h+z2c；(2)坐标法：设=(4，%，%)石=伍，匕 2,4)，则=+/勾+34.2 .求几何体的棱长(1)设 是 一 组 基 向 量，p=xa+yZ?+zc,则I *|/-2 I o 2 2-*2 2-2 -/?=Jlx+j/?+zcl=/xa+yb+zc+2xya-b+2yzb-c+2xzc-b；(2)设 =(x,y,z),则|p|=?+/+z?.3.求异面直线所成角设,瓦2是一组基向量，m,n分别为异面直线加，的方向向量，m=xa+yih+zc,n x2a+y2h
12、+z2c,贝Ucos(m,nxia+ytb+ztcyx2a+y2b+z2c卜1。+)；石 +4 4卜2.+丁2加+22 44.垂直问题垂直关系常转化为向量数量积为零进行应用，a b a-b =a,bl+a2b2+a3b3=0【精研题型】9 .（基向量法）如图，在三棱锥A-BC。中，DA,DB,DC两两垂直，且。3=OC=3,AD=4,E 为 的 中 点，则 醺 就等于A.3 B.2 C.1 D.01 0.如图在一个60的二面角的棱上有两个点A,B,分别连接线段AC,8。在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱A B,且AB=AC=a,BD=2 a,则CO的长为A.2aB.#iaC.aD.#)ai
13、 i .如图所示，平行六面体ABC。-A 4 G。中，以顶点4 为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为1.求 隔 与 衣 夹角的余弦值是12.正方体ABC。一 A 4 G 2的棱长为1,若动点P 在 线 段 上 运 动，则 反 丽 的取值范围是.【思维升华】13.设向量4=。,加O）N =（c,d,l）,其中/+/=。2+储=1,则下列判断错误的是A.向量取与z 轴正方向的夹角为定值（与 c,d 之值无关）B.，加 的最大值为J 537rC.万与炉的夹角的最大值为二4D.ad-历的最大值为1.1 4.（多选）如图，点。是正四面体P A 5 C 底面A B C的中心，过点。的直线交4 c,8。于点
14、,N,S 是棱P C 上的点，平面SM N与 棱 的 延 长 线 相 交 于 点。，与棱心 的 延 长线相交于点R,则pA.若 肱V 平面P A B,则A B/R QB.存在点S与直线M N,使尸C _L平面SRQC,存在点S与直线MN,使 方（而+而）=0D.-+H-是常数PQ IPRI PS考点四空间向量的坐标运算【方法储备】1.空间向量的坐标（1）正交分解：设i,/,左为两两垂直的单位向量，如果。尸=x i+力+zE,则（x,y,z）叫做向量的坐标.（2）设4（5,，4）,8（工2，%，22），A B=（x-x2,yl-y2,zl-z2）2.向量的坐标运算用向量的坐标进行，线性运算，数量
15、积运算，求模长、夹角的余弦值，证明向量共线或垂直.【精研题型】15.一个四面体的顶点在空间直角坐标系。-町z中的坐标分别是A（0,0,垂）,B（V3,0,0）,C（0,l,0）,D（瓜1,后,则 该 四 面 体 的 外 接 球 的 体 积 为.16.（多选）下面四个结论正确的是A.向量M 石（w 0石 w。），若则一 石=0.B.若空间四个点P,A,8,C，PC =-P A +-P B,则 A B,C 三点共线.4 4-3-C.已知向量寸=(1,1,x),b=(-3,x,9),若x X，则 25 为钝角.D.任意向量万，b,1 满足伍5)1=1(51).17.九章算术第五卷中涉及到一种几何体一
16、一羡除，它下广六尺,上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体A B C D F E,如图，四边形均为等腰梯形，A B/C D/E F,平面A B C D，平面A B E R,梯形A B C。，梯形A B E F 的高分别为 3,7,且 A B =6,C D =10,E F =8,则ADBF=.【思维升华】18.如图所示，在正四棱柱A B C O-4 4 G A 中，A4,=2,A B=B C l,动点P,Q 分别在线段C Q,A C 上，则线段尸。长 度 的 最 小 值 是.19.动点P 在正方体A B C D-A C 的对角线B D 上,记DtP ,7%=，当N A P C 为
17、钝角时，2 的取值范围是答案与解析考点一1.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的三角形法则与平行四边形法则，向量的线性表示，属于中档题.利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把 的 用。豆，反和砺线性表示即可.【解答】解：如图所示，连接。N,：OG=ON+NG,ON=(OB+OC),NG=-NM,NM=O M-O N,O M-O A,3 2:.OG=ON+NG=ON+-NM3=ON+-(OM-ON)=-ON+-OM3 3=-x-(O B +OC)+-x-O A3 2 3 2=-OA+-OB+-OC6 3 3 一 i r i-=a+-O +c.3故 选c.42.【答 案】一3【解 析】【
18、分 析】本题考查了共面向量定理的应用，属于中档题.根据空间中四点共面的条件列出方程组解出x,y,z,即可求解.【解 答】解：BO=xBG+yBF+zBE BA+yBF+=-BA+BC +zBE=xBG+BC +BB：.2 2 2 4vO.A,B,F四点共面，。，A,C,E四点共面，。，B,C,G四点共面,3Z-4Z=3Z-4yy-2y2-+X-2X-2XX=3解得 y=_3z=234 x+y+z=.4故答案为一.33.【答 案】C【解 析】【分 析】本题考查平面向量和空间向量的加减运算及数量积运算，同时考查空间向量基本定理及充要条件的判定，还考查向量共线的条件，逐一判断即可.【解 答】解：对于
19、4若 丽=,函+，砺，因为.1,则P、4 8三点不共线，所以不2 3 2 3 6正确；对于8,设 =0,则眄 同 =忸帆同|cosM,所以不正确；对于C,向量 a*,c 是空间的一个基底，则a,b,c不共面，-则。+仇，+C,C+”也不共面，所以能构成空间的另一个基底，所以正确；对于D,而=0时，NA为直角，故AABC为直角三角形，即必要性成立，反之也可以是N 8,N C为直角，所以不正确；故选C4.【答案】A B C【解析】【分析】本题考查空间向量基本定理以及空间向量的线性运算，属于基础题.利用向量加减法的三角形法则及数乘运算即可.【解答】解：而=羽+；而=丽+；(/一 丽)1 1 一1-,
20、=c+(AB+AD)=(5+Z?+c),4 正确；丽=隔+;配=函+;庶-碣)衣+，函=+5)+，西2 2 2、,2、1一=-(5 +2/?+c),8 正确；2丽=皿+丽=亚+羽+（丽1 -=-a+b+c,C正确；2而=丽+；而=9+；(/_ 丽)=-c +-(AB+AD)=-a +-b +-c,。不正确；5 5 5 5 5故选ABC.5.答案J1 9-4 6【解析】【分析】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间向量加法法则，空间向量的数量积运算，三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.设/EBC=6,由 启=砺+配 得而2 =(通+反 2=19 4jsin29,由此能求出A C的
21、最小值.【解答】解：设NEBC=6,ACAB+BC,.,.AC=(AB+BC)2=AB+BC+2ABBC=AB+BC+21|5C|cos=AB+BC-2ABBCcos0-cos(-0)=3+16-2x(x4xE xsin2e=19-4瓜 in 26,/sin2G-1,1,AC|e719-473,719+473 J.AC的最小值为J 1 9-4 故答案为：719-473.考点二6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量共面的定理的应用，属于中档题.根据空间向量共面定理，结合图形解决即可.【解答】解：由空间向量共面定理可得，若/；=2；+3；，则;与；，（共面，此命题正确;由空间向量共面定理得：
22、若而P =2加+3耐，则共面，此命题正确；如 图，在正方体中，|如 =|0 同，0、:、B/EA L-z若 而+而+无+而=G,则显然此时A,8,C,不共面,若 OP=+OA+9OB-OC,2 6 3.OP=-（OP+PA）+-（OP+PB）-（6P+PC）,2 6 3此命题错误;.3 5 PC=-PA+-PB,2 2则R A,氏C共面，此命题正确.故选C.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查空间向量共线、共面定理的应用，属中档题.利用空间向量共线的充要条件求解即可.【解答】解：因为万6,所以5 =4万，即（x+1）而+8 万+2 凉=3 A/n 2A.fi 4 A p.又因为比，n,日不共
23、面，所以x =1 3,y =8.故选A8.【答案】B D【解析】【分析】本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于拔高题.判断当4 =1时，点P在线段CG上，分别计算点P为两个特殊点时的周长，即可判断选项4当=1时，点P在线段4c上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断选 项8；当4 时，取线段B C,的中点分别为M,M,连结则点P在线段M也 上，分别取点P在M，M处，得 到 均 满 足 即 可 判 断 选 项C；当时，取CG的中点的中点D,则 点P在线的0A上，证明当点P在点R处时，48,平面Ag q,利用过定点
24、A与定直线4B垂直的平面有且只有一个，即可判断选项D.【解答】解：对于 A,当 4 =1 时，B P =B C+juBB,即 CP=MBB1,所以G5 函，故点P在线段CG上，此时AA B/的周长为A 4 +B.P+A P,当点p为CG的中点时，AA B/的周长为不+J 5,当点P在点q处时，AAB|P的周长为2及+1,故周长不为定值，故选项A错误；对于8,当=1时，丽=A 反+M,即耳/=见前,所以R Q 反,故点P在线段4c上，因为4 G 平面A B C,所以直线4G上的点到平面 B C的距离相等,又AAB C的面积为定值,所以三棱锥P-的体积为定值，故选项B正确;B对 于C,当/l=g时
25、，取线段BC,B 的中点分别为M,连接因 为 丽=；团+瓯，即 标=4瓯，所以M 户 B B；,则点P在线段上，当点 P 在 处时，A M|_ L4 G，又4。/4 8 =片，所以，平面B 4 G。，又 身%u平面B B C。，所以 4 M|J.8 W 1,即 A P J.8 P,同理，当点P在M处，A.P 1 BP,故选项C错误;对 于D,当=g时，取C的中点2，的中点D,因 为 丽=2配+,瓯，即 而=之肥，2 1所以方方,则点p在线的。4上，当点P在点A处时，取A C的中点E,连接A/,BE,因为B E,平面ACGA，又 AD,u 平面 A C C,A ,所以 A Di 1 B E ,在
26、正方形ACG4中，A_LAE,又 8。4七=，BE,AEu 平面 A B E,故A A _ L平面A B E,又48u平面ABE,所以在正方体形A 8 4 A中，A B _ L A 4，又 叫pp4=4，A。-平面 A B Q,所以A B _ L平面A 4 2 ,因为过定点A与定直线4B垂直的平面有且只有一个，故有且仅有一个点P,使得A3,平面A B f ,故选项。正确.故选：BD.考点三9.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间向量的三角形法则以及数量积运算，属于基础题.利 用 向量的三角形法则将 AEBC 表 示 成1 -.1 -2，-，1*2 1-*，-D B DC一 一 DB-DA D
27、C+DA DB+-D C 一 一 DC D B,根据垂直和长度关系即2 2 2 2可得到结果.【解答】解：.醺.前=；（而+码.（觉网(JDB-2DA+DC)(DC-DB)1 一 1 -2 一 1 -2 1-D B DC DB-DA DC+DA DB+-DC DC DB,2 22 2 DA,DB,DC 两两垂直，且 =：.AEBC =O.故选D.10.【答案】A【解析】【分析】本题考查空间向量的加法运算、空间向量的数量积，属于基础题.由 已 知 可 得 函=5+而+而，利用数量积即可得出.【解答】解：C BD1AB,:.CAAB=BD ABO,.=60,:.=120,CD-CA+AB+BD,2
28、 2 -2 2 -.:.CD=CA+AB+BD+2CA-AB+2CA-BD+2ABBD=a2+a2+4a2+0+2xx2xcosl200+0=4a2,CD|=2a.故选A.11.【答案】B【解析】【分析】本题考查用空间向量数量积运算求夹角，属于中档题.以 与，花，涵为空间向量的基底，表示出 丽 和 正，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得.【解 答】解：由 题 意 丽 万=福题=布 猛=lxlxcos60=.2以A 4,A b,/R为空间向量的基底，AC=AB+AD,BDt AD-ABAD+A-AB,AC-BD=(AB+AD)-(AD+A-AB)A BA D+ABAA-AB2+A D+
29、ADAA-ABAD=1,AC-T f T(AB+AD)2=AB2+2AB-AD+AD2=V3,|西|=。须+福-通了=AD+A4+AB2+2AD.A4,-2A D-A B-2-AB=V2,nn*AC BD 1 /6/.cos=r .=f=AC-BD.|V3-V2 6即 西与比夹角的余弦值为 由.6故 选：B.12.【答案】0,1【解 析】【分 析】本题主要考查空间向量的数量积的运算，属于基础题.设 丽=2丽 ，其中；加/=丽 (而+丽)展开运算即可.【解答】解：依题意，设 丽=2西，其中;leO,l,DCAP=AB(AB+BP)AB(AB+ABD)AB2+AABBD=1-AG0,1,因 此 反
30、 通 的取值范围是0,1.故答案为0,1.13.【答案】B【解析】【分析】在A中，取z轴的正方向向量2=(0,0 1),求出力与之的夹角即可判断命题正确；在8中，计算向U=ac+仇/,利用基本不等式求出最大值即可判断命题错误；在C中，利用数量积求出与D的夹角的最大值，即可判断命题正确；在。中，利用基本不等式求出最大值即可判断命题正确.本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是较难题.【解答】解:由 向 量 =(a,O,O),/=(c,d,l),其中/=/+/=1,知：在A中，设z轴正方向的方向向量乞=(0,0,。，设向量D与z轴正方向的夹角为a,则
31、c o s a =:=.?r=,a=4 5 ,|?|-|v|jJ cH+i 2.向量/与z轴正方向的夹角为定值4 5。(与c,d之值无关)，故A正确;在8中,u-v=ac-vbd,.江+广2+/+解当且仅当=。，力=。时取等号，因此向/的最大值为1,故8错误;在 C 中，由 8 可得：|w-v|l,1,_ _ u-v ac+hd 1 V 2a-v 7 2+火 2+屋+1 x 72 237r.R与/的夹角的最大值为二，故C正确;4.a+d b+c-a-+h+c+d .在。中，ad-bc-+-=-=1,2 2 2当且仅当。=，匕=一。时取等号，r.a d b e的最大值为L故D正确.故选：B.1
32、4.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查正四面体的结构特征，线面平行的性质定理，线面垂直的判定与性质，空间向量的线性运算和数量积，空间向量基本定理的应用，属拔高题.利用线面平行的性质定理判断4；利用线面垂直的判定定理判断8和C；利用空间向量的基本定理的推论中的四点共面的充要条件证明D.【解答】解：对 于A:M N/平 面P A B,MNu平 面A 8 C,平面平面=：.M N/A B,同理，M/V u 平面 SM N,平面SMN|平面P4B=RQ,.M N/HQ,.,.A B/R。,故 A 正确；对于B:设。在直线PC上的射影（垂足）为 5,并设在底面内M N，OC,.PO_L 底面 ABC
33、,肱 7 匚平面48。，二。0，肱 7,又 ：M N IC O,P O p fO =O,P O u 平面 PC。，C O u 平面 PC。，二肱V L平面 PC。，P C u 平面 PC。，M N 1 P C,又.OSJ_PC,M Np p S =O,M N u 平面 SMN,O S u 平面 SMN,，PC_L 平面SM N,即 PC_L 平面SRQ,故 B正确；对于C:由于。为正三角形ABC的垂心，C O _L AB,又P O L A B,PO（y：O=O,P O u 平面 PC。，。0=平面。8,.4?1_平面。&:P C u 平面 PC。，A B L PC,若是存在点5 与直线M N,
34、使 方（而+而）=0,取 RQ的中点X,则 两 2西=0,.P S _L Q X,即 PC_L PX,结合PC L A B,PX,AB是平面PAB中的两条相交直线，二 PC_L 平面 PAB,但正四面体中，C在平面PAB中的射影是三角形PAB的中心，不可能是P,故矛盾，故 C不正确；对 于 设 正 四 面 体 的 棱 长 为。，。为AABC的重心,:屈=;例+而+定）1(IPAI-PQ P B P R PC-PS a(PQ PR 丽、=-+-=-+-+-31 PQ PR PS)3(|尸。|P用|而J在平面QH5中，且 用，丽，而为不共面的三个向量，3PQ 3PR+3PSI i|3上 +3+*-
35、=士为常数,故。正确.PQ IPRI PS a故选ABD考点四97r15.【答案】2【解析】【分析】本题考查球的体积，空间直角坐标系，属于拔高题.由所给的坐标作出四面体，根据该四面体的外接球就是其所在的长方体的外接球，可求外接球的半径，从而可得体积.【解答】解：由所给的坐标作出四面体，如图中四面体。-A3C,该四面体的外接球就是其所在的长方体的外接球，设外接球的半径为R,则2火=/+（百/+=3,3得R-2故外接球的体积为也x 3 =.3 2故答案为-.216.【答案】AB【解析】【分析】本题考查向量垂直的判断与证明，共面向量的应用，属于中档题.根据定理和结论，逐项验证，即可求出结果.【解答】
36、解：A向量圆5伍4 6,5#,若值则万石=0,正确；1 3 A根据共线与共面向量定理及应用，若 空 间四个点P,A,B,C,P C =-P A +-P B ,4 4i _ _ 1 _ q _ 3 _ i _ _ 3 _-P C-P A -P B-P C,即 上 衣=二 而，则A,B,C三点共线，正确;4 4 4 4 4 4C.，/a=(1,1,JC),=(-3,x,9),:.a-b=-3 +x+9x=10 x-3,3x ,1 Ox一3/(l /)+(A 7/)2 3+4 A2=+5 A-2 A/7 2/7 +1 =5(A-y)2+(/-)2+，2故答案为31 9.【答案】（；,1）【解析】【分
37、析】本题考查空间向量的坐标及其空间向量的夹角公式，属于拔高题.建立空间直角坐标系。-孙z,利用I向量法求出即可.【解答】解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系。一肛z,则当且仅当;i =,、=3时，线段PQ长度取最小值是2.9 9 3设 舫=1,则有 A(1,O,O),5(1,1,0),C(0,l,0),D,(0,0,1),DB=(1,1,1),DP=(4 4,A),中=期 +遍=(-A,-A,A)+(1,0,-1)=(1-A,-2,A-1),1=地+球=(-Z,-A,4)+(0,1,-1)=(-4,-1),显然NAPC不是平角，所以NAPC为钝角等价于cosNAPC0,：.P A P C 0,(1-2)(-2)+(-2)(1-2)+(2-I)2=(A-l)(3 2-l)0,得;2 1,因此，2的取值范围是(；/)，故答案为：().