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1、2022届新高考数学冲刺精准复习数列PART I基础篇一、数列概念与表示方法L按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列的一般形式是火、。2、.简记为 n。按项数分类：有穷数列、无穷数列按单调性分类：递增数列(vn G N*,an+1 an 递减数列(Vn G Nan+1 2)an+i-an=d(n&Nr)2、等差中项：a、b、c三个数组成等差数列，这时6叫做a和c的等差中项。2b=a+c3、等差数列的通项公式：册=%+-1，d(n 6 N*)证 明：(累加法)由定义得，an-即_ 1=d(n 2)所 以,an an-i=da3 a2=da2 =d以上式子累加可得，即-%=(n-l)d所 以，即=
2、%+(n-l )d(n 2)当n=1时，上式两边都等于内所以 0n=%+(n-1 )d fneA f*)4、重要:m,n,p,q 6 N*,且m+n=p+q,则a.+=ap+aq5、等差数列的前般项和：Sn=n at+的 产证 明：(倒序相加法)Sn=。1+。2+.+。7 1Sn=+Q2sti=(a1+aJ1)+(a2+an-i)+(即+&)=(%+%)_ n(%+an)n 2把 an=%+(n -1 代入上式得，r.n(n-l)dSn=+-2-6、等差数列习题例 1：在等差数列 0 中，已知%=1,。3+。5=8,则。7=()例 2:如果2,a,b,c,10成 等 级 列，那么C -a=()
3、例 3：等差数列5 中,a;=9,S5=5,则58=()例 4：已知 斯 为等差数列，。3=5 2,%+。7=147,前几项和为右,则使得Sn达到最大值时n是()例 5 :在等差数列 0 中，(14+。6 +a10+a12=120,则%()-；的1=()例 6 :已知数列 即 满 足：%=2,即=2-一 三(n 1),记 为=吃.(1)求 证：数列%是等差数列(2)求斯例 7：已知 即 的前几项和为无，若(12020 0,12019 +02020 。的最小正整数九=()三、等比数列1、如果一个数列从第2 项 起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比
4、数列的公比，通常用字母q 表示。公比可正可负，但不可以为0。詈=勺(n 2 )an-i=C f (n e N*)an2、等比中项：a、b、c三个数组成等比数列，这时。叫做a和c的等比中项。b2=ac3、等比数列的通项公式：%=%.严】(n e N*)证 明：(累乘法)由定义得，W=q(n 2 )an-i所 以，普=qa上3 二q。2以上式子累成可得，气=qn-所 以，心=%qT(n 2 2)当n=1时，上式两边都等于由所以an=Oi,qnT (n 6 N*)4、重要：m r n,u,v E N*,且m+n=u+v,则册=auav5、等比数列的前n项 和：Sn=3 产,q手，i-q证 明：(错位
5、相减法)Sn=Q1+Q2+.+Q 7 1=a1+a1q+a1qn-1qSn=Qiq+iq2+.+a1qn1 4-Q】qnSn-q Sn=Qi+Qiqn(1-q)Sn=a/l +qn)当q H 1 时，Sn=当 手l-q当q=1 时，Sn=nar6、等比数列习题例 1：在 等 比 数 列 中,已知a4a5=4,则-a8=()例 2:已知等比数列 即 的前n项和为Sn,若a2s4=a4s2，则 如=()alPART n提升篇一、累加法题型an+1=an+f(n)1、an+1=an+an+(n 2)例：an+i=an+2n+l(n 2),ax=1,求即解：即-an_I=2 n-1(n 2)an-i-
6、an-2=2(n-1 )-1。2-%=2,2 1将以上式子累加得，an 一%=3+2n-1=d)(：+2 n T)=凡 2 一 1所 以,an-n2 C n 2)又=1 符合上式，所 以,an=n2(n 6 N*)2、an+i=+aq+p例：n+i=a”+2 3+1,%=1,求an解：an-即_ =2-3n-1+1 f n 2)an-i-an-2=2-3n-2+ia2 C LX=2-34-1将以上式子累加得，即 一 的=2 (3+3nT)+n-1=2.3 0-3 2 2)1-3=3n+n-4所 以，Q-=3n+7i-3r n 2)又 的=1 符合上式，所 以,Qn=3n+n 3(n E N*)
7、3、Qn+i=kc1n+aqn+0(n 2)例：an+1=5an+2,3+1,=1,求即解：能/+i 图 飞r令 勾 二言，则bn+1=%+1 (|)n+(|)，+1(n 2 )二,累 乘 法 题 型 an+1=an-/(n)1、an+l=a n cln*an例：an+i=2n-5nan,%=1,求即解：即=2(n-1)-5-ian-i(n 2)On-i=2(n-2)-5n-2an_2a2=2,1 5al将以上式子累乘得，an=2nt ,(n-1)!-52-%n(n-i)所 以，an=2n-1-(n-1)!5 2(n 2)又=1 符合上式，n(n-l)所 以，an=2n-1-(n-1)!-5
8、2 (n N*)例：设 an 是首项为1 的正项数列，且5+1)磷+i-nW+aM 1an=0(n N*),求斯解：由(n+l)W+i-na+an+1an=0,得(n+l)an+1-nan)(an+1+aQ=0v an 0,(n+l)an+1-nan=0即 皿=J L.an n+1=(n 2 )an-i n2=1a1 2将以上式子累乘得，an71 =n-.-2=n-Q1i =-n (v n 2/)又的=1 符合上式,所 以，册 二；(n W N*)三、待定系数法1、an+1=+例：n+i=3an+4,%=1,求。7 1解+m =3(an+m)an+1=3an 4-2 m =3an+4m =2由
9、题意得，an+i+2=3(an+2)令b”=an+2,bn+1=3%,瓦=%+2=3%是首项为3,公比为3 的等比数列:.bn=3n,an=bn-2=3n 2%i+i=+Ap p即+】+=a,斯)2、an+1=aan+/3n+Yan+1+k(n 4-1)4-m =a(an 4-f c n 4-m)an+1=aan+(Q l)kn+(a l)m k(a-l)k=Bl(a l)m-fc=y令bn=Qn+k九 +m ,bn+i=abn例：Qn+i=3an+4九 +2,a1=1,求职3、an+1=pan+qn例：即+i =3an+4n,ax=1,求即解：an+1+m -4n+1=3(an+m -4n)
10、an+1=3an-m 4n=3an+4nm =-1由题意得，斯+i-4n+i=3(an-4n)令bn=an-4n,bn+1=3bn,bi=%4=-3%是首项为-3,公比为3 的等比数列bn=-3n,an=8n+4n=47 1 3n四、换元法例：an+i=2 f 1+4an+J1+24一),=1,求a”解：令 砥=J l +24即,an=/(品一 1)点(“+i T)=2(1 +3(煽 T)+垢)4(一+i-1)=(6 +(-1)+6bn)4 堤+i=%+6%+9=(bn+3)21 3b九 。，.2bn+1=6n+3,bn+i=/九+5A bn+1-3=1 (bn-3)五、错位相减法斯bn C等
11、差乘等比)+(九 一 l)d%=瓦.qn-i求数列 Qn 匕 的前nl页和无解：S=a i 瓦+02 b2+.+an bn=a1 b1+(a1+d)瓦q+.+3 i+(n l)d),力四吁1qSn=a1 biq+(Qi+d)b1q2+.+(a1 4-(n 2)d),h1gn_1+(a1 4-(n l)d),biqnSn qSn=%儿+d,b1q+d-61q2+.+d,瓦qnT -(Q14-(n-l)d)-bxqn=Qi 瓦+d 瓦/q +q2+.+gn-1)(%+(n-l)d),bxqn例：求数列S 2九 的前几项和治六、裂项相消法L斯=而 片，求数列 斯 的前几项和加解初.=-1-1-,Sc
12、,1.1 1,.1 1.1 nn71 n n+1 71 =1-2-1-2-3-F H-n-n-+-1-=1-n-+-1-=-n-+-1-_ _ 1 zl _ 1 X0n n(n+k)k 4 n+k例：厮=7 7 ，求数列 即 的前n项和Sn(NTl-1)(271+1)2、an n=.-p 7n+1 yjnVn+T+Vn3、un11n(n+l)(n+2)i(-2、n(n+l)1(n+l)(n+2)；）七、倒序相加法例：sin2l +sin22 A-F sin289八、分组求和法（葭个等差+n个等比）2O例：（X+i）2+（x2+*）+（Xn+专）九、an与Sn混合型/,=Sn-Sn_i（n 2）
13、1、已知等差数列前几项和为S n，且满足即+Sn=n+3,贝！Ictn=Qn+Sn=?i+3n-i+Sn_i=n+2zn 2an-an-i+。九=1a1.1、Qn=an-l+/n 2an-1=1(an-l-1)令bn=an-1,则6n=|bn_t,n 2即 b 是公比为:的等比数列。由 0n+=九 +3可 得，%+Si=4,&=2/瓦=a 1-1=1 1 “=(|)n 1,an=bn+l=(|)n 1+12、已知数列 即 满足Sn+lSn=an+i X 1=I,（1）求 证：数列/是等差数列；（2）求斯(1 )证 明：由%+1571=%i+i,得S/i+iSn=Sn+iSn两边同时除以Sn+i
14、Sn,1二十即G =-1 ,九E N*3n in+l in+l n所以/是等差数列。(2 )解：由(1 )可 得，=5+(n-1)(1)=(n 1)=-n +y所以=2-2n+lla 九-Sfi _ S _ i=71 n n 1-2n+ll2 _ _ 4_ _ 4_-2n+13-(-2n+ll)(-2n+13)-(2n-ll)(2n-13),n 2又 =:不符合上式，所以a“=:-z n=1(2 n-ll)(2 n-1 3)3、已知数列 就 满 足 六+舟+2a5 2a2-5 2azi-5 3(1)求 与；(2)设数列 就 二 的前拉页和为7n,证明或 Tn 十、特殊关系1、等差数列 a4=%+5-l)d Sn=nar+号 ,，令n=2k 1,则 雷=%+(k l)d=akSm/S2m Sm,S37n-S2 m,成等差数列.2、等比数列an=%qT Sn=当处,q*li-qS m，S2 m-Sm,S3m-S2n l，成等比数列.3、练习例 1:两个等差数列前n项 和 之 比 为 鬻，则它们第5项 相 应 的 比 为.例 2:已知等差数列前nl页和为%,S10=10 z S30=70,则S40=。例 3：已知等比数列前几项和为,5 5 =4,Si。=10,则Sis=